Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 089b

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Mathematik auf Deutsch - 39

BM1901 - BM1910

BM1901

Bei bekanntem Grundwert G und Prozentsatz p lässt sich der Prozentwert W berechnen, der dem gegebenen Prozentsatz zugeordnet ist. Wir lösen dazu die Verhältnisgleichung ${\tfrac {W}{p}}={\tfrac {G}{100}}$ nach W auf.

$W={\tfrac {G\cdot p}{100}}$

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Jahr	Passagiere im Flugverkehr in Mill.	Anteil der Fernreisen in %
1960	2.830	3,9
1970	3.078	10,9
1980	3.607	18,5
1990	3.473	25,1
2000	3.491	28,3
2010	3.461	29,3

Durch die Tabelle sind die Grundwerte für die einzelnen Jahre und die Prozentsätze für den Anteil der Fernreisen am Flugverkehr gegeben.

Wir wollen die jeweiligen Prozentwerte berechnen.

Die Gesamtzahl der beförderten Flugpassagiere ist der Grundwert.

Für 1960 erhalten wir:

$W={\tfrac {G\cdot p}{100}}$

$W={\tfrac {2.830\cdot 3{,}9}{100}}$

$W\approx 110{,}37$ Mill.

Das heißt von den 2.830 Mill. Flugreisen waren 110,37 Mill. Fernreisen.

BM1902

a) Die Reparaturrechnung für den Mieter beläuft sich auf 8 EUR. Der Vermieter bezuschusst die Reparatur mit 62,50 EUR. Wie viel Prozent hat der Mieter von der Reparaturrechnung zu tragen?

b) Die Einrichtung des Büros kostet 845 EUR. Der Lieferant erlässt 45 EUR. Wie viel Prozent macht der Nachlass aus?

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c) Die Hebamme war im letzten Jahr bei 139 Entbindungen zugegen. 77 Frauen konnte sie im Krankenhaus entbinden. Drücke die Hausgeburten in Prozent aus!

d) Der Kostenvoranschlag in Höhe von 855 EUR wird von der Versicherung mit 250 EUR zurückvergütet. Wie viel Prozent hat demnach der Versicherte selbst zu tragen?

BM1903

a) Beim Kauf einer Fräsmaschine erhält ein Tischler wegen sofortiger Barzahlung 3 % Skonto. Das sind 11,75 EUR. Wie teuer ist die Fräsmaschine?

b) Wegen einer Beschädigung erhält ein Friseur eine Ausstellungsvitrine mit 12,5 % Nachlass um 95 EUR billiger. Wie hoch war die Ausstellungsvitrine ausgezeichnet?

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c) Nach einer Hüftprothesenoperation macht ein Patient eine Kur für die Nachbehandlung. Die Krankenkasse ersetzt ihm 730 EUR, das sind 20 %. Wie hoch ist der Kostenvoranschlag für die Kur?

d) Ein Schlosser kauft für seine Werkstatt ein kleines Werkzeug. Da er sofort zahlt, erlässt ihm die Firma 8,01 EUR, das sind 2,2 %. Wie viel hätte der Schlosser zahlen müssen, wenn er auf auf Zahlungsziel gekauft hätte?

BM1904

a) Beim Jahresabschluss wurden von einem Schweißautomaten bei einem Abschreibungssatz von 20 % 2.364 EUR und von der Werkstattausrüstung 624 EUR bei 13,5 % abgeschrieben. Berechne den Buchwert zu Beginn des Geschäftsjahres!

b) Die Rechnung eines Lieferanten wurden um 1,5 % Skonto gekürzt. Wie groß war der Rechnungsbetrag, wenn 24,68 EUR abgezogen wurden?

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c) Bei einem Hauskauf fielen 4.576 EUR Nebenkosten für Maklerprovision und Grunderwerbssteuer an. Das waren 8 % des Kaufpreises. Wie hoch war der Kaufpreis?

d) Ein Kollege erwartet eine 12 %ige Gehaltserhöhung. Das würde für ihn 89,92 EUR ausmachen. Wie viel Euro verdient er zur Zeit?

BM1905

a) Durch die Erhöhung der Herstellungskosten musste der Verkaufspreis eines Gerätes um 7 % im Preis heraufgesetzt und auf 3.103 EUR festgelegt werden. Wie viel betrug der frühere Verkaufspreis? Um wie viel Euro hat sich der Preis erhöht?

b) Die Kosten einer Heilbehandlung betragen einschließlich 7 % Arzneikosten 696,36 EUR. Wie hoch sind die Arzneikosten?

c) Die Miete für eine Werkstatt beträgt nach der Neufestsetzung 275 EUR. Darin ist eine Erhöhung von 6,25 % enthalten. Wie hoch war die Erhöhung? Wie hoch war die alte Miete?

d) Das Gehalt eines Lagerarbeiters wurde um 6 % erhöht und beträgt jetzt 1193 EUR. Wie hoch war das Gehalt vorher?

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e) Eine Oma hat auf ihrem Sparbuch bisher eine Spareinlage in Höhe von 2.344,18 EUR. Die Sparkasse hatte ihr zum Jahresabschluss 3,6 % Zinsen zugeschrieben. Wie groß war ihre Spareinlage am Jahresanfang?

f) Die Betriebskosten einer Schneiderei sind um 9 % gestiegen und betragen jetzt 2.185,65 EUR. Wie hoch waren sie im Vorjahr?

g) Die Heizkosten einer Werkstatt betragen 16,50 EUR pro Tag. Im Vergleich zum letzten Jahr haben sie sich um 6,6 % erhöht. Welche Heizkosten hatte er im letzten Jahr für einen Monat? - (30 Tage/Monat) - Welche Heizkosten hat die Werkstatt in diesem Jahr für einen Monat?

h) Die Instandsetzungsarbeiten eines Hauses werden gegenüber dem Kostenvoranschlag um 3,5 % teurer und betragen jetzt 35.678 EUR. Wie hoch war der Kostenvoranschlag?

BM1906

a) Die Nähmaschine kostet bei Zahlung in sechs Monaten 476,45 EUR., darin steckt ein Teilzahlungszuschlag von 7,5 %. Berechne den Barpreis!

b) Ein Bürokaufmann will eine Lebensversicherung abschließen. Die Lebensversicherungsgesellschaft berechnet bei Zahlung in zwölf Monatsraten auf die Jahresprämie einen Zuschlag von 2,5 %. Entschließt er sich die Prämie monatlich zu zahlen, so hat er 109 EUR zu überweisen, und zwar jeweils am 1. d. M. Wie viel muss er zahlen, wenn er die gesamte Jahresprämie im voraus begleicht?

c) Die Vierteljahresprämie für seine Kraftfahrzeugsteuer beträgt 265 EUR. Er beabsichtigt, die Jahresprämie in einer Summe zu zahlen. Welchen Betrag muss er an das Finanzamt überweisen, wenn bisher für die Zahlung in Vierteljahresraten ein Aufschlag von 4,2 % eingerechnet werden?

d) Eine Schule hat den Personaletat für das neue Jahr mit 112.350 EUR festgesetzt. Das sind 9 % mehr, als im alten Jahr. Wie groß war der Etat des alten Jahres?

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e) Der Preis für Heizkörperlack wurde in den vergangenen drei Jahren insgesamt drei mal erhöht, und zwar zuerst um 4,2 %, dann um 10 % und zuletzt um 8,3 %. Eine Dose Heizkörperlack kostet heute 43,70 EUR. Wie viel hat sie vor der Erhöhung gekostet?

f) Durch die Erhöhung der Herstellungskosten musste der Verkaufspreis für den Entgratroboter um 6,6 % gesteigert und auf 69.565 EUR festgesetzt werden. Wie groß war die Preissteigerung und der frühere Verkaufspreis?

g) In einem Landkreis haben sich die Umfälle gegenüber dem Vorjahr um 11,8 % vermehrt. Wie groß ist die vorjährige Unfallzahl, wenn sie jetzt eine Höhe von 6.674 hat?

h) Ein Werbeunternehmen hat nach einer Erhöhung von 6,6 % für seine Büroräume eine jährliche Miete von 2.328 EUR aufzubringen. Um wie viel Euro wurde sie erhöht, und wie hoch war sie früher monatlich?

BM1907

a) In einem Transportunternehmen sind im letzten Jahr die allgemeinen Verwaltungskosten gegenüber dem Vorjahr um 9,3 % gestiegen. Sie betragen jetzt 58.534 EUR. Berechne die Kostenerhöhung!

b) Im letzten Jahr wurden 81 herrenlose Hunde im Tierheim aufgenommen. Das waren rund 4,1 % mehr als im Vorjahr. Wie viel Hunde wurden im Vorjahr aufgenommen? Errechne die Zahl für das Vorjahr!

c) Bei Verkehrskontrollen wurden landesweit 955 Lastkraftwagen wegen mangelnder Verkehrssicherheit stillgelegt. Das waren 28 % als im Vergleichszeitraum des Vorjahres.

d) Es gab in diesem Jahr 12 Morde. Das bedeutet eine Erhöhung von rund 66,66 % gegenüber dem Vorjahr. Wie viel Morde gab es im Vorjahr?

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e) Nachdem die Verwaltungskosten gegenüber dem Vorjahr um 9 % gesunken sind, betragen sie jetzt 36.809,50 EUR. Errechne die Verwaltungskosten des Vorjahres! Errechne die Kostensenkung!

f) Der Preis für das Medikament ist gegenüber dem Vorjahr um 7 % gesunken und beträgt jetzt 9,50 EUR. Mit welchem Preis war das Medikament im Vorjahr ausgezeichnet?

g) Im letzten Jahr wurden 54 Einbrüche gemeldet. Das waren gegenüber dem Vorjahr rund 32 % weniger. Wie viel Einbrüche wurden im Vorjahr gemeldet?

h) In den letzten 5 Jahren wurden 138 Autodiebstähle gemeldet. Vergleicht man diese Zahl mit der entsprechenden Zahl der Vorjahre, so kann man einen Rückgang von rund 42 % feststellen. Wie viel Autodiebstähle wurden früher in einem Zeitraum von 5 Jahren gemeldet?

BM1908

a) Die folgende Aufgabe befasst sich mit dem erheblichen Absinken der Säuglingssterblichkeit. In einer Stadt starben in den letzten 10 Jahren 356 Kinder im 1. Lebensjahr. Das bedeutet eine Senkung der Sterbefälle um etwas 80 % im Vergleich zum Ende des 19. Jh. Mit wie viel Sterbefällen hätte die Stadt Ende des 19. Jahrhunderts bei der gleichen Geburtenzahl rechnen müssen?

b) Auf ein Auslaufmodell eines Gerätes werden 7 % Nachlass gewährt. Er überweist daraufhin durch seine Bank an die Lieferfirma 385,026 EUR. Wie hoch war der Rechnungspreis?

c) Für die Packung ist der Preis um 4,7 % gesunken. Sie kostet jetzt 6,90 EUR. Errechne den früheren Preis der Packung!

d) Die umsatzsteuerpflichtigen Einnahmen eines Handwerkers betragen nach Abzug von 19 % Umsatzsteuer noch 7.472 EUR vierteljährlich. Über welchen Betrag muss der Überweisungsauftrag für die fällige Umsatzsteuer lauten?

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e) Die Betriebsausgaben sind letztes Jahr um 8 % gesunken und betragen jetzt 38.675 EUR. Errechne die Betriebskosten des Vorjahres.

f) Die Unfallzahlen haben sich gegenüber dem Vorjahr um 15 % vermindert. Errechne die vorjährige Unfallzahl, wenn sie jetzt eine Höhe von 964 hat!

g) Durch die Senkung der Herstellungskosten konnte der Verkaufspreis eines Gerätes um 6 % vermindert und auf 7.534 EUR festgesetzt werden. Wie groß ist die Preissenkung und der frühere Verkaufspreis?

h) Wegen eines Mengenrabatts senkt der Verkäufer den Listenpreis von 645 EUR auf 65 % des Listenpreises. Wie hoch war der Listenpreis?

BM1909

a) Nach einer Preisminderung von 5 % beträgt der endgültige Preis nur och 745 %. Wie hoch war der ursprüngliche Preis?

b) Ein Anleger erhält nach Abzug von 25 % Kapitalertragssteuer auf seinen Aktienbesitz eine Netto-Dividende von 900 EUR. Wie groß war die Brutto-Dividende?

c) Weil er knapp bei Kasse ist muss er schnell ein ererbtes Grundstück veräußern. Er verkauft es um 8 % unter Wert, für 25.432 EUR. Welchen tatsächlichen Wert hatte das Grundstück?

d) Ein Kunde durfte vom Rechnungspreis 18 % Rabatt und vom Nettopreis 1,5 % Skonto abziehen. Somit konnte er die zugesandte Rechnung mit 1.835 EUR ausgleichen. Errechne den ursprünglichen Rechnungsbetrag! Wie viel Prozent hatte der Kunde insgesamt vom Rechnungspreis abgezogen?

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e) Der Buchhalter der Firma schrieb ein Gerät 3 Jahre hintereinander mit 20 % vom jeweiligen Buchwert ab. Am Ende des dritten Jahres ist der Buchwert noch 104 EUR. Wie hoch war der Anschaffungspreis des Gerätes?

f) Die Wiederaufbaukosten für das Haus betragen 45.765 EUR. Das sind 12 % weniger, als man veranschlagt hatte. Wie hoch war der Kostenvoranschlag?

g) Die Ausgaben für die Weihnachtsfeier betrugen 564 EUR. Das waren 17 % weniger, als veranschlagt waren. Erreche die ursprünglich veranschlagten Kosten!

h) Ein Gerät wird jährlich mit 12 % abgeschrieben. Der Anschaffungswert des Gerätes beträgt 3.750 EUR. Mit wie viel Euro steht das Gerät nach drei Jahren der linearen Abschreibung im Buche?

BM1910

a) Ein Nagelstudio muss 19 % Umsatzsteuert bezahlen Wie hoch waren die Einnahmen, wenn für das letzte kalenderjahr 6.564 EUR entrichtet wurden?

b) Benötigt werden 2,5 Liter einer 3&nbps;%-igen Schwefelsäurelösung. Diese soll aus konzentrierter Schwefelsäure durch Verdünnen mit Wasser hergestellt werden. Wie viel cm² Schwefelsäure und wie viel cm² Wasser werden dazu benötigt, um die gewünschte Lösung herzustellen?

c) Ein DAchdecker kauft eine Blechscheere zum Preis von 19,70 EUR. Da er ein alte Kunde der Firma ist, verlangt man an der Kasse von ihm nur 18,03 EUR. Wie viel Prozent Nachlass wurde ihm gegeben?

d) Nach einer Gehaltserhöhung um 12 % beträgt ihr Bruttogehalt nunmehr 1.525 EUR. Um wie viel Euro hat sich ihr Gehalt erhöht?

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e) Es sollen 350 cm² einer 6 %igen Salpeterlösung angesetzt werden. Wie viel cm² einer 100 %igen Salpeterlösung werden dazu benötigt? Und wie viel cm² Wasser?

f) Die chemische Analyse ergibt in einer Probe 2,8 % Zucker. Wie viel Zucker sind in 930 cm² dieser Lösung enthalten?

g) Die Personalkosten einer kleinen Firma sind im letzten Jahr um 6,25 % gestiegen. Sie betragen jetzt 18.296 EUR. Errechne die Lohnsteigerung in Euro! Stelle die Personalkosten vor der Erhöhung fest!

h) Die Rechnung in Höhe von 112 EUR enthält neben den Arbeitskosten 85 % Materialkosten. Wie hoch waren die Arbeitskosten?

BM1911 - BM1920

BM1911

a) Der Gaspreis ist im letzten Jahr um 12,5 % gestiegen. Vor der Preiserhöhung schlugen die Kosten für den Gasverbrauch mit monatlich 48 EUR zu Buche. Wie hoch sind die monatlichen Kosten nach der Preiserhöhung?

b) Von 1.274 geblitzten Autofahrern hatten 712 die Geschwindigkeit um 10-20 km/h überschritten, 307 um 20-40 km/h und 255 um über 40 km/h. Wir verhielt sich das Verhältnis der Geschwindigkeitsüberschreitungen prozentual zueinander?

c) Von 195 allgemeinen Verkehrskontrollen gab es bei 82 % keinen Anlass zu Beanstandungen. Bei wie vielen Kfz gab es Anlass zu Beanstandungen.

d) Nach Abzug von 3 Skonto gegleicht ein Gärtner drei Rechnungen mit 175 EUR, 253 EUR und 342 EUR. Wie viel Euro beträgt das Skonto?

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e) Der Benzinverbrauch stieg gegenüber dem Vormonat um 12,5 % auf 289 Liter. Wie viel Liter betrug die Steigerung?

f) Eine Lieferfirma schrieb an einen Frisiersalon: „Wir gewähren Ihnen für den kleinen Lackschaden an der Spiegelwand einen Nachlass von 65 EUR, so dass noch 2.953 EUR zu zahlen sind.“ Wie viel Prozent des Rechnungsbetrages sind das?

g) Die Jahresmiete beträgt nach der Mieterhöhung von 12,5 % jetzt 4.428 EUR. Stelle die monatliche Miete fest, die bisher gezahlt wurde!

h) Ein Auto kostet bei Barzahlung 35.750 EUR, bei Ratenzahlung 38.645 EUR. Um wie viel Prozent ist das Auto bei Barzahlung billiger?

BM1912

a) Person A bekommt für 24.000 EUR angelegtes Kapital einen Zinsertrag von 1.534 EUR. Person B bekommt für 56.450 EUR angelegtes Kapital einen Zinsertrag von 3.955 EUR und Person C bekommt für 118.000 EUR angelegtes Kapital einen Zinsertrag von 7.134,50 EUR. Wer hat prozentual den höchsten Zinsertrag erzielt?

b) Die Betriebskosten der Schneiderei sind gegenüber dem Vorjahr um 10 % gestiegen. Die Zunahme beträgt 1.643 EUR. Wie hoch waren die vorjährigen Betriebskosten?

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c) Der Gewinn einer Autowerkstatt wird unter die drei Inhaber nach der Höhe ihrer Einlagen verteilt. A erhält 22 % = 1.432,53 EUR. B erhält 45 %. C erhält den Rest. Wie viel Euro erhalten B und C?

d) Der Buchwert der Büroeinrichtung beträgt heute 8.534 EUR. Es sind 12 % abgeschrieben worden. Wie hoch war der vorjährige Wert?

BM1913

a) Von einem Apparat werden 488 EUR = 20 % abgeschrieben. Berechne den alten Buchwert!

b) Ein mann, der seinem Bekannten ein Darlehen zur Verfügung gestellt hatte, erhält einschließlich 4 % Jahreszinsen 4.534 EUR zurück. Wie hoch war das Darlehen?

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c) Die allgemeinen Betriebskosten der Firma sind im letzten Kalenderjahr gegenüber dem Vorjahr um 8,33 % gefallen. Sie betragen noch 234.186 EUR. Berechne die Kostensenkung!

d) Unter vier Personen wird ein Gewinn in Höhe von 25.000 EUR folgendermaßen verteilt: A bekommt 35 %, B erhält 20 %, C bekommt 12,5 % und C erhält 32,5 %. Wie viel erhält jeder?

BM1914

Bei bekanntem Grundwert und Prozentwert lässt sich der Prozentsatz berechnen, der dem gegebenen Prozentwert zugeordnet ist. Wir lösen dazu die Verhältnisgleichung ${\tfrac {W}{p}}={\tfrac {G}{100}}$ nach p auf:

$p={\tfrac {W\cdot 100}{G}}$

Beispiel:

	1990	2015
CNC-Maschinen	43.170	120.125
Industrieroboter	3.241	15.461

Es ist zu berechnen, auf wie viel Prozent der Bestand an CNC-Maschinen und Industrierobotern jeweils gebracht wurde.

${\tfrac {W}{p}}={\tfrac {G}{100}}$

$p={\tfrac {W\cdot 100}{G}}$

$p={\tfrac {120.125\cdot 100}{43.170}}$

$p\approx 278,26$

Antwort: Der Bestand an CNC-Maschien wuchs von 1990 bis 205 auf rund 278,3 % an.

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$p={\tfrac {15.461\cdot 100}{3.241}}$

$p\approx 477$

Der Bestand an Industrierobotern wurde auf 477 % gesteigert.

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Der Prozentwert kann größer als der Grundwert sein.

Wenn $W<G$, so $p<100$.

Wenn $W=G$, so $p=100$.

Wenn $W>G$, so $p>100$.

BM1914

Bequeme Prozentsätze

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50 % von 240 sind 120

25 % von 480 sind 120

4 %von 600 sind 24

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Es gibt Prozentsätze, mit denen sich besonders einfach rechnen lässt.

Ist der Prozentsatz p ein Teiler der Zahl 100, so lässt sich der Bruch ${\tfrac {p}{100}}$ kürzen.

Wir erhalten einen Bruch mit dem Zähler 1. Die gesuchten Prozentwerte finden wir, indem wir die betreffenden Grundwerte durch den jeweiligen Nenner dividieren.

Besitzen der Prozentsatz p und die Zahl 100 einen gemeinsamen Teiler, so lässt sich der Bruch ${\tfrac {p}{100}}$ ebenfalls kürzen. Auch in diesen Fällen kann die Rechnung vereinfacht werden.

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Beispiele:

a) 50 % von 240

${\tfrac {50}{100}}$ ist ${\tfrac {1}{2}}$

${\tfrac {1}{2}}$ von 240 ist 120

50 % von 240 ist 120

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b) 25 % von 480

${\tfrac {25}{100}}$ ist ${\tfrac {1}{4}}$

${\tfrac {1}{4}}$ von 480 ist 120

25 % von 480 sind 120

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c) 4 %von 600

${\tfrac {4}{100}}$ ist ${\tfrac {1}{25}}$

${\tfrac {1}{25}}$ von 600 ist (4*6) 24

4 %von 600 ist 24

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Die folgende Auflistung enthält einige Prozentsätze, mit denen es sich einfach rechnen lässt:

Prozentsatz p = ${\tfrac {1}{100}}$

1 % = ${\tfrac {1}{100}}$

4 % = ${\tfrac {1}{25}}$

5 % = ${\tfrac {1}{20}}$

10 % = ${\tfrac {1}{10}}$

12,5 % = ${\tfrac {1}{8}}$

20 % = ${\tfrac {1}{5}}$

25 % = ${\tfrac {1}{4}}$

33,33 % = ${\tfrac {1}{3}}$

50 % = ${\tfrac {1}{2}}$

75 % = ${\tfrac {3}{4}}$

100 % = $1$

150 % = ${\tfrac {3}{2}}$

200 % = ${\tfrac {1}{2}}$

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Auch diese Prozentsätze sollte man sich einprägen:

2,5 % = ${\tfrac {1}{40}}$

1,25 % = ${\tfrac {1}{80}}$

16,33 % = ${\tfrac {1}{6}}$

8,33 % = ${\tfrac {1}{12}}$

BM1915

a) Aus 64 t Kupferschiefer wird etwas 1 t Rohkupfer gewonnen. Wie viel Prozent beträgt demnach die Ausbeute?

b) 3,52 kg einer Lösung enthalten 276 g Kochsalz. Wie viel prozentig ist die Lösung?

c) Die geplante Bauzeit für eine Brücke betrug 180 Tage. Die Brücke wurde nach 171 Tagen fertig gestellt. Wie viel Prozent beträgt die zeitliche Einsparung?

d) Der Rohling einer Welle wiegt 67,0 kg. Nach der Bearbeitung auf der Drehmaschine wiegt die fertige Welle noch 61,5 kg. Wie viel Prozent beträgt der Materialabfall?

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e) 15 sind 2 % des Grundwertes? Berechne den Grundwert!

f) 2,40 EUR sind 3 % des Grundwertes? Berechne den Grundwert!

g) 81,40 EUR sind 72 % des Grundwertes? Berechne den Grundwert!

h) 2.540 sind 12,5 % des Grundwertes? Berechne den Grundwert!

BM1916

a) Eine 4,2 %ige Kochsalzlösung enthält 17,5 % Salz. Wie groß ist ihre Gesamtmasse? Wie viel Gramm Wasser enthält die Lösung?

b) Messing besteht aus Kupfer uns Zink. man hat 195 kg Kupfer zur Verfügung und will eine Legierung herstellen, die 65 % Kupfer enthält. Wie viel Kilogramm Messing können hergestellt werden? Wie viel Kilogramm Zink werden dazu benötigt?

c) An einem Fließband werden täglich durchschnittlich 60 Lkw montiert. Infolge einer Betriebsstörung wurden an einem Tag nur 60 % und am folgenden Tag nur 80 % dieser Stückzahl produziert. Am dritten Tag wurden nach Beseitigung der Störung 150 % erreicht. Is dadurch der entstandene Produktionsrückstand beseitigt?

d) Herr Meier erhält ein Bruttogehalt von 2.500 EUR. Nach Abzug der Steuern und Sozialversicherungsbeiträge bekommt er von seinem Gehalt 1.650 EUR ausgezahlt. Herr Schröder bezieht ein Bruttogehalt von 2.100 EUR von dem er netto 1289 EUR ausgezahlt bekommt. Wer muss verhältnismäßig mehr Steuern und Sozialversicherungsbeiträge zahlen?

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e) Die Rechnung für das Gerät enthält 35,28 EUR MwSt (19 %). Wie teuer ist das Gerät ohne Mehrwertsteuer.

f) Der Mantel wird im WSV für 179,95 EUR angeboten. Laut Preisschild wurde der Originalpreis um 35 % reduziert. Wie hoch war der Originalpreis?

g) Eine Hose wird um 45 % im Preis gesenkt. Jetzt kostet sie nur noch 59 EUR. Wie viel kostete sie vorher?

h) Ein Gehalt, dass um 6 % erhöht wurde, beträgt danach 236,70 EUR. Wie hoch war das Gehalt vor der Gehaltserhöhung?

BM1917

um - eine messbare Differenz einer Größe oder Menge.

Beispiele:

Der Baum überragt das Haus um mehrere Meter

Die Anzahl der Übernachtungen stieg 2002 um 30 %.

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auf - ein Zahlenwert steigt bis zu einem neuen, höheren Wert.

Beispiel:

Der Umsatz-Anteil der Handyverkäufe stieg auf 45 Prozent gegenüber 26 Prozent im Jahr 2000.

Die Rate der Analphabeten in den Schwellenländern sank weltweit von 28 Prozent auf 20 Prozent.

Die Anzahl der Übernachtungen stieg 2002 auf das Doppelte.

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„Steigung um ...“ - „steigen um ...“ - Der Preis stieg um 10 %.

„Steigung auf ...“ - „steigen auf ...“ - Der Preis stieg auf 110 %

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„fallen um ...“ - Der Preis fiel um 10 %.

„fallen auf ...“ - Der Preis fiel auf 110 %

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a) Vom Vorjahresmodell des Geschirrspülers wurden 530 verkauft. Bei den Verkaufszahlen für das diesjährige, verbesserte Modell war eine Steigerung um 130 % festzustellen. Wie viel Geschirrspüler wurden dieses Jahr verkauft.

Lösung BM1917 a)
${\tfrac {100}{530}}={\tfrac {\color {red}230}{x}}$ Nicht 130, sondernd 230, denn die Verkaufszahlen wurden um 130 % gesteigert. Also $100\%+130\%=230\%$. $x={\tfrac {{\color {red}230}\cdot 530}{100}}$ $x=1219$ Antwort: In diesem Jahr wurden 1219 Geschirrspüler verkauft.

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b) Von dem Vorjahresmodell der Kaffeemaschine wurden 1620 Stück verkauft. Bei den Verkaufszahlen für das diesjährige, verbesserte Modell wurde eine Steigerung auf 120 % verzeichnet. Wie viel Einheiten wurden dieses Jahr verkauft.

Lösung BM1917 b)
${\tfrac {100}{1620}}={\tfrac {\color {red}120}{x}}$ Nicht 220, sondernd 120, denn dieses mal wurden die Verkaufszahlen auf 120 % gesteigert. Also NICHT $100\%+130\%=230\%$. $x={\tfrac {{\color {red}120}\cdot 1620}{100}}$ $x=1944$ Antwort: In diesem Jahr wurden 1944 Kaffeemaschinen verkauft.

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Es gibt Angaben, bei denen an Stelle des Grundwertes ein vermehrter Grundwert gegeben ist.

Beispiel:

„Die Firma verkaufte 2010 Fensterrahmen im Wert von 32,4 Mill EUR. Das sind 108 % der Produktion des Vorjahres. Um wie viel Euro wurde der Verkauf gegenüber dem Vorjahr gesteigert?“

In dieser Aufgabe ist an Stelle des Grundwertes ein um 8 % vermehrte Wert gegeben. Um die Absatzsteigerung in Euro zu berechnen, kann zunächst der Grundwert bestimmt werden. Der Anstieg der Verkaufszahlen ergibt sich dann als Differenz aus dem vermehrten Grundwert und dem Grundwert.

Aus der Verhältnisgleichung

${\tfrac {32{,}4}{G}}={\tfrac {\color {red}108}{100}}$

finden wir

$G={\tfrac {32{,}4\cdot 100}{\color {red}120}}$

$G=30$

$32{,}4-30=2{,}4$

Antwort: Die Steigerung der Verkaufszahlen beträgt 2,4 Mill EUR.

BM1918

Der Erlös der Gemälde bei einer Versteigerung erbrachte 6 Mill. EUR Mehreinnahmen, als die erwarteten 126 Mill. EUR. Erwartet wurde ursprünglich ein niedrigerer Erlös. Nun aber brachte die Versteigerung insgesamt 126 Mill. EUR. Um wie viel Prozent wurden die urspünglichen Gewinnerwartungen überboten?

Lösung BM1918
$G=126-6=120$ Ursprünglich erwartete man einen Versteigerungserlös von 120 Mill. EUR. ${\tfrac {\color {red}120}{6}}={\tfrac {100}{p}}$ $p={\tfrac {6\cdot 100}{\color {red}120}}$ $p=5$ Antwort: Der Versteigerungserlös übertraf die Erwartungen um 5 %.

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Aufgaben, bei denen an Stelle des Grundwertes ein vermehrter Grundwert gegeben ist, werden also gelöst, indem zunächst der Grundwert berechnet wird. Anschließend wird die gesuchte Größe ermittelt.

Entsprechend gibt es Aufgaben, bei denen an Stelle des Grundwertes ein verminderter Grundwert angegeben ist.

BM1919

Durch materialsparendes Design konnten die Kosten für ein Bauteil um 9 % gesenkt werden und betrugen dann nur noch 455 EUR. Um wie viel Euro wurden die Herstellungskosten je Bauteil gesenkt?

Lösung BM1919

In dieser Aufgabe ist ein um 9 % verminderter Grundwert gegeben. Die Kostensenkung in Euro ergibt sich als Differenz aus den alten und den neuen Kosten. Dazu müssen zunächst die alten Kosten berechnet werden. Wir stellen hierzu die Verhältnisgleichung auf: ${\tfrac {455}{G}}={\tfrac {\color {red}91}{100}}$ $G={\tfrac {455\cdot 100}{\color {red}91}}$ $G=500$ Das Bauteil hat vor der Materialeinsparung 500 EUR gekostet. $500-455=45$ Antwort: Die Kosten je Bauteil konnten um 45 EUR gesenkt werden.

BM1920

Die Tunnelbauer bewältigten die Strecke in 235 Tagen und unterboten die veranschlagte Bauzeit des Tunnels damit um 15 Tage. Um wie viel Prozent wurde die veranschlagte Bauzeit unterboten?

Lösung BM1920

In dieser Aufgabe ist ein um 15 Tage verminderter Grundwert gegeben. Den Grundwert finden wir als Summe aus dem verminderten Grundwert und dem Betrag, um den die geplanten Selbstkosten unterboten wurden. $G=235+15$ $G=250$ Die Zeiteinsparung der Bauzeit in Prozent ergibt sich jetzt aus der Verhältnisgleichung ${\tfrac {\color {red}250}{15}}={\tfrac {100}{p}}$ $p={\tfrac {15\cdot 100}{\color {red}250}}$ $p=6$ Antwort: Die geplante Bauzeit wurde um 6 % unterboten.

BM1921 - BM1930

BM1921

indirekte Proportionalität; umgekehrte Proportionalität

indirekt proportional; umgekehrt proportional

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Manche Aufgaben aus der Prozentrechnung führen infolge ihrer Fragestellung nicht auf direkte, sondern auf umgekehrte Proportionalität.

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Unsere Firma will Schweißroboter kaufen. Wir haben uns genau informiert. Zur Auswahl steht Modell A und Modell B.

Das Modell A eines Schweißroboter braucht für eine Karosserie 66 Minuten.

Das Modell B erledigt diese Arbeit in 60 Minuten, kostet aber genau 4 % mehr als Modell A. Lohnt sich die Anschaffung des teureren Modells B überhaupt?

1. Lösung BM1921
Vorsicht! Wenn die erforderliche Zeit kürzer (also kleiner) wird, dann dann wird prozentuale Einsparung größer (und nicht kleiner). --- Zuerst wollen wir berechnen wie viel Arbeitsleistung Modell B gegenüber Modell A mehr erbringt. Und dann klären wir mit dieser Zahl, ob die Leistung von Modell B weniger oder mehr als 104 % von Modell A erbringt und ob sich also ein 4 % höhrere Preis auszahlt-

2. Lösung BM1921
Noch ein Hinweis zur Erklärung: Bei halbem Zeitaufwand würde die Zeiteinsparung 200 % betragen. Je geringer der Zeitaufwand ist, desto höher ist die Einsparung. Aus diesem Grund geht man bei dieser gestellten Aufgabe nicht von einer Verhältnisgleichung, sondern von einer Produktgleichung aus. --- Kannst du die Aufgabe ab hier selbständig lösen?

3. Lösung BM1921

Ein Zeitaufwand von 66 h entspricht 100 %. Ein Zeitaufwand von 60 h entspricht p %. --- Produktgleichung: $66\cdot 100=60\cdot p$ $p={\tfrac {66\cdot 100}{60}}$ $p=110$ Antwort: Modell B bringt im Vergleich zu Modell A eine Leistung von 110 % Die Leistung von Modell B ist im Vergleich zu Modell A um 10 % höher. Folglich rentiert sich Modell B trotz des 4 %höheren Preises - wenn der Schweißroboter lang genug eingesetzt wird.

BM1922

a) Die Kosten für den Projektabschnitt stiegen gegenüber dem Plan um 3.000 %.

Bedeutet das, dass bei geplanten Kosten von 100 Euro der Betrag um den Faktor 30 auf 3100 Euro steigt?

b) Der Wert der Aktie fiel um 700 %. Gibt es das überhaupt?

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c) Wären die folgenden Meldungen synonym?

• Die Aktie erlitt einen Wertverlust von 70 %.
• Die Aktie fiel um 70 %.
• Die Aktie fiel auf 30 %.

d) Wären diese Meldungen synonym?

• Der Preis der Aktie stieg in kürzester Zeit um 3.00 %.
• Die Aktie sah einen Kurssprung von 300 %.
• Die Aktie sprang auf 300 % ihres Vortagsweres.
• Die Aktie stieg binnen Stunden um das dreifache ihres Wertes.
• Der Wert der Aktie verdreifachte sich innerhalb von Stunden.
• Die Aktie stieg auf das dreifache ihres gestrigen Wertes.

BM1923

Zinsrechnung

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Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung auf das Finanzwesen.

Eine Bank vergütet das Guthaben (die eingezahlten Geldbeträge) jährlich einen bestimmten Betrag, der von der Höhe des Guthabens und von dem vereinbarten Prozentsatz abhängt. Dieser Betrag stellt den Prozentwert dar und wird Zins genannt.

Bei der Zinsrechnung wird die Zeit mit in die Rechnung einbezogen.

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In der folgenden Aufstellung werden die Grundbegriffe (Fachausdrücke) der Zinsrechnung den entsprechenden Ausdrücken in der Prozentrechnung gegenübergestellt.

Prozentrechnung			Zinsrechnung
Grundwert	G		Kapital	K
Prozentsatz	p		Zinssatz	p
Prozentwert	W		Jahreszinsen	Z

Die Grundformel der Prozentrechnung ist:

${\frac {W}{G}}={\frac {p}{100}}$

(lies: Prozentwert zu Grundwert wie Prozentsatz zu 100)

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Die Grundformel der Zinsrechnung ist:

${\frac {Z}{K}}={\frac {p}{100}}$

(lies: Jahreszinsen zu Kapital wie Zinssatz zu Hundert)

Das können wir nach Z umstellen.

$Z=K\cdot {\frac {p}{100}}=K\cdot p\%$

BM1924

Tageszinsen

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In der Zinsrechnung hat ein Jahr 360 Tage und ein Monat 30 Tage. Die Formel für die Tageszinsen lautet:

$Z=K*{\frac {p}{100}}*{\frac {t}{360}}$

Wobei t für die Anzahl der Tage steht.

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Berechnung der Zinstage

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Ein Beispiel: Herr Müller hat in einem Jahr ab 14.2 ein Kapital von € 3500 auf der Bank und hebt das am 15.10 vom Konto ab. Der Jahreszinssatz beträgt 4%. Der erste Zinstag zählt nicht mit, der letzte Tag wird gezählt.

von-bis      Tage 
14.2-1.3      16
1.3-1.10      210
1.10-15.10    15
Summe:        241 

t = 241 (Tage)

K = € 3.500

p = 4%

In die Formel einsetzen:

$Z=K*p\%*{\frac {t}{360}}=K*p*{\frac {1}{100}}*{\frac {t}{360}}=K*{\frac {p}{100}}*{\frac {t}{360}}$

$Z=3.500\,EUR*{\frac {4}{100}}*{\frac {241}{360}}$

$Z=93{,}72\,EUR$

Er bekommt € 93,72 Zinsen auf sein Kapital von € 3.500.

BM1925

Zinsrechnung

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Die Zinsrechnung beschreibt ein mathematisches Verfahren zur Berechnung von Zinsen, die als Entgelt auf geliehene Geldbeträge erhoben werden.

Grundsätzlich unterteilt sich die Zinsrechnung in die „Einfache Zinsrechnung“, bei der anfallende und nicht ausgezahlte Zinsen sowie der zu verzinsende Geldbetrag, z. B. Kredit, Darlehen oder Spareinlage, nicht addiert werden, und die Zinseszinsrechnung, bei der nicht ausgezahlte Zinsen zum Grundbetrag addiert und bei der weiteren Verzinsung berücksichtigt werden.

Des Weiteren kann man nach der Anzahl der Zinsperioden (Verzinsungen) im Jahr zwischen jährlicher (einmalige Verzinsung) und unterjähriger Verzinsung (mehrmalige Verzinsung), sowie dem Sonderfall stetiger Verzinsung unterscheiden. Standardfall ist die jährliche Verzinsung: Das Kapital wird einmal jährlich, üblicherweise am Jahresende, verzinst. Dabei wird die Verzinsung im Anschluss an die Zinsperiode als dekursiv, die Vorabverzinsung als antizipativ bezeichnet.

Wird innerhalb der Zinsperiode auf ein Sparkonto eingezahlt oder davon abgehoben, so wird von Finanzunternehmen im Allgemeinen die gemischte Verzinsung herangezogen. Diese Art der Verzinsung kommt deshalb auch bei allen Anlagen mit einer Laufzeit, die nicht einem Vielfachen der Zinsperiode entspricht (zum Beispiel 3,5 Jahre bei jährlicher Verzinsung), zur Anwendung. Man spricht hierbei von gebrochener Laufzeit.

Während die Zinsrechnung im Allgemeinen von einem einmalig eingezahlten beziehungsweise geliehenen Betrag bzw. Anfangskapital ausgeht, beschäftigt sich das Teilgebiet der Rentenrechnung umgekehrt vor allem mit regelmäßig wiederkehrenden Ein- und Auszahlungen, wobei beide Aspekte schließlich in Form der Tilgungsrechnung zusammenfließen, etwa, wenn auf eine einmalige Auszahlung eines Kredits anschließend einer Serie mehr oder minder regelmäßiger Einzahlungen folgt, mit denen dieser Kredit wieder „abgezahlt“, also getilgt wird.

BM1926

a) Oma hat auf ihrem Sparbuch 6532,60 EUR. Sie bekommt dafür 3,3 % Zinsen. Wie viel Zinsen bekommt sie im Jahr.

b) Opa hat 3265,60 EUR auf seinem Sparbuch. Er bekommt dafür halbjährlich 2,4 % Zinsen, die nicht ausgezahlt werden, sondern zum Grundbetrag addiert werden. Wie viel Zinsen bekommt er in zwei Jahren?

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c) Der Onkel hat den gleichen Zinsbetrag wie Opa angelegt. Er bekommt jährlich seine Zinsen verrechnet. Welchen Zinssatz muss er anlegen, damit der letztendlich in einem Jahr auf die gleichen Zinsen kommt wie Opa?

d) Die Oma hat für ihren Neffen ein Sparbuch angelegt, auf dem sie zu seinem 2., 4., und 6. Geburtstag jeweils 2300 EUR für ihn einzahlt. Das Sparbuch wird jährlich mit a % verzinst. Wie groß ist der Geldbetrag einschließlich Zinsen, der sich zum 8. Geburtstag des Enkels auf dem Sparbuch befindet?

BM1927

Zinsen für Jahre

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Die Schuldner, der einen Geldbetrag (Kapital) geliehen hat, zahlt an seinen Gläubiger eine Vergütung (Zinsen).

Die Höhe der Zinsen ist abhängig von der Größe des Kapitals, der Zeit für welche es zur Verfügung gestellt wird, und dem vereinbarten Zinssatz (Zinsfuß), der angibt, wie viel Zinsen 100 EUR Kapital in einem Jahr bringen. Der Zinsfuß erfährt also Veränderungen durch die Zeit. Darum tritt in der Zinsrechnung als neue Größe die Zeit dazu. Jede der 4 Größen kann zum Gegenstand der Zinsrechnung gemacht werden. Dabei müssen jeweils 3 Größen bekannt sein, damit wir die 4. Größe finden können.

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Bemessungsgrundlage des Zinssatzes:

Üblicherweise ist der Zinssatz bezogen auf ein Jahr (p. a., pro anno / per annum). Daneben kommen auch monatliche Zinssätze p.&nbs;M. pro mese und solche nach Quartal (p. Qu) vor.

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Beispiel 1:

Ein Handwerker erhält ein Förder-Darlehen in Höhe von 450,50 EUR. Er muss 7 % Jahreszinsen von der Darlehenssumme bezahlen. Berechne die Zinsen!

Lösung
100 % - 450 EUR
  7 % -  ?  EUR

${\tfrac {450}{100}}\cdot 7=31{,}50$ EUR Zinsen

Ist die Zeit gleich 1 Jahr, so braucht sie infolgedessen nicht berücksichtigt zu werden. Hier liegt dann eine gewöhnlich Prozentrechnung vor, mit der Formel

${\text{Jahreszinsen}}={\tfrac {\text{Kapital}}{100}}\cdot {\text{Zinsfuss}}$

Sind jedoch Zinsen für mehrere Jahre zu berechnen, so multipliziert man die Jahreszinsen mit der Anzahl der Jahre, nach folgender Formel:

${\text{Jahreszinsen}}={\tfrac {\text{Kapital}}{100}}\cdot {\text{Zinsfuss}}\cdot {\text{Jahre}}$

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2. Beispiel:

Ein Kleinunternehmer erhält von seiner Bank für 3 jahe ein Darlehen in Höhe von 2.200 EUR. Er muss 6 % Jahreszinsen bezahlen. Berechne die Zinsen für 3 jahre.

Lösung:

${\tfrac {2200}{100}}\cdot 6\cdot 3=396$ EUR Zinsen

Beachte: Die Eurocent-Beträge des Kapitals bleiben bei dieser Zinsrechnung unberücksichtigt.

BM1928

Zinseszins-Effekt: Jährlicher und kontinuierlicher Zinssatz

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Rechenbeispiel:

Wenn man einen Euro für ein Jahr zu einem Zinssatz von 100 Prozent anlegt und jährlich die Zinsen angerechnet bekommt, erhielte man nach Ablauf dieses einen Jahres 1 € Guthaben + 1 € Zinsen = 2 €. Bei einer Zinsgutschrift alle 6 Monate werden dagegen nach einem halben Jahr für den ersten Euro 0,5 € Zinsen gutgeschrieben und nach einem weiteren halben Jahr für die ab jetzt insgesamt verzinsten 1,5 € weitere 0,75 €. Am Ende hat man also ein Gesamtergebnis von 1 € Guthaben + 1,25 € Gesamtzinsen = 2,25 €. Bei monatlicher Ausschüttung erhält man nach Ablauf eines Jahres schon 2,61 €. Werden die Zinsen in immer kürzeren Intervallen gutgeschrieben und mitverzinst, so strebt der Auszahlungsbetrag in diesem Beispiel gegen den Grenzwert von e €, also ungefähr 2,718282 €. Hierbei bezeichnet e die Eulersche Zahl.

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Jedem Zinssatz aus kontinuierlicher Verzinsung entspricht ein Zinssatz in jährlicher Verzinsung.

Ein jährlicher Zinssatz von 20 % entspricht beispielsweise einem kontinuierlichen Zinssatz von rund 18,23 %.

Für Zeiträume, die von einem Jahr abweichen, ist es oft günstiger, mit Zinssätzen in kontinuierlicher Verzinsung zu rechnen.

Stundengenaue Rechnung ist im Bankwesen nicht üblich.

BM1929

Übungsaufgaben:

a) Ein junger Handwerksmeister erhält von seiner Bank für die Einrichtung seiner Werkstatt für 5 Jahre ein Darlehen in Höhe von 47.500 EUR. Er muss 6,66 % Jahreszinsen von der Darlehenssumme zahlen. Berechne die Zinsen für die 5 Jahre!

b) Ein Wohnhaus ist mit einer 1. Hypothek von 32.000 EUR und einer 2. Hypothek von 12.730 EUR belastet. Der Zinssatz für die beiden Hypotheken beträgt 6,25 % für die 1. Hypothek und 8,33 % für die 2. Hypothek. Wie viel Hypothekenzinsen sind insgesamt jährlich zu zahlen?

c) Ein Investor gewährt 5 Geschäftspartnern folgende Hypothekendarlehen.

Person A: 2. Hypothek;  4.600 EUR; 5 %
Person B: 1. Hypothek;  7.550 EUR; 6 %
Person C: 1. Hypothek; 12.300 EUR; 7 %
Person D: 2. Hypothek;  3.700 EUR; 4 %
Person E: 1. Hypothek; 10.600 EUR; 8 %

Wie viel betragen die jährlichen Einnahmen des Investors?

BM1930

Ein Handwerker nahm am 1.1.2009 für die Anschaffung einer Maschine ein Darlehen von 28.000 EUR auf. Das Darlehen ist mit 6,25 % verzinst. Die Tilgung erfolgt in Teilbeträgen:

1.1.2010: 2.650 EUR
1.1.2011: 3.850 EUR
1.1.2012: 4.850 EUR
1.1.2013: 5.000 EUR
1.1.2014: 6.900 EUR
1.1.2015: Rest

a) Wie hoch ist der Restbetrag des Darlehens am Anfang eines jeden Jahres?

b) Wie viel Zinsen hat der Handwerker in jedem Jahr zu zahlen?

c) Wie viel Zinsen hat er insgesamt zu zahlen?

BM1931 - BM1940

BM1931

a) Zur Renovierung eines Büros hat eine kleine Firma 2.500 EUR zu 6 % aufnehmen müssen. Am Ende eines jeden Jahres zahlt er die fälligen Zinsen und außerdem 500 EUR Tilgung. Auf diese Weise will er die Schuld betragen. Wie viel Euro zahlt er nach dem 1. Jahr, nach dem 2. Jahr usw.?

b) Ein Student besitzt ein Guthaben bei der Sparkasse in Höhe von 955 EUR. Die Sparkasse zahlt 3,4 % Zinsen. Wie groß ist nach 5 Jahren das Kapital des Studenten?

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c) Ein Mann bringt sein ererbtes Kapital in Höhe von 8.455 EUR zur Bank. Er verpflichtet sich, drei Jahre das Geld nicht abzuheben. Er legt also das Geld für 3 Jahre fest an. Die Bank zahlt ihm dafür 5,5 % Zinsen. Wie groß ist nach 5 Jahren das Kapital des Studenten?

d) Ein durch Krankheit in Not geratener Frührentner, ließ sich bei seiner Bank einen Kredit in Höhe von 7.400 EUR einräumen. Er musste nach der Krankheit seine Wohnung behindertengerecht umbauen. Welchen Betrag hat der Frührentner einschließlich Zinsen nach einem Jahr zu zahlen, wenn die Bank 8,3 % Zinsen rechnet?

BM1932

Ein frisch vermähltes Paare nimmt bei seiner Bank für drei Jahre ein Darlehen in Höhe von 12.500 EUR auf. Sie müssen 7 % Jahreszinsen und für die Kreditvermittlung eine Provision von 1,5 % der Darlehenssumme zahlen.

a) Berechne die Provision!

b) Berechne die Zinsen für 3 Jahre!

BM1933

Ein Heilpraktiker möchte ein Kapital in Höhe von 10.000 DM für 5 Jahre möglichst zinsbringend anlegen. Ihm stehen drei Möglichkeiten zur Verfügung:

a) Er gibt das Kapital seiner Bank und erhält 6,25 % Jahreszinsen.

b) Er gewährt mit seinem Kapital seinem Freund eine 1. Hypothek. Er bekommt dann statt 10.000 EUR 12.000 EUR eingetragen, Verzinsung 3,33 %.

c) Er stellt das Kapital einem Kollegen zur Verfügung, der ihm nach den 5 Jahren eine einmalige Verzinsung von 35 % zusichert.

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Welche der drei gegebenen Möglichkeiten soll er wahrnehmen?

BM1934

a) Ein Mann benötigt für drei Jahre ein Darlehen in Höhe von 15.000 EUR. Ein Bekannter kann ihm diese Summe gegen 2 % Vermittlungsprovision und 5 % Jahreszinsen verschaffen. Bei der Bank könnte der Mann das Darlehen ebenfalls bekommen, jedoch müsste er dann 6,25 % Jahreszinsen zahlen, allerdings keine Vermittlungsprovision. Welchen Rat würden Sie ihm geben?

b) Ein Handwerker benötigt für die Anschaffung einer Maschine 19.755 EUR. Der Lieferant der Maschine ist bereit ihm die Maschine sofort zu einem Mehrpreis zu liefern, unter der Bedingung, dass er drei Jahresraten in Höhe von 8.780 EUR zahlt. Sein Freund rät ihm daraufhin, ein Darlehen bei der Bank in Höhe des Wertes der Maschine aufzunehmen. Jetzt hat er 8 % Zinsen zu entrichten und 2,5 % Provision von der Darlehenssumme. War der Ratschlag des Freundes gut?

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c) Ein Häuslebauer benötigt für die Fertigstellung seines Hauses noch 25.300 EUR Kapital. Er ließ sich ein 1. Hypothek in Höhe von 12.500 EUR zu 5,5 % Zinsen und eine 2. Hypothek in Höhe von 8.000 EUR zu 6 % Zinsen eintragen. Außerdem nahm er bei seiner Bank ein Darlehen in Höhe von 4.800 EUR auf, Verzinsung 8 %.

Wie viel Schuldzinsen muss der Häuslebauer aufbringen?

d) Die Schulden eines Mannes betragen insgesamt 12,420 EUR, und zwar schuldet er seiner Bank 2.000 EUR, Verzinsung 8,3 %, seiner Sparkasse 5.000 EUR, Verzinsung 8 %. Den Rest schuldet er seinem Freund, Verzinsung 4,7 %.

Errechne die Zinsen, die der Mann jährlich zu zahlen hat!

BM1935

Monatszinsen

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Bei der Berechnung von Monatszinsen errechnet man die jahreszinsen, dividiert diese durch 12 und multipliziert dann mit der Anzahl der Monate.

Wir kommen zu der Formel:

${\text{Monatszinsen}}={\tfrac {{\text{Kapital}}\cdot {\text{Zinssatz}}}{100}}\cdot {\tfrac {\text{Monat}}{100}}$

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Beispiel:

Ein Arzt erhält für den Rechnunsbetrag in Höhe von 750,75 EUR 5 Monate Zahlungsaufschub bei Berechnung von 8 % Verzugszinsen. Berechne die Verzugszinsen!

Lösung:

${\tfrac {750\cdot 8\cdot 5}{100\cdot 12}}=25$ EUR Verzugszinsen

BM1936

Wie viel Zinsen bringen

a) 1.856 EUR zu 5 % in 7 Monaten

b) 5.745 EUR zu 8 % in 6 Monaten

c) 1.867 EUR zu 3 % in 2 Monaten

d) 4.764 EUR zu 9 % in 4 Monaten

BM1937

a) Ein Mann zahlt am 30. Januar 645 EUR auf sein Sparkonto ein. Am 30. April habt er 210 EUR ab. Wie hoch ist sein Sparguthaben einschließlich Zinsen (3,5 % im Jahr) am 31. Dezember?

b) Ein Kunde bat um Zahlungsaufschub seiner fälligen REchnung in Höhe von 590 EUR. Die Lieferfirma gab ihm ein weiteres Zahlungsziel von 3 Monaten unter Berechnung von 7,5 % Verzugszinsen. Berechne die Zahlung!

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c) Ein Mann erhält am 1.5. durch Erbschaft 534 EUR. Er zahlt diesen Betrag bei der Sparkasse ein und erhält 2,5 % Zinsen. Wie groß ist sein Guthaben am 1.1.?

d) Ein Fotoapparat zum Barkaufpreis von 669 EUR wird auf Wunsch des Käufers mit einem Zahlungsziel von 4 Monaten und einem Aufschlag von 6 % Zinsen verkauft. Wie viel muss er bezahlen?

BM1938

Tageszinsen

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Bei der Berechnung von Tageszinsen (1 Jahr = 360 Tage; 1 Monat = 30 Tage) errechnet man die Jahreszinsen dividiert durch 360 und multipliziert dann mit der Anzahl der Tage. So kommt man auf die Formel

${\text{Tageszinsen}}={\tfrac {{\text{Kapital}}\cdot {\text{Zinssatz}}}{100}}\cdot {\tfrac {\text{Tage}}{360}}$

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Beachte: Bei der Berechnung der Tage ist der erste Tag nicht mitzuzählen, wohl aber der letzte.

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Beispiel:

Ein Steuerberater schickte seinem Mandanten am 9. Mai seine Rechnung in Höhe von 185 EUR. Wegen erfolgloser Mahnung wird der Betrag am 3. Oktober zuzüglich 7,5 % Verzugszinsen eingezogen. Errechne die Verzugszinsen, die ab 9. August berechnet werden!

Lösung:

${\tfrac {185\cdot 7,5\cdot 54}{100\cdot 360}}=2,08$ EUR Verzugszinsen.

Beachte:

Bei der Berechnung der Tageszinsen ist es oft günstig, 360 durch den Zinssatz zu kürzen:

${\tfrac {360}{\text{Zinssatz}}}={\text{Zinsteiler}}$.

Für die Berechnung der Tageszinsen gilt dann folgende Formel:

${\tfrac {{\text{Kapital}}\cdot {\text{Tage}}}{100\cdot {\text{Zinsteiler}}}}$.

BM1939

Wie viel Zinsen bringen 7 % bei

a) 1.756,80 EUR in 55 Tagen

b) 6.854,97 EUR in 86 Tagen

c) 9.794,80 EUR in 32 Tagen

d) 1.854,00 EUR in 64 Tagen

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e) 3.976,00 EUR in 16 Tagen

f) 1.976,00 EUR in 59 Tagen

g) 8.967,00 EUR in 17 Tagen

h) 1.009,00 EUR in 12 Tagen

BM1940

a) Ein Kunde begleicht eine am 11. August fällige Zahlung in Höhe von 117,85 EUR erst am 31. Oktober. Wie viel Euro Zisen muss er bei Berechnung von 9 % Verzugszinsen zahlen?

b) Ein Kunde bekam eine Lieferung im Wert von 72 EUR kam am 14. Februar an. Zahlungsziel war 30 Tage. Nach erfolgloser Mahnung wurde der Betrag am 9. Juni zuzüglich 22 EUR Verwaltungsgebühren und 8 % Verzugszinsen vom Gerichtsvollzieher eingetrieben. Wie viel muss der Kunde bezahlen?

c) Eine am 17. August fällige Rechnung über 195 EUR wurde erst am 10. Oktober beglichen. Deshalb waren 6 % Verzugszinsen fällig. Welcher Betrag muss nun überwiesen werden?

d) Ein Mann erhielt am 17. Februar bei seiner Bank ein Darlehen in Höhe von 2.670 EUR bei einer Verzinsung von 8 %. Er zahlt zurück:

• am 28. Februar 370 EUR
• am 9. März 410 EUR
• am 31. März 500 EUR
• am 11. April 235 EUR
• am 24. Mai 250 EUR
• Am 31. Juli zahlte er den Rest.

Berechne die Höhe der Rückzahlungsbeiträge unter Einschluss der jeweils fälligen Zinsen!

BM1941 - BM1950

BM19421

a) Ein Handwerker nahm am 1.7. eine Hypothek in Höhe von 8.500 EUR auf. Er muss sie mit 8,25 % verzinsen. Wie hoch sind die Halbjahreszinsen?

b) Ein Mann erhält für einen Rechnungsbeitrag über 1.756,75 EUR bei Berechnung von 7,25 % Verzugszinsen einen Zahlungsaufschub vom 31. Juli bis zum 5. Dezember. Berechne den Rückzahlungsbeitrag!

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c) Ein Student zahlt ein Darlehen zu 9 % in Höhe von 450 EUR nach 8 Monaten einschließlich Zinsen zurück. Wie hoch ist die Rückzahlungssumme?

d) Eine Frau erhält von ihrer Bank für 2 Jahre ein Darlehen in Höhe von 4.670 EUR. Sie muss 8 % Jahreszinsen und für die Vermittlung eine Provision von 1,5 % der Darlehenssumme zahlen. Berechne die Zinsen für zwei Jahre! Berechne die Provision!

BM1942

a) Welches Kapital erbringen in 400 Tagen 580 EUR Zinsen bei einem Zinsfuß von 4,75 %?

b) Herr M. zahlt am 3.5.2011 auf sein Sparbuch 5.500 EUR ein. Wann kann kann er 6.000 EUR abheben, wenn sein Guthaben zu 5 % verzinst wird?

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c) Ein Zahnarzt kauft ein Grundstück für 940.000 EUR. Er zahlt 350.000 EUR bar und lässt für den Rest eine Hypothek zu 4,5 % eintragen. Welche Zinsen lässt er vierteljährlich aufbringen? Wo lässt er die Hypothek eintragen?

d) Ein Partyservice kauft Geschirr für 590 EUR. Sie zahlen 200 EUR an, für den Rest müssen sie 3,5 % Zinsen zahlen. Wie viel Euro müssen sie einschließlich Zinsen zahlen, wenn sie ihre Schuld nach einem halben Jahr begleichen wollen?

BM1943

a) Ein Kredit von 1.284 EUR hat eine Laufzeit von 75 Tagen und wird mit 6 % verzinst. Wie viel Euro müssen zurück gezahlt werden?

b) Der Schinken hat letztes Jahr 30 EUR/kg gekostet. Dieses Jahr ist der Preis um 40 % gestiegen. Was kostet der Schinken dieses Jahr?

c) In einem Wahlbezirk sind bis zum Mittag 506 von 912 Stimmen abgegeben worden. Wie hoch war die Wahlbeteiligung bis zum Mittag?

BM1944

a) Ein Glaser kauft Material für 320,40 EUR. Da er sofort zahlt, verlangt der Lieferant nur 312,39 EUR. Wie viel Prozent Skonto werden dem Glaser von der Rechnung abgezogen?

b) Der Physiotherapeut kauft eine Behandlungsliege. Der Rechnungspreis beträgt 660 EUR. Er zahlt per Vorkasse 640,20 EUR. Wie viel Skonto durfte er absetzen?

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c) Die gesamten Betriebskosten eines Klempners betragen jährlich 18.950,- EUR. Sie verteilen sich folgendermaßen:

Rechnungsbetrag (in EUR)	Barzahlung (in EUR)
37,50	36,75
128,40	126,26
460,80	453,88
619,90	609,05
792,40	774,58
600,--	588,--
600,--	585,--

d) Die Personalkosten eines Krankenhauses betragen 175.550 EUR oder 7,2 % der gesamten Betriebskosten. Wie hoch sind die gesamten Betriebskosten des Krankenhauses?

BM1945

a) Ein Schlosser bestellt eine Drehbank. Die Lieferung erfolgt sofort. Die Lieferfirma gestattet ihm, vom Rechnungsbetrag 2.119,80 % abzusetzen. Das sind 3 % wenn er innerhalb von 8 Tagen zahlt. Welchen Betrag muss der Schlosser an die Lieferfirma überweisen?

b) Eine Angestellte bekommt 66,6 % Weihnachtsgeld von ihrem Bruttogehalt. Sie bekommt 1.688,91 EUR Weihnachtsgeld. Wie hoch ist ihr Bruttogehalt?

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c) Ein Kleinunternehmer hat für seine Firma 19 % MwSt zu entrichten. Für das 1. Quartal überweist er 1.629 EUR an das Finanzamt. Wie hoch waren die umsatzsteuerpflichtigen Einnahmen in diesem Quartal?

d) Die Anzahl der Verkäufe an Waschmaschinen ist gegenüber dem Vorquartal um 128 gestiegen. Das ist eine Steigerung von 12 %. Berechne die Verkaufszahl des Vorquartals!

BM1946

a) Beim Neubau eines kirchlichen Kindergartens beteiligt sich die Stadt mit 155.600 EUR an den Kosten. Sie übernahm damit rund 62 % der Gesamtkosten. Errechne die Gesamtkosten!

b) Ein Autoschlosser kauft ein Achs-Vermessungsgerät auf Teilzahlung. 18 % des Gesamtbetrages müssen angezahlt werden, das macht 4.504 EUR aus. Mit welchem Preis ist das Achs-Vermessungsgerät ausgezeichnet?

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c) Die Gehaltsabzüge betragen 17,8 %, das sind 369,70 EUR. Berechne das Gehalt!

d) Ein Zerspanungsfacharbeiter bezahlte im letzten Jahr an Kirchensteuer 823,60 EUR. Die Kirchensteuer beträgt 10 % der Einkommenssteuer. Wie viel Einkommenssteuer hat er demnach abführen müssen?

BM1947

a) Eine Rechnung über 865,40 EUR war am 6. September fällig. Die Rechnung wird erst am 12. Februar beglichen. Deshalb werden 7 % Verzugszinsen fällig. Wie hoch muss die Zahlung einschließlich Verzugszinsen am 12. Februar sein?

b) Ein Darlehen in Höhe von 3.560 EUR wird für 6 Jahr bei 5 % Jahreszinsen gewährt. Die Zinsen werden jährlich gezahlt. Wie viel Zinsen sind dafür in 6 Jahren insgesamt fällig?

c) 21 Arbeiter schaffen eine gegebene Arbeit in 300 Tagen. Wie lange bräuchten 72 Arbeiter für diese Arbeit?

Lösung BM1947 c)
Lösungshinweis: Dreisatz mit umgekehrt proportionaler Zuordnung.

BM1948

a) Es werden 14 Lite Spiritus von 75 % mit 30 Liter 60 %igem Spiritus gemischt. Bestimme den Prozentgehalt der Mischung.

b) 11 Gläser Wasser und 1 Glas 100 %iger Spiritus ergeben welche Konzentration?

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c) Von den 865 Passagieren sind 465 Männer, 278 Frauen und die restlichen sind Kinder. Drücke die Zahlen in Prozent aus!

d) Die Kosten für den Hotelaufenthalt betrugen dieses Jahr 956 EUR. Sie lagen 12 % höher als im letzten Jahr. Wie hoch waren die Kosten letztes Jahr?

BM1949

a) 208 Prüflinge haben die Prüfung bestanden. 13 sind durchgefallen. Wie viel Prozent sind das?

b) Der Reingewinn einer Firma in Höhe von 119.534 EUR soll laut Vertrag unter drei Geschäftspartnern so verteilt werden, dass A zunächst 12,5 % vom Gewinn erhält. Der Rest im Verhältnis de Einlagen aufzuteilen. A hat 218.500 EUR, B 115.000 EUR und C 312.400 EUR eingelegt. Berechne die Gewinnanteile!

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c) Ein Zahnarzt gibt seiner Bank den Auftrag, Aktien auf seine Rechnung zu verkaufen. Die Bank berechnet für den Verkauf der Aktien 164,50 EUR Provision und schickt den Arzt eine Gutschrift in Höhe von 3.465 EUR. Errechne den Prozentsatz der Provision!

d) Nach einer Gehaltserhöhung um 16,66 % beträgt das Jahresgehalt nun 8.406 EUR. Wie hoch war das frühere Jahresgehalt?

BM1950

Wie viel Zinsen bringen

a) 3.654 EUR zu 7 % in 3 Monaten

b) 9.487 EUR zu 2 % in 5 Monaten

c) 645 EUR zu 4,5 % in 11 Monaten

d) 754 EUR zu 8,5 % in 10 Monaten?

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