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Lección 076
Mathematik auf Deutsch - 26
BM1251
Bei der Multiplikation gebrochener Zahlen verhalten sich gebrochenen Zahlen, die sich durch Brüche mit dem Nenner 1 darstellen lassen, wie die ihnen zugeordneten natürlichen Zahlen.
Beispiel BM1251
7
5
{\displaystyle {\tfrac {7}{5}}}
* 3 =
7
5
{\displaystyle {\tfrac {7}{5}}}
*
3
1
{\displaystyle {\tfrac {3}{1}}}
=
21
5
{\displaystyle {\tfrac {21}{5}}}
3 kann durch
3
1
{\displaystyle {\tfrac {3}{1}}}
ersetzt werden
---
oder kürzer:
7
5
{\displaystyle {\tfrac {7}{5}}}
* 3 =
7
∗
3
5
{\displaystyle {\tfrac {7*3}{5}}}
=
21
5
{\displaystyle {\tfrac {21}{5}}}
BM1252
Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
Kommutativität der Multiplikation
---
Ebenso wie in der Menge der natürlichen Zahlen (ℕ) gilt auch in der Menge der gebrochenen Zahlen (rationale Zahlen; ℚ) die Kommutativität der Multiplikation.
5 * 11 = 11 * 5
3
5
{\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}
*
2
7
{\displaystyle {\tfrac {2}{7}}}
=
2
7
{\displaystyle {\tfrac {2}{7}}}
*
3
5
{\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}
In einem Produkt gebrochener Zahlen mit zwei Faktoren können die Faktoren vertauscht werden:
a
b
{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}
*
c
d
{\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}
=
c
d
{\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}
*
a
b
{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}
BM1253
Assoziativgesetz (Verknüpfungsgesetz oder auch Verbindungsgesetz)
Assoziativität der Multiplikation
---
Ebenso wie in der Menge der natürlichen Zahlen (ℕ) gilt auch in der Menge der gebrochenen Zahlen (rationale Zahlen; ℚ) die Assoziativität der Multiplikation.
(2 * 5) * 3 = 2 * (5 * 3) = 2 * 5 * 3
(
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
*
2
3
{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}
) *
7
8
{\displaystyle {\tfrac {7}{8}}}
=
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
* (
2
3
{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}
*
7
8
{\displaystyle {\tfrac {7}{8}}}
)
(
a
b
{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}
*
c
d
{\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}
) *
e
f
{\displaystyle {\tfrac {e}{f}}}
=
a
b
{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}
* (
c
d
{\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}
*
e
f
{\displaystyle {\tfrac {e}{f}}}
) =
a
b
{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}
*
c
d
{\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}
*
e
f
{\displaystyle {\tfrac {e}{f}}}
Die Reihenfolge von zwei Multiplikationen gebrochener Zahlen ist beliebig.
BM1254
Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
Distributivität der Multiplikation
---
Ebenso wie in der Menge der natürlichen Zahlen (ℕ) gilt auch in der Menge der gebrochenen Zahlen (rationale Zahlen; ℚ) die Distributivität der Multiplikation.
3 * (2 + 5) = 3 * 2 + 3 * 5
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
* (
2
3
{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}
+
7
8
{\displaystyle {\tfrac {7}{8}}}
) =
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
*
2
3
{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}
+
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
*
7
8
{\displaystyle {\tfrac {7}{8}}}
Zur Kontrolle wollen wir beide Seiten ausrechnen:
rechte Seite:
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
* (
2
3
{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}
+
7
8
{\displaystyle {\tfrac {7}{8}}}
) =
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
* (
16
24
{\displaystyle {\tfrac {16}{24}}}
+
21
24
{\displaystyle {\tfrac {21}{24}}}
) =
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
*
37
24
{\displaystyle {\tfrac {37}{24}}}
=
37
48
{\displaystyle {\tfrac {37}{48}}}
---
linke Seite:
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
*
2
3
{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}
+
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
*
7
8
{\displaystyle {\tfrac {7}{8}}}
=
2
6
{\displaystyle {\tfrac {2}{6}}}
+
7
16
{\displaystyle {\tfrac {7}{16}}}
=
2
2
∗
3
{\displaystyle {\tfrac {2}{2*3}}}
+
7
2
∗
2
∗
2
∗
2
{\displaystyle {\tfrac {7}{2*2*2*2}}}
=
16
48
{\displaystyle {\tfrac {16}{48}}}
+
21
48
{\displaystyle {\tfrac {21}{48}}}
=
37
48
{\displaystyle {\tfrac {37}{48}}}
---
Also: linke Seite = rechte Seite
BM1255
Es gilt für beliebige gebrochene Zahlen
a
b
{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}
:
a
b
{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}
* 0 = 0
und
a
b
{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}
* 1 = 1
---
Man kann sich die Multiplikation von Brüchen auch so vorstellen:
a
b
{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}
*
c
d
{\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}
=
1
b
{\displaystyle {\tfrac {1}{b}}}
*
1
d
{\displaystyle {\tfrac {1}{d}}}
* a * c
BM1256
1
4
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}
*
1
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}
Man schneidet von einem Kuchen zuerst den 4. Teil ab (rot). Davon schneidet man danach nochmals den 12. Teil ab (blau). So hat man insgesamt den 12. Teil abgeschnitten (blau).
---
1
4
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}
*
1
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}
=
1
∗
1
4
∗
3
{\displaystyle {\tfrac {1*1}{4*3}}}
=
1
12
{\displaystyle {\tfrac {1}{12}}}
BM1257
Berechne!
---
a)
3
4
{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}
*
3
5
{\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}
b)
4
7
{\displaystyle {\tfrac {4}{7}}}
*
1
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}
c)
8
3
{\displaystyle {\tfrac {8}{3}}}
*
1
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}
---
d)
1
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}
*
5
1
{\displaystyle {\tfrac {5}{1}}}
e)
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
*
3
8
{\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}
f)
3
7
{\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}
*
5
7
{\displaystyle {\tfrac {5}{7}}}
BM1258
Berechne!
---
a)
2
3
{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}
*
3
4
{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}
b)
5
8
{\displaystyle {\tfrac {5}{8}}}
*
1
4
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}
c)
7
4
{\displaystyle {\tfrac {7}{4}}}
*
2
3
{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}
---
d)
4
1
{\displaystyle {\tfrac {4}{1}}}
*
1
4
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}
e)
1
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}
*
4
9
{\displaystyle {\tfrac {4}{9}}}
f)
2
5
{\displaystyle {\tfrac {2}{5}}}
*
3
5
{\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}
BM1259
Berechne!
---
a)
2
7
{\displaystyle {\tfrac {2}{7}}}
*
1
8
{\displaystyle {\tfrac {1}{8}}}
b)
3
11
{\displaystyle {\tfrac {3}{11}}}
*
12
11
{\displaystyle {\tfrac {12}{11}}}
c)
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
*
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
---
d)
4
4
{\displaystyle {\tfrac {4}{4}}}
*
5
5
{\displaystyle {\tfrac {5}{5}}}
e)
3
2
{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}
*
7
4
{\displaystyle {\tfrac {7}{4}}}
f)
8
15
{\displaystyle {\tfrac {8}{15}}}
*
15
8
{\displaystyle {\tfrac {15}{8}}}
BM1260
Berechne!
---
a)
3
8
{\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}
*
1
7
{\displaystyle {\tfrac {1}{7}}}
b)
4
13
{\displaystyle {\tfrac {4}{13}}}
*
14
13
{\displaystyle {\tfrac {14}{13}}}
c)
1
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}
*
1
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}
---
d)
7
7
{\displaystyle {\tfrac {7}{7}}}
*
3
3
{\displaystyle {\tfrac {3}{3}}}
e)
5
3
{\displaystyle {\tfrac {5}{3}}}
*
7
6
{\displaystyle {\tfrac {7}{6}}}
f)
11
13
{\displaystyle {\tfrac {11}{13}}}
*
13
11
{\displaystyle {\tfrac {13}{11}}}
BM1261
Berechne!
---
a)
7
2
{\displaystyle {\tfrac {7}{2}}}
*
3
4
{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}
b)
9
11
{\displaystyle {\tfrac {9}{11}}}
*
9
13
{\displaystyle {\tfrac {9}{13}}}
c)
13
4
{\displaystyle {\tfrac {13}{4}}}
*
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
---
d)
8
8
{\displaystyle {\tfrac {8}{8}}}
*
9
9
{\displaystyle {\tfrac {9}{9}}}
e)
11
17
{\displaystyle {\tfrac {11}{17}}}
*
16
17
{\displaystyle {\tfrac {16}{17}}}
f)
3
5
{\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}
*
0
2
{\displaystyle {\tfrac {0}{2}}}
BM1262
Berechne!
---
a)
5
8
{\displaystyle {\tfrac {5}{8}}}
*
11
3
{\displaystyle {\tfrac {11}{3}}}
b)
8
9
{\displaystyle {\tfrac {8}{9}}}
*
8
17
{\displaystyle {\tfrac {8}{17}}}
c)
13
4
{\displaystyle {\tfrac {13}{4}}}
*
1
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}
---
d)
7
7
{\displaystyle {\tfrac {7}{7}}}
*
11
11
{\displaystyle {\tfrac {11}{11}}}
e)
0
3
{\displaystyle {\tfrac {0}{3}}}
*
11
28
{\displaystyle {\tfrac {11}{28}}}
f)
2
19
{\displaystyle {\tfrac {2}{19}}}
*
18
19
{\displaystyle {\tfrac {18}{19}}}
BM1263
Kürze so weit wie möglich, bevor du multiplizierst!
---
a)
8
15
{\displaystyle {\tfrac {8}{15}}}
*
3
4
{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}
b)
9
18
{\displaystyle {\tfrac {9}{18}}}
*
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
c)
3
7
{\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}
*
17
51
{\displaystyle {\tfrac {17}{51}}}
---
d)
13
27
{\displaystyle {\tfrac {13}{27}}}
*
9
26
{\displaystyle {\tfrac {9}{26}}}
e)
12
18
{\displaystyle {\tfrac {12}{18}}}
* 1
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
f) 2
1
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}
*
5
11
{\displaystyle {\tfrac {5}{11}}}
BM1264
a)
9
12
{\displaystyle {\tfrac {9}{12}}}
*
96
81
{\displaystyle {\tfrac {96}{81}}}
b)
11
33
{\displaystyle {\tfrac {11}{33}}}
*
1
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}
c)
5
8
{\displaystyle {\tfrac {5}{8}}}
*
16
64
{\displaystyle {\tfrac {16}{64}}}
---
d)
15
26
{\displaystyle {\tfrac {15}{26}}}
*
65
75
{\displaystyle {\tfrac {65}{75}}}
e)
15
8
{\displaystyle {\tfrac {15}{8}}}
*
22
100
{\displaystyle {\tfrac {22}{100}}}
f)
35
48
{\displaystyle {\tfrac {35}{48}}}
*
36
25
{\displaystyle {\tfrac {36}{25}}}
BM1265
a)
7
3
{\displaystyle {\tfrac {7}{3}}}
* 5
1
4
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}
b)
12
18
{\displaystyle {\tfrac {12}{18}}}
* 1
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
c) 2
1
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}
*
5
11
{\displaystyle {\tfrac {5}{11}}}
BM1266
a)
11
18
{\displaystyle {\tfrac {11}{18}}}
* 3
3
5
{\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}
b)
17
24
{\displaystyle {\tfrac {17}{24}}}
* 5
20
34
{\displaystyle {\tfrac {20}{34}}}
c) 3
2
4
{\displaystyle {\tfrac {2}{4}}}
*
20
21
{\displaystyle {\tfrac {20}{21}}}
BM1267
Ermittle in den folgenden Gleichungen x bzw. y (x, y ∈ ℕ; y ≠ 0)!
---
a)
3
5
{\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}
*
x
4
{\displaystyle {\tfrac {x}{4}}}
=
21
20
{\displaystyle {\tfrac {21}{20}}}
b)
4
7
{\displaystyle {\tfrac {4}{7}}}
*
x
3
{\displaystyle {\tfrac {x}{3}}}
=
19
21
{\displaystyle {\tfrac {19}{21}}}
---
c)
8
11
{\displaystyle {\tfrac {8}{11}}}
*
x
8
{\displaystyle {\tfrac {x}{8}}}
=
2
1
{\displaystyle {\tfrac {2}{1}}}
d)
9
8
{\displaystyle {\tfrac {9}{8}}}
*
x
4
{\displaystyle {\tfrac {x}{4}}}
=
9
8
{\displaystyle {\tfrac {9}{8}}}
BM1268
Ermittle in den folgenden Gleichungen x bzw. y (x, y ∈ ℕ; y ≠ 0)!
---
a)
2
3
{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}
*
x
4
{\displaystyle {\tfrac {x}{4}}}
=
10
12
{\displaystyle {\tfrac {10}{12}}}
b)
3
5
{\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}
*
x
4
{\displaystyle {\tfrac {x}{4}}}
=
3
2
{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}
---
c)
7
9
{\displaystyle {\tfrac {7}{9}}}
*
x
7
{\displaystyle {\tfrac {x}{7}}}
=
5
1
{\displaystyle {\tfrac {5}{1}}}
d)
5
6
{\displaystyle {\tfrac {5}{6}}}
*
x
3
{\displaystyle {\tfrac {x}{3}}}
=
5
6
{\displaystyle {\tfrac {5}{6}}}
BM1269
Ermittle in den folgenden Gleichungen x bzw. y (x, y ∈ ℕ; y ≠ 0)!
---
a)
x
5
{\displaystyle {\tfrac {x}{5}}}
*
3
5
{\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}
=
0
2
{\displaystyle {\tfrac {0}{2}}}
b)
x
17
{\displaystyle {\tfrac {x}{17}}}
*
34
3
{\displaystyle {\tfrac {34}{3}}}
=
5
6
{\displaystyle {\tfrac {5}{6}}}
---
c)
4
7
{\displaystyle {\tfrac {4}{7}}}
*
3
y
{\displaystyle {\tfrac {3}{y}}}
=
12
15
{\displaystyle {\tfrac {12}{15}}}
d)
5
y
{\displaystyle {\tfrac {5}{y}}}
*
11
4
{\displaystyle {\tfrac {11}{4}}}
=
5
2
{\displaystyle {\tfrac {5}{2}}}
BM1270
Ermittle in den folgenden Gleichungen x bzw. y (x, y ∈ ℕ; y ≠ 0)!
---
a)
x
15
{\displaystyle {\tfrac {x}{15}}}
*
75
7
{\displaystyle {\tfrac {75}{7}}}
=
9
14
{\displaystyle {\tfrac {9}{14}}}
b)
x
3
{\displaystyle {\tfrac {x}{3}}}
*
7
8
{\displaystyle {\tfrac {7}{8}}}
=
0
11
{\displaystyle {\tfrac {0}{11}}}
---
c)
3
8
{\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}
*
8
y
{\displaystyle {\tfrac {8}{y}}}
=
7
7
{\displaystyle {\tfrac {7}{7}}}
d)
8
y
{\displaystyle {\tfrac {8}{y}}}
*
1
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}
=
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
BM1271
Ermittle einige Lösungen für x und y (x, y ∈ ℕ; y ≠ 0), darunter immer die, in denen x und y zueinander teilerfremd sind!
---
a)
3
4
{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}
*
x
y
{\displaystyle {\tfrac {x}{y}}}
=
15
8
{\displaystyle {\tfrac {15}{8}}}
b)
5
8
{\displaystyle {\tfrac {5}{8}}}
*
x
y
{\displaystyle {\tfrac {x}{y}}}
=
0
3
{\displaystyle {\tfrac {0}{3}}}
---
c)
x
y
{\displaystyle {\tfrac {x}{y}}}
*
5
2
{\displaystyle {\tfrac {5}{2}}}
=
2
5
{\displaystyle {\tfrac {2}{5}}}
d)
3
8
{\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}
*
x
y
{\displaystyle {\tfrac {x}{y}}}
=
3
8
{\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}
BM1272
Ermittle einige Lösungen für x und y (x, y ∈ ℕ; y ≠ 0), darunter immer die, in denen x und y zueinander teilerfremd sind!
---
a)
5
7
{\displaystyle {\tfrac {5}{7}}}
*
x
y
{\displaystyle {\tfrac {x}{y}}}
=
20
21
{\displaystyle {\tfrac {20}{21}}}
b)
3
4
{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}
*
x
y
{\displaystyle {\tfrac {x}{y}}}
=
3
8
{\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}
---
c)
5
3
{\displaystyle {\tfrac {5}{3}}}
*
x
y
{\displaystyle {\tfrac {x}{y}}}
=
0
11
{\displaystyle {\tfrac {0}{11}}}
d)
8
11
{\displaystyle {\tfrac {8}{11}}}
*
x
y
{\displaystyle {\tfrac {x}{y}}}
=
8
11
{\displaystyle {\tfrac {8}{11}}}
BM1273
Berechne!
---
a)
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
*
1
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}
*
1
4
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}
b)
5
2
{\displaystyle {\tfrac {5}{2}}}
*
4
3
{\displaystyle {\tfrac {4}{3}}}
*
3
4
{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}
---
c)
13
37
{\displaystyle {\tfrac {13}{37}}}
*
0
11
{\displaystyle {\tfrac {0}{11}}}
*
28
29
{\displaystyle {\tfrac {28}{29}}}
d)
2
3
{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}
*
2
3
{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}
*
2
3
{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}
BM1274
Berechne!
---
a)
1
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}
*
1
4
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}
*
1
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}
b)
8
3
{\displaystyle {\tfrac {8}{3}}}
*
7
11
{\displaystyle {\tfrac {7}{11}}}
*
3
8
{\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}
---
c)
3
4
{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}
*
3
4
{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}
*
3
4
{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}
d)
8
51
{\displaystyle {\tfrac {8}{51}}}
*
15
17
{\displaystyle {\tfrac {15}{17}}}
*
0
31
{\displaystyle {\tfrac {0}{31}}}
BM1275
Berechne und kontrolliere das Ergebnis!
---
a)
5
2
{\displaystyle {\tfrac {5}{2}}}
* (
3
4
{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}
+
1
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}
)
b)
7
4
{\displaystyle {\tfrac {7}{4}}}
* (
1
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}
+
2
3
{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}
)
---
c)
8
11
{\displaystyle {\tfrac {8}{11}}}
* (
7
4
{\displaystyle {\tfrac {7}{4}}}
-
3
8
{\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}
)
d)
17
91
{\displaystyle {\tfrac {17}{91}}}
* (
12
30
{\displaystyle {\tfrac {12}{30}}}
-
4
10
{\displaystyle {\tfrac {4}{10}}}
)
BM1276
Berechne und kontrolliere das Ergebnis!
---
a)
3
7
{\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}
* (
11
4
{\displaystyle {\tfrac {11}{4}}}
+
1
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}
)
b)
8
5
{\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}
* (
3
7
{\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}
+
1
4
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}
)
---
c)
5
13
{\displaystyle {\tfrac {5}{13}}}
* (
54
20
{\displaystyle {\tfrac {54}{20}}}
-
1
10
{\displaystyle {\tfrac {1}{10}}}
)
d)
11
13
{\displaystyle {\tfrac {11}{13}}}
* (
2
5
{\displaystyle {\tfrac {2}{5}}}
-
3
5
{\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}
)
BM1277
Gib das Produkt sowohl als Dezimalbruch als auch als möglichst weit gekürzten gemeinen Bruch an!
---
a) 0,3 * 0,5
b) 0,7 * 0,15
---
c) 0,12 * 0,12
d) 0,125 * 0,5
BM1278
Gib das Produkt sowohl als Dezimalbruch als auch als möglichst weit gekürzten gemeinen Bruch an!
---
a) 0,4 * 0,7
b) 0,6 * 0,18
---
c) 0,15 * 0,15
d) 0,125 * 0,8
BM1279
Gib das Produkt sowohl als Dezimalbruch als auch als möglichst weit gekürzten gemeinen Bruch an!
---
a) 0,36 * 0,75
b) 0,75 * 1,2
---
c) 33,2 * 0,072
d) 0,0038 * 11,2
BM1280
Gib das Produkt sowohl als Dezimalbruch als auch als möglichst weit gekürzten gemeinen Bruch an!
---
a) 0,24 * 0,25
b) 0,85 * 1,4
---
c) 15,7 * 0,018
d) 0,0084 * 13,7
BM1281
Gib das Produkt sowohl als Dezimalbruch als auch als möglichst weit gekürzten gemeinen Bruch an!
---
a) 0,2 * 0,5 * 0,8
b) 0,12 * 0,4 * 0,05
c) 1,2 * 0,8 * 1,1
---
d) 81,4 * 0,6 * 4,5
e) 0,01 * 0,01 * 0,01
f) 0,01 * 1,0 * 0,01
BM1282
Gib das Produkt sowohl als Dezimalbruch als auch als möglichst weit gekürzten gemeinen Bruch an!
---
a) 0,3 * 0,4 * 0,5
b) 0,15 * 0,6 * 0,07
c) 17,8 * 0,2 * 0,04
---
d) 74,4 * 0,68 * 2,1
e) 0,2 * 2,0 * 0,02
f) 0,2 * 0,2 * 0,2
BM1283
Reziproker Bruch
b
a
{\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}
ist das Reziproke der gebrochenen Zahl
a
b
{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}
(a≠0; b≠0; a, b ∈ ℕ)
---
Beispiele:
2
3
{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}
und
3
2
{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}
4
1
{\displaystyle {\tfrac {4}{1}}}
und
1
4
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}
9
9
{\displaystyle {\tfrac {9}{9}}}
und
9
9
{\displaystyle {\tfrac {9}{9}}}
---
Das Produkt aus einer beliebigen von Null verschiedenen gebrochenen Zahl und ihrem Reziproken ist gleich 1.
---
Kehrwert (umkehren; umdrehen; vertauschen)
---
2
3
{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}
*
3
2
{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}
=
2
∗
3
3
∗
2
{\displaystyle {\tfrac {2*3}{3*2}}}
= 1
7
15
{\displaystyle {\tfrac {7}{15}}}
*
15
7
{\displaystyle {\tfrac {15}{7}}}
=
7
∗
15
15
∗
7
{\displaystyle {\tfrac {7*15}{15*7}}}
= 1
---
a
b
{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}
*
b
a
{\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}
=
a
∗
b
b
∗
a
{\displaystyle {\tfrac {a*b}{b*a}}}
= 1
---
b
a
{\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}
ist der Kehrwert von
a
b
{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}
Umgekehr kann man das auch sagen:
a
b
{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}
ist der Kehrwert von
b
a
{\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}
---
7
15
{\displaystyle {\tfrac {7}{15}}}
ist der Kehrwert von
15
7
{\displaystyle {\tfrac {15}{7}}}
BM1284
Die Division gebrochener Zahlen
---
Gebrochene Zahlen werden dividiert, indem man den Dividenden mit dem Reziproken des Divisiors multipliziert.
---
Wir erinnern uns:
a : b = c
Dividend durch Divisor ist gleich Quotienten
---
a
b
{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}
:
c
d
{\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}
=
a
b
{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}
*
d
c
{\displaystyle {\tfrac {d}{c}}}
=
a
d
b
c
{\displaystyle {\tfrac {ad}{bc}}}
Beispiel:
2
3
{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}
:
4
5
{\displaystyle {\tfrac {4}{5}}}
=
2
3
{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}
*
5
4
{\displaystyle {\tfrac {5}{4}}}
=
2
∗
5
3
∗
4
{\displaystyle {\tfrac {2*5}{3*4}}}
=
10
12
{\displaystyle {\tfrac {10}{12}}}
=
5
6
{\displaystyle {\tfrac {5}{6}}}
---
Die Division in der Menge der gebrochenen Zahlen (ℚ = rationale Zahlen = gebrochene Zahlen) ist die Umkehrung der Multiplikation.
---
Gemischte Zahlen schreiben wir vor dem Dividieren als unechte Brüche.
3
1
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}
: 4
3
4
{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}
=
10
3
{\displaystyle {\tfrac {10}{3}}}
:
19
4
{\displaystyle {\tfrac {19}{4}}}
=
10
3
{\displaystyle {\tfrac {10}{3}}}
*
4
19
{\displaystyle {\tfrac {4}{19}}}
=
10
∗
4
3
∗
19
{\displaystyle {\tfrac {10*4}{3*19}}}
=
40
57
{\displaystyle {\tfrac {40}{57}}}
BM1285
Bild 1
Bild 2
Doppelbruch
---
Die Division
a
b
{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}
:
c
d
{\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}
kann auch als Doppelbruch
a
b
c
d
{\displaystyle {\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}}
geschrieben werden.
---
Bild 3
Der Hauptbruchstrich wird stärker und/oder länger geschrieben, damit es keine Irrtümer gibt. UND das Gleichheitszeichen wird in Höhe des Hauptbruchstrichs geschrieben. (Bild 3)
BM1286
Term
---
In der Mathematik bezeichnet ein Term einen sinnvollen Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen und Klammern enthalten kann. Terme sind die syntaktisch korrekt gebildeten Wörter oder Wortgruppen in der formalen Sprache der Mathematik.
In der Praxis wird der Begriff häufig benutzt, um über einzelne Bestandteile einer Formel oder eines größeren Terms zu reden.
BM1287
Doppelbruch
---
Ein Doppelbruch ist in der Mathematik ein Term, bei dem ein Bruch (Beispiel: ein Fünftel) durch einen weiteren Bruch geteilt wird. Es ist möglich, statt des üblichen Zeichens für Division einen weiteren Bruchstrich zu schreiben, bei dem Zähler und Nenner wiederum Brüche sind. Doppelbrüche lassen sich durch Erweitern mit einem geeigneten Faktor vereinfachen:
a
b
c
=
a
b
⋅
b
c
⋅
b
=
a
c
⋅
b
{\displaystyle {{\frac {a}{b}} \over {c}}={{\frac {a}{b}}\cdot {b} \over {{c}\cdot {b}}}={\frac {a}{{c}\cdot {b}}}}
Hinweis: Dies gilt nur für
b
,
c
≠
0
{\displaystyle {b},{c}\neq 0}
, denn durch
0
{\displaystyle 0}
darf nicht dividiert werden.
---
Folgende Regel ist bekannter und einfacher zu verstehen: Doppelbrüche werden durcheinander dividiert, indem man den Zählerbruch mit dem Kehrwert des Nennerbruchs multipliziert:
a
b
c
d
=
a
b
⋅
d
c
=
a
d
b
c
{\displaystyle {\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}}={{ad} \over {bc}}}
mit
b
,
c
,
d
≠
0
{\displaystyle b,c,d\neq 0}
.
Im ersten Beispiel ist
c
{\displaystyle c}
ein Bruch mit dem Nenner 1 :
a
b
c
=
a
b
c
1
=
a
b
⋅
1
c
=
a
b
c
{\displaystyle {\frac {\frac {a}{b}}{c}}={\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{1}}}={{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {1}{c}}}={{a} \over {bc}}}
BM1288
Bilde das Reziproke folgender gebrochener Zahlen!
---
a)
3
5
{\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}
b)
7
2
{\displaystyle {\tfrac {7}{2}}}
c)
4
1
{\displaystyle {\tfrac {4}{1}}}
---
d)
1
4
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}
e)
3
16
{\displaystyle {\tfrac {3}{16}}}
f)
15
15
{\displaystyle {\tfrac {15}{15}}}
BM1289
Bilde das Reziproke folgender gebrochener Zahlen!
---
a)
5
8
{\displaystyle {\tfrac {5}{8}}}
b)
2
3
{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}
c)
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
---
d)
2
1
{\displaystyle {\tfrac {2}{1}}}
e)
7
5
{\displaystyle {\tfrac {7}{5}}}
f) 1
BM1290
Berechne und kontrolliere das Ergebnis!
---
a)
1
4
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}
:
1
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}
b)
1
6
{\displaystyle {\tfrac {1}{6}}}
:
11
12
{\displaystyle {\tfrac {11}{12}}}
c)
11
12
{\displaystyle {\tfrac {11}{12}}}
:
1
6
{\displaystyle {\tfrac {1}{6}}}
---
d)
2
3
{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}
:
1
6
{\displaystyle {\tfrac {1}{6}}}
e)
3
4
{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}
:
2
5
{\displaystyle {\tfrac {2}{5}}}
f)
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
:
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
BM1291
Berechne und kontrolliere das Ergebnis!
---
a)
1
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}
:
1
4
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}
b)
1
8
{\displaystyle {\tfrac {1}{8}}}
:
9
12
{\displaystyle {\tfrac {9}{12}}}
c)
9
12
{\displaystyle {\tfrac {9}{12}}}
:
1
8
{\displaystyle {\tfrac {1}{8}}}
---
d)
4
7
{\displaystyle {\tfrac {4}{7}}}
:
1
8
{\displaystyle {\tfrac {1}{8}}}
e)
3
5
{\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}
:
9
10
{\displaystyle {\tfrac {9}{10}}}
f)
3
4
{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}
:
3
4
{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}
BM1292
Berechne und kontrolliere das Ergebnis!
---
a)
0
56
{\displaystyle {\tfrac {0}{56}}}
:
3
8
{\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}
b)
28
56
{\displaystyle {\tfrac {28}{56}}}
:
7
8
{\displaystyle {\tfrac {7}{8}}}
c)
19
72
{\displaystyle {\tfrac {19}{72}}}
:
38
36
{\displaystyle {\tfrac {38}{36}}}
---
d)
81
13
{\displaystyle {\tfrac {81}{13}}}
:
18
31
{\displaystyle {\tfrac {18}{31}}}
e)
45
23
{\displaystyle {\tfrac {45}{23}}}
:
9
46
{\displaystyle {\tfrac {9}{46}}}
f)
97
16
{\displaystyle {\tfrac {97}{16}}}
:
35
24
{\displaystyle {\tfrac {35}{24}}}
BM1293
Berechne und kontrolliere das Ergebnis!
---
a)
18
54
{\displaystyle {\tfrac {18}{54}}}
:
1
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}
b)
11
15
{\displaystyle {\tfrac {11}{15}}}
:
44
45
{\displaystyle {\tfrac {44}{45}}}
c)
13
64
{\displaystyle {\tfrac {13}{64}}}
:
169
8
{\displaystyle {\tfrac {169}{8}}}
---
d)
51
37
{\displaystyle {\tfrac {51}{37}}}
:
17
74
{\displaystyle {\tfrac {17}{74}}}
e)
26
55
{\displaystyle {\tfrac {26}{55}}}
:
65
77
{\displaystyle {\tfrac {65}{77}}}
f)
0
4
{\displaystyle {\tfrac {0}{4}}}
:
3
8
{\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}
BM1294
Berechne und kontrolliere das Ergebnis!
---
a)
63
18
{\displaystyle {\tfrac {63}{18}}}
:
54
21
{\displaystyle {\tfrac {54}{21}}}
b)
63
54
{\displaystyle {\tfrac {63}{54}}}
:
18
21
{\displaystyle {\tfrac {18}{21}}}
c)
63
54
{\displaystyle {\tfrac {63}{54}}}
:
21
18
{\displaystyle {\tfrac {21}{18}}}
---
d)
112
77
{\displaystyle {\tfrac {112}{77}}}
:
28
33
{\displaystyle {\tfrac {28}{33}}}
e) 4
3
5
{\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}
:
46
15
{\displaystyle {\tfrac {46}{15}}}
f) 5
4
7
{\displaystyle {\tfrac {4}{7}}}
:
39
13
{\displaystyle {\tfrac {39}{13}}}
BM1295
Berechne und kontrolliere das Ergebnis!
---
a)
63
32
{\displaystyle {\tfrac {63}{32}}}
:
56
36
{\displaystyle {\tfrac {56}{36}}}
b)
63
56
{\displaystyle {\tfrac {63}{56}}}
:
32
36
{\displaystyle {\tfrac {32}{36}}}
c)
63
56
{\displaystyle {\tfrac {63}{56}}}
:
36
32
{\displaystyle {\tfrac {36}{32}}}
---
d)
420
66
{\displaystyle {\tfrac {420}{66}}}
:
84
96
{\displaystyle {\tfrac {84}{96}}}
e) 2
3
4
{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}
:
22
7
{\displaystyle {\tfrac {22}{7}}}
f) 6
3
5
{\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}
:
22
10
{\displaystyle {\tfrac {22}{10}}}
BM1296
Ermittle in den folgenden Gleichungen x bzw. y (x, y ≠ 0; x, y ∈ ℕ)
---
a)
2
3
{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}
:
x
5
{\displaystyle {\tfrac {x}{5}}}
=
10
21
{\displaystyle {\tfrac {10}{21}}}
b)
5
4
{\displaystyle {\tfrac {5}{4}}}
:
3
y
{\displaystyle {\tfrac {3}{y}}}
=
25
12
{\displaystyle {\tfrac {25}{12}}}
---
c)
x
10
{\displaystyle {\tfrac {x}{10}}}
:
3
4
{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}
=
4
5
{\displaystyle {\tfrac {4}{5}}}
d)
4
y
{\displaystyle {\tfrac {4}{y}}}
:
5
21
{\displaystyle {\tfrac {5}{21}}}
=
13
5
{\displaystyle {\tfrac {13}{5}}}
BM1297
Ermittle in den folgenden Gleichungen x bzw. y (x, y ≠ 0; x, y ∈ ℕ)
---
a)
3
5
{\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}
:
x
2
{\displaystyle {\tfrac {x}{2}}}
=
6
25
{\displaystyle {\tfrac {6}{25}}}
b)
7
3
{\displaystyle {\tfrac {7}{3}}}
:
5
y
{\displaystyle {\tfrac {5}{y}}}
=
14
15
{\displaystyle {\tfrac {14}{15}}}
---
c)
x
12
{\displaystyle {\tfrac {x}{12}}}
:
2
3
{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}
=
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
d)
3
y
{\displaystyle {\tfrac {3}{y}}}
:
9
10
{\displaystyle {\tfrac {9}{10}}}
=
2
3
{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}
BM1298
Ermittle in den folgenden Gleichungen einige Lösungen für x und y (y ≠ 0; x, y ∈ ℕ), darunter immer die, in denen x und y zueinander teilerfremd sind.
---
a)
4
7
{\displaystyle {\tfrac {4}{7}}}
:
x
y
{\displaystyle {\tfrac {x}{y}}}
=
8
21
{\displaystyle {\tfrac {8}{21}}}
b)
5
3
{\displaystyle {\tfrac {5}{3}}}
:
x
y
{\displaystyle {\tfrac {x}{y}}}
=
25
12
{\displaystyle {\tfrac {25}{12}}}
---
c)
x
y
{\displaystyle {\tfrac {x}{y}}}
:
5
3
{\displaystyle {\tfrac {5}{3}}}
=
25
12
{\displaystyle {\tfrac {25}{12}}}
d)
x
y
{\displaystyle {\tfrac {x}{y}}}
:
7
17
{\displaystyle {\tfrac {7}{17}}}
=
2
1
{\displaystyle {\tfrac {2}{1}}}
BM1299
Schreibe den berechneten Quotienten als Dezimalbruch und als so weit wie möglich gekürzten gemeinen Bruch!
---
a) 3 : 4
b) 7 : 8
c) 15 : 12
---
d) 76 : 80
e) 55 : 88
f) 88 : 55
BM1300
Schreibe den berechneten Quotienten als Dezimalbruch und als so weit wie möglich gekürzten gemeinen Bruch!
---
a) 7 : 5
b) 5 : 2
c) 18 : 15
---
d) 75 : 120
e) 48 : 60
f) 60 : 48
índice
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