Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 074b

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Mathematik auf Deutsch - 24

BM1151 - BM1160

BM1151

Wenn man bei einem gemeinsamen Bruch Zähler (unlgleich 0) und Nenner vertauscht, so erhält man einen Bruch, der im allgemeinen nicht zu derselben Klasse gemeiner Brüche wie der urspünglich gehört.

Nenne Beispiele dafür, dass nach dem Vertauschen von Zähler und Nenner eines gemeinen Bruchs trotzdem dieselbe gebrochene Zahl dargestellt ist!

BM1152

Addition gebrochener Zahlen

---

Gebrochenen Zahlen werden addiert, indem man sie in gleichnamige Brüche umwandelt und deren Zähler addiert. Den gemeinsamen Nenner behält man bei.

---

{\tfrac {a}{b}}

+

{\tfrac {c}{b}}

=

{\tfrac {a+c}{b}}

(b≠0)

---

Beispiel:

Berechne die Summe von

{\tfrac {5}{12}}

+

{\tfrac {7}{15}}

Dazu werden die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht. Wir müssen also das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 12 und 15 bestimmen.

12 = 3 * 4 = 3 * 2 * 2 = 3 * 2²

15 = 3 * 5

kgV: 3 * 2² * 5 = 12 * 5 = 60

Beide Brüche müssen also so erweitert werden, dass sie beide auf den Nenner 60 kommen. Kleiner geht es nicht. Natürlich ginge es größer, aber das macht keinen Sinn, denn dann müsste der Bruch zum Schluss gekürz werden.

{\tfrac {5}{12}}

=

{\tfrac {5*5}{12*5}}

=

{\tfrac {25}{60}}

{\tfrac {7}{15}}

=

{\tfrac {7*4}{15*4}}

=

{\tfrac {28}{60}}

---

Hier noch mal die Kurzfassung:

{\tfrac {5}{12}}

+

{\tfrac {7}{15}}

=

{\tfrac {25}{60}}

+

{\tfrac {28}{60}}

=

{\tfrac {25+28}{60}}

=

{\tfrac {53}{60}}

BM1153

Kommutativität der Addition

---

In einer Summe gebrochener Zahlen mit zwei Summen sind ie Summanden vertauschbar.

{\tfrac {a}{b}}

+

{\tfrac {c}{d}}

=

{\tfrac {c}{d}}

+

{\tfrac {a}{b}}

(b≠0, d≠0)

---

Beispiel:

{\tfrac {5}{8}}

+

{\tfrac {7}{12}}

kgV von 8 und 12

8 = 2 * 4 = 2 * 2 * 2

12 = 2 * 6 = 2 * 2 * 3

kgV von 8 und 12: 2 * 2 * 2 * 3 = 8 * 3 = 24

Also müssen beide Brüche auf den Nenner 24 erweiter werden

{\tfrac {5}{8}}

+

{\tfrac {7}{12}}

=

{\tfrac {5*3}{8*3}}

+

{\tfrac {7*2}{12*2}}

=

{\tfrac {15}{24}}

+

{\tfrac {14}{24}}

{\tfrac {15}{24}}

+

{\tfrac {14}{24}}

=

{\tfrac {15+14}{24}}

=

{\tfrac {14+15}{24}}

=

{\tfrac {14}{24}}

+

{\tfrac {15}{24}}

=

{\tfrac {7}{12}}

+

{\tfrac {5}{8}}

BM1154

Assoziativität der Addition

Die Reihenfolge von zwei Additionen gebrochener Zahlen ist beliebig.

---

(

{\tfrac {a}{b}}

+

{\tfrac {c}{d}}

) +

{\tfrac {e}{f}}

=

{\tfrac {a}{b}}

+ (

{\tfrac {c}{d}}

+

{\tfrac {e}{f}}

) =

{\tfrac {a}{b}}

+

{\tfrac {c}{d}}

+

{\tfrac {e}{f}}

(b≠0, d≠0, f≠0)

Beispiel:

{\tfrac {3}{8}}

+

{\tfrac {5}{8}}

+

{\tfrac {7}{8}}

---

(

{\tfrac {3}{8}}

+

{\tfrac {5}{8}}

) +

{\tfrac {7}{8}}

=

{\tfrac {3+5}{8}}

+

{\tfrac {7}{8}}

=

{\tfrac {(3+5)+7}{8}}

=

{\tfrac {3+(5+7)}{8}}

=

{\tfrac {3}{8}}

+

{\tfrac {5+7}{8}}

=

{\tfrac {3}{8}}

+ (

{\tfrac {5}{8}}

+

{\tfrac {7}{8}}

)

BM1155

Addition gebrochener Zahlen = Addition von Brüchen

---

Brüche werden addiert, indem man sie zunächst durch Erweitern gleichnamig macht, d. h. auf einen Hauptnenner bringt. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner. Die anschließende Addition der Zähler ergibt den Zähler der Summen. Der Nenner wird beibehalten.

---

Wenn man sich das Ermitteln des kleinsten gemeinsamen Vielfachen ersparen will, dann multipliziert man einfach die beiden Nenner der zu addierenden Brüche miteinander. So erhält man auch einen gemeinsamen Nenner. Das ist zwar nicht der kleinste gemeinsame Nenner, aber man kann ja den Bruch am Ende noch kürzen.

{\tfrac {a}{b}}

+

{\tfrac {c}{d}}

=

{\tfrac {a*d}{b*d}}

+

{\tfrac {c*b}{d*b}}

=

{\tfrac {ad+cb}{bd}}

---

Sollten die Brüche schon gleichnamig sein, dann muss man die beiden Nenner natürlich nicht miteinander multiplizeiren, denn die Brüche haben ja schon einen gemeinsamen Nenner.

{\tfrac {a}{b}}

+

{\tfrac {c}{b}}

=

{\tfrac {a+c}{b}}

BM1156

Beispiel:

{\tfrac {5}{4}}

+

{\tfrac {2}{3}}

=

{\tfrac {5*3}{4*3}}

+

{\tfrac {2*4}{3*4}}

=

{\tfrac {15}{12}}

+

{\tfrac {8}{12}}

=

{\tfrac {15+8}{12}}

=

{\tfrac {23}{12}}

= 1

{\tfrac {11}{12}}

BM1157

Berechne und kürze so weit wie möglich!

---

a)

{\tfrac {1}{2}}

+

{\tfrac {1}{4}}

b)

{\tfrac {4}{5}}

+

{\tfrac {1}{10}}

c)

{\tfrac {1}{6}}

+

{\tfrac {5}{18}}

---

d)

{\tfrac {1}{3}}

+

{\tfrac {1}{4}}

e)

{\tfrac {5}{12}}

+

{\tfrac {5}{8}}

f)

{\tfrac {3}{7}}

+

{\tfrac {1}{3}}

BM1158

Berechne und kürze so weit wie möglich!

---

a)

{\tfrac {1}{3}}

+

{\tfrac {1}{6}}

b)

{\tfrac {3}{4}}

+

{\tfrac {1}{8}}

c)

{\tfrac {1}{4}}

+

{\tfrac {7}{10}}

---

d)

{\tfrac {1}{5}}

+

{\tfrac {1}{10}}

e)

{\tfrac {5}{6}}

+

{\tfrac {5}{21}}

f)

{\tfrac {4}{7}}

+

{\tfrac {1}{4}}

BM1159

Berechne und kürze so weit wie möglich!

---

a)

{\tfrac {3}{8}}

+

{\tfrac {7}{16}}

b)

{\tfrac {1}{4}}

+

{\tfrac {5}{20}}

c)

{\tfrac {2}{5}}

+

{\tfrac {3}{7}}

---

d)

{\tfrac {3}{7}}

+

{\tfrac {2}{5}}

e)

{\tfrac {1}{4}}

+

{\tfrac {7}{10}}

f)

{\tfrac {3}{10}}

+

{\tfrac {11}{30}}

BM1160

Berechne und kürze so weit wie möglich!

---

a)

{\tfrac {2}{9}}

+

{\tfrac {5}{18}}

b)

{\tfrac {1}{5}}

+

{\tfrac {4}{20}}

c)

{\tfrac {3}{8}}

+

{\tfrac {2}{5}}

---

d)

{\tfrac {2}{5}}

+

{\tfrac {3}{8}}

e)

{\tfrac {2}{7}}

+

{\tfrac {4}{11}}

f)

{\tfrac {7}{10}}

+

{\tfrac {1}{20}}

BM1161 - BM1170

BM1161

Berechne und kürze so weit wie möglich!

---

a)

{\tfrac {34}{35}}

+

{\tfrac {24}{25}}

b)

{\tfrac {1}{120}}

+

{\tfrac {1}{12}}

c)

{\tfrac {3}{8}}

+

{\tfrac {13}{64}}

d)

{\tfrac {7}{51}}

+

{\tfrac {6}{34}}

BM1162

Berechne und kürze so weit wie möglich!

---

a)

{\tfrac {39}{40}}

+

{\tfrac {49}{50}}

b)

{\tfrac {1}{110}}

+

{\tfrac {1}{11}}

c)

{\tfrac {2}{9}}

+

{\tfrac {27}{81}}

d)

{\tfrac {2}{65}}

+

{\tfrac {4}{39}}

BM1163

Berechne und kürze so weit wie möglich!

---

a)

{\tfrac {1}{2}}

+

{\tfrac {1}{3}}

+

{\tfrac {1}{4}}

b)

{\tfrac {3}{1}}

+

{\tfrac {2}{2}}

+

{\tfrac {1}{3}}

c)

{\tfrac {5}{6}}

+

{\tfrac {3}{8}}

+

{\tfrac {3}{4}}

d)

{\tfrac {2}{5}}

+

{\tfrac {2}{7}}

+

{\tfrac {7}{10}}

BM1164

Berechne und kürze so weit wie möglich!

---

a)

{\tfrac {1}{6}}

+

{\tfrac {1}{5}}

+

{\tfrac {1}{4}}

b)

{\tfrac {1}{4}}

+

{\tfrac {2}{2}}

+

{\tfrac {3}{1}}

c)

{\tfrac {9}{10}}

+

{\tfrac {4}{5}}

+

{\tfrac {1}{2}}

d)

{\tfrac {3}{8}}

+

{\tfrac {9}{11}}

+

{\tfrac {1}{4}}

BM1165

Berechne und kürze so weit wie möglich!

---

a)

{\tfrac {11}{15}}

+

{\tfrac {18}{25}}

+

{\tfrac {4}{5}}

b)

{\tfrac {3}{5}}

+

{\tfrac {9}{10}}

+

{\tfrac {11}{18}}

c)

{\tfrac {8}{7}}

+

{\tfrac {7}{8}}

+

{\tfrac {55}{56}}

d)

{\tfrac {3}{5}}

+

{\tfrac {5}{7}}

+

{\tfrac {7}{9}}

BM1166

Berechne und kürze so weit wie möglich!

---

a)

{\tfrac {11}{24}}

+

{\tfrac {17}{36}}

+

{\tfrac {7}{9}}

b)

{\tfrac {11}{24}}

+

{\tfrac {19}{32}}

+

{\tfrac {27}{40}}

c)

{\tfrac {6}{7}}

+

{\tfrac {7}{6}}

+

{\tfrac {41}{42}}

d)

{\tfrac {2}{4}}

+

{\tfrac {4}{6}}

+

{\tfrac {6}{8}}

BM1167

Berechne und kürze so weit wie möglich!

---

a)

{\tfrac {1}{2}}

+

{\tfrac {1}{4}}

+

{\tfrac {3}{5}}

+

{\tfrac {7}{15}}

+

{\tfrac {9}{20}}

+

{\tfrac {5}{8}}

+

{\tfrac {9}{10}}

b)

{\tfrac {4}{5}}

+

{\tfrac {3}{10}}

+

{\tfrac {5}{12}}

+

{\tfrac {19}{30}}

+

{\tfrac {1}{3}}

+

{\tfrac {5}{6}}

+

{\tfrac {3}{4}}

BM1168

Berechne und kürze so weit wie möglich!

---

a)

{\tfrac {3}{4}}

+

{\tfrac {5}{9}}

+

{\tfrac {5}{6}}

+

{\tfrac {7}{12}}

+

{\tfrac {2}{3}}

+

{\tfrac {1}{2}}

b)

{\tfrac {4}{7}}

+

{\tfrac {1}{6}}

+

{\tfrac {9}{14}}

+

{\tfrac {5}{12}}

+

{\tfrac {16}{21}}

+

{\tfrac {1}{3}}

+

{\tfrac {7}{8}}

BM1169

Berechne x (

x\in \mathbb {N}

; wenn x im Nenner, x≠0)!

---

a)

{\tfrac {3}{5}}

+

{\tfrac {x}{5}}

=

{\tfrac {7}{5}}

b)

{\tfrac {1}{11}}

+

{\tfrac {x}{11}}

=

{\tfrac {1}{11}}

c)

{\tfrac {3}{7}}

+

{\tfrac {x}{7}}

=

{\tfrac {2}{1}}

---

d)

{\tfrac {5}{14}}

+

{\tfrac {x}{14}}

=

{\tfrac {1}{2}}

e)

{\tfrac {x}{28}}

+

{\tfrac {1}{4}}

=

{\tfrac {1}{2}}

f)

{\tfrac {12}{x}}

+

{\tfrac {1}{3}}

=

{\tfrac {2}{3}}

BM1170

Berechne x (

x\in \mathbb {N}

; wenn x im Nenner, x≠0)!

---

a)

{\tfrac {2}{7}}

+

{\tfrac {x}{7}}

=

{\tfrac {5}{7}}

b)

{\tfrac {7}{13}}

+

{\tfrac {x}{13}}

=

{\tfrac {8}{13}}

c)

{\tfrac {x}{7}}

+

{\tfrac {1}{7}}

=

{\tfrac {1}{7}}

---

d)

{\tfrac {5}{12}}

+

{\tfrac {x}{12}}

=

{\tfrac {3}{4}}

e)

{\tfrac {x}{5}}

+

{\tfrac {1}{4}}

=

{\tfrac {17}{20}}

f)

{\tfrac {5}{x}}

+

{\tfrac {1}{4}}

=

{\tfrac {5}{4}}

BM1171 - BM1180

BM1171

Berechne x (

x\in \mathbb {N}

; wenn x im Nenner, x≠0)!

---

a)

{\tfrac {3}{7}}

+

{\tfrac {1}{x}}

=

{\tfrac {1}{2}}

b)

{\tfrac {17}{51}}

+

{\tfrac {x}{2}}

=

{\tfrac {1}{3}}

c)

{\tfrac {8}{15}}

+

{\tfrac {x}{3}}

=

{\tfrac {1}{2}}

d)

{\tfrac {11}{24}}

+

{\tfrac {x}{5}}

=

{\tfrac {2}{3}}

BM1172

Berechne x (

x\in \mathbb {N}

; wenn x im Nenner, x≠0)!

---

a)

{\tfrac {8}{17}}

+

{\tfrac {1}{x}}

=

{\tfrac {1}{2}}

b)

{\tfrac {19}{76}}

+

{\tfrac {x}{2}}

=

{\tfrac {1}{4}}

c)

{\tfrac {7}{16}}

+

{\tfrac {1}{x}}

=

{\tfrac {3}{4}}

d)

{\tfrac {5}{18}}

+

{\tfrac {x}{2}}

=

{\tfrac {1}{2}}

BM1173

Subtraktion gebrochener Zahlen

---

Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition, sowohl bei den natürlichen Zahlen als auch bei den gebrochenen Zahlen.

Gebrochene Zahlen werden subtrahiert, indem die Brüche bei Bedarf gleichnamig gemacht werden und dann deren Zähler subtrahiert werden, wobei man den gemeinsamen Nenner beibehält.

{\tfrac {a}{b}}

-

{\tfrac {c}{b}}

=

{\tfrac {a-c}{b}}

(b≠0)

---

Die Subtraktion gebrochener Zahlen

{\tfrac {a}{b}}

und

{\tfrac {c}{b}}

ist in der Menge der natürlichen Zahlen nur ausführbar, wenn die Subtraktion der natürlichen Zahlen a und c ausführbar ist, also wenn c nicht größer als a ist.

Das bedeutet aber, dass bei den gebrochenen Zahlen der Subtrahend

{\tfrac {c}{b}}

nicht größer als der Minuend

{\tfrac {a}{b}}

sein darf.

---

{\tfrac {8}{9}}

-

{\tfrac {2}{9}}

=

{\tfrac {8-2}{9}}

=

{\tfrac {6}{9}}

=

{\tfrac {2}{3}}

BM1174

Subtraktion gebrochener Zahlen = Subtraktion von Brüchen

---

Gebrochenen Zahlen werden subtrahiert, indem man sie in gleichnamige Brüche umwandelt und deren Zähler subtrahiert werden. Den gemeinsamen Nenner behält man bei.

---

Brüche werden subtrahiert, indem man sie zunächst durch Erweitern gleichnamig macht, d. h. auf einen Hauptnenner bringt. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner. Die anschließende Subtraktion der Zähler ergibt den Zähler der Summen. Der Nenner wird beibehalten.

---

Wenn man sich das Ermitteln des kleinsten gemeinsamen Vielfachen ersparen will, dann multipliziert man einfach die beiden Nenner der zu addierenden Brüche miteinander. So erhält man auch einen gemeinsamen Nenner. Das ist zwar nicht der kleinste gemeinsame Nenner, aber man kann ja den Bruch am Ende noch kürzen.

{\tfrac {a}{b}}

-

{\tfrac {c}{d}}

=

{\tfrac {a*d}{b*d}}

-

{\tfrac {c*b}{d*b}}

=

{\tfrac {ad-cb}{bd}}

---

Sollten die Brüche schon gleichnamig sein, dann muss man die beiden Nenner natürlich nicht miteinander multiplizieren, denn die Brüche haben ja schon einen gemeinsamen Nenner.

{\tfrac {a}{b}}

-

{\tfrac {c}{b}}

=

{\tfrac {a-c}{b}}

---

{\tfrac {11}{4}}

-

{\tfrac {7}{10}}

=

{\tfrac {55}{20}}

-

{\tfrac {14}{20}}

=

{\tfrac {55-14}{20}}

=

{\tfrac {41}{20}}

---

{\tfrac {7}{9}}

-

{\tfrac {8}{15}}

=

{\tfrac {7*15}{9*15}}

-

{\tfrac {8*9}{15*9}}

=

{\tfrac {7*15-8*9}{9*15}}

=

{\tfrac {105-72}{135}}

=

{\tfrac {33}{135}}

BM1175

Die Subtraktion ist die Umkehrung der Subtraktion - auch in der Menge der gebrochenen Zahlen.

---

{\tfrac {x}{y}}

=

{\tfrac {3}{4}}

-

{\tfrac {1}{3}}

// +

{\tfrac {1}{3}}

{\tfrac {x}{y}}

+

{\tfrac {1}{3}}

=

{\tfrac {3}{4}}

---

Wir rechnen x und y für die Subtraktion aus:

{\tfrac {3}{4}}

-

{\tfrac {1}{3}}

=

{\tfrac {9}{12}}

-

{\tfrac {4}{12}}

=

{\tfrac {5}{12}}

; also

{\tfrac {x}{y}}

=

{\tfrac {5}{12}}

---

Wir rechnen x und y für die Addition aus:

{\tfrac {x}{y}}

+

{\tfrac {1}{3}}

=

{\tfrac {3}{4}}

{\tfrac {5}{12}}

+

{\tfrac {1}{3}}

=

{\tfrac {5}{12}}

+

{\tfrac {4}{12}}

=

{\tfrac {9}{12}}

=

{\tfrac {3}{4}}

BM1176

Berechne und kürze so weit wie möglich!

---

a)

{\tfrac {3}{4}}

-

{\tfrac {1}{4}}

b)

{\tfrac {1}{5}}

-

{\tfrac {1}{10}}

c)

{\tfrac {1}{10}}

-

{\tfrac {1}{5}}

---

d)

{\tfrac {1}{3}}

-

{\tfrac {1}{4}}

e)

{\tfrac {3}{8}}

-

{\tfrac {3}{12}}

f)

{\tfrac {4}{15}}

-

{\tfrac {1}{5}}

BM1177

Berechne und kürze so weit wie möglich!

---

a)

{\tfrac {4}{5}}

-

{\tfrac {1}{5}}

b)

{\tfrac {1}{4}}

-

{\tfrac {1}{8}}

c)

{\tfrac {1}{8}}

-

{\tfrac {1}{4}}

---

d)

{\tfrac {1}{5}}

-

{\tfrac {1}{4}}

e)

{\tfrac {5}{6}}

-

{\tfrac {3}{8}}

f)

{\tfrac {5}{16}}

-

{\tfrac {1}{4}}

BM1178

Berechne und kürze so weit wie möglich!

---

a)

{\tfrac {11}{12}}

-

{\tfrac {5}{6}}

b)

{\tfrac {7}{18}}

-

{\tfrac {5}{12}}

c)

{\tfrac {5}{12}}

-

{\tfrac {7}{18}}

---

d)

{\tfrac {4}{27}}

-

{\tfrac {5}{36}}

e)

{\tfrac {115}{120}}

-

{\tfrac {81}{90}}

f)

{\tfrac {10}{11}}

-

{\tfrac {11}{13}}

BM1179

Berechne und kürze so weit wie möglich!

---

a)

{\tfrac {13}{14}}

-

{\tfrac {6}{7}}

b)

{\tfrac {11}{20}}

-

{\tfrac {8}{15}}

c)

{\tfrac {8}{15}}

-

{\tfrac {11}{20}}

---

d)

{\tfrac {21}{54}}

-

{\tfrac {19}{48}}

e)

{\tfrac {12}{13}}

-

{\tfrac {10}{11}}

f)

{\tfrac {12}{13}}

-

{\tfrac {15}{17}}

BM1180

Berechne und kürze so weit wie möglich!

---

a)

{\tfrac {29}{60}}

-

{\tfrac {12}{48}}

b)

{\tfrac {15}{63}}

-

{\tfrac {17}{81}}

c)

{\tfrac {35}{91}}

-

{\tfrac {25}{65}}

d)

{\tfrac {11}{36}}

-

{\tfrac {12}{33}}

BM1181 - BM1190

BM1181

Berechne und kürze so weit wie möglich!

---

a)

{\tfrac {150}{24}}

-

{\tfrac {200}{32}}

b)

{\tfrac {200}{32}}

-

{\tfrac {150}{24}}

---

c)

{\tfrac {19}{75}}

-

{\tfrac {11}{45}}

d)

{\tfrac {35}{45}}

-

{\tfrac {28}{36}}

BM1182

Berechne und kürze so weit wie möglich!

---

a)

{\tfrac {21}{12}}

-

{\tfrac {5}{4}}

-

{\tfrac {1}{2}}

b)

{\tfrac {39}{18}}

-

{\tfrac {50}{45}}

-

{\tfrac {11}{36}}

-

{\tfrac {81}{90}}

---

c)

{\tfrac {5}{12}}

-

{\tfrac {3}{8}}

-

{\tfrac {1}{32}}

-

{\tfrac {1}{96}}

BM1183

Berechne und kürze so weit wie möglich!

---

a)

{\tfrac {31}{15}}

-

{\tfrac {7}{5}}

-

{\tfrac {1}{3}}

b)

{\tfrac {17}{66}}

-

{\tfrac {3}{44}}

-

{\tfrac {2}{33}}

-

{\tfrac {7}{55}}

---

c)

{\tfrac {7}{15}}

-

{\tfrac {3}{8}}

-

{\tfrac {1}{60}}

-

{\tfrac {3}{40}}

BM1184

Ermittle in den folgenden Aufgaben x (

x\in \mathbb {N}

; wenn x im Nenner, x≠0)!

---

a)

{\tfrac {5}{8}}

-

{\tfrac {x}{8}}

=

{\tfrac {3}{8}}

b)

{\tfrac {7}{13}}

-

{\tfrac {x}{13}}

=

{\tfrac {7}{13}}

---

c)

{\tfrac {11}{14}}

-

{\tfrac {x}{7}}

=

{\tfrac {5}{14}}

d)

{\tfrac {x}{36}}

-

{\tfrac {1}{6}}

=

{\tfrac {1}{6}}

BM1185

Ermittle in den folgenden Aufgaben x (

x\in \mathbb {N}

; wenn x im Nenner, x≠0)!

---

a)

{\tfrac {5}{9}}

-

{\tfrac {x}{9}}

=

{\tfrac {2}{9}}

b)

{\tfrac {8}{11}}

-

{\tfrac {x}{11}}

=

{\tfrac {0}{11}}

---

c)

{\tfrac {13}{15}}

-

{\tfrac {x}{5}}

=

{\tfrac {1}{15}}

d)

{\tfrac {17}{21}}

-

{\tfrac {x}{17}}

=

{\tfrac {17}{21}}

BM1186

Ermittle in den folgenden Aufgaben x (

x\in \mathbb {N}

; wenn x im Nenner, x≠0)!

---

a)

{\tfrac {x}{27}}

-

{\tfrac {2}{9}}

=

{\tfrac {0}{11}}

b)

{\tfrac {18}{25}}

-

{\tfrac {15}{x}}

=

{\tfrac {3}{4}}

---

c)

{\tfrac {5}{18}}

-

{\tfrac {x}{15}}

=

{\tfrac {13}{90}}

d)

{\tfrac {12}{x}}

-

{\tfrac {1}{3}}

=

{\tfrac {7}{6}}

BM1187

Ermittle in den folgenden Aufgaben x (

x\in \mathbb {N}

; wenn x im Nenner, x≠0)!

---

a)

{\tfrac {x}{39}}

-

{\tfrac {7}{13}}

=

{\tfrac {1}{13}}

b)

{\tfrac {15}{17}}

-

{\tfrac {2}{x}}

=

{\tfrac {9}{10}}

---

c)

{\tfrac {8}{x}}

-

{\tfrac {1}{10}}

=

{\tfrac {1}{10}}

d)

{\tfrac {13}{24}}

-

{\tfrac {x}{3}}

=

{\tfrac {15}{72}}

BM1188

Rechne die Aufgabe in Bild 1!

Lösung BM1188
Bild 1 --- ${\tfrac {4}{5}}$ - ${\tfrac {4}{8}}$ = ${\tfrac {48}{58}}$ - ${\tfrac {45}{85}}$ = ${\tfrac {32}{40}}$ - ${\tfrac {20}{40}}$ = ${\tfrac {12}{40}}$ = ${\tfrac {3}{10}}$

BM1189

Addieren und Subtrahieren gebrochener Zahlen in verschiedenen Darstellungen

---

Auch wenn die gebrochenen Zahlen in Form von Dezimalbrüchen gegeben sind, können wir die Addition und die Subtraktion gebrochener Zahlen auf die entsprechenden Rechenoperationen mit natürlichen Zahlen zurückführen. Das Rechnen mit gebrochenen Zahlen in Dezimalbruchform kann auch kürzer als „Rechnen mit Dezimalbrüchen“ bezeichnet werden.

---

Es soll folgede Summe berechnet werden:

0,5 + 1,25 + 0,018

Wir machen zunächst gleichnamig:

0,500 + 1,250 + 0,018

Gehen wir nun zu Zehnerbrüchen über, so erhalten wir:

{\tfrac {500}{1000}}

+

{\tfrac {1250}{1000}}

+

{\tfrac {18}{1000}}

=

{\tfrac {500+1250+18}{1000}}

---

 500
1250
+ 18
----
1768

---

{\tfrac {500+1250+18}{1000}}

=

{\tfrac {1768}{1000}}

= 1,768

Viele Wege führen nach Rom!

---

Zum gleichen Ergebnis gelangen wir, wenn wir die gleichnamigen Dezimalbrüche untereinander schreiben und diese wie natürliche Zahlen addieren:

 0,500
 1,250
+0,018
------
 1,768

Da Nullen beim Addieren keinen Einfluss auf die Teilsummen haben, können wir auch schreiben:

 0,5 
 1,25 
+0,018
------
 1,768

BM1190

Wenn wir Dezimalbrüche addieren wollen, schreiben wir die Summanden so untereinander, dass Stellen mit dem gleichen Stellenwert jeweils untereinander stehen. Das bedeutet, dass Komma unter Komma stehen muss. Wir addieren stellenweise wie bei den natürlichen Zahlen. Im Ergebnis setzen wir das Komma zwischen die selben Stellen wie in den Summanden.

---

Bei der Subtraktion von Dezimalbrüchen verfarhen wir wie bei der Addition:

34,56 - 13,478

 34,56
-13,478
-------
 21,082

---

164,7 - 65,321 - 12,05

 164,7
- 65,321 
- 12,05
--------
  87,329

BM1191 - BM1200

BM1191

gemein

allgemein

---

1.) gemein: ursprünglich: eine Eigenschaft, die Mehrere gemeinsam hatten, habend

All diesen Leuten ist die Muttersprache Deutsch gemein.

die Gemeine Schlüsselblume (Primula vulgaris)

---

2.) gemein: herablassend: einfach

das gemeine Volk (=die einfachen Leute)

gemeine Brüche = einfache Brüche (z. B.

{\tfrac {2}{5}}

)

---

3.) gemein: abwertend: vulgär

die gemeine Gossensprache

---

4.) gemein: zugespitzt (besonders in der Kindersprache): fies

Wie gemein von dir! (= Das ist böse von Dir!)

BM1192

Manchmal sollen gebrochene Zahlen addiert werden, von denen einige durch gemeine Brüche, andere durch Dezimalbrüche gegeben sind.

---

{\tfrac {2}{5}}

+ 3,87 +

{\tfrac {9}{8}}

+ 0,004

Hier können wir alle auftretenden gemeinen Brüche als Dezimalbrüche schreiben.

 0,4
 3,87
 1,125
+0,004
------
 5,399

BM1193

13,4 +

{\tfrac {7}{3}}

+

{\tfrac {4}{5}}

+ 2,8

Hier können wir nicht alle gemeinen Brüche als Dezimalbrüche schreiben.

Der Bruch

{\tfrac {7}{3}}

liegt nämlich in einer Klasse, in der keine Zehnerbrüche enthalten sind.

Deshalb schreiben wir umgekehrt die Dezimalbrüche als gemeine Brüche.

---

13,4 +

{\tfrac {7}{3}}

+

{\tfrac {4}{5}}

+ 2,8 =

{\tfrac {134}{10}}

+

{\tfrac {7}{3}}

+

{\tfrac {4}{5}}

+

{\tfrac {28}{10}}

=

{\tfrac {402+70+24+84}{30}}

=

{\tfrac {580}{30}}

=

{\tfrac {58}{3}}

---

13,4 +

{\tfrac {7}{3}}

+

{\tfrac {4}{5}}

+ 2,8 =

{\tfrac {58}{3}}

BM1194

Gebrochene Zahlen, die sich durch Brüche mit dem Nenner 1 angeben lassen, verhalten sich bei der Addition und beider Subtraktion wie die ihnen zugeordneten natürlichen Zahlen.

---

gebrochene Zahlen:

{\tfrac {1}{1}}

+

{\tfrac {6}{1}}

=

{\tfrac {7}{1}}

natürliche Zahlen: 1 + 6 + 7

---

gebrochene Zahlen:

{\tfrac {9}{1}}

+

{\tfrac {12}{1}}

=

{\tfrac {21}{1}}

natürliche Zahlen: 9 + 12 = 21

---

gebrochene Zahlen:

{\tfrac {42}{1}}

-

{\tfrac {27}{1}}

=

{\tfrac {15}{1}}

natürliche Zahlen: 42 - 27 = 15

---

Bei der Addition und bei der Subtraktion verhalten sich gebrochene Zahlen, die sich druch Brüch mit dem Nenner 1 darstellen lassen, wie die ihnen zugeordneten Zahlen. Deshlab können die natürlichen Zahlen und die ihnen zugeordneten gebrochenen Zahlen beim Addieren und Subtrahieren gegenseitig ersetzt werden.

BM1195

Gebrochene Zahlen können in drei unterschiedlcihen Formen vorkommen:

1.) gemeiner Bruch (= echte Brüche)

z. B.

{\tfrac {4}{9}}

;

{\tfrac {14}{7}}

Die Zahl über dem Bruchstrich ist der Zähler und die Zahl unter dem Bruchstrich ist der Nenner.

Der Nenner gibt an in, wie viele gleiche Teile das Ganze geteil wird.

Der Zähler gibt an, wie viele solche gleichen Teile es gibt.

---

2.) Dezimalbruch (= Dezimalzahl)

z. B. 7,65; 0,043

Die Stelle nach dem Komma hat den Stellenwert

{\tfrac {1}{10}}

Die zweite Stelle nach dem Komma hat den Stellenwert

{\tfrac {1}{100}}

Die dritte Stelle nach dem Komma hat den Stellenwert

{\tfrac {1}{1000}}

usw.

---

3.) gemischte Zahl

z. B. 4

{\tfrac {1}{14}}

(lies: „Vier ein Vierzehntel“)

4

{\tfrac {1}{14}}

= 4 +

{\tfrac {1}{14}}

Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruch.

---

echte Brüche: Bei echten Brüchen ist der Zähler kleiner als der Nenner. (

{\tfrac {4}{10}}

) Die Zahl ist also kleiner als „1“.

unechte Brüche: Bei unechten Brüchen ist der Zähler größer als der Nenner. (

{\tfrac {12}{10}}

) Die Zahl ist also größer als „1“.

Unechte Brüche (= unecht gebrochene Zahlen) (

{\tfrac {12}{10}}

) können in gemischte Zahlen umgewandelt werden (1

{\tfrac {2}{10}}

)

BM1196

Schreibe die unechten Brüche als gemischte Zahlen!

---

a)

{\tfrac {440}{20}}

b)

{\tfrac {40}{1}}

c)

{\tfrac {5}{2}}

d)

{\tfrac {13}{3}}

---

e)

{\tfrac {45}{3}}

f)

{\tfrac {467}{13}}

g)

{\tfrac {17}{4}}

h)

{\tfrac {19}{5}}

BM1197

Gemischte Zahlen in unechte Brüche umrechnen!

---

3

{\tfrac {2}{5}}

Dazu multipliziert man im ersten Schritt 3*5. Das ergibt 15.

Im zweiten Schritt addiert man zu dem Ergebnis 15 einfach die 2 dazu. 15+2=17

3

{\tfrac {2}{5}}

=

{\tfrac {17}{5}}

---

Viele Wege führ'n nach Rom.

Ein etwas anderer Rechenweg wäre:

3

{\tfrac {2}{5}}

=

{\tfrac {3}{1}}

+

{\tfrac {2}{5}}

=

{\tfrac {3*5}{1*5}}

+

{\tfrac {2}{5}}

=

{\tfrac {15}{5}}

+

{\tfrac {2}{5}}

=

{\tfrac {17}{5}}

BM1198

Schreibe die gemischten Zahlen als unechte Brüche!

---

a) 5

{\tfrac {3}{4}}

b) 7

{\tfrac {1}{9}}

c) 13

{\tfrac {1}{17}}

d) 4

{\tfrac {7}{8}}

---

e) 2

{\tfrac {9}{8}}

f) 14

{\tfrac {5}{40}}

g) 31

{\tfrac {13}{72}}

h) 7

{\tfrac {7}{7}}

BM1199

Gemischten Zahlen addieren bzw. subtrahieren

---

5

{\tfrac {1}{2}}

+ 7

{\tfrac {1}{9}}

Wir addieren die ganzen Zahlen und die Brüche getrennt. Dazu müssen wir allerdings die Brüche gleichnamig machen.

5

{\tfrac {1}{2}}

+ 7

{\tfrac {1}{9}}

= 5

{\tfrac {9}{18}}

+ 7

{\tfrac {2}{18}}

= 12

{\tfrac {11}{18}}

---

13

{\tfrac {1}{17}}

- 4

{\tfrac {1}{5}}

= 13

{\tfrac {5}{85}}

- 4

{\tfrac {17}{85}}

= 13

{\tfrac {5}{85}}

- 4

{\tfrac {17}{85}}

= 12

{\tfrac {90}{85}}

- 4

{\tfrac {17}{85}}

= 8

{\tfrac {73}{85}}

---

Rechne!

4

{\tfrac {7}{8}}

- 2

{\tfrac {8}{9}}

14

{\tfrac {5}{40}}

- 2

{\tfrac {1}{18}}

BM1200

Ein Ganzes

---

Schreibt man 1 Ganzes als Bruch, so sind Zähler und Nenner identisch.

{\tfrac {2}{2}}

{\tfrac {1}{1}}

{\tfrac {13}{13}}

---

mehrere Ganze

---

Teile genau eine Torte in vier Teile und nimm alle davon!

{\tfrac {4}{4}}

---

Teile zwei Torten in jeweils vier Teile und nimm alle davon!

{\tfrac {4}{4}}

+

{\tfrac {4}{4}}

=

{\tfrac {8}{4}}

---

Teile drei Torten in jeweils vier Teile und nimm alle davon!

{\tfrac {4}{4}}

+

{\tfrac {4}{4}}

+

{\tfrac {4}{4}}

=

{\tfrac {12}{4}}

---

Teile 3 Torten jeweils in 8 Teile!

{\tfrac {8}{8}}

+

{\tfrac {8}{8}}

+

{\tfrac {8}{8}}

=

{\tfrac {24}{8}}

---

Schreibt man mehrere Ganze als Bruch, so ist der Zähler ein Vielfaches des Nenners.

{\tfrac {18}{6}}

{\tfrac {15}{5}}

{\tfrac {6}{3}}

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