Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 069b

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Lección 069

Mathematik auf Deutsch - 19

BM901 - BM910

BM901

Geometrie

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Jeder Kreis besitzt einen Kreismittelpunkt.

Der Abstand eines beliebigen Punktes des Kreises vom Kreismittelpunkt ist gleich der Länge des Radius.

Alle Radien sind gleich lang.

Der Durchmesser ist doppel so lang wie der Radius.

BM902

Drehungen

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Wir haben einen Kreis mit dem Durchmesser 6 cm, den Randpunkten A und B, sowie die beiden inneren Punkte C und D (Bild 1).

Wir erzeugen nun durch eine Drehung um den Mittelpunkt M, den wir Drehpunkt nennen, ein Bild des Kreises 1.

Diese Drehung können wir mit Hilfe des Kreises 2 veranschaulichen.

A' ist bei dieser Drehung der Bildpunkt von A. B' ist der Bildpunkt von B, usw. (Bild 2)

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Das Bild eines Kreises bei einer Drehung um den Kreismittelpunkt in der Ebene ist wieder ein Kreis.

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Wir bezeichnen eine Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn als Drehung im positiven Drehsinn.

Eine Drehung im Uhrzeigersinn ist eine Drehung im negativen Drehsinn.

BM903

Drehung eines Strahls

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Gegeben ist ein Strahl a mit dem Anfangspunkt S.

(S = Scheitelpunkt; Scheitelpunkte sind in der Geometrie besondere Punkte auf Geraden oder Kurven.)

Wir kennzeichnen auf dieser Geraden a die Punkte A und B.

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Wir erzeugen nun durch eine Drehung des Strahls a um den Anfangspunkt S das Bild des Strahls.

Diese Drehung veranschaulichen wir mit Hilfe eines Lineals.

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Die Bildpunkte A' und B' haben bei dieser Drehung des Strahls a denselben Abstand vom Anfangspunkt S wie die Originalpunkte A und B. Das bedeutet, dass Originalpunkt und Bildpunkt jeweils auf einem Kreisbogen um S liegen.

Die Gesamtheit der Bildpunkte des Strahls a bei einer Drehung um S ergeben das Bild des Strahls, nämlich den Strahl a'.

BM904

Kreisbogen

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Legt man auf einem Kreis zwei beliebige Punkte fest und verbindet diese durch Strecken mit dem Mittelpunkt des Kreises, so stellen die beiden Teile der Kreisfläche, die durch diese Strecken voneinander getrennt werden, Kreisausschnitte (auch Kreissektor genannt) dar. Ein Kreisausschnitt wird also gleichsam von zwei Radien aus einem Kreis „herausgeschnitten“. Der zu einem Kreissektor gehörende Teil der Kreislinie wird als Kreisbogen bezeichnet, der Winkel zwischen den beiden Radien als Mittelpunktswinkel.

BM905

Winkel

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Scheitelpunkt

Schenkel

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Das Bild des Strahls a bei der Drehung um seinen Anfangspunkt S soll der Strahl b sein.

Der Strahl a und der Strahl b bilden dann den Winkel ∡ab (∡aSb; ∡ASB)

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Das Bild des Strahls a bei der Drehung um seinen Anfangspunkt S soll der Strahl c sein. Der Strahl b und der Strahl a bilden dann den Winkel ∡ad

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Den Punkt S nenne wir Scheitel des Winkels, die Strahlen a und b bzw. a und c, die Schenkel des Winkels

Schenkel sind zwei Geraden mit einem gemeinsamen Basispunkt.

BM906

der Schenkel

1) Schenkel = Anatomie: Ein Bereich der unteren Extremitäten (siehe: Ober- bzw. Unterschenkel beim Menschen)

Er hat sich seine behaarten Schenkel rasiert.

2) Schenkel = Anatomie: Ein Teil des Beines von Tieren, der oft auch dem Verzehr dient

Neben dem Brustfilet werden vom Huhn hauptsächlich die Schenkel verzehrt.

3) Schenkel = Geometrie: Zwei Geraden mit einem gemeinsamen Basispunkt (siehe auch: Dreieck)

Bei einen gleichschenkligen Dreieck sind beide Schenkel gleich lang.

4) Schenkel = Technik: jeweils einer von zwei gleichen länglichen Bauteilen, die sich in einem Punkt treffen

Durch das Klopfen geraten die Schenkel der Stimmgabel in Schwingung.

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Oberschenkel = oberer Teil des Beines zwischen Knie und Becken

Oberschenkel = kurz für: Oberschenkelknochen

Ich habe mir den Oberschenkel gebrochen.

Oberschenkelknochen (= Os femoris oder kurz das Femur)

Oberschenkelhals

Oberschenkelhalsbruch

Oberschenkelmuskulatur

Unterschenkel = unterer Teil des Beines zwischen Knie und Fuß

Ich habe mir den Unterschenkel gebrochen.

Hähnchenschenkel = untere Extremität von einem jungen, geschlachteten Huhn = Keule

Froschschenkel = Schenkel eines Frosches

der Frosch

Froschschenkel = gegarte Froschschenkel, in einigen Kulturkreisen und bei Feinschmeckern eine geschätzte Delikatesse

Im Geschmack erinnert der Froschschenkel an den von jungen Hühnern.

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der Scheitel

1.) Scheitel = Linie in der Frisur, entlang derer sich die Haare in unterschiedliche Richtung legen

Mittelscheitel = Linie auf der Hälfte des Kopfes, an welcher das Kopfhaar geteilt wird

Sie trägt einen Mittelscheitel.

Seitenscheitel = Linie auf der linken oder rechten Hälfte des Kopfes, an welcher das Kopfhaar geteilt wird

Prince Charles trägt einen Seitenscheitel.

einen Scheitel zu ziehen

Scheitelwinkel = der beim Schnitt zweier Geraden einem Winkel gegenüberliegende Winkel

jemandem den Scheitel mit der Axt ziehen

2.) Scheitel = Anatomie: oberster Teil des Kopfes

Die Körpergröße wird vom Scheitel bis zur Sohle gemessen.

vom Scheitel bis zur Sohle

Scheitelbein

3.) Scheitel = höchster Punkt von etwas

Wir standen auf dem Scheitel des Hügels.

Scheitelpunkt

4.) Scheitel = Geometrie: Treffpunkt der Schenkel eines Winkels

Um mit dem Geodreieck einen Winkel auszumessen, muss man den Nullpunkt am Scheitel anlegen.

Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt einer Parabel ist identisch mit dem Hochpunkt (lokales Maximum), wenn sie nach unten geöffnet ist, und identisch mit dem Tiefpunkt (lokales Minimum), wenn sie nach oben geöffnet ist.

BM907

Drehsinn

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positiver Drehsinn (pos. Drehsinn)

negativer Drehsinn (neg. Drehsinn)

Bild 1
Bild 2
Bild 3
Bild 4a
Bild 4b
Bild 5

Bild 1: „negativer Drehsinn“, „linksdrehend“ oder „gegen den Uhrzeigersinn“

Bild 2: „positiver Drehsinn“, „rechtsdrehend“ oder „im Uhrzeigersinn“

Bild 3: Kompass - pos. Drehsinn

Bild 4a und 4b: Uhr - pos. Drehsinn; im Uhrzeigersinn

Bild 5: Der Winkelmesser misst Winkel mit positivem oder negativem Drehsinn.

BM908

Drehung von Strecken

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Eine Drehung ist durch die Angabe von Drehpunkt und Drehsinn allein noch nicht festgelegt. Es muss außerdem noch der Winkel angegeben werden, um den gedreht wird. Dieser Winkel heißt Drehwinkel.

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Bild 1:

Gegeben ist ein Strahl g mit dem Anfangspunkt S (links) und der Drehwinkel ∡ab (rechts). Wir wollen das Bild g' des Strahls g durch Drehung um diesen Winkel konstruieren.

Drehpunkt soll der Punkt S sein.

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Bild 2:

Konstruktionsbeschreibung:

Wir zeichnen um den Scheitel des Drehwinkels einen Kreis mit beliebigem Radius (rot) und erhalten auf den Schenkeln die Schnittpunkte A und B.

Mit dem gleichen Radius zeichnen wir auch einen Kreis um den Drehpunkt S des Strahls g.

Wir erhalten auf g den Schnittpunkt A'.

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Bild 3:

Wir zeichnen nun um A' einen Kreis mit dem Radius

{\overline {AB}}

und erhalten den Schnittpunkt B'.

Wir haben den Winkel ∡ab in S an g angetragen.

(antragen - abtragen)

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Bild 4:

Das Bild des Strahls g verläuft vom Anfangspunkt S durch B'.

g' ist das Bild des Strahls g.

BM909

Drehung einer Strecke

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Eine Strecke ist durch diebeiden Eckpunkte bestimmt.

Um das Bild einer StTrecke bei einer Drehung zu erhalten, brauchen wir daher nur das Bild dieser beiden Eckpunkte zu konstruieren.

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Es soll das Bild der Strecke

{\overline {AB}}

bei einer Drehung um den Punkt S um einen Drehwinkel ∡ab konstruiert werden.

Konstruktionsbeschreibung:

Gegeben die Strecke

{\overline {AB}}

(Bild 1), der Punkt S (Bild 2) und der Drehwinkel ∡ab (Bild 3).

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Der gegebenen Drehwinkel ∡ab hat einen positiven Drehsinn (Bild 4).

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Konstruktionsbeschreibung:

Wir zeichnen von S aus einen Strahl durch den Punkt A, sowie einen zweiten Strahl durch den Punkt B. (rot) (Bild 5)

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Wir tragen den Drehwinkel ∡ab an den Strahl in S an:

Dazu zeichnen wir am gegeben Winkel einen Kreisbogen mit einem beliebigen Radius r um den Scheitelpunkt des Winkels einen Kreisbogen. (rot) (Bild 6)

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Dann zeichnen wir mit dem gleichen Radius r einen Kreisbogen um den Punkt S. (magenta) (Bild 7).

Der Punkt S ist der Scheitelpunkt unserer Drehung.

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Am vorgegeben Winkel tragen wir die Länge des Kreisbogens mit einem Zirkel ab. (Das ist der Abstand zwischen dem roten und dem grünen Punkt am Drehwinkel ∡ab.)

Diese abgetragene Strecke (grüner bis roter Punkt) übertragen wir mit dem Zirkel auf den Kreisbogen um den Punkt S (güner und roter Punkt auf dem magenta Kreisbogen). Die Strecke muss zwi mal auf dem magenta Kreisbogen abgetragen werden: zum einen vom Strahl

{\overline {SA}}

aus und zum anderen vom Strahl

{\overline {SB}}

aus. (Bild 8)

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Durch die beiden, so gefundenen grünen Punkte, zeichnen wir von S aus jeweils einen Strahl. (grün) (Bild 9)

Somit haben wir den Drehwinkel ∡ab an den Strahl in S angetragen.

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Mit dem Radius

{\overline {SA}}

zeichnen wir einen Kreis um S. Wir erhalten den Punkt A' als Schnittpunkt dieses Kreises um S mit dem Bild des Strahls SA.

Das gleiche wiederholen wir nun für den Punkt B (blauer Kreisbogen). (Bild 10)

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Die so erhaltenen Punkte A' und B' verbinden wir nun.

{\overline {A'B'}}

ist das Bild der Strecke

{\overline {AB}}

BM911 - BM920

BM911

Drehung eines Dreiecks

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Ein Dreieck ist durch seine drei Eckpunkte bestimmt. Um das Bild eines Dreiecks bei einer Drehung zu erhalten, brauchen wir nur das Bild dieser drei Ecken zu konstruieren.

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Gegeben ist ein Dreieick

\triangle

ABC und der Punks S, um den das Dreieck gedreht werden soll. (Bild 1)

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Ebenso ist der Winkel ∡ab gegeben, um den das Dreieck um den Punkt S gedreht werden soll. (Bild 2)

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Für die Drehung können wird das Dreieck als drei einzelne Strecken betrachten (Bild 4), die genau so gedreht werden, wie in Übung BM909 („Drehung einer Strecke“). Wir können das Dreieck auch als drei einzelne Punkte betrachten (Bild 5), die wir um S drehen, umd zum Schluss zu einem Dreick verbinden.

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Konstruktionsbeschreibung:

Wir zeichnen von S aus Strahlen durch die Punkte A, B und C (rot).

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Wir tragen an den drei Strahlen den Drehwinkel ∡ab an:

Dazu schlagen wir an dem gegebenen Drehwinkel ∡ab einen Kreisbogen um den Scheitel, mit einem beliebigen Radius r (rot).

Mit dem gleichen Radius r schlagen wir einen Kreisbogen um den Punkt S (magenta). (Bild 7)

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Die Entfernung zwischen dem roten und dem grünen Punkt am Kreisbogen am Winkel ∡ab (Schnittpunkte des Kreisbogens mit den Schenkeln des Winkels) wird mit dem Zirkel abgetragen.

Diese Entfernung wird dann am Kreisbogen (magenta) angetragen - jeweils vom Schnittpunkt des roten Strahls mit dem magenta Kreisbogen - im positiven Drehsinn (also nach links). Dadurch erhält man drei zusätzliche Schnittpunkte (grün) auf dem magenta Kreisbogen. (Bild 8)

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Durch die drei ermittelten grünen Punkte auf dem magente Kreisbogen wird jeweils ein Strahl von Punkt S aus gezeichnet (grün). (Bild 9)

Somit wurde der Drehwinkel ∡ab an die Strahlen SA, SB und SC in S angetragen.

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Mit dem Radius

{\overline {SA}}

zeichnen wir einen Kreisbogen um S (blau).

Ebenso zeichen wir mit dem Radius

{\overline {SB}}

bzw.

{\overline {SCB}}

jeweils einen Kreisbogen um S (blau). (Bild 10)

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Der grünen Strahlen sind das Bild der Strahlen SA, SB und SC.

Die Schnittpunkte der blauen Kreisbögen mit dem grünen Strahl ergeben die Punkte A', B' und C'.

Punkt A' ist der Schnittpunkt des Kreises um S mit dem Bild des Strahls SA.

\triangle

A'B'C' ist das Bild des Dreiecks ABC nach der Drehung um den Drehwinkel ∡ab. (Bild 11)

BM912

Nacheinanderausführung von Drehungen

(= Drehungen nacheinander ausführen)

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Bild 1: Gegeben ist erstens die Strecke

{\overline {AB}}

, zweitens der Punkt S, um den die Strecke gedreht werden soll, drittens der Drehwinkel ∡ab (mit negativem Drehsinn) und viertens der Drehwinkel ∡bc.

Es soll das Bild der Strecke

{\overline {AB}}

bei einer Drehung um die Drehwinkel ∡ab und ∡bc um den Punkt S konstruiert werden.

Wir führen zuerst die Drehung um den Drehwinkel ∡ab aus und erhalten dabei die Strecke

{\overline {A_{1}B_{1}}}

. Dann führen wir die Drehung um den Drehwinkel ∡bc aus und erhalten die Strecke

{\overline {A_{2}B_{2}}}

.

Wir sagen: „Die Drehungén werden nacheinander ausgeführt.“

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Bild 2a und 2b: Die Drehungen um die beiden gegebenen Drehwinkel sollen nacheinander ausgeführt werden.

Dazu können wir auch die beiden Drehwinkel ∡ab und Drehwinkel ∡bc aneinanderlegen.

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Bild 3a und 3b: Wir markieren auf der Geraden c einen beliebigen Punkt, der möglichst weit weg vom Scheitelpunkt des Drehwinkels ist (grün). Um den Scheitelpunkt des Drehwinkels schlagen wir dann einen Kreisbogen mit dem Radius r, der durch den gewählten roten Punkt geht. Dabei erhalten wir Schnittpunkte des Kreisbogens mit den Geraden a und b (hellgrüner und roter Punkt).

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Bild 4: Mit dem gleichen Radius r schlagen wir einen Kreisbogen um S (magenta).

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Bild 5: Wir zeichnen jeweils von S aus zwei Strahlen durch die Punkte A bzw. B (rot) und erhalten so zwei Schnittpunkte mit dem magenta Kreisbogen.

Nun tragen wir die Entfernung zwischen dem roten und dem hellgrünen Punkt am Kreisbogen am Winkel ∡ab (Schnittpunkte des Kreisbogens mit den Schenkeln des Winkels mit dem Zirkel ab.

Diese Entfernung wird dann am Kreisbogen (magenta) angetragen - jeweils vom Schnittpunkt des roten Strahls mit dem magenta Kreisbogen - im negativen Drehsinn (also nach rechts). Dadurch erhält man zwei zusätzliche Schnittpunkte (hellgrün) auf dem magenta Kreisbogen.

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Bild 6: Durch die beiden hellgrünen Punkte zeichnen wir jeweils einen Strahl von S aus (hellgrün).

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Bild 7: Mit dem Radius

{\overline {SA}}

zeichnen wir einen Kreisbogen um S (hellblau).

Ebenso zeichen wir mit dem Radius

{\overline {SB}}

einen Kreisbogen um S (hellblau).

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Bild 8: Den Schnittpunkt der hellblauen Kreisbögen mit den hellgrünen Strahlen ergibt die Bildpunkte A₁ und B₁.

Die Strecke

{\overline {A_{1}B_{1}}}

ist das Bild der Strecke

{\overline {AB}}

nach der Drehumg um den Punkt S mit dem Winkel ∡ab.

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Bild 9: Anschließend wird die Strecke

{\overline {A_{1}B_{1}}}

mit dem Drehwinkel ∡bc um den Punkt S gedreht. Dazu wird der Winkel ∡bc auf dem magenta Kreisbogen abgetragen (vom hellgrünen Punkt zum grünen Punkt auf dem magenta Kreisbogen). Durch den grünen Punkt wird dann eine Sehe von S ausgehend gezeichnet.

Dann wird ein Kreisbogen mit dem Radius

{\overline {SA_{1}}}

bzw.

{\overline {SB_{1}}}

gezeichnet (dunkelblau).

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Bild 10: Die Schnittpunkte des blauen Kreisbogens mit dem grünen Strahl ergeben die Punkte A₂ und B₂. Die Verbindung dieser Punkte ergibt die Strecke

{\overline {A_{2}B_{2}}}

.

Die Strecke

{\overline {A_{2}B_{2}}}

ist das Bild der Strecke

{\overline {AB}}

nach der Nacheinanderausführung der Drehung um S mit den Drehwinkeln ∡ab und ∡bc.

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Bild 11: Das Ergebnis der Nacheinanderausführung zweier Drehungen um denselben Punkt ist eine einzige Drehung.

Wir können die Konstruktion auch kürzer ausführen. Dazu tragen wir den Winkel ∡ab an den Winkel ∡bc an und führen die Drehung mit dem Winkel ∡ac aus. Wir erhalten sofort die Bildstrecke

{\overline {A_{2}B_{2}}}

.

In Bild 11 wurde also der Zwischenschritt über die Strecke

{\overline {A_{1}B_{1}}}

weggelassen. Es erfolgte also nur eine einzige Drehung um den Drehwinkel ∡ac. Das Ergebnis ist das gleiche, wie eine Drehung um ∡ab und ∡bc.

BM913

Kongruenz

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kongruent = identisch

In der Geometrie sind zwei Figuren kongruent (deckungsgleich oder gleichförmig) (von lat. congruens = übereinstimmend), wenn sie durch eine Kongruenzabbildung ineinander überführt werden können.

Kongruenzabbildungen (auch Bewegungen genannt) sind Parallelverschiebung, Drehung, Spiegelung und die Verknüpfungen dieser Abbildungen.

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Kongruenz

Die ersten beiden Figuren im Bild links sind kongruent. Die dritte hat zwar die gleiche Form, ist aber kleiner. Sie ist daher ähnlich der ersten und zweiten Figur, aber nicht kongruent. Die letzte Figur hat nicht die gleiche Form, und ist somit weder ähnlich noch kongruent zu den T-förmigen Figuren.

BM914

Markierung eines rechten Winkels mit einem Viertel-Kreisbogen und einem Punkt (im deutschen Sprachraum)

Rechter Winkel

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Ein rechter Winkel, kurz auch Rechter, ist ein Winkel von 90° und damit der vierte Teil eines Vollwinkels zu 360°. Zwei Geraden oder Strecken, die sich in einem rechten Winkel schneiden oder berühren, werden als rechtwinklig, senkrecht oder orthogonal bezeichnet. Rechte Winkel treten in vielen geometrischen Figuren und Konstruktionen auf und werden in Zeichnungen durch einen kleinen Viertelkreis mit Punkt oder durch ein kleines Quadrat gekennzeichnet. Der rechte Winkel war neben dem Vollwinkel zeitweise eine gesetzliche Einheit in Deutschland und in der Schweiz.

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Definition: Ein rechter Winkel ist ein Winkel, der kongruent zu seinem Nebenwinkel ist.

„Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, einander gleiche Nebenwinkel bildet, dann ist jeder der gleichen Nebenwinkel ein Rechter.“ (Euklid: Die Elemente)

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Das Adjektiv „recht“ in „rechter Winkel“ meint hierbei nicht rechts, sondern recht im Sinne von aufrecht (lat. rectus). Alternativ dazu wird spätestens seit dem 16. Jahrhundert ein rechter Winkel auch als ein Winkel, zu dem ein Viertelkreis gehört, definiert. Beide Definitionen sind zueinander äquivalent, denn zwei Nebenwinkel ergeben zusammen einen gestreckten Winkel, dem ein Halbkreis entspricht.

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Nebenwinkel

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Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.

Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man ein Paar benachbarter Winkel als Nebenwinkel.

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In einem Rechteck sind alle Winkel *rechte Winkel*.

Zwei benachbarte Seiten eines Rechtecks stehen senkrecht aufeinander.

In einem Rechteck sind alle Winkel rechte Winkel, wie es der Name bereits sagt.

4 * 90° = 360°

Die Winkelsumme im Rechteck beträgt 360°.

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Zwei benachbarte Kanten eines Quaders stehen senkrecht aufeinander.

BM915

zwei rechte Winkel ergeben eine gestreckten Winkel; 180° = 90° + 90°

Gestreckter Winkel

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Ein gestreckter Winkel = 180°.

Ein gestreckter Winkel =

{\tfrac {1}{2}}

Vollwinkel.

Wir erzeugen das Bild eiens Strahls a bei eienr Drehung um seinen Anfangspunkt S. Dabei sollen der Strahl a und das Bild des Strahls a (Strahl b) zusammen eine Gerade bilden.

Strahl a und Strahl b haben dann die gleiche Richtung, aber einen entgegengesetzten Richtungssinn.

Strahl a und Strahl b bilden zusammen einen gestreckten Winkel.

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Ein gestreckter Winkel ist ein Winkel, dessen Schenkel auf einer Geraden liegen und entgegengesetzten Richtungssinn haben.

Alle gestreckten Winkel sind gleich groß.

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Ein gestreckter Winkel lässt sich in zwei gleich große Winkel zerlegen. Jeder dieser Winkel heißt rechter Winkel.

Bilden zwei Strahle einen rechten Winkel, so sagen wir auch: „Die Strahlen stehen senkrecht aufeinander.“

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Alle Winkel, die kleiner als ein rechter Winskel sind, heißen spitzer Winkel.

Alle Winkel, die größer als ein rechter Winnkel, aber kleiner als ein gestreckter Winkel sind, heißen stumpfer Winkel.

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Vollwinkel

Ein voller Winkel, Vollwinkel (Vollkreis) = 360° (eine ganze Drehung; eine volle Drehung)

Vollwinkel ist eine Bezeichnung für den 360°-Winkel und eine Maßeinheit für die physikalische Größe ebener Winkel. Wenn ein Radialstrahl 360° um sein Zentrum gedreht wird, macht seine Spitze eine ganze – oder volle – Kreisbewegung.

BM916

Konstruktion eines rechten Winkels

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Hilfsmittel zum Zeichnen von rechtwinkligen Linien sind beispielsweise in der Schule ein mathematisches Papier oder ein Geodreieck.

Beim technischen Zeichnen am Reißbrett wird ein Zeichenkopf mit Zeichenschienen eingesetzt. Im metall- und holzverarbeitenden Handwerk wird zur Abmessung rechter Winkel ein Winkelmaß oder eine Lehre verwendet.

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Zur Konstruktion rechter Winkel über längere Distanzen hinweg wurden im Laufe der Zeit verschiedene mechanische Hilfsmittel entwickelt. In der Baukunst des alten Ägyptens und des Mittelalters wurden hierfür Rechenseile, beispielsweise eine Zwölfknotenschnur, eingesetzt. In der Geodäsie kommt bei Katastervermessungen mit dem Orthogonalverfahren ein Winkelprisma oder ein Theodolit zum Einsatz. Heute sind diese Geräte weitgehend durch elektro-optische Entfernungsmesser, wie beispielsweise Tachymeter, abgelöst worden.

BM917

Konstruktion eines rechten Winkels

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Bild 2 zeigt die für Bild 1 beschriebenen Konstruktionsschritte nochmals als Animation

Bild 1: Gegeben ist die Gerade AB, die von links oben nach rechts unten verläuft. Witerhin ist der Punkt G gegeben (oben, Mitte).

Es soll eine Senkrecht auf der Geraden AB konstruiert werden, die durch den Punkt G geht.

Konstruktionsbeschreibung:

Es wird ein Kreis mit einem möglichst großen, beliebig großen Radius mit dem Mittelpunkt in G gezeichnet. Der Radisu muss mindestens so groß sein, dass der Kreis die Gerade AB in zwei Punkten schneidet.

Die beiden Schnittpunkte des Kreises (Kreis 1) mit der Geraden AB dienen als Mittelpunkt für zwei weitere zu zeichnende Kreise (Kreis 2 und 3). Die Kreise 2 und 3 werden mit dem gleichen Durchmesser, wie Kreis 1 gezeichnet. Allerdings müssen die Kreise 2 und 3 nicht zwingend den gleichen Durchmesser wie Kreis 1 haben. Jedoch müssen die Kreise 2 und 3 beiden den gleichen Radius haben.

Die Kreis 2 und 3 schneiden sich in zwei Punkten. Diese beiden Schnittpunkte werden durch eine Gerade miteinander verbunden. Die Gerade wird evtl. so verlängert, dass sie durch Punkt G geht.

Diese Gerade (im Beispiel-Bild: von rechts oben nach links unten) ist die Senkrechte auf der Geraden AB, die durch den Punkt G geht.

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Bild 3 zeigt die gleichen Konstruktionsschritte, wie für Bild 1 beschrieben, allerdings sind die Kreise nicht vollständig gezeichnet, sondern nur als mehr oder weniger kurze Kreisbögen.

Auch hier ist eine Gerade gegeben (im Bild: horizontal) und ein Punkt C. Zuerst wird ein Kreisbogen um C geschlagen, der die horizontale Gerade in zwei Punkten schneidet. Diese Schnittpunkte wurden als B und A beschriftet. Mit dem gleichen Radius wurden zwei ganz kurzer Kreisbögen mit dem Mittelpunkt B gezeichnet: der erste kurze Kreisbogen durch den Punkt C und der zweite kurze Kreisbogen am unteren Bildrand. Mit dem gleichen Radius wurden zwei ganz kurzer Kreisbögen mit dem Mittelpunkt A gezeichnet, so dass sich zwei Schnittpunkte mit den Kreisbögen mit den Kreisbögen um B ergeben.

Die beiden Schnittpunkte der Kreisbögen werden durch eine Linie verbunden (rot). Das ist die konstruierte Senkrechte auf der horizontalen Geraden.

BM918

Halbierung einer Strecke

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Die Halbierung einer Strecke erfolgt im Prinzip wie die Konstruktion eines rechten Winkels, wie in der Übung BM917 („Konstruktion eines rechten Winkels“) beschrieben.

Gegeben ist die Strecke

{\overline {AB}}

.

Zuerst wird ein Halbkreis um den Punkt A gezeichnet, mit dem Mittelpunkt A.

Mit dem gleichen Radius wird ein Halbkreis (Kreisbogen) um den Punkt B gezeichnet.

Durch diese beiden Halbkreise ergeben sich die Schnittpunkte C und D.

Die Verbindung der Punkte C und ist ist die neu konstruierte Halbierende der Strecke

{\overline {AB}}

.

BM919

Konstruktion des 90-Grad-Winkels (rechten Winkels)

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Man konstruiert genauer gesagt die Senkrechte zu einer bereits gegebenen Strecke

s

.

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Konstruktion (für vorgegebenen Schnittpunkt P auf s):

Zeichne eine auf der Strecke

s

liegende Gerade

g

. (Falls

s

groß genug für die folgende Konstruktion ist, ist eine Erweiterung zu einer Geraden nicht nötig.) Zeichne einen Kreis um

P

mit beliebigem Radius. Dieser Kreis schneidet

g

in zwei Punkten. Zeichne um diese beiden Punkte jeweils einen Kreis. Die Radien der beiden Kreise müssen so gewählt sein, dass sich die Kreise in zwei Punkten schneiden. Verbinde die beiden Schnittpunkte dieser Kreise durch eine Gerade. Die so gezeichnete Gerade schneidet

g

im rechten Winkel und zwar genau im Punkt

P

.

---

Konstruktion (ohne vorgegebenen Schnittpunkt):

Zeichne eine auf der Strecke

s

liegende Gerade

g

. (Falls

s

groß genug für die folgende Konstruktion ist, ist eine Erweiterung zu einer Geraden nicht nötig.) Wähle zwei Punkte

M_{1}

und

M_{2}

auf der Geraden, und zu diesen zwei Punkten zwei Kreisradien groß genug, dass die entsprechenden Kreise um

M_{1}

und

M_{2}

sich in zwei Punkten – im Weiteren

S_{1}

und

S_{2}

genannt – schneiden. Zeichne diese beiden Kreise (sie müssen nur soweit gezeichnet werden, dass die beiden Schnittpunkte erkennbar werden). Zeichne die durch die beiden Schnittpunkte

S_{1}

und

S_{2}

gehende Gerade. Diese Gerade wird die Gerade

g

senkrecht schneiden.

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Ratschlag:

Man braucht die Kreise nicht ganz zu schlagen; es reicht, für jeden Kreis entweder einen durchgehenden Bogenabschnitt zu ziehen, der beide Schnittpunkte enthält, oder auch nur zwei kleinere Bogenabschnitte, die jeweils einen der Schnittpunkte enthalten.

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Faustregel fürs Zeichnen:

Prinzipiell wird der rechte Winkel umso genauer, je größer der Abstand der beiden Schnittpunkte voneinander ist. Denn mit größerem Abstand werden die Auswirkungen von solchen Fehlern kleiner, die dadurch entstehen, dass die neugezeichnete Gerade oder auch schon die gezeichneten Schnittpunkte nicht genau mit den idealen Schnittpunkten übereinstimmen. Also kann man die Genauigkeit des rechten Winkels oder des Zusammentreffens mit dem Punkt P zunächst verbessern, indem man die Kreisradien vergrößert.

Jedoch andererseits wird die genaue Erkennbarkeit der Schnittpunkte immer geringer, je flacher sich die Kreise schneiden, was umso mehr der Fall ist, je weiter die Kreisradien von einem Idealradius entfernt sind, bei dem sich die Kreise senkrecht schneiden (d. h. die Tangenten in den Schnittpunkten schneiden sich senkrecht) und der sich aus dem Abstand der beiden Kreismittelpunkte ergibt. Also muss man, soweit möglich, neben den Kreisradien auch den Abstand der Kreismittelpunkte voneinander variieren, so dass sich die Kreise möglichst senkrecht schneiden.

BM920

Zur Konstruktion einer Senkrechten durch einen gegebenen Punkt P sind nicht unbedingt drei Kreise erforderlich, wie in Bild 1.

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Es genügen auch zwei Kreise. Aber um eine Senkrechte durch einen vorgegebenen Punkt P zu errichten, müssen die Kreis durch den vorgegebenen Punkt gehen. Die gestrichelte Linie deutet an, dass ein beliebiger Radius genommen werden kann und dann der Zirkel so angesetzt wird, dass die Zeichenspitze auf dem gegebenen Punkt P liegt und die Zirklespitze auf der gegebenen Geraden. (Bild 2)

Das genaue Vorgehen ist schon in Übung BM919 beschreiben worden.

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Es ist nicht einmal notwendig, dass die beiden zur Konstruktion verwendeten Kreise den gleichen Radius haben. So lange der Mittelpunkt der Kreise auf der Geraden g liegt und der Kreis durch den vorgegebenen Punkt P geht, wie durch die gestrichtelten Linien angedeutet wird.

BM921 - BM930

BM921

Zusammenfassung

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Ist der Strahl b das Bild eines Strahls a bei einer Drehung um seinen Anfangspunkt S, dann bilden beide Strahlen den Winkel ∡ab.

Es gibt spitze Winkel, rechte Winkel, stumpfe Winkel, gestreckte Winnkel.

Ein spitzer Winkel ist kleiner als ein rechter Winkel.

Ein stumpfer Winkel ist kleiner als ein rechter Winkel.

Ein stumpfer Winkel ist größer als ein rechter Winkel, aber kleiner als ein gestreckter Winkel.

Strahlen, die einen rechten Winkel bilden, stehen senkrecht aufeinander, Strahlen, die einen gestreckten Winkel bilden, liegen auf einer Geraden und haben einen entgegengesetzten Richtungssinn.

BM922

Spiegelungen

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Punkte und Figuren einer Eben, die sich beim Umklappen um eine Gerade decken, liegen symmetrisch zu dieser Geraden. Diese Gerade heiße Symmetrieachse.

Spiegel

spiegeln

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Spiegelung

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Spiegelungen sind in der Geometrie bestimmte Kongruenzabbildungen in der Zeichenebene.

Achsenspiegelung

Eine Achsenspiegelung (auch Geradenspiegelung) ist durch eine Gerade a (Spiegelachse oder kurz Achse) gegeben. Sie ordnet jedem Punkt P einen Bildpunkt P' zu, der dadurch bestimmt ist, dass die Verbindungsstrecke [PP'] von der Achse a rechtwinklig halbiert wird.

Die Achsenspiegelung ist eine Kongruenzabbildung.

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In der Ebene ist zu beachten, dass durch eine Achsenspiegelung die Orientierung (der Umlaufsinn) eines Dreiecks geändert wird. Sie ist hier also keine eigentliche „Bewegung“, das heißt, sie kann nicht durch eine physikalische Bewegung verwirklicht werden, ohne dass das Objekt die Ebene verlässt.

BM923

Punktsymmetrie

Punktspiegelung

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Die Punktsymmetrie, auch Zentralsymmetrie, ist in der Geometrie eine Eigenschaft einer Figur. Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie durch die Spiegelung an einem Symmetriepunkt auf sich selbst abgebildet wird.

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Punktspiegelung als Drehung

In der Ebene (zweidimensionaler Raum) entspricht die Punktspiegelung einer Drehung der geometrischen Figur um 180°. Hier ist die Punktsymmetrie ein Spezialfall der Drehsymmetrie.

Jeder Kreis ist (in sich) punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts.

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Es handelt sich um eine Abbildung, die durch einen Punkt Z (Spiegelpunkt, Zentrum) gegeben ist. Die Spiegelung am Punkt Z ordnet jedem Punkt P der Zeichenebene oder des Raumes einen Bildpunkt P' zu, der dadurch bestimmt ist, dass die Verbindungsstrecke [PP'] vom Punkt Z halbiert wird.

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Eine Punktspiegelung hat genau einen Fixpunkt (das heißt einen Punkt, den die Abbildung unverändert lässt), nämlich das Zentrum Z. Fixgeraden (also die Geraden, die die Abbildung in sich selbst überführt) sind genau die Geraden durch Z. Eine beliebige Gerade g wird auf eine zu g parallele Gerade (Bildgerade) g' abgebildet.

In der Ebene ist die Punktspiegelung am Zentrum Z gleichbedeutend mit einer Drehung um 180° um das Drehzentrum Z.

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Jede ebene Punktspiegelung lässt sich ersetzen durch zwei hintereinander ausgeführte Achsenspiegelungen, wobei die Achsen dieser Spiegelungen durch das Zentrum Z gehen und zueinander senkrecht sind. Die Reihenfolge dieser Spiegelungen ist daher beliebig.

BM924

Bild 1: Achsenspiegelung:

Das Rechteck A, B, C und D wird an einer Geraden (Achse der Spiegelung) gespiegelt.

Die Punkte A und A', B und B', C und C' sowie D und D' liegen bezüglich der Symmetrieachse symmetrisch zueinander.

Sie sind durch die Spiegelung an der Symmetrieachse entstanden.

Die Punkte A, B, C und D sind Originalpunkte, und die Punkte A', B', C' und D' sind Bildpunkte.

Originalpunkte und Bildpunkte sind einander zugeordnet.

Die Punkte A und A', B und B', C und C' sowie D und D' sind einander entsprechende Punkte bei dieser Spiegelung.

Wir können das Blatt mit dieser Zeichnung so zusammenfalten, dass A auf A', B auf B' usw. fällt.

Umgekehrt fällt aber auch A' auf A, B' auf B, C' auf C sowie D' auf D.

Die Verbindungslinien zwischen Originalpunkt und Bildpunkt stehen senkrecht auf der Symmetrieachse.

Der Abstand von Originalpunkt bzw. Bildpunkt zur Symmetrieachse ist gleich.

---

Bild 2: Spiegelung eines Kreises an seinem Durchmesser.

---

Bild 3: Spiegelung eines Quadrats an seiner Diagonalen.

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Spiegelung eines Rechtecks an der Geraden

{\overline {EF}}

---

Es gibt Figuren, die sich durch eine Gerade in zwei symmetrische Teilfiguren zerlegen lassen. Solche Figuren heißen axialsymmetrische Figuren, und die Gerade ist die Symmetrieachse.

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a) Wie viel Symmetrieachsen besitzt ein Kreis?

b) Wie viel Symmetrieachsen hat eine Strecke?

c) Wie viel Symmetrieachsen hat ein Quadrat?

d) Wie viel Symmetrieachsen hat ein Rechteck?

Lösung BM924
a) Wie viel Symmetrieachsen besitzt ein Kreis? - undenlich viele (alle Durchmesser) b) Wie viel Symmetrieachsen hat eine Strecke? - genau eine (die Senkrechte, die diese Streck halbiert) c) Wie viel Symmetrieachsen hat ein Quadrat? - 4 (zwei Diagonalen und eine Horizontale und eine Vertikale) d) Wie viel Symmetrieachsen hat ein Rechteck? - 2 (eine Horizontale und eine Vertikale)

BM925

Zusammenfassung:

Durch Spiegelung an eienr Geraden können wir einer Figur (dem Original) das Spiegelbild dieser Figur zuordnen.

Original und Spiegelbild liegen bezüglich der Symmetrieachse symmetrisch zueinander.

Entsprechende Strecken sind gleich lang, und entsprechende Winkel sind gleich groß. Entsprechende Punkte haben gleichen Abstand von der Symmetrieachse.

Figuren, die sich durch eine Symmetrieachse in zwei symmetrische Teilfiguren zerlegen lassen, sind axialsymmetrisch.

BM926

Konstruieren von Spiegelbildern:

Gegeben sind der Punkt P und die Symmetreiachse g. Es soll der zu P bezüglich g symmetrisch gelegene Punkt P' konstruiert werden.

---

Konstruktionsbeschreibung:

Wir zeichnen mit Hilfe des Zeichendreiecks die Senkrechte zu g durch P (das wurde bereits in Übung BM917 beschrieben) und erhalten auf g den Schnittpunkt S. Dann tragen wir die Strecke

{\overline {SP}}

von S aus auf der Senkrechten zu g mit dem Zirkel ab und erhalten P'.

P' ist der zu P bezüglich der Symmetrieachse g symmetrisch gelegene Punkt, denn P und P' sind einander entsprechende Punkte

Lösung BM926
gegeben: Punkt P und Symmetrieachse g Konstruieren des Spiegelbildes eines Punktes

BM927

Spiegelung eines Fünfecks

---

Gegeben sind das Fünfeck ABCDE und die Gerade s.

Es soll die zu ABCDE bezüglilche s symmetrisch gelegene Figur A'B'C'D'E' konstruiert werden.

---

Konstruktionsbeschreibung:

Wir zeichnen durch A, B, C, D, E Senkrechten zu s und erhalten auf s die Schnittpunke A_s, B_s, C_s, D_s, E_s.

Von diesen Punkten aus tragen wir auf den Senkrechten zu s die Strecken

{\overline {A_{s}A}}

,

{\overline {B_{s}B}}

,

{\overline {C_{s}C}}

,

{\overline {D_{s}D}}

und

{\overline {E_{s}E}}

ab und erhalten A', B', C', D' und E'.

A', B', C', D' und E' ist das Bild von ABCDE.

BM928

Konstruieren der Symmetrieachse zu zwei Punkten

---

Konstruiere zu zwei gegebenen Punkten A und A' (Bild 1) die Symmetrieachse!

Erkläre, wie du bei der Konstruktion vorgehst!

Lösung BM928
Bild 2 Um zu zwei gegebenen Punkten die Symmetrieachse zu konstruieren, müssen wir zwei weitere Punkte konstruieren, die die Symmetrieachse festlegen. Diese Punkte müssen von den zueinander symmetrisch gelegenen Punkten jeweils den gleichen Abstand haben. --- Gegeben seinen die Punkte A und A'. Gesucht ist die Symmetrieachse zu A und A'. --- Konstruktionsbeschreibung: Wir konstruieren zuerst die „Hilfspunkte“ P und Q. Dazu zeichnen wir um A und A' Kreise mit gleichen Radien. Der Radius muss größer sein als die halbe Strecke ${\overline {AA'}}$ Die Schnittpunkte beider Kreise sind die gesuchten „Hilfspunkte“ P und Q. Die Gerade PQ ist die Symmetrieachse zu den Punkten A und A', den A und A' sind einander entsprechende Punkte.

BM929

Spiegeln eines Strahls

---

gegeben sind eine Gerade g und ein Strahl h, dessen Anfangspunkt auf der Geraden g lliegt (Bild 1).

Es soll das Bild des Strahls h bei der Spiegelung an der Geraden g konstruiert werden.

Lösung BM928
Spiegeln eines Strahls Konstruktionsbeschreibung: Wir legen auf h einen beliebigen Punkt P fest und konstruieren den zu P bezüglliche g symmetrisch gelegenen Punkt P'. Der Strahl h' ist das Bild des Strahls h bei der Spiegelung an g.

BM930

Hintereinanderausführung von Spiegelungen

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Wir können mehrere Verschiebungen und Drehungen hintereinander ausführen.

Für Spiegelungen gilt das gleiche.

Bild 1 zeigt die Hintereinanderausführung von Spiegelungen des Dreiecks ABC an zwei zueinander parallelen Geraden g und h.

Wir konstruieren vom Original 1 das Bild 2 bezüglich g.

Dann betrachten wir 2 als Original und konstruieren dazu das Bild 3 bezüglilch h

---

Bild 2 zeigt die Hintereinanderausführung von Spiegelungen an drei zueinander parallelen Geraden g, h und k.

Das Original 1 und das Bild 3 sind identisch.

Das Bild 2 und das Bild 4 sind identisch.

Das Original 1 und das Bild 4 sind achsensymmetrisch zueinander.

BM931 - BM940

BM931

Bild 1 zeigt die Hintereinanderausführung von Spiegelungen an zwei zueinander senkrechten Geraden g und h.

Wir konstruieren wieder zum Original 1 das Bild 2 bzüglich g, dann von 2 das Bild 3 bezüglich h.

Das Bild 2 liegt nach diesen beiden Spiegelungen wie nach einer Drehung um einen halben Kreis (180°) gedreht um den Kreuzungspunkt der beiden Spiegelachsen, wenn man es mit dem Original vergleicht.

---

Bild 2 zeigt die Hintereinanderausführung von Spiegelungen an zwei beliebigen Geraden g und h.

Der Vergleich zwischen Original 1 und Bild 2 zeigt, dass das gleiche Ergebnis durch eine Drehung um den Schnittpunkt der beiden Spiegelachsen zu erreichen wäre.

Eine Drehung erzielt das geliche Ergebnis, wie eine zweifache Spiegelung.

BM932

Gegeben ist die Strecke

{\overline {AB}}

und der Punkt S.

Die Strecke

{\overline {AB}}

soll um den Punkt S gedreht werden.

Als Drehwinkel soll der gestreckte Winkel benutzt werden.

Lösung BM932
1. Möglichkeit: Bild 2 Bild 3 Wir zeichnen zwei zueinandner senkrechte Geraden als Spiegelachse (Bild 2) und spiegeln daran die gegebenen Strecke ${\overline {AB}}$ (1) zwei mal, so dass wir 3 erhalten (Bild 3). --- 2. Möglichkeit: Bild 4 Wir drehen die Strecke ${\overline {AB}}$ mit dem Winkel von 180° (gestreckter Winkel). (Bild 4). Bild 5 Konstruktionsbeschreibung: Wir zeichnen von den Punkten A und B Geraden durch den Punkt S. (Bild 5) Bild 6 Wir messen die Strecke ${\overline {AS}}$ mit dem Zirkel ab. Wir greifen die Strecke ${\overline {AS}}$ mit dem Zirkel ab und konstruieren so die Länge der Strecke ${\overline {SA'}}$ . Genauso verfahren wir mit der Strecke ${\overline {BS}}$ , deren Länge wir auf die Strecke ${\overline {SB'}}$ übertragen. Wir tragen die Strecke ${\overline {BS}}$ auf der Strecke ${\overline {SB'}}$ ab. Bild 7 Das Ergebnis der in Bild 6 beschriebenen Punktspiegelung ist identisch mit einer Drehung um 180°.

BM933

Umkreis

---

In der ebenen Geometrie ist ein Umkreis ein Kreis, der durch alle Eckpunkte eines Polygons (Vielecks) geht.

Nicht für jedes Polygon existiert ein solcher Umkreis.

Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis.

Während beim Dreieck stets ein Umkreis existiert, trifft dies bei Vielecken (Polygonen) mit mehr als drei Ecken nur in besonderen Fällen zu.

Überträgt man die Definition des Umkreises auf den (dreidimensionalen) Raum, so erhält man den Begriff der Umkugel, also einer Kugel, auf der alle Eckpunkte eines gegebenen Polyeders (Vielflächners) liegen.

Inkreis

---

Der Inkreis eines Vielecks ist ein Kreis, der alle Seiten dieses Vielecks berührt.

Der Inkreis eines Polygons (Vielecks) ist der Kreis, der alle Seiten des Polygons in ihrem Inneren berührt (das heißt, er berührt die Strecken zwischen den Eckpunkten und nicht ihre Verlängerungen). Er ist gleichzeitig der größte Kreis, der vollständig in dem gegebenen Polygon liegt.

Jedes Dreieck besitzt einen Inkreis. Der Inkreis berührt alle drei Seiten von innen

Während bei Dreiecken stets ein Inkreis existiert, trifft dies bei Vielecken (Polygonen) mit mehr als drei Ecken nur in Sonderfällen zu.

Regelmäßige Polygone haben – unabhängig von der Zahl der Ecken – stets einen Inkreis.

---

Bild 4: Dreieck mit Umkreis, Inkreis und Ankreis

BM934

eingeschriebener Kreis = Inkreis

Wenn zuerst ein Kreis gegeben ist, in den z.B. ein Quadrat konstruiert werden soll, so spricht man von einem eingeschriebenem Quadrat.

Wenn zuerst die äußere Figur gegeben ist und danach die innere Figur konstruiert werden soll, so nennt man diese innere Figur auch eingeschrieben.

Bild 1: Dreieck mit eingeschreibenem Kreis; Quadrat mit eingeschriebenem Kreis; Sechseck mit eingeschriebenem Kreis; Achteck mit eingeschriebenem Kreis.

---

Bild 2:Kreis mit eingeschriebenem Sechseck. (Der Kreis war zuerst gegeben. In diesen Kreis wurde das Sechseck konstruiert.

BM935

BM936

Konstruktion eines eingeschriebenen Quadrats

---

Gegeben ist ein Kreis.

Konstruiere ein eingeschriebenes Quadrat in diesen Kreis!

Beschreibe die Konstruktionsschritte!

Lösung BM936
Bild 2 Man zeichnet zwei Durchmesser in den Kreis, die zueinander rechtwinklig sind. --- Bild 3 Dann werden die Schnittpunkte der Durchmesser mit dem Kreis miteinander verbunden.

BM937

Beschreibe die in der Animation dargestellte Konstruktion!

Die Konstruktionsschritte in Bild 1 und 2 unterscheiden sich etwas.

Beschreibe die Konstruktionsschritte für Bild 1 und Bild 2 getrennt!

Bild 3 zeigt die Konstruktionsschritte aus Bild 1, aber ohne Animation.

BM938

Beschreibe die in der Animation dargestellte Konstruktion!

BM939

Beschreibe die in der Animation dargestellte Konstruktion!

Die Konstruktionsschritte in Bild 1 und 2 unterscheiden sich.

Beschreibe die Konstruktionsschritte für Bild 1 und Bild 2 getrennt!

BM940

Beschreibe die in der Animation dargestellte Konstruktion!

BM941 - BM950

BM941

Wir haben 3 Häufchen mit Münzen mit 6, 7 bzw. 11 Münzen.

Es sollen in drei Schritten Münzen von einem Haufen auf einen anderen gelegt werden, wobei jeweils genauso viel Münzen auf den Haufen gelegt werden müssen, wie bereits auf dem Haufen liegen.

Nach diesen drei Zügen sollen auf jedem der drei Haufen genauso viel Münzen liegen.

---

a) Wie viel Möglichkeiten gibt es insgesamt, um in 3 Schritten Münzen von einem Haufen auf einen anderen zu verschieben (ungeachtet der Bedingung, dass jeweils genauso viel Münzen auf den Haufen gelegt werden müssen, wie bereits auf dem Haufen liegen. Und ungeachtet der Bedingung, dass zum Schluss auf jedem Haufen die gleiche Anzahl von Münzen liegen soll.) (Dadurch soll kalr werden, wie komplex das Problem ist, wenn man stumpf nur einfach alle Möglichkeiten durchprobieren will.)

Lösung BM941 a)
Man kann im ersten Schritt mit dem 1., 2. oder 3. Haufen beginnen. Man kann Münzen von 1. Haufen auf den 2. oder 3. Haufen legen. Man kann Münzen von 2. Haufen auf den 1. oder 3. Haufen legen. Man kann Münzen von 3. Haufen auf den 1. oder 3. Haufen legen. Im ersten Schritt gibt es also insgesamt 6 Möglichkeiten. --- Im zweiten Schritt gibt es ebenfalls 6 Möglichkeiten und im dritten Schritt auch. Es gibt also insgesamt 6 * 6 * 6 = 216 Möglichkeiten. 6³ = 216

b) Beschreibe das Problem mit deinen eigenen Worten und fertige eine Skizze dazu an!

Lösung BM941 b)
Die Münzen müssen von einem Haufen (A) genommen werden und auf einen anderen Haufen (B) gelegt werden. Die Anzahl der Münzen im neuen Haufen (B) müssen danach doppelt so viel sein wie vorher. Das ganze muss genau drei mal gemacht werden.

c) Welche drei Schritte führen zum geforderten Ergebnis?

Tipp 1

Tipp 1:

Überlege Dir eine kurze Schreibweise, um das Problem durchzuspielen.

Beispielsweise könnte man eine kleine Tabelle anlegen, mit drei Spalten.

Die drei Stapel könnte man als A, B und C bezeichnen.

Mit „-“ bzw. „+“ könnte der Stapel gekennzeichnet werden, von dem die Münzen weggenommen werden bzw. auf den die Münzen gelegt werden.

	A	B	C
Start	6	7	11
1. Zug	-		+
eins
2. Zug
zwei
3. Zug
Ziel

Tipp 2

Tipp 2:

Es gibt insgesamt 24 Münzen

(6 + 7 + 11 = 24)

Zum Schluss müssen auf jedem Haufen 8 Münzen liegen.

(24 : 3 = 8)

	A	B	C
Start	6	7	11
1. Zug	-		+
eins
2. Zug
zwei
3. Zug
Ziel	8	8	8

Tipp 3

Tipp 3:

Man kann die Münzen nur von einem größern Haufen auf einen kleineren Haufen legen.

Von einem kleineren Haufen kann man nicht auf einen größeren Haufen legen, denn um auf den Haufen mit 11 Münzen etwas zu legen muss man 11 Münzen von einem anderen Haufen legen - das geht aber nicht, denn diese Haufen sind wie gesagt kleiner.

1. Möglichkeit für den 1. Schritt:

	A	B	C
Start	6	7	11
1. Zug		+	-
eins	6	14	4
2. Zug
zwei
3. Zug
Ziel	8	8	8

2. Möglichkeit für den 1. Schritt:

	A	B	C
Start	6	7	11
1. Zug	+		-
eins	12	7	5
2. Zug
zwei
3. Zug
Ziel	8	8	8

3. Möglichkeit für den 1. Schritt:

	A	B	C
Start	6	7	11
1. Zug	+	-
eins	12	1	11
2. Zug
zwei
3. Zug
Ziel	8	8	8

Tipp 4

Tipp 4:

Das Endergebnis nach 3 Schritten sind 3 Haufen mit jeweils 8 Münzen.

Deshalb muss nach dem 2. Schritt ein Stapel bereits 8 Münzen haben, denn mit dem 3. Schritt können nur noch zwei Haufen verändert werden - von einem Haufen nimmt man etwas und auf den anderen Haufen legt man etwas.

Nennen wir die Haufen A, B und C.

Haufen A hat 8 Münzen, von Haufen B werden Münzen weggenommen und auf haufen C gelegt.

Für Haufen B und C bleiben zusammen 16 Münzen übrig. (24 - 8 = 16)

Auf Haufen B und C kann nicht einfach eine beliebige Anzahl von Münzen liegen - wegen der Bedinung, dass genauso viel Münzen auf den Haufen gelegt werden müssen, wie bereits auf dem haufen liegen.

Haufen C muss also nach dem 2. Schritt 4 Münzen enthalten und im 3. Schritt durch Verdoppelung auf 8 Münzen aufgefüllt werden. Daraus folgt wiederum, dass Haufen B nach dem 2. Zug 12 Münzen haben muss.

(8 + 12 + 4 = 24)

Die Reihenfolge der Haufen A, B und C ist hierbei willkürlich gewählt

3. Möglichkeit für den 1. Schritt:

	A	B	C
Start	6	7	11
1. Zug
eins
2. Zug
zwei	8	12	4
3. Zug		-	+
Ziel	8	8	8

Lösung BM941 c)

	A	B	C
Start	6	7	11
1. Zug		+7	-7
eins	6	14	4
2. Zug	+6	-6
zwei	12	8	4
3. Zug	-4		+4
Ziel	8	8	8

BM942

Drei Männer wollen über einen breiten Fluss übersetzen. Es kommen zwei kleine Jungen mit einem ganz kleinen Ruderboot vorbei, die ihnen dabei helfen wollen. Leider trägt das Boot höchstens die zwei kleinen Jungen oder nur einen einzigen Mann. Schon für einen Jungen und einen Mann gemeinsam im Boot ist es zu klein.

Frage a) Wie kommen die Männer mit dem Boot über den Fluss?

Lösung BM942 a)
1. Die Jungen rudern mit dem Boot ans andere Ufer (B). Dort steigt ein Junge aus und der zweite Junge rudert allein zurück (Ufer A). 2. Der Junge steigt aus, dafür steigt ein Mann ins Boot und rudert rüber (ans Ufer B). Dort steigt der Mann aus, der Junge seigt ein und rudert das Boot allein zurück ans Ufer A. Dort lädt er den zweiten Jungen ein und bringt ihn auch rüber zum Ufer B, wo ein Junge aussteigt. 3. Der andere Junge rudert allein zurück ans Ufer A. Dort steigt er aus und der zweite Mann steigt ins Boot und rudert ans andere Ufer B. 4. Der Mann steigt aus und der Junge steigt ein. ER rudert wieder rüber ans Ufer A, wo er den zweiten Junge abolt und rüberbringt. 5. Dann rudert ein Junge zurück, wechselt mit dem dritten Mann seinen Platz usw.

Frage BM942 b)
Wie oft fährt das Boot über den Fluss, wenn zum Schluss wieder beide Jungen an dem Ufer sind, wo sie die beiden Männer eingeladen haben? (an dem Ufer betont, dass die Jungen exakt am Ufer A sind, während am Ufer nicht ein konkretes Ufer meint, sondern ganz allemein: an irgend einem Ufer. Bei an dem Ufer wir das Wort dem betont gesprochen.)

Lösung BM942 b)
12 Fahrten (Es muss zwingend eine gerade Zahl sein, denn das Boot fährt für eine Überquerung des Flusses genau zwi mal - hin und her.)

BM943

Das 9-Kugel-Problem

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Wir haben 9 Kugeln und eine Waage. Eine der Kugeln ist etwas leichter, als die übrigen 8 Kugeln. Durch Wiegen mit einer Balkenwaage soll herausgefunden werden welche Kugel das ist.

Wie viel Wiegevorgänge sind dazu erforderlich?

Lösung BM943 a) und Aufgabe b)
Lösung a) 2 Wägungen --- Aufgabe b) Beschreibe genau was und wie gewogen wird!

Lösung BM943 b)
Bild 1 Wir teilen die 9 Kugeln in 3 Gruppen zu je 3 Kugeln auf, die wir Gruppe A, B und C nennen. Wir wiegen Gruppe A und Gruppe B auf der Balkenwaage. Wenn die leicht Kugel in Gruppe A ist, fahren wir mit dieser Gruppe fort, ansonsten mit Gruppe B. Wenn Gruppe A und B gleich schwer sind, dann ist die leichte Kugel in Gruppe C und wir fahren mit Gruppe C fort. --- Bild 2 Bei der zweiten Wägung haben wir nur noch drei Kugeln von denen eine leichter ist. Deshalb wiegen wir rechts und links je eine Kugel. Wenn eine der beiden Kugeln leichter ist, dann haben wir das Ergebnis gefunden. Falls beide Kugeln gleich schwer sind, dann ist die dritte Kugel die gesuchte.

BM944

Wir haben 3 Kugeln und eine Waage. Eine der Kugeln hat ein anderes Gewicht (etwas leichter oder schwerer), als die übrigen 2 Kugeln. Durch Wiegen mit einer Balkenwaage soll herausgefunden werden welche Kugel das ist.

Wie viel Wiegevorgänge sind dazu erforderlich?

Lösung BM944
Bild 2 Nennen wir die drei Kugeln A, B und C. Wir können 6 Fälle unterscheiden: A, B oder C ist schwerer (rot), A, B oder C ist leichter (grün) als die übrigen Kugeln (schwarz). Wir können es uns ganz einfach machen und mit 3 Wägungen jeweils A mit B; B mit C; und C mit A vergleichen. Bei der Wägung, bei der beide Kugeln auf der Waage gleich schwer sind, ist die Kugel, die nicht auf der Waage liegt die gesuchte und wir können uns weitere Wäge-Schritte ersparen. (Bild 2) --- Bild 3 Bild 3: Wir können auch versuchen das Wiegen auf zwei Schritte zu verkürzen. In der zweiten Spalte (Kugel B [rot] ist schwerer) können wir nach der zweiten Wägung schlussfolgern, dass A nicht die gescuhte Kugel sein kann. Denn falls A in der ersten Wägung leichter ist, dann wäre bei der zweiten Wägung B genauso schwer wie C. Das ist aber nicht de Fall - also ist (gemäß zweiter Wägung) B schwerer oder C leichter. Aber C kann nicht die Kugel sein, denn sonst wäre bei der ersten Wägung mit A und B kein Ungleichgewicht augetreten. --- Wir können den Beweis auch anders antreten (siehe nochmals Bild 3): In der zweiten Spalte (B schwerer) haben wir die Kombination - erste Wägung: A leichter; zweite Wägung: C leichter. Diese Kombination tritt in keiner anderen Spalte auf. In Spalte 4 ist zwar auch A in der ersten Wägung leichter als B, aber in der zweiten Wägung sind B und C gleich schwer. Für die Spalten 1, 3, 4 und 6 brauchen wir nicht groß überlegen, da bei ihen die jeweils letzte Wägung ergibt, dass beide Kugeln auf der Waage gleich schwer sind. --- Das Ergebnis ist also, dass man nur 2 Schritte braucht, um von 3 Kugeln die Kugel mit dem abweichenden Gewicht zu finden.

BM945

Vier Kugeln

---

Wir wiegen 4 Kugeln: links zwei blaue Kugeln, rechts zwei rote Kugeln. Beide Seiten sind geich schwer.

Für die zweite Wägung vertauschen wir eine rote Kugel mit einer blauen Kugel. Nun ist die rechte Seite schwerer.

1. Frage: Wie kann man das Ergebnis der beiden Wägungen interpretieren?

Lösung zur ersten Frage BM945
Bild 1: Zum Beispiel könnte auf der linken Seite ein blaue Kugel 100 g schwer sein und die andere blaue Kugel 90 g. Ebenso könnte auf der rechten Seite eine rote Kugel 100 g schwer sein und die andere rote Kugel 90 g. Tauscht man nun für die zweite Wägung (Bild 2) eine rote Kugel mit einer blauen Kugel und erwischt dabei die blaue Kugel mit 90 g und die rote Kugel mit 100 g, dann sind rechts zwei Kugeln mit je 100 g und links die zwei Kugeln mit je 90 g.

2. Frage zu BM945
Bild 3 Für die dritte Messung tauschen wir nun zwei blaue Kugeln gegeneinander aus (Bild 3). (Also: Die blaue Kugel von rechts tauscht ihren Platz mit der blauen Kugel von links.) Nun ist die Waage wieder im Gleichgewicht. Wie ist das Ergebnis zu interpretieren? Ist so ein Ergebnis überhautp möglich? Oder stimmt einfach mit der Waage etwas nicht?

3. Frage zu BM945
Bild 4 Wie gesagt haben wir für die dritte Messung zwei blauen Kugeln gegeneinander ausgetauscht. (Also: Die blaue Kugel von rechts tauscht ihren Platz mit der blauen Kugel von links.) Wenn aber bei der dritten Messung die Waage jetzt auf der linken Seite schwerer ist (Bild 4), wie ist das zu interpretieren? Oder kann das nicht sein?

Lösung zur zweiten Frage BM945
Ganz einfach: Bild 5 Bild 5 zeigt das erste Wiegen: Die vier Kugeln könnten beispielsweise 100 g bzw. 90 g schwer sein, wie im Bild 5 beschriftet. So ist beim ersten Wiegen die Waage im Gleichgewicht. (90 + 100 = 90 + 100) Bild 6 Bild 6: Für das zweite Wiegen haben eine blaue und eine rote Kugel (die Kugel 2 und 3) ihren Platz getauscht. Deshalb ist nun die rechte Seite schwerer. (90 + 90 < 100 + 100) Bild 7 Bild 7 zeigt das dritte Wiegen. Dafür haben die beiden blauen Kugeln (Kugel 1 und 2) ihren Platz getauscht. So sind beide Seiten wieder gleich schwer. (100 + 90 = 90 + 100)

Lösung zur dritten Frage BM945
Bild 8 Bild 9 Bild 10 Zum Beispiel könnte eine blaue Kugel 110 g wiegen und die andere blaue 90 g. Die roten Kugeln könnten gleich schwer sein, also jeweils 100 g. So dass das Gesamtgewicht der beiden roten Kugeln dem Gesamtgewicht der beiden blauen Kugeln entspricht. Deshalb ist beim ersten Wiegen die Waage im Gleichgewicht (Bild 8). Vor dem zweiten Wiegen werden die Plätze der blauen Kugel mit 110 g und einer roten Kugel mit 100 g vertauscht. Nun ist die Waage links leichter (100 g + 90 g) und rechts schwerer (110 g + 100 g) (Bild 9). Vor dem dritten Wiegevorgang tauschen zwei blaue Kugeln ihre Plätze: Also die blaue Kugel links mit 90 g wandert nach rechts und die blaue Kugel von rechts mit 110 g wandert nach links. Als Ergebnis ist nun die links Seite schwerer. (links: 100 g + 110 g; rechts: 90 g + 100 g) (Bild 10)

BM946

Das 13-Kugel-Problem

(Diese Aufgabe ist etwas schwerer. Deshalb hast du 3 Tage Vorbereitungszeit.)

---

Man hat 13 Kugeln und eine Balkenwaage.

Alle Kugeln bis auf eine wiegen gleich viel. Sie sehen äußerlich völlig gleich, sie fühlen sich gleich an und sind mit Auge oder Händen nicht zu unterscheiden.

Wie findet man mit drei mal Wiegen die Kugel, die anders ist, ohne dass man weiß, ob sie leichter oder schwerer ist? (Man darf die Waage nur 3x benutzen.)

Lösung BM946 a) und Aufgabe b)
Bild 1 Bild 2 Bild 1: Der erste Schritt ist vier gegen vier Kugeln zu wiegen. So bleiben von den 13 Kugeln 5 draußen liegen. Entweder ergibt das Wiegen, dass beide Seiten gleich sind oder auch nicht. Nun wissen wir schon etwas mehr von den Kugeln. Bild 2: Wenn beide Seiten ungleich sind weiß man jedoch noch nicht, ob die eine abweichende Kugel auf der leichteren Seite liegt, weil sie leichter ist (rot), oder auf der schwereren Seite, weil sie schwerer ist (blau). Aber man weiß genau, dass die gesuchte Kugel auf der Waage liegt und die 5 übrigen Kugeln neutral (grau) sind. Wenn beim ersten Wiegen beide Seiten gleich sind, dann weiß man, dass die gesuchte Kugel unter den fünf übrigen Kugeln liegt. Das Vorgehen für diesen Fall wird ab Bild 13 beschreiben. --- Bild 3 Bild 4 Bild 3 und 4: Für das zweite Wiegen tauscht man drei der Kugeln auf der schwereren Seite (blau) gegen drei neutrale Kugeln (grau), die wahllos von den 5 übrigen Kugeln ausgesucht werden. Zusätzlich tauscht eine Kugel der leichteren Seite (rot) ihren Platz mit einer Kugel der schwereren Seite (blau). Beim zweiten Wiegen nimmt man also auf der rechten Seite 3 neutrale Kugeln (grau) zusammen mit einer Kugel von der leichten Seiten (rot), während man in die andere (linke) Waagschale drei Kugeln von der leichten Seite (rot) zusammen mit einer Kugel von der schweren Seite (blau) legt. --- Bild 5 Wenn dann beim zweiten Wiegen die linke Seite leichter ist, dann kann man schlussfolgern: 1.) Außerhalb der Waage sind neutrale Kugeln. (Alle Kugeln, die sich jetzt außerhalb der Waage befinden sind neutral, denn das Problem befindet sich noch auf der Waage.) 2.) Die drei neutralen Kugeln auf der rechten Waagschale sind natürlich weiterhin neutral. 3.) Die beiden vertauschten Kugeln sind auch neutral. Denn andernfalls wären die drei roten Kugeln auf der linken Seite neutral und die Waage würde sich genau in die andere Richtung neigen. Das wird ab Bild 10 näher erklärt. So wissen wir jetzt also, dass das Problem bei einer der drei roten Kugeln auf der linken (leichten) Waagschale liegt. Außerdem wissen wir jetzt, dass eine der drei Kugeln links leichter ist, denn schwerer, als die neutralen Kugeln auf der rechten Seite kann sie schließlich nicht sein. --- Bild 6 Bild 6: Da wir nun das Problem auf drei Kugeln eingegrenzt haben und genau wissen, dass die gesuchte Kugel schwerer ist als die Übrigen, können wir jetzt mit einem dritten Wiegeschritt die gesuchte Kugel ermitteln. Das Vorgehen ist nun analog der Lösung in der vorhergehenden Aufgabe (BM943 „Das 9-Kugel-Problem“). Dazu wiegen wir die Kugeln 1 gegen 1: Ist dann eine Seite leichter, dann ist die gesuchte Kugel dort und ansonsten ist es die Kugel, die draußen liegt. --- Bild 7 Bild 8 Bild 7 und 8: Falls das zweite mal Wiegen jedoch ein Gleichgewicht ergibt, weiß man, dass jede Kugel neutral ist, die auf der Waage liegt. Also muss eine der drei Kugeln außerhalb der Waage schwerer sein. --- Bild 9 Bild 9: Nun kann man im dritten Wiegeschritt wieder ganz einfach ermitteln, welche von den drei (blauen) Kugeln die schwerere ist. Das Vorgehen ist nun analog der Lösung in der vorhergehenden Aufgabe (BM943 „Das 9-Kugel-Problem“). Dazu wiegen wir die Kugeln 1 gegen 1: Ist dann eine Seite schwerer, dann ist die gesuchte Kugel dort. Bei Gleichstand ist es die Kugel, die draußen liegt. --- Bild 10 Bild 11 Bild 10 und 11: Wenn beim zweiten mal Wiegen jedoch die rechte Seite leichter ist, obwohl beim ersten Wiegen die linke Seite leichter war, dann brauchen wir eine Erklärung, warum die leichen und schweren Kugeln ihre Seite gewechselt haben. Diese Erklärung kann nur in den beiden Kugeln liegen (rot und blau), die ihre Seiten getauscht haben. Alle übrigen Kugeln sind folglich neutral. Wir haben jetzt also zwei Kugeln, unter denen sich die gesuchte Kugel befinden muss. Leider wissen wir in diesem Fall nicht, ob die gesuchte Kugel leichter oder schwerer ist als die neutralen. Zum Glück haben wir aber nur zwei und nicht drei potentielle Kandidaten. Deshalb ist das Problem nicht mehr allzu schwer. Die Lösung ist nur etwas abweichend von den anderen beiden bisher erörterten Varianten. --- Bild 12 Bild 12: Im dritten Wiegeschritt wiegen wir eine der beiden Kugeln gegen eine neutrale Kugel. Damit kriegen wir direkt unsere Kugel raus: Denn entweder liegt sie auf der Waage und die Waage zeigt das an oder es bleibt nur eine Kugel übrig, die es noch sein kann. --- Bild 13 Bild 14 Die drei bisher erörterten Varianten gingen davon aus, dass bei der ersten Wägung beide Seiten der Waage ein unterschiedliches Gewicht haben. Nun gehen wir auf den Fall ein, dass beide Seiten gleich sind. Bild 13 und 14: Wenn die Waage beim ersten Wiegen anzeigt, dass die Seiten gleich sind, dann sind die 8 Kugeln neutral. Die gesuchte Kugel befindet sich also unter den 5 Kugeln, die nicht auf der Waage leigen (schwarz). --- Bild 15 Bild 15: Wenn man nun im zweiten Schritt drei neutrale Kugeln gegen drei Kugeln die draußen lagen wiegt, dann ergeben sich drei Möglichkeiten. --- Bild 16 Bild 16: Möglichkeit a) Die linke Seite ist leichter, woraus man folgern kann, dass sich unter diesen drei (roten) Kugeln der linken Seite eine leichtere versteckt. --- Bild 17 Bild 17: Nun muss man im dritten Schritt nur noch 1 gegen 1 wiegen und der Rest ist bekannt. --- Bild 18 Bild 19 Bild 18 und 19: Möglichkeit b) Genauso funktioniert es, wenn die linke Seite schwerer ist. --- Bild 20 Bild 21 Bild 20 und 21: Möglichkeit c) Zum Schluss bleibt die Frage was bei Gleichgewicht in der zweiten Messung passiert. Da gibt es nur zwei Kugeln, die immer außerhalb der Waage lagen und deshalb in Frage kommen. Alle anderen Kugeln müssen neutral sein. --- Bild 22 Bild 22: Wiegt man eine der beiden in Frage kommenden Kugeln gegen eine neutrale, dann kann einem die Waage sagen, ob die Kugel schwerer oder leichter und damit die gesuchte Kugel ist. Oder halt die Waage zeigt Gleichgewicht - dann bleibt nur eine Kugel, egal ob leicht oder schwer. Es muss diese Kugel sein. Damit hätten wir alle 6 Varianten geklärt.

BM947

Fläche

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Eine Fläche ist ein zweidimensionales Objekt in der Mathematik.

Eine Fläche kann flach oder auch gekrümmt sein.

Ein Maß für die Größe einer Fläche ist der Flächeninhalt. Umgangssprachlich wird der Flächeninhalt oftmals ebenfalls als „Fläche“ bezeichnet.

Geometrischen Körper (z. B. Kugelm Würfel, Quader, Pyramide) werden durch Flächen (auch Seitenflächen genannt) begrenzt. Zusammen bilden sie die Oberfläche des Körpers.

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Ein Blatt Papier hat zwei Seiten - eine oben und eine unten.

Die Fläche einer Kugel hat auch eine Außen- und eine Innenseite.

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Möbius-Band

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Ein Möbiusband ist eine Fläche, die nur eine Kante und eine Seite hat. Man kann beim Möbiusband nicht zwischen unten und oben oder zwischen innen und außen unterscheiden.

Das Möbius-Band wurde nach dem dem Leipziger Mathematiker und Astronomen August Möbius benannt, der es 1858 beschreiben hat.

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Ein Möbiusband ist leicht herzustellen, indem man einen längeren Streifen Papier mit beiden Enden ringförmig zusammenklebt, ein Ende aber vor dem Zusammenkleben um 180° verdreht.

Beim Möbiusband gehen beide Seiten ineinander über: Wenn man auf einer der scheinbar zwei Seiten beginnt, die Fläche einzufärben, hat man zum Schluss das ganze Objekt gefärbt.

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Andere interessante Effekte entstehen, wenn man auf dem Band eine Mittellinie oder zwei zur Mittellinie parallele Linien einzeichnet und das Band längs dieser Linie(n) aufschneidet, also es scheinbar halbiert oder drittelt. Im ersten Fall, also beim Durchschneiden entlang der Mittellinie, entsteht ein zweifach verdrillter (um 720° in sich verdrehter) Ring mit zwei Seiten und zwei Rändern. Im zweiten Fall entstehen zwei Objekte: Ein Möbiusband und ein zweifach verdrillter Ring, die ineinander hängen.

BM948

Zwölfknotenschnur

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Die Zwölfknotenschnur ist ein einfaches Werkzeug, mit dem man einen rechten Winkel – also einen Winkel von 90° – darstellen kann. (Bild 1)

Die Schnur ist durch zwölf Knoten in 12 gleiche Strecken unterteilt; der zwölfte Knoten verbindet dabei den Anfang mit dem Ende der Schnur. Der Abstand zwischen allen 12 Knoten ist genauso lang. Die Größe des Abstandes ist willkürlich gewählt.

Alternativ wird eine Schnur verwendet, in die man zuerst dreizehn Knoten in gleichen Abständen knüpft; der erste und dreizehnte Knoten werden dann mit einem Nagel verbunden.

Nun spannt man die Schnur zu einem Dreieck mit den Kantenlängen 3 : 4 : 5 (sprich: 3 zu 4 zu 5) auf. (Bild 2)

BM949

Tetraeder

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Ein Tetraeder ist ein Körper, der 4 Ecken hat.

Ein Würfel hat 8 Ecken.

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Das (auch, v. a. österr.: der) Tetraeder (v. griech. tetráedron „Vierflächner“), auch Vierflächner, ist ein Körper mit vier dreieckigen Seitenflächen.

Meist ist mit Tetraeder das regelmäßige (oder gleichseitige) Tetraeder gemeint, während das allgemeine Tetraeder je nach Symmetrie als dreiseitige Pyramide oder Dreieckpyramide bezeichnet wird.

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regelmäßiger Tetraeder

Das regelmäßige Tetraeder (reguläre Tetraeder) ist einer der fünf platonischen Körper.

Das Tetraeder hat:

vier gleichseitigen Dreiecken als Flächen
sechs (gleich langen) Kanten und
vier Ecken, in denen jeweils drei Flächen zusammentreffen.

Das regelmäßige Tetraeder ist auch eine gleichseitige dreiseitige Pyramide (mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche).

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Umgebender Würfel

Das Tetraeder kann in einen Würfel so einbeschrieben werden, dass seine Ecken zugleich Würfelecken und seine sechs Kanten Diagonalen der Würfelflächen sind.

Das Tetraeder war auch für den Tetra Pak wegen dessen ursprünglicher Form namensgebend.

BM950

Torus

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Ein Torus (Plural Tori) ist ein mathematisches Objekt aus der Geometrie. Er ist eine „wulstartig“ geformte Fläche mit einem „Loch“, hat also die Gestalt eines Rettungsrings, Reifens oder Donuts.

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Viele Computerspiele benutzen die Oberfläche eines Torus: Verlässt ein Spielobjekt auf einer Seite das Spielfeld, so taucht es auf der gegenüberliegenden Seite wieder auf.

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Ein Rotationstorus ist eine Rotationsfläche, die durch Rotation eines Kreises um eine (in der Kreisebene liegende und den Kreis nicht schneidende) Rotationsachse erzeugt wird.

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Rotationsfläche

Eine Rotationsfläche oder Drehfläche ist in der Geometrie eine Fläche, die durch Rotation einer ebenen Kurve um eine in derselben Ebene liegenden Gerade, der Rotationsachse, entsteht.

Eine Kugel ist eine Rotationsfläche, die durch Rotation eines Kreises um einen Durchmesser entsteht.

Ein Torus ist eine Rotationsfläche, die durch Rotation eines die Achse nicht schneidenden Kreises entsteht.

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