Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 088b

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Lección 088

Mathematik auf Deutsch - 38

BM1851 - BM1860

BM1851

Überschlagsrechnung

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$62{,}5\cdot 5{,}37$

Überschlag: $60\cdot 5=300$

$62{,}5\cdot 5{,}37\approx 300$

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$3{,}25\cdot 0{,}224$

Überschlag: $3\cdot 0{,}2=0{,}6$

$3{,}42\cdot 0{,}224\approx 0{,}6$

---

$3{,}42\cdot 0{,}45\cdot 0{,}67$

Überschlag: $3\cdot 0{,}5\cdot 1=1{,}5$

$3{,}42\cdot 0{,}45\cdot 0{,}67\approx 1{,}5$

---

$51{,}7:1{,}74$

Überschlag: $50\cdot 2\cdot 1=25$

$51{,}7:1{,}74\approx 25$

BM1852

Achte auf die Anzahl der Nullen!

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$10\cdot 10=100$

$20\cdot 20=(2\cdot 2)\cdot (10\cdot 10)=4\cdot 100=400$

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$100\cdot 100=10.000$

$500\cdot 800=(5\cdot 8)\cdot (100\cdot 100)=40\cdot 10.000=400.000$

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$5.000\cdot 3.000.000=15.000.000.000$

$3{,}2\cdot 10=32$

$71\cdot 10=710$

$72{,}134\cdot 10=721{,}34$

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$3{,}200\cdot 100=320{,}0=320{,}0000000=320$

$71\cdot 100=7100$

$72{,}134\cdot 100=7213{,}4$

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$0{,}32\cdot 10=320{,}0=320{,}0000000=320$

$0{,}071\cdot 10=0{,}7100=0{,}71$

$0{,}0010072134\cdot 10=0{,}010072134$

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Bei der Multiplikation mit Zehn wird das Komma eine Stelle nach rechts verschoben.

$00047{,}00\cdot 10=470$

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Bei der Multiplikation mit Hundert wird das Komma zwei Stellen nach rechts verschoben.

$00047{,}00\cdot 100=4700$

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Bei der Multiplikation mit Tausend wird das Komma drei Stellen nach rechts verschoben.

$47\cdot 1000=4700$

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Die Zehn hat eine Null. Bei der Multiplikation mit Zehn wird das Komma eine Stelle nach rechts verschoben.

$00{,}047\cdot 10=0{,}470$

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Die Hundert hat zwei Nullen. Bei der Multiplikation mit Hundert wird das Komma zwei Stellen nach rechts verschoben.

$4{,}7\cdot 100=4700$

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Die Tausend hat drei Null. Bei der Multiplikation mit Tausend wird das Komma drei Stellen nach rechts verschoben.

$47{,}3\cdot 1000=47.300$

BM1853

$b^{e}=p$ (b ist die Basis; e ist der Exponent; p ist die Potenz)

Die Rechenregel lautet:

$a^{b}*a^{c}=a^{b+c}$ (Auf die Herleitung und den Beweis wird hier verzichtet.)

Wenn die Basis 10 ist, dann lautet die Rechenregel für diesen konkreten Fall:

$10^{b}*10^{c}=10^{b+c}$

Beispiel:

$100*1000=?$

$10^{2}*10^{3}=10^{2+3}=10^{5}=10.000$

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Vorsicht Falle!

$10^{b}+10^{c}=10^{b+c}$ (Das ist falsch! Das ist ein beliebter Fehler.)

Die Additon der Exponenten funktioniert nur, wenn zwei Potenzen multipliziert werden. Das geht nicht bei der Addition.

BM1854

amerikanische Schreibweise:

$.32=0{,}32$

$.071\cdot 10=.7100=0.71$

Patronen für Gewehre und Pistolen werden oft mit dieser amerikanischen Schreibweise bezeichnet:

Kaliber „45“ ist eigentlich Kaliber „.45“ (0.45 inch - das entspricht 11,43 mm)

Die umgangssprachliche Bezeichnung ist Kaliber „45“, da der Punkt für Zoll aus dem Englischen nicht mitgesprochen wird.

Kaliber „22“ ist eigentlich Kaliber „.22“ (0.22 inch - das entspricht 5,42 mm)

Rechne das Kaliber nach, ob die Umrechnung stimmt!

( 1 oder 1 Inch oder 1 Zoll = 2,54 cm)

Lösung BM1854
1 = 2,54 cm 1 cm = (1 : 2,54) Zoll = 0.3937 Zoll (das brauchen wir für diese Rechnung nicht) 2,54 : 0,45 = 5,644 (das führt nicht zum Ergebnis) 2,54 * 0,45 = 1,143 cm = 11,43 mm --- 2,54 * 0,22 = 0,5588 cm = 5,588 mm (Das sind NICHT 5,42 mm)

BM1855

Überschlagsrechnung

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$5{,}81:8{,}75$

Überschlag: $5:10=0{,}5$

$5{,}81:8{,}75\approx 0{,}5$

$5{,}81:8{,}75=0{,}665$

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Verbindung von Division und Multiplikation

${\tfrac {0{,}157\cdot 375}{42{,}3}}$

Zuerst wird der Quotient ermittelt :${\tfrac {0{,}157}{42{,}3}}=x$. Anschließend wir dann das Produkt $x\cdot 375$ berechnet.

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${\tfrac {0{,}157\cdot 375}{42{,}3}}$

Überschlag: ${\tfrac {0{,}2\cdot 400}{40}}=2$

${\tfrac {0{,}157\cdot 375}{42{,}3}}\approx 2$

${\tfrac {0{,}157\cdot 375}{42{,}3}}=1{,}39$

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${\tfrac {4{,}53\cdot 11{,}9}{9{,}71}}$

Überschlag: ${\tfrac {5\cdot 10}{10}}=5$

${\tfrac {4{,}53\cdot 11{,}9}{9{,}71}}\approx 5$

${\tfrac {4{,}53\cdot 11{,}9}{9{,}71}}=5{,}55$

BM1856

Verhältnisgleichung

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${\tfrac {a}{b}}={\tfrac {c}{d}}$ bzw.

$a:b=c:d$

Sprich: „a zu b wie c zu d“

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Die Verhältnisgleichung ${\tfrac {a}{b}}={\tfrac {c}{d}}$ kann nach a, nach b, nach c und nach d aufgelöst werden.

1.) Löse die Gleichung nach a auf!

1. Lösung BM1856
${\tfrac {a}{b}}={\tfrac {c}{d}}$ ${\tfrac {a}{b}}={\tfrac {c}{d}}\quad |\;\cdot b$ ${\tfrac {a}{b}}\cdot b={\tfrac {c}{d}}\cdot b$ $a={\tfrac {c\cdot b}{d}}$

2.) Löse die Gleichung nach b auf!

2. Lösung BM1856
${\tfrac {a}{b}}={\tfrac {c}{d}}$ ${\tfrac {a}{b}}={\tfrac {c}{d}}\quad |\;\cdot b\;|\;\cdot d$ ${\tfrac {a}{b}}\cdot b\cdot d={\tfrac {c}{d}}\cdot b\cdot d$ $a\cdot d=c\cdot b$ $a\cdot d=c\cdot b\quad |\;:c$ ${\tfrac {a\cdot d}{c}}={\tfrac {c\cdot b}{c}}$ ${\tfrac {a\cdot d}{c}}=b$ (Seiten vertauschen) $b={\tfrac {a\cdot d}{c}}$

3.) Löse die Gleichung nach c auf!

3. Lösung BM1856
${\tfrac {a}{b}}={\tfrac {c}{d}}$ ${\tfrac {a}{b}}={\tfrac {c}{d}}\quad |\;\cdot d$ ${\tfrac {a}{b}}\cdot d={\tfrac {c}{d}}\cdot d$ ${\tfrac {a\cdot d}{b}}=c$ (Seiten vertauschen) $c={\tfrac {a\cdot d}{b}}$

4.) Löse die Gleichung nach d auf!

4. Lösung BM1856
${\tfrac {a}{b}}={\tfrac {c}{d}}$ ${\tfrac {a}{b}}={\tfrac {c}{d}}\quad |\;\cdot b\;|\;\cdot d$ ${\tfrac {a}{b}}\cdot b\cdot d={\tfrac {c}{d}}\cdot b\cdot d$ $a\cdot d=c\cdot b$ $a\cdot d=c\cdot b\quad |\;:a$ ${\tfrac {a\cdot d}{a}}={\tfrac {c\cdot b}{a}}$ $d={\tfrac {c\cdot b}{a}}$

BM1857

Dreisatz = Verhältnisgleichung

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Der Dreisatz, auch Verhältnisgleichung, Proportionalität oder Schlussrechnung) ist ein mathematisches Verfahren, um aus drei gegebenen Werten eines Verhältnisses den unbekannten vierten Wert zu berechnen. Eine (einfachere) Variante ist der Zweisatz. Der Dreisatz ist kein mathematischer Satz, sondern ein Lösungsverfahren für Proportionalaufgaben. Er wird insbesondere in der Schulmathematik gelehrt. Man kann mit dem Dreisatz Probleme aufgrund einfacher Einsichten oder auch ganz schematisch lösen, ohne die zugrunde liegenden mathematischen Gesetzmäßigkeiten vollständig zu durchschauen. Wer mit Proportionalitäten vertraut ist, benötigt den Dreisatz nicht mehr, weil er dann die Ergebnisse durch einfache mathematische Operationen erhalten kann.

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Einfacher Dreisatz:

• Es liegt eine Gesetzmäßigkeit der Art „Je mehr A, desto mehr B.“ vor (direkte Proportionalität): Beim Verdoppeln (Verdreifachen, ...) von A wird auch B verdoppelt (verdreifacht, ...).
• Gegeben ist ein Verhältnis von $a$ Einheiten einer Größe A zu $b$ Einheiten einer Größe B.
• Gefragt wird nach der Anzahl $x$ Einheiten der Größe B, die in demselben Verhältnis zu $c$ Einheiten von A stehen.

In einer Tabelle sind die „gleichartigen“ Werte untereinander zu schreiben:

Größe A	Größe B
$a$	$b$
$c$	$x$

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Inhaltliches Lösen:

Die Dreisatzaufgabe lässt sich sehr einfach in drei Denkschritten lösen:

1.) $a$ Einheiten von A entsprechen $b$ Einheiten von B.

2.) Einer Einheit von A entsprechen $b/a$ Einheiten von B.

3.) $c$ Einheiten von A entsprechen also $x=c\cdot b/a$ Einheiten von B.

In der Tabelle wird eine zusätzliche Zeile eingefügt. In beiden Tabellenspalten wird mit demselben Wert dividiert bzw. multipliziert.

Größe A	Größe B	Rechenschritt
$a$	$b$	$\div a$
$1$	$b\div a$	$\cdot c$
$c$	$c\cdot (b\div a)$

Beim Rechnen entstehende Brüche werden in jedem Schritt gekürzt (s. u. Beispiel 1).

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Hintergrund:

Verhältnisse gehören zu den elementaren mathematischen Kenntnissen und erscheinen bereits in Euklids Elementen. Die Dreisatzregel wird (ohne Begründung) als regula de tri in den Rechenbüchern von Adam Ries angegeben. Die Bezeichnung Dreisatz rührt her von den drei gegebenen, in die Rechnung eingesetzten Größen. Heutige deutsche Schulbücher deuten die Bezeichnung oft als das „Lösen in drei Sätzen“. In algebraischer Schreibweise handelt es sich bei der Dreisatzaufgabe um eine Verhältnisgleichung:

$a:b=c:x$

Durch Umstellen der Gleichung gewinnt man die Lösung $x=c\cdot b/a$

(s. u. Beispiel 2a).

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Umgekehrter Dreisatz:

• Es liegt eine Gesetzmäßigkeit der Art „Je weniger A, umso mehr B.“ vor (indirekte Proportionalität, Beispiel 2b): Beim Halbieren (Dritteln, ...) von A wird B verdoppelt (verdreifacht, ...).
• Dabei ergeben $a$ Einheiten einer Größe A mit $b$ Einheiten einer Größe B ein konstantes Produkt.
• Gefragt wird nach der Anzahl $x$ Einheiten der Größe B, die mit $c$ Einheiten von A dasselbe Produkt ergeben: $a\cdot b=c\cdot x$.

In beiden Spalten der Tabelle werden entgegengesetzte Rechenoperationen ausgeführt:

Rechne:	Größe A	Größe B	Rechne:
durch $a$	$a$	$b$	mal $a$
mal $c$	$1$	$a\cdot b$	durch $c$
	$c$	$a\cdot b/c$

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Beispiele:

Beispiel 1:

In 3 Stunden legt ein Fahrzeug bei konstanter Geschwindigkeit 240 km zurück, wie weit kommt es in 7 Stunden?

Es gilt:

3 zu 240 verhält sich wie 7 zu "x"

Rechnung in Tabellenform:

	Zeit in h	Strecke in km	Rechne:
1.	3	240	:3
2.	1	80	·7
3.	7	560

Lösung: In 7 Stunden kommt das Fahrzeug 560 km weit.

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Beispiel 2 (einfacher und umgekehrter Dreisatz):

Die folgenden Beispiele haben dieselben Zahlen, jedoch unterschiedliche Verhältnisse. Im ersten Beispiel beziehen sich die Mengenangaben auf einen festen Zeitraum (ein Arbeitstag). Im zweiten Beispiel beziehen sich die Zeitangaben auf eine feste Mengenangabe (eine bestimmte Menge Abraum).

a) 21 Lastwagen transportieren 35 Tonnen Abraum an einem Arbeitstag. Wie viel Tonnen Abraum schaffen in derselben Zeit 15 Lastwagen?

• 21 LKW ${\mathrel {\widehat {=}}}$ 35 Tonnen
• 15 LKW ${\mathrel {\widehat {=}}}$ x Tonnen
• x = 15·35/21 = 25, also 25 Tonnen.

b) 21 Lastwagen benötigen 35 Tage für den Abtransport einer bestimmten Menge Abraum. Wie viel Zeit benötigen hierfür 15 Lastwagen?

• 21 LKW ${\mathrel {\widehat {=}}}$ 35 Tage
• 15 LKW ${\mathrel {\widehat {=}}}$ x Tage
• x = 35·21/15 = 49, also 49 Tage.

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Beispiel 3 (verallgemeinerter Dreisatz):

2 Kühe fressen an einem Tag 48 kg Gras. Wie viel kg Gras fressen 5 Kühe in 6 Stunden?

1. 2 Kühe fressen in 24 h 48 kg Gras
2. 1 Kuh frisst in 1 h 1 kg Gras
3. 5 Kühe fressen in 6 h 30 kg Gras

unter der Annahme, dass die Kühe über die ganze Zeit gleichmäßig viel Gras fressen.

BM1858

Sind drei Glieder eienr Verhältnisgleichung bekannt, so kann das vierte Glied berechnet werden:

---

geg.:

${\tfrac {21{,}2}{6{,}8}}={\tfrac {5{,}5}{x}}$

ges.: x

Lösung BM1858
${\tfrac {21{,}2}{6{,}8}}={\tfrac {5{,}5}{x}}\quad |\;\cdot x$ ${\tfrac {21{,}2\cdot x}{6{,}8}}=5{,}5\quad |\;\cdot 6{,}8$ $21{,}2\cdot x=5{,}5\cdot 6{,}8\quad |\;:21{,}2$ $x={\tfrac {5{,}5\cdot 6{,}8}{21{,}2}}$ Überschlag:${\tfrac {6\cdot 10}{20}}=3$ $x=1{,}76$

BM1859

Ein Bauer will auf seiner insgesamt 37,2 ha großen Weizenanbaufläche 41,3 dt Dünger ausbringen. Wie viel Kilogramm Dünger werden für ein Feld von 8,6 ha verbraucht, wenn auf alle Getreideflächen je Hektar die gleiche Menge Dünger kommen soll?

1. Lösung BM1859
10 dt = 1t 1 t = 1000 kg Ansatz: Fläche in ha 37,2 8,6 Dünger in kg 4130 x --- Verhältnisgleichung: ${\tfrac {37{,}2}{41{,}3}}={\tfrac {8{,}6}{x}}$ $x={\tfrac {41{,}3\cdot 8{,}6}{37{,}2}}$ Überschlag: ${\tfrac {40\cdot 10}{40}}=10$ $x=9{,}548$ Antwort: Für das Feld werden 9,548 kg verbraucht. --- Klingt die Antwort plausibel?

2. Lösung BM1859
10 kg Dünger für ein Viertel der Fläche, obwohl insgesamt 4.000 kg (= 1 t) Dünger vorhanden ist. Klingt irgendwie komisch. Wir würden 200 - 300 kg Dünger erwarten. Wo war unser Fehler?

3. Lösung BM1859
Ein einfacher Kommafehler war die Ursache. Wir hatten 41,3 statt 4130 eingesetzt. (41,3 dt statt 4130 kg) ${\tfrac {37{,}2}{41{,}3}}={\tfrac {8{,}6}{x}}$ (FALSCH) ${\tfrac {37{,}2}{4130}}={\tfrac {8{,}6}{x}}$ (RICHTIG) $x={\tfrac {4130\cdot 8{,}6}{37{,}2}}$ Überschlag: ${\tfrac {4000\cdot 10}{40}}=1000$ $x=954{,}8$ Antwort: Für das Feld werden 954,8 kg verbraucht.

BM1860

In 825,0 g einer bestimmten Salzlösung sind 47,9 g Salz enthalten. Von derselben Lösung sollen weitere 165,0 g hergestellt werden. Wie viel Salz wird dazu benötigt?

BM1860
Ansatz: Salzlösung in g 825,0 165,0 Salzmenge in g 47,9 x --- Verhältnisgleichung: ${\tfrac {825}{47{,}9}}={\tfrac {165{,}0}{x}}$ $x={\tfrac {47{,}9\cdot 165{,}0}{825}}$ Überschlag: ${\tfrac {50\cdot 200}{1000}}=10$ $x=9{,}58$ Antwort: Für die Salzlösung werden 9,58 g Salz benötigt.

BM1861 - BM1870

BM1861

Rechne schriftlich! Mache vorher eine Überschlagsrechnung!

a) $1{,}23\cdot 4{,}35$

b) $1{,}07\cdot 73{,}5$

c) $208\cdot 455$

---

d) $28{,}8\cdot 3{,}04$

e) $0{,}191\cdot 395$

f) $40\cdot 12{,}5$

BM1862

Rechne schriftlich! Mache vorher eine Überschlagsrechnung!

a) $2{,}83\cdot 2{,}04$

b) $666\cdot 0{,}131$

c) $84{,}1\cdot 109$

---

d) $303\cdot 3{,}08$

e) $0{,}487\cdot 20{,}3$

f) $0{,}781\cdot 1{,}275$

BM1863

Rechne schriftlich! Mache vorher eine Überschlagsrechnung!

a) $3{,}02\cdot 357$

b) $555\cdot 6{,}23$

c) $0{,}00281\cdot 0{,}433$

---

d) $5{,}08\cdot 65{,}3$

e) $327\cdot 5{,}47$

f) $0{,}788\cdot 42{,}3$

BM1864

Rechne schriftlich! Mache vorher eine Überschlagsrechnung!

a) $15{,}3\cdot 0{,}73\cdot 0{,}52$

b) $4{,}33\cdot 0{,}11\cdot 2{,}77$

c) $0{,}541\cdot 9{,}26\cdot 0{,}203$

---

d) $0{,}44\cdot 2{,}28\cdot 77{,}3$

e) $580\cdot 0{,}72\cdot 1{,}04$

f) $250\cdot 0{,}34\cdot 11{,}5$

BM1865

Rechne schriftlich! Mache vorher eine Überschlagsrechnung!

a) $31{,}4:7{,}25$

b) $15{,}6:28{,}4$

c) $24{,}6:0{,}33$

---

d) $75500:34{,}2$

e) $0{,}222:0{,}485$

f) $78{,}4:3{,}35$

BM1866

Rechne schriftlich! Mache vorher eine Überschlagsrechnung!

a) $4{,}73:0{,}782$

b) $77{,}4:56{,}3$

c) ${\tfrac {17{,}8}{3{,}78}}$

---

d) ${\tfrac {15\cdot 37}{71}}$

e) ${\tfrac {533\cdot 8400}{26000}}$

f) ${\tfrac {16\cdot 54}{92}}$

BM1867

Löse die folgenden Verhältnisgleichungen auf!

a) ${\tfrac {x}{3}}={\tfrac {5}{12}}$

b) ${\tfrac {4}{5}}={\tfrac {x}{13}}$

c) ${\tfrac {12{,}3}{5}}={\tfrac {15{,}4}{x}}$

---

d) ${\tfrac {15}{x}}={\tfrac {12}{9}}$

e) ${\tfrac {15}{21}}={\tfrac {5}{x}}$

f) ${\tfrac {0{,}5}{0{,}375}}={\tfrac {x}{0{,}5}}$

BM1868

Löse die folgenden Verhältnisgleichungen nach allen vorkommenden Variablen auf!

a) $x:y=3:4$

b) ${\tfrac {m}{n}}={\tfrac {a}{b}}$

c) $r:s=u:tv$

---

d) ${\tfrac {p}{q}}={\tfrac {r}{s}}$

e) ${\tfrac {3x}{12}}={\tfrac {4y}{18}}$

f) $7={\tfrac {x}{k}}$

BM1869

a) 2080 g Mehl kosten 1,40 Euro. Wie viel Euro kostet 1 kg Mehl?

b) 530 g Salz kostet 0,55 Euro. Wie viel Euro kostet 1 kg Salz?

c) Der Preis für 3.000 kWh Strom beträgt 298,45 Euro. Wie viel Cent kostet eine kWh? Wie viel kWh kann man für 100 Euro beziehen?

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d) Ein alter Pkw hat für 852 km insgesamt 40 Liter Kraftstoff verbraucht. Wie hoch wird der Verbrauch für 340 km sein?

e) Ein Schiff legt in 2 h 30 min insgesamt 33 NM zurück. Welche Entfernung legt es in 1 h 12 min zurück?

f) Eine Treppe mit 24 Stufen zu je 20 cm Höhe soll durch eine Treppe mit 32 Stufen ersetzt werden. Wie hoch ist dann eine Stufe?

BM1870

a) Von 600 Studenten der Universität A bestehen 432 die Prüfung. Von den 750 Studenten der Universität B fallen 180 durch die Prüfung. Welche Universität hat das bessere Ergebnis?

b) Dieses Jahr gingen in einer Gärtnerei von 1500 Stecklingen 320 ein. Letztes Jahr gingen von 1200 Stecklingen 250 ein. Vergleiche das Ergebnis!

c) Dieses Jahr schlüpften in einer Brutmaschine aus 120 Eiern 108 Küken. Letztes Jahr schlüpften aus 150 Eiern 129 Küken. Vergleiche die beiden Brutergebnisse!

BM1871 - BM1880

BM1871

Prozentrechnung

1 %

1 v.H. (von Hundert)

3%

3 v.H. („v.H.“ oder „von Hundert“ ist nur im Bank- oder Finanzgewerbe gebräuchlich)

---

1 % von 200 ist 2 (wir rechnen ${\tfrac {200}{100}}=2$)

Für die Division durch 100 verschieben wir das Komma in Gedanken zwei Stellen nach rechts, denn 100 hat zwei Nullen. Fehlende Nullen vor oder hinter der Zahl phantasieren wir uns dazu. Also:

${\tfrac {00200{,}00}{100}}=002{,}0000$

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1 % von 3505

${\tfrac {03505{,}00}{100}}=035{,}0500=35{,}05$

---

1 % von 0,4 (Auch hier verschieben wir das Komma zwei Stellen nach rechts. Das macht man so bei der Division durch 100. Nichts anderes bedeutet „Prozent“. Fehlende Nullen müssen wir dazuschreiben, das verändert den Wert der Zahl nicht.

${\tfrac {000{,}400}{100}}=0{,}00400=0{,}004$

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1 % von 2,4

Komma zwei Stellen nach links ergibt 0,024

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Wenn die Zahl hinter dem Komma keine Stellen hat, also meist gleich ohne Komma geschrieben wird, UND die letzten zwei Stellen Nullen sind, dann schneiden wir hinten einfach zwei Nullen weg. Das ist das gleiche, also ob wir das Komma zwei Stellen nach rechts verschieben.

1 % von 234.000 = 2.340

1 % von 234.000,0 = 2.340,000

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Warum funktioniert Prozentrechnung, also Division mit Verschieben des Kommas um zwei Stellen nach links?

1.) Beispiel:

1 % von 300 oder:

1 % von $3\cdot 10\cdot 10$

${\tfrac {3\cdot 10\cdot 10}{100}}$ oder ${\tfrac {3\cdot 10\cdot 10}{10\cdot 10}}$

Und schon können wir im Zähler und im Nenner die $10\cdot 10$ wegkürzen.

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2.) Beispiel:

1 % von 0,4 oder:

1 % von $0{,}004\cdot 10\cdot 10$

${\tfrac {0{,}004\cdot 10\cdot 10}{10\cdot 10}}$

Auch hier können wir im Zähler und im Nenner die $10\cdot 10$ kürzen.

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3.) Beispiel:

1 % von 6 oder:

1 % von $0{,}06\cdot 10\cdot 10$

${\tfrac {0{,}06\cdot 10\cdot 10}{10\cdot 10}}$

BM1872

In der vorhergehenden Übung haben wir immer nur genau EIN Prozent von einer Zahl ausgerechnet.

Wenn wir 2 % ausrechnen wollen/sollen, dann müssen wir das Ergebnis halt zum Schluss noch mit 2 multiplizieren.

2 % von 400

Zuerst rechnen wir im Kopf 1 % von 400 aus:

wir rechnen ${\tfrac {400}{100}}=4$.

1 % von 400 ist also 4

Da wir aber 2 % suchen, müssen wir das Zwischenergebnis (4) mit 2 multiplizieren.

$2\cdot 4=8$

Endergebnis: 2 % von 400 ist 8.

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Wenn wir 3 % suchen, dann müssen wir das Zwischenergebnis (unser ein Prozent) mit 3 multiplizieren.

Wenn wir 5 % suchen mit 5 multiplizieren.

Wenn wir 11,3 % suchen mit 11,3 multiplizieren.

Wenn wir 711,3 % suchen mit 711,3 multiplizieren.

Wenn wir 0,3 % suchen mit 0,3 multiplizieren.

usw.

BM1873

Prozentrechnung

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Für die Prozentrechnung rechnen wir eine Zahl a immer erst auf ein Prozent runter.

19 % von 340 rechnen wir also:

1 % von 340 ist 3,4

19 * 3,4 = 64,6

19 % von 340 ist 64,6

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Diese Rechnung können wir auch in einer Gleichung packen, besonders wenn wir nicht im Kopf rechnen, sondern alles hintereinander in den Taschenrechner eingeben.

19 % von 340 $={\tfrac {340}{100}}\cdot 19$

oder meist alles auf einem Bruchstrich:

19 % von 340 $={\tfrac {340\cdot 19}{100}}$

BM1874

Prozentrechnung rückwärts

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Dieses mal wollen wir nicht wissen wie viel 19 % von 340 ist, sondern wir wollen wissen auf welche Zahl wir 19 % drauflegen müssen, um auf 340 Euro zu kommen.

Wir haben ein Handy für 340 Euro gekauft und wollen wissen, wie viel Mehrwertsteuer in dem Preis enthalten ist. Der aktuelle Mehrwertsteuersatz in Deutschland ist 19 % (Stand Feb. 2018)

Deshalb hat jede Zahl in diesem Spielchen mit Prozentrechnung einen Namen, damit wir nicht schon bei der Aufgabenstellung durcheinander kommen. Auf die einzelnen Namen kommen wir gleich.

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Nochmals zur Veranschaulichung der Prozentrechnung vorwärts und rückwärts: Ein Beispiel, um zu zeigen das das einen riesigen Unterscheid machen kann.

Wir haben für 1 Mill. Euro Diamanten gekauft und wollen sie mit 50 % Aufschlag weiterverkaufen, also für 1,5 Mill. Euro.

1.000.000 + 50 %

50 % von 1.000.000 $={\tfrac {1.000.000\cdot 50}{100}}=500.000$

$1.000.000+500.000=1.500.000$.

Aber wenn wir von diesen 1,5 Mill Euro wieder 50 % abziehen, dann landen wir nicht bei 1 Mill. Euro, sondern bei 750.000 Euro.

1.500.000 - 50 %

50 % von 1.500.000 $={\tfrac {1.500.000\cdot 50}{100}}=750.000$

$1.500.000-750.000=750.000$.

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Vorwärts und rückwärts rechnen macht also bei großen Prozentzahlen einen riesigen Unterschied.

Ein mal haben wir 1 Mill. Euro als unsere 100-Prozent-Basis genommen. Das andere mal haben wir 1,5 Mill Euro als unsere 100-Prozent-Basis genommen.

BM1875

Prozent

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Zahlenangaben in Prozent (lat.-ital. von Hundert, Hundertstel) sollen Größenverhältnisse veranschaulichen und vergleichbar machen, indem die Größen zu einem einheitlichen Grundwert (Hundert) ins Verhältnis gesetzt werden. Daher wird das Prozent auch als Hilfsmaßeinheit für Verhältnisgrößen verwendet. Vor allem ältere Gesetzestexte verwenden den Ausdruck „vom Hundert“ (abgekürzt: vH oder v. H.); das DIN empfiehlt jedoch, diesen Ausdruck zu vermeiden.

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Prozentangaben werden durch das Prozentzeichen % kenntlich gemacht (zum Beispiel 63,7 %). Laut DIN 5008 wird dabei zwischen die Zahl und das Prozentzeichen ein Leerzeichen gesetzt. Die Prozentrechnung kann dann als Bruchrechnung (19 % = 19/100) oder im Dezimalsystem (19 % = 0,19) durchgeführt werden.

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Warum kann ich statt 19 % auch mit 0,19 rechnen?

Lösung BM1875
Weil „Prozent“ bedeutet „Hundertstel“ also „0,01“ oder ${\tfrac {1}{100}}$ und 19 * ${\tfrac {1}{100}}$ nichts anderes als ${\tfrac {19}{100}}$ oder $0,19$ sind.

BM1876

Grundwert G

Die 100-Prozent-Basis wird als „Grundwert“ bezeichnet und mit „G“ abgekürzt.

Wenn wir „50 % von 1.000.000“ suchen, dann ist 1.000.000 unser Grundwert. Dieser ais die Basis unserer Rechnung. Das betrachten wir als 100 %, als ganze Einheit. Das können 10 Euro oder 300 kg oder auch genau „ein“ Apfel sein.

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Prozentsatz p (ein kleines p)

Wenn wir „50 % von 1.000.000“ suchen, dann ist 50 unser Prozentsatz p

Wir suchen also „p % von G“.

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Prozentwert W (ein großes W)

Wenn wir „50 % von 1.000.000“ suchen und als Ergebnis 500.000 erhalten, dann ist 500.000 unser Prozentwert W.

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p % von G = W

Prozentsatz vom Grundwert = Prozentwert

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Achtung beim Vokabular! Falle:

W wie Wert, aber W wie Grundwert, nicht wie Prozentwert, beide Male mit dem Wörtchen „Wert“

p wie Prozent - aber p wie Prozentsatz, nicht wie Prozentwert, beide Male mit dem Wörtchen „Prozent“

Da hilft nur auswendig lernen und verstehen lernen.

p % von G = W

Prozentsatz vom Grundwert = Prozentwert

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p % von G = W (Für das Prozentzeichen schreiben wir ${\tfrac {1}{100}}$ und für „von“ schreiben wir einen Multiplikationspunkt und schon können wir losrechnen.

$p\cdot {\tfrac {1}{100}}\cdot G=W$

Wir müssen aber immer genau aufpassen was der Grundwert in unserer Aufgabenstellung ist (die 100-Prozent-Basis) und ob wir vorwärts oder rückwärts rechnen müssen. Das wird von Anfängern regelmäßig durcheinander gebracht. Bei kleineren Prozentsätzen ist der Unterschied zwar gering, aber das Ergebnis ist trotzdem nicht richtig.

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Beispiel:

Wir haben für 1 Mill. Euro Diamanten gekauft und wollen sie mit 2 % Aufschlag weiterverkaufen.

1.000.000 + 2 %

$p\cdot {\tfrac {1}{100}}\cdot G=W$

$2\cdot {\tfrac {1}{100}}\cdot 1.000.000=20.000$

1.000.000 + 2 % = 1.020.000

Jetzt rechnen wir anders rum. Wir ziehen von 1.020.000 wieder 2 % ab.

1.020.000 - 2 %

$p\cdot {\tfrac {1}{100}}\cdot G=W$

$2\cdot {\tfrac {1}{100}}\cdot 1.020.000=20.400$

1.020.000 - 2 % = 1.020.000 - 20.400 = 999.000

Bier

Der Unterschied beträgt nur noch 1.000 Euro. Aber die Zahlen sind nicht identisch.

Einmal war G = 1.000.000 und beim zweiten mal war G = 1.020.000.

1.000 Euro haben oder nicht haben. Das sind immerhin 100 Kisten Bier. Das ist ungefähr eine Palette. Das kann man mal ganz schnell verschenken, wenn man falsch rechnet.

BM1877

Ein Prozent einer Fläche aus 10 × 10 Kästchen entspricht genau einem Kästchen.

Prozentrechnung - Beispiele:

• Ein Prozent ist ein Hundertstel:

$1\,\%={\frac {1}{100}}=0{,}01$

• Hundert Prozent sind ein Ganzes:

$100\,\%={\frac {100}{100}}=1$

• 75 Prozent sind drei Viertel:

$75\,\%={\frac {75}{100}}={\frac {3}{4}}=0{,}75$

• 50 Prozent sind die Hälfte:

$50\,\%={\frac {50}{100}}={\frac {1}{2}}=0{,}5$

• 25 Prozent sind ein Viertel:

$25\,\%={\frac {25}{100}}={\frac {1}{4}}=0{,}75$

• 20 Prozent sind ein Fünftel:

$20\,\%={\frac {20}{100}}={\frac {1}{5}}=0{,}2$

• 10 Prozent sind ein Zehntel:

$10\,\%={\frac {10}{100}}={\frac {1}{10}}=0{,}1$

BM1878

Prozentrechnen - Begriffe

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Prozentangaben beschreiben Größenverhältnisse und beziehen sich dabei auf einen Grundwert G. Der Grundwert ist die Ausgangsgröße, auf die sich der Prozentsatz p % bezieht. Der Prozentfuß p gibt an, wie viele Hundertstel des Grundwertes die Prozentangabe beträgt und bezeichnet so ein Größenverhältnis relativ zum Grundwert. Die absolute Bestimmung dieser Größe nennt man Prozentwert W. Der Prozentwert hat dieselbe Einheit wie der Grundwert. Es gilt

$W=p\,\%\cdot G={\frac {p}{100}}\cdot G$

Beispiel:

$\underbrace {7{.}350\,\overbrace {\text{Einwohner}} ^{\text{Einheit}}} _{\text{Prozentwert}}{\text{ sind}}\underbrace {\overbrace {\underbrace {49} _{\text{Prozentfuß}}\,{\text{Prozent}}} ^{{\frac {49}{100}}=0{,}49}} _{\text{Prozentsatz}}\,\underbrace {\text{von}} _{\text{mal}}\,\underbrace {15{.}000\,\overbrace {\text{Einwohnern}} ^{\text{Einheit}}} _{\text{Grundwert}}.$

Der Begriff Prozentsatz wird in der Literatur unterschiedlich verwendet. Einige Autoren verwenden ihn für den Ausdruck p %, andere verwenden ihn für den Ausdruck p. Einige Autoren verwenden um der besseren Unterscheidung willen die Begriffe Prozentfuß für den Ausdruck p und Prozentsatz für den Ausdruck p %.

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Verständnis:

Prozentangaben drücken Mengenverhältnisse aus und erfüllen dabei die gleiche Funktion wie die Formulierungen „ein Halbes“ oder „ein Viertel“. Dabei bedeutet „ein Halbes“ das Gleiche wie „50 Prozent“ und „ein Viertel“ das Gleiche wie „25 Prozent“. Prozentangaben können darüber hinaus auch feinere Mengenverhältnisse ausdrücken als die in der Alltagssprache gängigen Formulierungen, zum Beispiel „23 Prozent“, was 23 Hundertstel eines Grundwertes entspricht.

Genau wie „ein Halbes“ oder „ein Viertel“ drückt eine Prozentangabe ein Verhältnis zu einem Grundwert aus: ein Halbes von welchem Grundwert? = 50 Prozent von welchem Grundwert?

Die Bedeutung der Ausdrücke „um“ und „auf“ ist dabei zu unterscheiden:

• „Mein Gehalt ist um 5 Prozent gestiegen“ bedeutet das Gleiche wie „Mein Gehalt ist auf 105 Prozent gestiegen“.
• „Die Miete ist um 3 Prozent gesunken“ bedeutet das Gleiche wie „Die Miete ist auf 97 Prozent gesunken“.
• Zum Vergleich: „Der Verbrauch ist um ein Viertel gesunken“ bedeutet das Gleiche wie „Der Verbrauch ist auf drei Viertel des vorherigen Verbrauches gesunken“.

Vergleicht man Prozentwerte, kann man dies in Prozentpunkten oder in Prozent vom Ausgangsprozentsatz ausdrücken. Beispiel: Das Wahlergebnis einer Partei steigt von 4 % auf 5 %. Die Partei verbessert sich um 1 Prozentpunkt oder um 25 % (auf 125 % des Ausgangsprozentsatzes). Prozentpunkte geben die einfache Differenz zwischen zwei Prozentsätzen an. Wird der Unterschied aber in Prozent (des Ausgangsprozentsatzes) ausgedrückt, dann muss der Ausgangsprozentsatz gedanklich auf 100 % gesetzt werden. Im obigen Beispiel sind 5 % gleich 125 % von 4 %.

BM1879

Umrechnung zwischen Zahl und Prozentsatz

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1.) Prozentsatz in Zahl umrechnen

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Das Prozent-Symbol % lässt sich durch seine Entsprechung „$\cdot {\tfrac {1}{100}}$“ ersetzen. Beispiel:

50 % ist das Gleiche wie $50\cdot {\tfrac {1}{100}},$ also ${\tfrac {50}{100}}$ oder als gekürzter Bruch ${\tfrac {1}{2}}.$

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2.) Zahl in Prozentsatz umrechnen

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Den Bruch mit 100 % (was das Gleiche wie 1 ist) multiplizieren. Beispiel:

${\tfrac {3}{4}}={\tfrac {3}{4}}\cdot 100\,\%={\tfrac {3\cdot 100}{4}}\,\%=75\,\%$

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Varianten der Prozentrechnung

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Die Prozentrechnung wird je nach Voraussetzungen und Anforderungen auf unterschiedliche Weise ausgeführt und unterrichtet . So können mit Proportionen die üblichen Formeln gewonnen werden, was diese sich zu merken erspart. Beim sogenannten Kopfrechnen wird meist die vermittelnde Frage, was 100 % bzw. 1 % ist (entspricht), gestellt.

Beispiel

42 kg sind 7 %. Wie viel sind (entsprechen) 100 %?
Gegeben sind W (Prozentwert) und p% (Prozentsatz).
Gesucht ist G (Grundwert).

Mit allgemeiner Formel	Mit eigener Verhältnisgleichung (Proportion)	Mit „Was ist 1 %?“ (Dreisatz) ${\frac {p\;\%}{42\;{\text{kg}}}}={\frac {100\;\%}{7\;\%}}$
${\frac {p\;\%}{100\;\%}}={\frac {W}{G}}$ mehrfaches Umstellen ergibt: $G={\frac {W}{p\;\%}}\cdot {100\;\%}$ $G={\frac {42\;{\text{kg}}}{7\;\%}}\cdot {100\;\%}=600\;{\text{kg}}$	${\frac {G}{42\;{\text{kg}}}}={\frac {100\;\%}{7\;\%}}$ einfaches Umstellen ergibt: $G={\frac {42\;{\text{kg}}}{7\;\%}}\cdot {100\;\%}=600\;{\text{kg}}$	${\frac {42\;{\text{kg}}:{\color {red}7}}{7\;\%:{\color {red}7}}}={\frac {6\;{\text{kg}}}{1\;\%}}={\frac {6\;{\text{kg}}\cdot {\color {red}100}}{1\;\%\cdot {\color {red}100}}}$ ohne Umstellen ergibt der letzte Zähler : $G=6\;{\text{kg}}\cdot 100=600\;{\text{kg}}$
Vorteil: Eine Formel für alle Aufgaben	Vorteil: - Ohne Formel - Einfaches Umstellen, wenn die gesuchte Größe – hier G – links oben im Zähler steht.	Vorteil: - Ohne Formel - Einfacher Dreisatz – hier als Gleichungskette - Anwendung beim Kopfrechnen

BM1880

Prozentrechnung - Beispiele

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Anteilsberechnung

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Wir verwenden die bereits oben eingeführten Abkürzungen:

• Grundwert G: Die Ausgangsgröße (die 100 % entspricht)
• Prozentwert W: Der anteilige Wert, gemäß Prozentsatz vom Grundwert abgeleitet.
• Prozentsatz p %: Der Anteil von W an G, ausgedrückt in Prozent
• Prozentfuß p: Die Zahl vor dem Prozentzeichen.

Damit lautet die Grundformel für den Prozentsatz als Verhältnis aus Prozentwert und Grundwert:

$p\;\%={\frac {W}{G}}$.

Für den Prozentfuß an Stelle des Prozentsatzes nimmt die Formel folgende Form an:

$p=100\cdot {\frac {W}{G}}$.

Je nach Verwendungszweck kann die Grundformel auch nach dem Grundwert G oder nach dem Prozentwert W aufgelöst werden:

$G={\frac {W}{p\;\%}}$

und

$W={p\;\%}\cdot G$.

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Beispiel

Wenn 42 kg genau 7 % sind, welches Gewicht entspricht den vollen 100 %?

Hier sind also folgende Größen bekannt:

• Prozentwert W: 42 kg
• Prozentsatz p %: 7 %.

Gesucht wird der Grundwert G.

Die Lösung ergibt sich mit der nach G aufgelösten Prozentsatz-Grundformel als

$G={\frac {W}{p\;\%}}={\frac {42\;{\text{kg}}}{7\;\%}}={\frac {42}{\frac {7}{100}}}\;{\text{kg}}={\frac {42\cdot 100}{7}}\;{\text{kg}}=600\;{\text{kg}}$.

BM1881 - BM1890

BM1881

Prozentrechnung - Beispiel

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Umsatzsteuer

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Ein alltägliches Beispiel ist die Berechnung der Umsatzsteuer. Diese ist definiert durch den Wert eines Produktes (Nettobetrag) multipliziert mit einem Umsatzsteuersatz, der in Prozent angegeben wird. Der Grundwert dieser Prozentangabe ist also der Nettobetrag. Der Bruttobetrag ist die Summe von Nettobetrag und Umsatzsteuer:

Umsatzsteuer = Nettobetrag · Umsatzsteuersatz

Bruttobetrag = Nettobetrag + Umsatzsteuer

Sind 100 Euro der Nettobetrag und der Umsatzsteuersatz beträgt 19 %, so errechnet man die Umsatzsteuer durch:

100 Euro · 19 % = 100 Euro · 0,19 = 19 Euro

Demzufolge errechnet sich der Bruttobetrag folgendermaßen:

100 Euro + 19 Euro = 119 Euro

Durch Einsetzen in die Formel erhält man:

Bruttobetrag = Nettobetrag + Umsatzsteuer

Bruttobetrag = Nettobetrag + (Nettobetrag · Umsatzsteuersatz)

Bruttobetrag = Nettobetrag · (1 + Umsatzsteuersatz)

Im gegebenen Beispiel mit einem Umsatzsteuersatz von 19 % erhält man

Bruttobetrag = Nettobetrag · (1 + 19 %) = Nettobetrag · (1 + 0,19) = Nettobetrag · 1,19

Durch Umstellung dieser Formel lässt sich aus dem Bruttobetrag der Nettobetrag einfach errechnen durch

${\text{Nettobetrag}}={\frac {\text{Bruttobetrag}}{1+{\text{Umsatzsteuersatz}}}}.$

Die im Bruttobetrag enthaltene Umsatzsteuer beträgt

${{\text{Umsatzsteuer}}={\text{Bruttobetrag}}-{\text{Nettobetrag}}={\text{Bruttobetrag}}-{\frac {\text{Bruttobetrag}}{1+{\text{Umsatzsteuersatz}}}}.}$

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Sprachgebrauch

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Im allgemeinen Sprachgebrauch wird bei Angaben in Zusammenhang mit Prozenten häufig nicht auf die mathematische Definition geachtet, was die Ursache für Ungenauigkeiten und Fehler ist. Beispiele dafür sind:

• „Im Rechnungsbetrag sind 19 % Umsatzsteuer enthalten“

bedeutet, dass der Umsatzsteuersatz 19 % beträgt und der Rechnungsbetrag der Bruttobetrag ist, also Nettobetrag plus Umsatzsteuer. Korrekt müsste es daher lauten: „Im Rechnungsbetrag ist die Umsatzsteuer mit einem Umsatzsteuersatz von 19 % enthalten“.

• „Die Umsatzsteuer beträgt 19 %“

Falsch, sollte eigentlich heißen „der Umsatzsteuersatz beträgt 19 %“.

• „19 % des Rechnungsbetrages sind Umsatzsteuer“

Falsch, da es sich beim Rechnungsbetrag um den Nettowert plus Umsatzsteuer handelt. 19 % von einem Betrag von beispielsweise 119 Euro entsprechen 22,61 Euro. Tatsächlich beträgt die enthaltene Umsatzsteuer hier aber 19 Euro und macht rund 15,97 % des Rechnungsbetrages aus.

Da 19 % und 15,97 % nicht weit auseinander liegen, kann die falsche Formulierung zu unbemerkten Fehlern führen. Deshalb noch folgende Beispiele:

• „Mein Taschengeld hat sich um 50 % erhöht.“

Beträgt das Taschengeld nach der Erhöhung insgesamt 15 Euro, so entsprechen 50 % hier 5 Euro. „50 %“ bezieht sich auf den Grundwert 10 Euro. Das ist der Betrag des Taschengeldes vor der Erhöhung.

• „50 % meines Taschengeldes sind ein Zuschuss von meiner Oma.“

Beträgt das Taschengeld insgesamt 15 Euro, so entsprechen 50 % hier 7,50 Euro. „50 %“ bezieht sich hier auf den Grundwert 15 Euro. Obwohl der Prozentsatz „50 %“ in beiden Aussagen gleich ist, sind die Prozentwerte „5 Euro“ und „7,50 Euro“ unterschiedlich, da sich die Aussagen auf unterschiedliche Grundwerte beziehen.

BM1882

Prozentrechnung - Beispiel

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Steigung in Prozent

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10 % Steigung sind 10 m Höhenunterschied auf einer horizontalen Strecke von 100 m. Dies entspricht einem Steigungswinkel von ca. 5,7°.

In der Technik (zum Beispiel Rohrleitung) wird auch die Steigung (bzw. das Gefälle) in Prozent angegeben. Diese Prozentangabe drückt das Verhältnis von Höhenunterschied und waagerechter Strecke aus. Eine Steigung von 100 % bedeutet demzufolge einen Steigungswinkel von 45°. Eine Steigung von 10 % bedeutet, dass auf einer horizontalen Strecke von 100 m ein Höhenunterschied von 10 m zurückgelegt wird.

Im Straßenverkehr gibt der auf einem Verkehrsschild angegebene Wert nicht die durchschnittliche Steigung der gesamten Strecke an, sondern die maximale Steigung, die auf dem Radabstand eines die Strecke zurücklegenden Kraftfahrzeugs wirkt.

Die folgende Tabelle gibt für einige typische Werte für Eisenbahnstrecken (Bereich um 1 %), Gebirgsstraßen (Bereich zwischen 10 % und 30 %), Skipisten (Bereich bis 100 %) sowie zur Illustration einige extreme Werte an.

Steigung p	Winkel α (ca.)
0 ‰ (=0,0 %)	0,0°
1 ‰ (=0,1 %)	0,057°
3 ‰ (=0,3 %)	0,17°
1 %	0,57°
3 %	1,72°
8 %	4,57°
10 %	5,71°
12 %	6,84°
15 %	8,53°
20 %	11,3°
25 %	14,0°
30 %	16,7°
40 %	21,8°
50 %	26,6°
70 %	35,0°
100 %	45,0°
200 %	63,4°
500 %	78,7°
1000 %	84,3°
10000 %	89,4°
∞ (unendlich) %	90,0°

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Stoffgemische

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Zu beachten ist auch, dass Prozentangaben für den Gehalt eines Stoffes als Mengenverhältnis Gramm pro 100 Gramm angegeben werden können, wobei zu spezifizieren und zu differenzieren ist, ob (wie bei Löslichkeitsangaben) Gramm Stoff pro 100 g des Lösungsmittels gemeint sind oder Gramm Stoff pro 100 Gramm einer fertigen Lösung (im Sinne einer Konzentrationsangabe) (mehr dazu siehe Gehaltsangabe).

Bei Prozentangaben von Stoffgemischen muss angegeben sein, ob sich diese auf den Massenanteil oder den Volumenanteil bezieht. Haben die Stoffe unterschiedliche Dichten, so sind diese beiden Angaben verschieden. Beispielsweise wird bei Getränken der Alkoholanteil in Volumenprozent (% Vol.) angegeben.

Da Alkohol eine geringere Dichte (ca. 0,8 g/cm³) als Wasser (ca. 1 g/cm³) hat, ist der Anteil des Alkohols in Masseprozent geringer als der in Volumenprozent. Beispielsweise beträgt für ein Getränk mit 50 % Vol. Alkohol der Masseanteil des Alkohols lediglich 44,4 % (Masse).

BM1883

Schreibweise für Prozentzeichen

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• Die typografisch korrekte Schreibweise ist mit einem Leerzeichen zwischen Zahl und Prozentzeichen. Im Computersatz ist hier ein geschütztes Leerzeichen zu verwenden, um einen Umbruch zwischen Zahl und Prozentzeichen zu verhindern.
  • Diese Regel gilt neben der deutschen in vielen weiteren Sprachen wie in der französischen, norwegischen, russischen und schwedischen Sprache. In der englischen Sprache wird dagegen kein Leerzeichen zwischen Zahl und Prozentzeichen gesetzt.
• Bei Verwendung mit Nachsilbe wird zusammengeschrieben. Beispiel: „15%ige Steigung“. Eleganter ist jedoch, halb oder ganz auszuschreiben: „15-prozentige Steigung“ oder „fünfzehnprozentige Steigung“.
• Singular/Plural: 1 % wird im Singular geschrieben, bevorzugt mit „ein“ statt Zahl: „Das ist nur ein Prozent aller Stimmen“. Andere Werte im Plural: „Das sind 7,5 % der Stimmen.“ oder „Das sind nur drei Prozent der Stimmen.“

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Weitere Begriffe:

Als Basispunkte werden bei Zinssätzen Hundertstel eines Prozents bezeichnet.

BM1884

Prozentrechnung mit dem Taschenrechner

Eingabe am Taschenrechner

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Taschenrechner unterschiedlicher Bauart und Hersteller behandeln die Tastatureingabe einer Prozentrechnung unterschiedlich. Dies kann zu Verwirrungen bzw. dazu führen, dass Benutzer von Taschenrechnern bei Prozentrechnungen auf die Prozenttaste verzichten und eher auf den Dreisatz oder auf die obenstehende Formel zurückgreifen.

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Der Taschenrechner in der Suchmaschine google hat überhaupt keine Prozent-Taste. Man muss also an Stelle des „%-Zeichens“ ein „÷ 100“ eintippen.

Bei jedem Taschenrechner kann man die Prozentrechnung mit „÷ 100“ ausführen.

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Beipiel a:

Wie viel sind 19 % von 300?

Modell 1 (ohne Prozenttaste): Wir tippen ein „300 : 100 * 19“ und erhalten „57“.

Modell 2: Wir tippen ein „300 * 19 %“ und erhalten „57“.

Modell 3: Wir tippen ein „19 %“ und erhalten automatisch „0,19“ dann tippen wir weiter „* 300“ und erhalten „57“.

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Beipiel b:

Wie viel sind 200 + 17 %?

Modell 1 (ohne Prozenttaste): Wir tippen ein „200 : 100 * 17 + 200“ und erhalten „234“.

Modell 2: Wir tippen ein „200 + 17 %“ und erhalten „234“.

Modell 3: Wir tippen ein „17 %“ und erhalten automatisch „0,17“ dann tippen wir weiter „* 200 + 200“ und erhalten „234“.

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Wenn wir zu mehreren Zahlen jeweils 16 % dazuaddieren wollen, dann können wir auch „* 1,16“ rechnen.

Begründung:

„* 0,16“ gibt uns 16 %

„* 1,00“ gibt uns 100 %

„* 1,16“ gibt uns 116 % (also 100 % + 16 %)

BM1885

Promille

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Promille haben als Referenzwert die 1000, nicht die 100.

Ein Promille (zusammengesetzt aus lateinisch pro, deutsch ‚im Verhältnis zu‘ und lateinisch mille, deutsch ‚tausend‘) oder Tausendstel steht für die gebrochene Zahl 0,001. Promilleangaben werden meist durch das Promillezeichen ‰ kenntlich gemacht.

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Definition:

Das Promille oder Tausendstel ist eine Hilfsmaßeinheit für Verhältnisgrößen mit der Bedeutung 1/1000. Durch das nachgestellte Promillezeichen wird der davor stehende Promillesatz $p$ also durch tausend geteilt:

$p\,{}^{0\!}\!/\!_{00}={\frac {p}{1{\,}000}}$

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Beispiele:

• $1\,{}^{0\!}\!/\!_{00}={\frac {1}{1{\,}000}}=0{,}001=\ \ \ \ 10^{-3}=0{,}1\,\%$
• $2\,{}^{0\!}\!/\!_{00}={\frac {2}{1{\,}000}}=0{,}002=2\cdot 10^{-3}=0{,}2\,\%$

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Berechnung:

Es gilt die Grundgleichung:

${\frac {\text{Promillewert}}{\text{Grundwert}}}={\frac {\text{Promillesatz}}{\text{1000}}}$

bzw.

${\text{Grundwert}}\cdot {\text{Promillesatz}}={\text{Promillewert}}\cdot {\text{1000}}$

Daraus ergibt sich:

${\text{Promillewert}}={\frac {{\text{Grundwert}}\cdot {\text{Promillesatz}}}{\text{1000}}}$

${\text{Promillesatz}}={\frac {{\text{Promillewert}}\cdot {\text{1000}}}{\text{Grundwert}}}$

${\text{Grundwert}}={\frac {{\text{Promillewert}}\cdot {\text{1000}}}{\text{Promillesatz}}}$

sowie die als Rechenkontrolle verwendbare Formel:

${\frac {{\text{Grundwert}}\cdot {\text{Promillesatz}}}{\text{Promillewert}}}={\text{1000}}$

BM1886

Promille - Anwendungen

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Bank- und Versicherungswesen:

In Promille angegebene Kenngrößen sind im Versicherungs- und Bankwesen häufig anzutreffen. Ein Beispiel aus dem Versicherungswesen ist die Angabe einer Schadenshäufigkeit je 1000 Risiken.

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Alkohol im Straßenverkehr:

Den Begriff Promille bezieht man umgangssprachlich auf den Alkoholgehalt im Blut der jeweiligen Person. Der Blutalkohol-Gehalt wird üblicherweise in Promille angegeben und kann mittels der Widmarkformel berechnet sowie in der Atemluft oder im Blut gemessen werden. Als Maßeinheit dient das Massenverhältnis Milligramm Alkohol pro Gramm Blut (mg/g) – siehe Artikel Blutalkoholkonzentration. Mit einem handlichen Alcotest-Gerät, das bei polizeilichen Kontrollen oder bei Unfallaufnahmen in der Regel auf der Straße eingesetzt wird und in das man hineinpustet, kann ermittelt werden, welche Alkoholkonzentration der Betroffene im Atem hat. Als Maßeinheit dient die Alkoholmenge in Milligramm pro Liter Atemluft (mg/l). Beispielsweise entspricht der Wert 1,0 mg/l Atemalkoholkonzentration in etwa einer Blutalkoholkonzentration von 2,1 mg/g, also 2,1 Promille. Der genaue Alkoholgehalt – sollte er als zu hoch vermutet werden – wird dann auf der Polizeistation entweder mit einem weitaus aufwändigeren Atemalkoholmessgerät oder von einem Arzt durch eine Blutalkoholmessung (mit einer geringen Blutabnahme bei dem Betroffenen) festgestellt.

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Steigungen/Gefälle von Eisenbahnstrecken:

Während bei Straßen die Neigungsangabe üblicherweise in Prozent erfolgt, wird die horizontale Neigung von Strecken bei Eisenbahnen (Gradiente) in Promille angegeben. Der Wert entspricht der Höhendifferenz in Millimetern pro Meter horizontaler Strecke (bzw. der Höhendifferenz in Metern pro Kilometer Strecke), also dem Tangens des Steigungswinkels. Der Wert wird zur Berechnung des größtmöglichen Zuggewichtes oder der Anhängelast bei Steigungen benötigt, außerdem zur Festlegung der zulässigen Höchstgeschwindigkeit im Gefälle (abhängig von Bremskraft und Zuggewicht).

In der Schweiz gelten Strecken mit Neigungen bis zu 10 ‰ als Flachbahnen. In Deutschland sind nach der Eisenbahn-Bau- und Betriebsordnung 12,5 ‰ die maximale Regelneigung für Hauptbahnen.

Strecken mit einer Neigung über 50 ‰ können in der Regel nur mit Hilfe von Zahnradantrieb befahren werden. Ausnahmen sind z. B. die Straßenbahn Lissabons, deren maximale Steigung 13,5 % beträgt, also 135 ‰, die Uetlibergbahn mit 79 ‰, die Berninabahn mit 72 ‰ und die Erzbergbahn mit 71 ‰.

BM1887

Prozentrechen - Schulmathematik

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Das Prozentsymbol:

Prozent bedeutet „ein Hundertstel“ oder 1/100. Es wird verwendet um zu lange Dezimalbrüche oder überhaupt Dezimalbrüche zu vermeiden. Ebenso bedeutet Promille „ein Tausendstel“ oder 1/1000. Die folgenden Zahldarstellungen sind z.B. äquivalent oder gleich:

1/5 = 0,2 = 20/100 = 20% = 200‰

1/2 = 0,5 = 50/100 = 50% = 500‰

1/100 = 1% = 10‰

1/4 = 0,25 = 25/100 = 25% = 250‰

1/3 = 0,33333... = 33,33333../100 = 33,3333..% = 333,3333...‰

1/25 = 0,04 = 4/100 = 4% = 40‰

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Beispiele:

Ein Händler gewährt einen Aktionsrabatt von 15 Prozent auf einen Laptop, der 1230 Euro kostet. Wieviel spart der Kunde durch diesen Rabatt:

1230 muß mit 0,15 malgenommen werden: Er spart 184,50. (Fall a)

Wie viel muss er zahlen: 1230 muss mit 0,85 malgenommen werden: 1045,50. (Fall e)

Ein Händler meldet am Monatsende 2340 Euro Mehrwertsteuer (16 Prozent bzw. neu 19 Prozent) beim Finanzamt an. Wie hoch ist der Monatsüberschuss aus verkaufter Ware nach Ein- und Ausgaben ohne Umsatzsteuer (d.h. nach Abzug der im selben Monat eingekauften Ware zu Nettopreisen): 2340 muß durch 0,16 geteilt werden: 14625 (Fall b)

Wie hoch ist sein Erlös: 14625 muß mit 1,16 malgenommen werden: 16965. (Fall c)

Oder auch 2340 muß mit 7,25 (=1,16/0,16) malgenommen werden. (Fall g)

Ein Händler gewährt 2 Prozent Skonto bei Zahlung innerhalb von 10 Tagen. Welchen Preis muss er für eine Ware fordern, damit er tatsächlich 1000 Euro dafür bekommt:

100 muß durch 0,98 geteilt werden: 1020,40 (Fall f)

Ein Sparbuch hat am 2.1.2005 einen Saldo von 10500 Euro. Wieviel wurde vor einem Jahr (am 2.1.2004) eingezahlt, wenn der Zinssatz pro Jahr 5 Prozent beträgt:

10500 muß durch 1,05 geteilt werden: 10000 Euro wurden eingezahlt. (Fall d)

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Prozente und Prozentpunkte:

Wenn bei Vergleichen davon gesprochen wird, dass ein Anteil um x Prozent gefallen oder gestiegen sei, ist besonderer Argwohn angebracht:

Hatte eine Partei bei der letzten Wahl 10% der Wählerstimmen, und hat sie bei dieser Wahl 20%, so handelt es sich um eine Verdoppelung oder um ein Wachstum von 100 Prozent aber nur um eine Differenz von 10 Prozentpunkten. Darüber, wieviele Wähler die Partei gehabt hat, wird dabei überhaupt keine Aussage gemacht, denn es ist möglich, dass die Wahlbeteiligung bei dieser Wahl geringer war als bei der letzten, und damit die Anzahl der Wähler tatsächlich geringer ist, obwohl die Prozentzahlen etwas anderes vorgaukeln.

BM1888

Die Zahl 100 als Vergleichszahl

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Viele Aufgaben des täglichen Lebens führen auf Zahlenvergleiche.

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Aufgabe: An einer Flugschule gab es in bestimmten Jahren eine Anzahl von Kandidaten für die Flugausbildung, von denen aber nur ein gewisser Teil den Aufnahmetest bestanden hat.

	2015	2016
Kandidaten	31	33
Aufnahmetest bestanden	24	26

Solche Aufgaben können mit Hilfe der Prozentrechnung gelöst werden.

Die Prozentrechnung ist eine Anwendung der Verhältnisgleichung.

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Bei kleinen Prozentanteilen weicht man oft auf 1000 als Vergleichszahl aus (Promille)

Auch die Eins als Vergleichszahl bietet sich für manche Fälle an.

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Für die obige Aufgabe (siehe Tabelle mit den Zahlen) ist ein Vergleich beider Jahre nicht ohne weiteres möglich, da es in beiden Jahren unterschiedliche Schülerzahlen gab.

In der Praxis werden zur Erleichterung des Vergleichs viele Zahlenangaben auf die Zahl 100 bezogen.

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Die Normen für die Viehhaltung in der Landwiertschaft beziehen sich auf 100 ha landwirtschaftliche Nutzfläche.

Die folgende Tabelle zeigt den Viehbesatz in einigen ausgewählten EU-Staaten.

(Begriffsklärung: Viehbesatz (kurz Besatz) ist ein landwirtschaftlich-ökologisches Maß für die Anzahl von Nutztieren im Verhältnis zu der für diese Tiere genutzten Agrarfläche, auf der beispielsweise ihr Futter erzeugt wird.

Land	Milchkühe ja 100 ha
Niederlande	382
Dänemark	161
Deutschland	110
Spanien	44

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Die Angaben über den Kraftstoffverbrauch für Kraftfahrzeuge erfolgen je 100 km Fahrstrecke.

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Preise verschiedener Waren werden je 100 g angegeben.

usw.

BM1889

Auch beim Vergleich von Zahlenverhältnissen (Quotienten) wird die Zahl 100 als Vergleichszahl verwendet: Die Quotienten werden dann in Brüche mit dem Nenner 100 verwandelt.

$312:217$ oder ${\tfrac {312}{217}}$ ist das gleich wie ${\tfrac {143{,}78}{100}}$

Ausgerechnet haben wir das wie alle Verhältnisgleichungen:

${\tfrac {312}{217}}={\tfrac {x}{100}}$

(Lies: „312 verhält sich zu 217 wie sich x zu 100 verhält.“)

(Das können wir auch kürzer lesen als: „312 verhält sich zu 217 wie x zu 100.“)

(Oder ganz kurz und alltagstauglich: „312 zu 217 wie x zu 100.“)

${\tfrac {312\cdot 100}{217}}=x$

$143{,}78=x$

also: ${\tfrac {312}{217}}$ ist das gleich wie ${\tfrac {1437{,}8}{100}}$

oder

${\tfrac {312}{217}}={\tfrac {143{,}78}{100}}$

---

Statt 100 können wir auch 1000 als Vergleichszahl nehmen:

${\tfrac {312}{217}}$ ist das gleich wie ${\tfrac {1437{,}8}{1000}}$

${\tfrac {312}{217}}={\tfrac {x}{1000}}$

${\tfrac {312\cdot 1000}{217}}=x$

$1437{,}8=x$

---

Statt 100 können wir auch 1 als Vergleichszahl nehmen:

${\tfrac {312}{217}}={\tfrac {x}{1}}$

${\tfrac {312}{217}}=x$

$1{,}4378=x$

${\tfrac {312}{217}}$ ist das gleich wie ${\tfrac {1,4378}{1000}}$

BM1890

BMW 116i

VW-Käfer

Der Kraftstoffverbrauch des BMW 116d Efficient Dynamics wird mit 3,8 Liter/100 100 kmLitern angegeben.

Ein sehr alter VW-Käfer verbraucht 28 Liter Kraftstoff für eine Fahrstrecke von 412 km.

Es soll der Kraftstoffverbrauch je 100 km Fahrstrecke berechnet werden.

Um wie viel Prozent ist der Kraftstoffverbrauch des BMW geringer, als der des Käfers.

1. Lösung BM1890

Fahrstrecke in km Verbrauch in Liter 100 412 x 28 ${\tfrac {100}{x}}={\tfrac {412}{28}}$ $x={\tfrac {100\cdot 28}{412}}$ $x={\tfrac {2800}{412}}$ $x=6{,}79$ Antwort: Der Verbrauch für den VW-Käfer beträgt 6,79 Liter je 100 km --- Weiter geht es mit der Aufgabe: Um wie viel Prozent ist der Kraftstoffverbrauch des BMW geringer, als der des Käfers? Jetzt müssen wir auf jedes Wort aufpassen, um den Grundwert (G) richtig zuzuordnen. BMW 116 VW-Käfer 3,8 6,79 Um wie viel Prozent ist der Kraftstoffverbrauch des BMW geringer, als der des Käfers? Wie viel Prozent - im Vergleich zum VW-Käfer - verbraucht der BMW. Unser Grundwert ist also der Verbrauch des Käfers. G = 6,79 Über den Daumen gepeilt verbraucht der BMW nur die Hälfte, also 50 % vom Kraftstoffverbrauch des Käfers. --- G : p = W : 100 G zu p, wie W zu 100. Grundwert zu Prozentsatz wie Prozentwert zu 100 --- 6,79 : x = 3,8 : 100 ${\tfrac {6{,}79}{x}}={\tfrac {3{,}8}{100}}$ $6{,}79={\tfrac {3{,}8}{100}}\cdot x$ ${\tfrac {6{,}79\cdot 100}{3{,}8}}=x$ $x=178.68$ Komisch! Wir wollen doch so was ähnliches wie 50 % rausbekommen. Haben wir uns wieder verrechnet?

2. Lösung BM1890
Wir hatten die falsche Formel verwendet! --- G : p = W : 100 G zu p, wie W zu 100. Grundwert zu Prozentsatz wie Prozentwert zu 100 --- Was ist daran falsch?

3. Lösung BM1890
Statt G : p = W : 100 muss es heißen G : 100 = W : p oder G : W = 100 : p oder p : 100 = W : G --- ${\frac {p\;\%}{100\;\%}}={\frac {W}{G}}$ --- Also rechnen wir bitte noch mal!

4. Lösung BM1890

${\frac {p\;\%}{100\;\%}}={\frac {W}{G}}$ ${\frac {x}{100}}={\frac {3{,}8}{6{,}79}}$ $x={\frac {3{,}8\cdot 100}{6{,}79}}$ $x=55{,}96$ Das sieht doch schon besser aus. Der VW-Käfer hat 100 % verbraucht. Der BMW verbraucht nur noch 55,96 % davon. Die Frage lautet aber: „Um wie viel Prozent ist der Kraftstoffverbrauch des BMW geringer, als der des Käfers.“ --- Ein anderes Beispiel: Erst waren es 100 % und jetzt sind es 80 %. Um wie viel Prozent sind es jetzt weniger? Es sind jetzt 20 % weniger. $100-80=20$ --- Also Der BMW verbraucht nur noch 55,96 % vom VW-Käfer. „Um wie viel Prozent ist der Kraftstoffverbrauch des BMW geringer, als der des Käfers.“ $100-55{,}96=44{,}04$. Antwort: Der Verbrauch des BMW's ist um 44,04 % geringer, als der Kraftstoffverbrauch des Käfers. --- Wie wäre die Aufgabe formuliert, wenn wir den Verbrauch vom BMW als Grundwert ansetzen sollen?

5. Lösung BM1890
Die alte Frage lautete: „Um wie viel Prozent ist der Kraftstoffverbrauch des BMW geringer, als der des Käfers.“ --- Die neue Frage muss lauten: „Um wie viel Prozent war der Kraftstoffverbrauch des Käfers höher, als der des heutigen BMW's.?“ --- Rechne bitte die Lösung aus!

6. Lösung BM1890

BMW 116 VW-Käfer 3,8 6,79 gege.: G = 3,8 W = 6,79 ges.: p Überschlag: Der Verbrauch war damals ungefähr doppelt so hoch, also 200 %. ${\frac {p\;\%}{100\;\%}}={\frac {W}{G}}$ ${\frac {x}{100}}={\frac {6{,}79}{3{,}8}}$ $x={\frac {6{,}79\cdot 100}{3{,}8}}$ $x=178{,}68$ Heute (BWM) 100 %, damals (VW-Käfer) 178,68 %. --- Wir lesen uns noch mal die Frage genau durch: „Um wie viel Prozent war der Kraftstoffverbrauch des Käfers höher, als der des heutigen BMW's.?“ Beispiel: Heute 100 %, damals 210 %. Der Verbrauch war damals um 20 % höher. $120-100=20$ --- Wir müssen also noch rechnen: $178{,}68-100=78{,}68$ Jetzt erst haben wir die korrekte und vollständige Antwort: Der Verbrauch war damals um 78,68%nbsp;% höher, als heute.

BM1891 - BM1900

BM1891

Um zwei Verhältnisse bequem vergleichen zu können, wählt man als gemeinsamen Nenner dieser Verhältniss - als Vergleichszahl - häufig die Zhal 100.

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Beispiel:

Wir vergleichen die Verhältnisse ${\tfrac {231}{522}}$ und ${\tfrac {1315}{2895}}$

Dazu rechnen wir auf den Nenner 100 um.

${\tfrac {231}{522}}={\tfrac {x}{100}}$

$x={\tfrac {231\cdot 100}{522}}$

$x=44{,}25$

${\tfrac {231}{522}}$ ist also das gleiche Verhältnis, wie ${\tfrac {44{,}25}{100}}$

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${\tfrac {1315}{2895}}$

Wir rechnen auf den Nenner 100 um.

${\tfrac {1315}{2895}}={\tfrac {x}{100}}$

$x={\tfrac {1315\cdot 100}{2895}}$

$x=45{,}42$

${\tfrac {1315}{2895}}$ ist also das gleiche Verhältnis, wie ${\tfrac {45{,}42}{100}}$

---

Wir haben also ${\tfrac {231}{522}}$ und ${\tfrac {1315}{2895}}$ umgewandelt

in ${\tfrac {44{,}25}{100}}$ und ${\tfrac {45{,}42}{100}}$

Nun können wir die Verhältnisse bequem vergleichen und stellen fest, dass das erste Verhältnis kleiner ist, als das zweite Verhältnis.

${\tfrac {44{,}25}{100}}<{\tfrac {45{,}42}{100}}$

BM1892

Ein Prozent einer Zahl ist der hundertste Teil dieser Zahl.

Für „1 Prozent“ schreibt man „1 %“.

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${\tfrac {W}{p}}={\tfrac {G}{100}}$

Prozentwert zu Prozentsatz gleich Grundwert zu 100.

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Der Grundwert (G) ist stets 100 %, also der Grundbetrag.

Der Prozentwert (W) entspricht dem hundertsten Teil des Grundwertes, multipliziert mit dem Prozentsatz.

Der Prozentsatz (p) ist die Zahl, die angibt, wie viel von 100 gerechnet wird, Er bezieht sich immer auf den Grundwert.

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Wenn von den drei Größen - Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz - zwei Größen bekannt sind, so können wir mit Hilfe des Dreisatzes die 3. Größe suchen.

Der Dreisatz (auch Verhältnisgleichung genannt) ist ein mathematisches Verfahren, um aus drei gegebenen Werten eines Verhältnisses den unbekannten vierten Wert zu berechnen. Was ist der 3. gegebene Wert? Na, die 100.

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Ein Elektriker erhält auf den Rechnungspreis in Höhe von 320,- EUR wegen sofortiger Zahlung 3 % Skonto. Wie viel Euro beträgt der Nachlass?

Lösung BM1892
Der Prozentwert ist unbekannt. 100 % ---- 320,- EUR 3 % ---- ? EUR ${\tfrac {320\cdot 3}{100}}=9,60$ EUR Nachlass. Grundwert = 320,- EUR = 100 % Prozentsatz = 2 % Prozentwert = 6,40 EUR Antwort: Der Nachlass beträgt 6,40 EUR.

BM1893

Ein Maler erhält auf den Rechnungspreis in Höhe von 654,- EUR wegen sofortiger Zahlung 19,62 EUR Nachlass.

Wie viel Prozent beträgt der Nachlass?

Lösung BM1893
Der Prozentsatz ist unbekannt. 654,- EUR ---- 100 % 19,62 EUR ---- ? % ${\tfrac {100\cdot 19,62}{654}}=3$ EUR Nachlass. Grundwert = 654,- EUR = 100 % Prozentwert = 19,62 EUR Prozentsatz = 3 %

BM1894

Eine Autowerrkstatt erhält auf den Rechnungspreis wegen sofortiger Zahlung 2 % Skonto, das bedeutet führ ihn 126,35 EUR Nachlass. Wie viel Euro beträgt der Rechnungspreis?

Lösung BM1894
Der Grundwert ist unbekannt. 2 % --- 126,35 EUR 100 % --- ? EUR ${\tfrac {126,35\cdot 100}{2}}=6317,50$ EUR Nachlass. Prozentsatz = 2 % Prozentwert = 126,35 EUR Grundwert = 6317,50 EUR = 100 %

BM1895

In 715 g einer Kochsalzlösung A seien 107 g Kochsalz gelöst.

In einer anderen Kochsalzlösung B seinen in 565 g dieser Lösung 79 g Kochsalz enthalten.

Welche Lösung ist salzhaltiger?

Lösung BM1895

Salzlösung A Salzlösung B Salzanteil ${\tfrac {107}{715}}$ ${\tfrac {79}{565}}$ Überschlag ${\tfrac {100}{700}}\approx 0{,}1$ ${\tfrac {80}{600}}\approx 0{,}1$ Berechnung der Quotienten ${\tfrac {107}{715}}\approx 0{,}15={\tfrac {15}{100}}$ ${\tfrac {79}{565}}\approx 0{,}14={\tfrac {14}{100}}$ Ergebnis: Die Salzlösung A ist salzhaltiger, denn auf 100 g dieser Lösung entfallen 15 g Salz, während 100 g Salzlösung B nur 14 g Salz enthalten.

BM1896

Der Vergleich von Zahlenverhältnissen wird in der Praxis meist auf den Vergleich von Brüchen mit dem Nenner 100 zurückgeführt.

In der vorhergehenden Übung betrug der Salzanteil der Lösung A ${\tfrac {15}{100}}$ und der Salzanteil der Lösung B ${\tfrac {14}{100}}$.

Auf 100 g der Salzlösung A entfallen 15 g Salz auf 100 g der Salzlösung B 14 g Salz. Da der Vergleich von Brüchen mit dem Nenner 100 sehr häufig vorkommt, wurde für die Angaben in Hundertstel ein besonderer Begriff eingeführt.

Für 1 Hundertstel einer gegebenen Zahl wird die Bezeichnung 1 Prozent (geschrieben: 1 %) verwendet.

Das Wort „Prozent“ geht auf die lateinischen Wörter „pro centum“ zurück, die „für hundert“, sinngemäß also „Hundertstel“, bedeuten.

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Die Salzlösungen A und B aus der vorherigen Übung enthalten also 15 % bzw. 14 % Salz.

BM1897

Ein Prozent einer Zahl ist der hundertste Teil dieser Zahl.

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1 % von a sind ${\tfrac {a}{100}}$

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Jede Angabe in Prozent kann durch einen Dezimalbruch ersetzt werden.

Umgekehrt lässt sich jeder Bruch mit dem Nenner Hundert durch eine Prozentangabe ersetzen.

In der folgenden Tabelle sind einige Prozentangaben mit den zugehörigen Dezimalbrüchen angegeben.

Prozente	1 %	4 %	10 %	50 %	75 %	100 %	105 %	231 %
Dezimalbruch	0,01	0,04	0,10	0,50	0,75	1,00	1,05	2,31

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Wenn also bespielsweise die Hälfte einer Sportlergruppe raucht, so kann auch gesagt werden, dass 50 % aller Sportler dieser Gruppe rauchen.

Umgekehrt bedeutet die Angabe, dass 75 % der Mitarbeiter einer Abteilung verheiratet sind, dass ${\tfrac {3}{4}}$ aller Mitarbeiter dieser Abteilung verheiratet sind.

BM1898

Rechne!

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a) 2 % von 300

b) 3 % von 200

c) 15 % von 70

d) 9 % von 9

e) 3 % von 80

---

f) 8 % von 30

g) 12,5 von 8,0

h) 92 % von 3.400

i) 34,5 % von 54

j) 0,4 % von 25

BM1899

Rechne!

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a) Wie viel getrocknete Pilze erhält man aus 40 kg frischen Pilzen, wenn sie beim Trocknen um 84 % ihrer Masse verlieren?

b) Eine Paste verliert beim Trocknen 74 % ihrer Masse. Wie viel Masse verlieren 350 kg frische Paste beim Trocknen?

c) Die Erdoberfläche beträgt etwas 510 Millionen km². Das Festland nimmt annähernd 20%nbsp;% der Erdoberfläche ein. Es ist die ungefähre Größe der Fläche zu berechnen, die vom Festland auf der Erdoberfläche eingenommen wird.

d) Warum sind x % einer Größe $a$ ebenso viel, wie ${\tfrac {x}{2}}$ % der Größe $2a$?

e) Warum sind y % einer Größe $b$ ebenso viel, wie $n\cdot y$ % der Größe ${\tfrac {b}{n}}$?

---

f) Wie viel Prozent sind 5 von 40?

g) Wie viel Prozent sind 1 von 200?

h) Wie viel Prozent sind 2 von 100?

i) Wie viel Prozent sind 17,3 von 18?

j) Wie viel Prozent sind 0,2 von 0,9?

BM1900

a) Eine Oma bekommt für die Reparatur ihrer Dusche von einem Handwerker einen Kostenvoranschlag in Höhe von 747,45 EUR. Der Vermieter wird ihr voraussichtlich nur 20 % ersetzen. Wie hoch ist die Summe, die die Oma selbst tragen muss.

b) Ein Schlosser kauft für seine Werkstatt Werkzeug für 320,40 EUR. Es werden ihm bei Barzahlung 2,5 % Skonto gewährt. Wie hoch ist der Einkaufspreis?

c) Der Wasserkocher kostet 65,- EUR. Die Super-Lux-Ausführung hat einen Mehrpreis von 12,5 %. Wie viel kostet die Super-Lux-Ausführung des Wasserkochers?

d) Weil eine Espressomaschine einen großen Kratzer hat, wird sie mit $16{\tfrac {2}{3}}$ % Preisnachlass verkauft. Der Originalpreis war 375,90%nbsp;EUR. Zu welchem Preis wurde die Espressomaschine verkauft?

e) Eine Tasche für 124,50 EUR wird um 35 % im Preis herabgesetzt. Wie hoch ist der Nachlass in Euro?

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f) Sie hat in 12 Monaten 12 % ihres früheren Gewichts von 60,9 kg verloren. Wie schwer ist sie jetzt?

g) Der neu gekauft Nierentisch zum Preis von 130 EUR erlitt durch den Transport eine kleine Beschädigung. Der Lieferant ist bereit, einen Preisnachlass von 20 % zu gewähren. Wie viel hat der Käufer zu überweisen, wenn außerdem noch 3 % Skonto abgezogen werden dürfen?

h) Die Reparaturkosten nach einem kleinen Parkplatzrempler betragen 346,50 %. Die Versicherung des Unfallgegners erstattet ihm 250 %. Wie viel Prozent erstattet ihm die Versicherung?

i) Ein Gerät wird gegen Anzahlung von 150 EUR und fünf Monatsraten von je 107,60 EUR verkauft. Der Barpreis beträgt 645 EUR. Wie hoch ist der Preis bei Teilzahlung? Wie viel Prozent Zuschlag berechnet der Verkäufer bei Teilzahlung auf den Barpreis?

j) In einer Großstadt ereigneten sich während eines Jahres 2.578 Verkehrsunfälle. Durch Autofahrer wurden 1.213, durch Radfahrer 348, durch Fußgänger 216 und durch sonstige Umstände 801 Unfälle verursacht. Berechne die Unfallzahlen in Prozenten!

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