Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 091b

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Lección 091

Mathematik auf Deutsch - 41

BM2001 - BM2010

BM2001

schätzen

Schätzung

überschätzen

unterschätzen

Er hat sich verschätzt.

Schätzwert

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Schätzer

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Den Beruf des Schätzers gibt es schon sehr lange.

Damals wie heute beschäftigt sich ein Schätzer mit der Wertermittlung von Sachwerten, heutzutage aber immer mehr auch immateriellen Werten wie zum Beispiel Grundstücke, Antiquitäten, Kunstgegenstände oder Marken, Logos, Corporate Identity. Heute wird der allgemeine Begriff "Schätzer" nur noch selten verwendet, zum Beispiel bei der Bodenschätzung.

Der Begriff Gutachter ist mittlerweile eher geläufig.

Der Wert einer Sache wird bei der Schätzung häufig von einem Sachverständigen oder Experten ermittelt, der anhand seiner Erfahrung beziehungsweise mithilfe standardisierter Verfahren einen aus seiner Sicht angemessenen Wert festlegt. Ein Schätzer wird demzufolge regelmäßig bei folgenden Fällen konsultiert:

• anstehender Verkauf oder Kauf von Grundstücken, Waren, Dienstleistungen, Unternehmen
• anstehende Schenkung oder Vererbung von Werten
• Streitfälle über den Wert einer Ware, Dienstleistung usw.
• Kalkulation des Marktwerts von Unternehmen oder Firmen
• Bewertung von Unfallschäden und ähnlichen Versicherungsfällen

Die Meinung des Schätzers ist nicht immer zwingend bindend. Man kann den Wert von anderen Schätzern immer wieder neu feststellen lassen. Um die Situation eines Streitfalls oder eines Verkaufs allerdings zu lösen, hilft letzteres aber nicht. Bei Unfallschäden an Fahrzeugen muss bzw. darf man sich sogar auf das Urteil des ersten Sachverständigen verlassen.

BM2002

absolute Fehler; relative Fehler

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Schätzfehler

Messfehler

Preissteigerung

Abweichung vom Sollwert

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Die Differenz zwischen dem geschätzten Wert und richtigen Wert heißt absoluter Fehler.

Das Verhältnis des absoluten Fehlers zum richtigen Wert heißt relativer Fehler.

Beispiel:

Das Gewicht einer Kiste soll geschätzt werden.

Schätzwert: 11 kg

richtiges Gewicht: 10 kg

absoluter Fehler: 11 kg - 10 kg = 1 kg

relativer Fehler: ${\tfrac {1}{10}}=+0{,}1$

(Das Vorzeichen (Plus oder Minus) gibt an, ob der Schätzwert nach oben oder unten abweicht.)

Das Gewicht der Kiste wurde um ein Zehntel überschätzt.

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Soldaten sollen zu Übungszwecken Entfernungen schätzen.

a) Soldat A schätzt die Entfernung zum 1. Geländepunkt mit 90 m, Soldat B schätzt 120 m. Die wirkliche Entfernung ist 109 m.

b) Soldat A schätzt die Entfernung zum 2. Geländepunkt mit 500 m, Soldat B schätzt 610 m. Die wirkliche Entfernung ist 487 m.

c) Soldat A schätzt die Entfernung zum 3. Geländepunkt mit 1200 m, Soldat B schätzt 1450 m. Die wirkliche Entfernung ist 1698 m.

Wie groß sind die absoluten Schätzfehler (in Metern) und die relativen Schätzfehler?

Welcher der beiden Soldaten hat bei den drei Objekten jeweils besser geschätzt?

Welcher Soldat hat insgesamt besser geschätzt? (Summe seiner relativen Schätzfehler)

Lösung BM2002

a) tatsächliche Strecke: 109 m absoluter Fehler: Soldat 1: 90 - 109 = -19 m Soldat 2: 120 - 109 = +11 m relativer Fehler: Soldat 1: ${\tfrac {-19}{109}}=-0{,}17$ Soldat 2: ${\tfrac {11}{109}}=0{,}1$ $|0{,}1|<|-0{,}17|$ Soldat 2 hat besser geschätzt. Er hatte den geringeren relativen Fehler. --- b) tatsächliche Strecke: 487 m absoluter Fehler: Soldat 1: 500 - 487 = +13 m Soldat 2: 610 - 487 = +123 m relativer Fehler: Soldat 1: ${\tfrac {13}{487}}=0{,}0267$ Soldat 2: ${\tfrac {123}{487}}={\tfrac {1}{4}}=0{,}25$ $|0{,}0267|<|0{,}25|$ Soldat 1 hat besser geschätzt. --- c) tatsächliche Strecke: 1698 m absoluter Fehler: Soldat 1: 1200 - 1698 = -498 m Soldat 2: 1450 - 1698 = -248 m relativer Fehler: Soldat 1: ${\tfrac {-498}{1698}}=-0{,}29$ Soldat 2: ${\tfrac {-248}{1698}}=-0{,}146$ $|-0{,}146|<|-0{,}29|$ Soldat 2 hat besser geschätzt. --- Gesamtauswertung: Soldat 1: -0,17; 0,0267; -0,29 Soldat 2: 0,1; 0,25; -0,146 Die Vorzeichen lassen wir weg, denn wer ein mal 1/4 zu viel schätzt, wird nicht besser, wenn der das das nächste mal 1/4 zu wenig schätzt. Also: Soldat 1: 0,17 + 0,0267 + 0,29 = 0.4867 Soldat 2: 0,1 + 0,25 + 0,146 = 0.496 Soldat 1 hat insgesamt etwas besser geschätzt, obwohl Soldat 2 öfter mit seiner Schätzung besser war.

BM2003

prozentualer Fehler

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Der prozentuale Fehler ist der in Prozenten angegebene relative Fehler.

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Dazu multiplizieren wir den relativen Fehler mit Hundert, um den prozentualen Fehler zu erhalten.

Beispiel:

Schätze wie viel Personen 2009 in Deutschland an an Lungen- und Bronchialkrebs gestorben sind

1. Lösung BM2003
2009 starben in Deutschland 42.221 Menschen an Lungen- und Bronchialkrebs.

2. Lösung BM2003
Du hast nun deinen Schätzwert (wir wollen hier aber mit dem Schätzwert 50.000 weiter rechnen) und den wahren Wert 42.221. absoluter Fehler: 50.000 - 42.221 = 7.779 relativer Fehler: ${\tfrac {7.779}{42.221}}=0{,}184$ prozentualer Fehler: $0{,}184\cdot 100=18{,}4\%$

BM2004

Schätze die nachfolgenden Werte, recherchiere im Internet was der wahre Wert ist und stelle deinen prozentualen Fehler fest!

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a) Erdumfang (am Äquator)

b) Entfernung zum nächsten Stern

c) Durchmesser der Sonne

d) Lichtgeschwindigkeit

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e) Schallgeschwindigkeit (trockene Luft; von 20 °C)

f) Wert der Zahl Pi

g) Alter der Erde

h) Alter des Universums

Lösung BM2004
a) Erdumfang (am Äquator) = 40.074 km b) Entfernung zum nächsten Stern (Proxima Centauri) = 4,24 Lichtjahre c) Durchmesser der Sonne = 1.391.400 km d) Lichtgeschwindigkeit = 299.792,458 km/s --- e) Schallgeschwindigkeit (trockene Luft; von 20 °C) = 343,2 m/s (= 1236 km/h) f) Wert der Zahl Pi = 3,141592653589793... g) Alter der Erde = 4,6 Mrd. Jahre h) Alter des Universums = 13,81 Mrd. Jahre

BM2005

Schätze die nachfolgenden Werte, recherchiere im Internet was der wahre Wert ist und stelle deinen prozentualen Fehler fest!

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a) mittlere Entfernung zum Mond

b) mittlere Entfernung zur Sonne

c) Atomradius

d) Erdmasse

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e) Geschwindigkeit der Kontinentaldrift (zwischen Europa und Amerika)

f) Anzahl aller Menschen im Jahr 1500

g) Anzahl der Menschen die bisher insgesamt auf der Erde gelebt haben (Anzahl aller jemals geborenen Menschen, also auch die, die in den letzten Jahrtausenden gestorben sind).

f) durchschnittliche Körperoberfläche eine Frau

Lösung BM2005

a) mittlere Entfernung zum Mond = 384.400 b) mittlere Entfernung zur Sonne = 149.600.000 km c) Atomradius = 10-10 m (= 1 Ångström = 0,1 nm) 1 mm = 10-3 m; 1 mm = 0,001 m; 1 m = 1.000 mm 1 μm = 10-6 m; 1 μm = 0,000 001 m; 1 m = 1.000.000 μm 1 nm = 10-9 m; 1 nm = 0,000 000 001 m; 1 m = 1.000.000.000 nm (Nanotechnologie) d) Erdmasse (NICHT: Gewicht der Erde) = 5,9722·1024 kg --- e) Geschwindigkeit der Kontinentaldrift (zwischen Europa und Amerika) = 1,5 cm/Jahr (sie entfernen sich voneinander) f) Anzahl aller Menschen im Jahr 1500 = 500.000 g) Anzahl der Menschen die bisher insgesamt auf der Erde gelebt haben (Anzahl aller jemals geborenen Menschen, also auch die, die in den letzten Jahrtausenden gestorben sind). = 107.602.707.791 f) durchschnittliche Körperoberfläche eine Frau = 1,5 m2

BM2006

Proportionen

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Verhältnisgleichungen oder Proportionen sind Gleichungen, die zwei Verhältnisse gleichsetzen:

$a\div b=c\div d$. (lies: a zu b wie c zu d

$a:b=c:d$

${\tfrac {a}{b}}={\tfrac {c}{d}}$

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$a$ und $c$ heißen auch Vorderglieder,

$b$ und $d$ Hinterglieder der Proportion.

Darüber hinaus heißen $a$ und $d$ Außenglieder

sowie $b$ und $c$ Innenglieder.

Die Proportion kann durch Kreuzmultiplikation in eine Gleichung der Form $a\cdot d=c\cdot b$ umgeformt werden.

Durch Vertauschen der Innenglieder bzw. der Außenglieder einer Proportion

$a\div b=c\div d$ entstehen neue Proportionen:

$a\div c=b\div d$ und

$d\div b=c\div a$.

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Darüber hinaus gelten die Gesetze der korrespondierenden Addition und Subtraktion:

Gesetze der korrespondierenden Addition und Subtraktion:

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Es sei die Proportion $a\div b=c\div d$ gegeben.

Dann gelten auch die Proportionen

${\frac {a+b}{b}}={\frac {c+d}{d}}$

und ${\frac {a}{a+b}}={\frac {c}{c+d}}$

und ${\frac {a-b}{b}}={\frac {c-d}{d}}$

und ${\frac {a}{a-b}}={\frac {c}{c-d}}$

und ${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {c+d}{c-d}}$.

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Fortlaufende Proportionen:

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Gelegentlich findet sich auch die Schreibweise

$a\div b\div c=u\div v\div w$.

Diese fortlaufenden Proportionen sind nicht als eine einzelne Gleichung zu verstehen, sondern sind vielmehr eine Kurzform für die beiden Gleichungen $a\div b=u\div v$ und $b\div c=v\div w$

(bzw. äquivalent $a\div u=b\div v$ und $b\div v=c\div w$).

BM2007

Kreuzweise Multiplikation

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Die kreuzweise Multiplikation (auch Kreuzmultiplikation und Multiplikation über Kreuz genannt) ist eine Methode, um eine Gleichung, bei der beide Seiten durch einen Bruch oder einen Bruchterm dargestellt werden, derart umzuformen, dass anschließend keine Brüche bzw. Bruchterme mehr vorliegen. Anwendung findet das Verfahren häufig bei Verhältnisgleichungen und Dreisatzaufgaben.

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Beschreibung:

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Gegeben sei eine Bruchgleichung der Form

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

mit $b\neq 0$ und $d\neq 0$. Werden nun beide Seiten dieser Gleichung mit $bd$ multipliziert, ergibt sich nach Kürzen der Brüche

$a\cdot d=b\cdot c$.

Bei der kreuzweisen Multiplikation wird also der Nenner der rechten Seite mit dem Zähler der linken und der Nenner der linken Seite mit dem Zähler der rechten multipliziert. Bei der anschaulichen Darstellung ergibt sich ein Kreuz, daher der Name:

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Beispiel:

Gegeben sei die Gleichung:

${\frac {x}{2x-2}}={\frac {2x+3}{4x}}$

Gesucht sei dabei der Wert von x, der jedoch wegen der Division durch 0 weder gleich 1 noch gleich 0 sein darf. Die Brüche können nicht gekürzt werden. Durch kreuzweise Multiplikation ergibt sich:

4x² = (2x − 2)(2x + 3)

Die Entfernung der Klammern in der rechten Seite erfolgt durch zweifaches Ausmultiplizieren:

4x² = 4x² + 2x − 6

Jetzt subtrahiert man (4x² + 2x) oder (4x² − 6):

−2x = −6 bzw. 6 = 2x

Bei der Division durch −2 bzw. durch 2 erhält man:

x = 3

Als Probe könnte 3 in die erste Gleichung eingesetzt werden. Es folgt:

${\frac {3}{4}}={\frac {3}{4}}$

Somit ist die Lösung gültig.

BM2008

Proportionen beim Goldenen Schnitt einer Strecke:$\Phi ={\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}$

Goldener Schnitt

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Als Goldener Schnitt (lateinisch: sectio aurea, proportio divina) wird das Teilungsverhältnis einer Strecke oder anderen Größe bezeichnet, bei dem das Verhältnis des Ganzen zu seinem größeren Teil (auch Major genannt) dem Verhältnis des größeren zum kleineren Teil (dem Minor) entspricht. Als Formel ausgedrückt (mit $a$ als Major und $b$ als Minor) gilt:

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\,$ oder ${\frac {a}{a+b}}={\frac {b}{a}}\,$

Das mittels Division dieser Größen als Zahl berechnete Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes ist eine irrationale Zahl, das heißt eine Zahl, die sich nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellen lässt. Diese Zahl wird ebenfalls als Goldener Schnitt oder auch als Goldene Zahl bezeichnet. Als mathematisches Symbol für diese Zahl wird meist der griechische Buchstabe Phi ($\Phi$, $\phi$ oder $\varphi$), seltener auch Tau ($\mathrm {T}$, $\tau$) oder g verwendet:

$\Phi ={\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}\,$

Die Kenntnis des Goldenen Schnittes ist in der mathematischen Literatur seit der Zeit der griechischen Antike (Euklid von Alexandria) nachgewiesen. Vereinzelt schon im Spätmittelalter und besonders dann in der Renaissance (Johannes Kepler) wurde er auch in philosophische und theologische Zusammenhänge gestellt. Seit dem 19. Jahrhundert wurde er zunächst in der ästhetischen Theorie (Adolf Zeising) und dann auch in künstlerischer, architektonischer und kunsthandwerklicher Praxis als ein ideales Prinzip ästhetischer Proportionierung bewertet. Die Nachweisbarkeit einer derart besonderen ästhetischen Wirkung ist in der Forschung allerdings umstritten, desgleichen die historische Frage, ob der Goldene Schnitt auch schon bei der Proportionierung von Kunst- und Bauwerken älterer Epochen eine Rolle gespielt hat.

Das Verhältnis des goldenen Schnitts ist nicht nur in Mathematik, Kunst oder Architektur von Bedeutung, sondern findet sich auch in der Natur, beispielsweise bei der Anordnung von Blättern und in Blütenständen mancher Pflanzen.

BM2009

Quotient

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In der Mathematik und in den Naturwissenschaften bezeichnet der Quotient ein Verhältnis von zwei Größen zueinander, also das Ergebnis einer Division. Der Quotient von zwei ganzen Zahlen (Dividend und Divisor) ist immer eine rationale Zahl und kann als Bruch geschrieben werden (z. B. ${\tfrac {2}{3}}=2\div 3=2/3=2:3$ für zwei Drittel).

Ein Quotient dient oftmals der Einordnung eines Wertes in einen Gesamtmaßstab, so z. B. der Intelligenzquotient, der die mit einem Intelligenztest ermittelte Zahl für eine Person mit der ihrer Altersgruppe entsprechenden „durchschnittlichen Intelligenz“ in Beziehung setzt. Der Intelligenzquotient 100 steht dabei für den Durchschnitt.

BM2010

Zählen mit Fingern, hier die Zahl 5.

Zählen (Teil 1)

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Zählen ist eine Handlung zur Ermittlung der Anzahl der Elemente in einer endlichen Menge von gleichwertigen Objekten. Das Zählen erfolgt in Zählschritten, oft in Einerschritten, wobei die entsprechende Zahlenfolge, als Folge von Zahlwörtern, zum Beispiel „eins, zwei, drei“ oder „zwei, vier, sechs, sieben“ durchlaufen wird. Bei einer aufsteigenden Folge wird vorwärts gezählt, bei einer absteigenden Folge rückwärts. Auch das Bestimmen der Anzahl von unterscheidbaren Objekten durch Addition, die einer aufsteigenden Zahlenfolge zugrunde liegt, wird Zählen genannt. Das zugehörige Substantiv Zählung bezeichnet den Zählvorgang oder dessen Ergebnis (z. B. eine Volkszählung). Das Abzählen der Anzahl von definierten Einheiten (Normalen), Objekten oder Ereignissen ist eine Form der Messung.

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Durch archäologische Zeugnisse ist belegt, dass Menschen seit mindestens 50.000 Jahren über Zählverfahren verfügen. Zählen wurde bereits in alten Kulturen verwendet, um die Anzahl und Vollständigkeit von sozialen und ökonomischen Zählobjekten wie Gruppenmitgliedern, Beutetieren, Besitz oder Schulden zu erfassen. Das Zählen führte mit zur Entwicklung von Zahlennotation, Zahlensystemen und der Schrift.

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Zählen ist eine sprachliche Fertigkeit, die im strengen Sinn vermutlich erst der Mensch im Lauf seiner biosozialen Phylogenese (Stammesentwicklung) erworben hat. Tiere, etwa Vögel, können nach dieser Annahme wohl bemerken, dass bei kleinen Anzahlen (z. B. ihrer Eier) eins ‚fehlt‘, aber sie können noch nicht durchzählen.

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Dass etwas paarweise auftritt (Augen, Ohren, Hände), musste noch nicht notwendig dazu führen, dass Menschen auf das Zählen mit Hilfe von Zahlen kamen. Denn zunächst musste sich ihnen die Doppelung als spezieller Fall körperlich und konkret aufdrängen, ohne dass hierfür notwendigerweise ein Zahlwort für „Zwei“ notwendig war. Eine sprachliche Alternative zum Zählen sind hier der Paral oder der Dual, zwei Formen der „Zweizahl“, die neben den Singular (die „Einzahl“) treten und alle Substantiv- und Verbformen entsprechend durchziehen. Man nimmt an, dass die sprachliche Form des Parals bzw. Duals zunächst eng an den achsensymmetrischen Körper des Menschen, wie den fast aller Tiere, gebunden war. Dies und das allgemeine Auftreten des Parals bzw. Duals in allen insoweit erschlossenen indoeuropäischen Sprachen lässt darauf folgern, dass man in seiner Entstehungszeit noch nicht oder nur mühsam über die Zwei hinaus „bis Drei zählen“ konnte. Vielerlei gleichzusetzen, um es dann zu zählen, erfordert eine weitergehende Abstraktionsleistung. Man vermutet deshalb, dass der Dual historisch älter als der Plural (die „Mehrzahl“) ist.

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Zählliste

Auch liegt, wenn sich die „Zweizahl“ in der Überlebenspraxis als unzureichend bemerkbar macht, die alsbaldige ‚Erfindung‘ des „Plurals“ immer noch nicht zwingend nahe. In einigen Sprachen wurden als Numerus analog zum Dual erst noch die „Dreizahl“ (der Trial) und der „kleine Plural“ (der Paukal) entwickelt. Eine „Vierzahl“ (der Quadral) ist hingegen in keiner Sprache belegt.

Zugleich mit der Fertigkeit des Zählens benötigte man sprachliche Mittel, um konkrete Zahlen zu bezeichnen. Zunächst war mutmaßlich überall der Bedarf für kleinere Zahlen vorhanden (Eins, Zwei, Drei, Vier...) und mit höherschreitendem Zivilisationsgrad für zunehmend höhere Zahlen. Jede Ethnie war hier vor die Herausforderung gestellt, für höhere Zahlen entweder neue Zahlwörter erfinden zu müssen, oder ein System zu entwickeln, mit dem sich höhere Zahlen auf der Basis niedrigerer Zahlwörter ausdrücken lassen. Es entstanden Quinärsysteme auf der Basis 5, Dezimalsysteme auf der Basis 10 und Vigesimalsysteme auf der Basis 20. Man nimmt an, dass das Zählen mit den Fingern, mit beiden Händen, bzw. mit Fingern und Zehen, der Grund für die Basis dieser Zählsysteme ist. In anderen Kulturen kam das Zählen mit Hilfe der Fingerglieder auf, das einhändig zur Duodezimalsystemen (mit der Basis Zwölf) und zweihändig zu Zahlensystemen mit der Basis 60 führte (siehe Ein- und zweihändiges Zählen mit Fingergliedern und Fingern).

Man nimmt an, dass die Sonderform der Wörter „Elf“ und „Zwölf“ in den indogermanischen Sprachen daher kommt, dass sich das Dezimalsystem der Indogermanen mit einem zuvor maßgeblichen Duodezimalsystem vermischt hat.

BM2011 - BM2020

BM2011

Handzähler

Zählen (Teil 2)

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Im Allgemeinen wird durch Zählen die Anzahl einer endlichen Menge von Objekten festgestellt, indem man, angefangen mit 1, nacheinander jedem Objekt die nächste natürliche Zahl zuordnet, bis keine Objekte mehr übrig bleiben. Die zuletzt zugeordnete Zahl liefert die gesuchte Anzahl. Manche Menschen, besonders Kinder, nehmen dabei die Hände zur Hilfe, um sich nicht zu verzählen. Als mechanische Zählhilfe kann auch ein Handzähler verwendet werden.

Die Größe einer unendlichen Menge kann nicht mehr durch Zählen festgestellt werden, als Ersatz dient das mathematische Konzept der Mächtigkeit. Mathematisch wird dieser Aspekt im Artikel Kardinalzahlen behandelt.

Der Mensch ist in der Lage, mehrere Objekte simultan zu erfassen, ohne sie abzählen zu müssen. Das kann ausgenutzt werden, um das Zählen zu beschleunigen. Hierbei werden Gruppen fester Größe (etwa Zweier- oder Fünfergruppen) gebildet und von Zahl zu Zahl wird dann nicht 1, sondern die Gruppengröße (etwa 2 oder 5) addiert: „Fünf, zehn, fünfzehn, zwanzig...“

Ist über die Anzahl auch die Reihenfolge oder der Rang der Objekte von Bedeutung, spricht man von Ordinalzahlen.

Beim Nummerieren (im Gegensatz zum Zählen) werden Zahlen zum Unterscheiden und nicht zum Zählen verwendet, manchmal ist es dann zweckmäßig, Zahlen auszulassen. Die Nummer des Objekts ist dann jedoch nicht mehr identisch mit seinem Rang. Beispiel: In Identifikationsnummern für Personen (Versicherungen, Personalausweise etc.) werden Geburtsdaten in die Nummer kodiert, wie etwa 10000024121928. Nummern wie 10000032121928 werden nicht vergeben. Derart vergebene Nummern bilden eine Nominalskala.

BM2012

Welcher prozentuale Fehler geht in eine Rechnung ein, wenn mit gerundeten Zahlen gerechnet wird? (auf Einer runden)

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a) 1.234,57

b) 12,34

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c) 1,23

d) 123,45

Lösung BM2012

a) 1.234,57 gerundet: 1.234 absolute Abweichung: 1.234,57 - 1.234 = 0,57 relative Abweichung: ${\tfrac {0{,}57}{1.234{,}57}}=0{,}0004617$ prozentuale Fehler: $0{,}0004617\cdot 100=0{,}04617$ Prozent --- b) 12,34 gerundet: 12 absolute Abweichung: 12,34 - 12 = 0,34 relative Abweichung: ${\tfrac {0{,}34}{12{,}34}}=0{,}0275$ prozentuale Fehler: $0{,}0275\cdot 100=2{,}75$ Prozent --- c) 1,23 gerundet: 1 absolute Abweichung: 1,23 - 1 = 0,23 relative Abweichung: ${\tfrac {0{,}23}{1{,}23}}=0{,}187$ prozentuale Fehler: $0{,}187\cdot 100=18{,}7$ Prozent --- d) 123,45 gerundet: 123 absolute Abweichung: 123,45 - 123 = 0,45 relative Abweichung: ${\tfrac {0{,}45}{123{,}45}}=0{,}0036$ prozentuale Fehler: $0{,}0036\cdot 100=0{,}36$ Prozent

BM2013

Der prozentuale Fehler einer Längenmessung beträgt 1,7 %.

Der Mittelwert der Messungen beträgt:

a) 43,7 cm

b) 109,2 m

c) 420 km

d) 0,02 mm

Wie groß ist jeweils der absolute Fehler?

Lösung BM2013

a) 43,7 cm 1,7 % von 43,7 ${\tfrac {43{,}7\cdot 1{,}7}{100}}=0,7429$ cm Der absolute Fehler beträgt 0,74 cm. --- b) 109,2 m 1,7 % von 109,2 ${\tfrac {109{,}2\cdot 1{,}7}{100}}=1{,}85$ m Der absolute Fehler beträgt 1,85 m. --- c) 420 km 1,7 % von 420 ${\tfrac {420\cdot 1{,}7}{100}}=7{,}14$ km Der absolute Fehler beträgt 7,14 km. --- d) 0,02 mm 1,7 % von 0,02 ${\tfrac {0{,}02\cdot 1{,}7}{100}}=0{,}00034$ mm

BM2014

Um die Drehzahl einer Antriebswelle zu ermitteln, wird die Zeit für 10 Umdrehungen gemessen. Es werden 5 Messungen durchgeführt und folgende Werte ermittelt:

t₁ = 5,3 s

t₂ = 5,1 s

t₃ = 5,4 s

t₄ = 5,1 s

t₅ = 5,2 s

Berechne den Mittelwert aus diesen 5 Messungen, und ermittle die Drehzahl!

1. Lösung BM2014

$5{,}3+5{,}1+5{,}4+5{,}1+5{,}2=26{,}1$ ${\tfrac {26{,}1}{5}}=5{,}22$ 10 Umdrehungen in 5,22 s Überschlag: 100 Umdrehungen in 52,2 s Also ca. 60 U/min. Einheit für die Drehzahl: Umdrehungen je Minute (U/min) --- Rechnung: 1 min = 60 s 1 s = 1/60 min also statt 5,22 s können wir für das „s“ auch „1 s“ setzen und deshalb auch ersetzen durch „1/60“: $5{,}22s=5{,}22\cdot {\tfrac {1}{60}}{\text{min}}=0{,}087$ min. Gesucht ist Umdrehung durch Minute Also: Statt „10 Umdrehungen in 5,22 s“ können wir auch sagen „10 Umdrehungen in 0,087 Minuten“. Gesucht ist x Umdrehungen in 1 Minute. ${\tfrac {10}{0{,}087}}={\tfrac {x}{1}}$ $x={\tfrac {10}{0{,}087}}$ x = 114,9 U/min Das weicht zu stark vom Überschlag ab. Wo steckt der Fehler?

2. Lösung BM2014

Wir fangen noch mal ganz von vorne an und machen es viel einfacher: 10 Umdrehungen in 5,22 s x Umdrehungen in 60 s Daraus ergibt sich die Relation: ${\tfrac {x}{60}}={\tfrac {10}{5{,}22}}$ lies: x zu 60 wie 10 zu 5,22 Das stellen wir nach x um und rechnen x aus: $x={\tfrac {10\cdot 60}{5{,}22}}$ x = 114.9 U/min --- Komisch, wieder das gleiche Ergebnis. War vielleicht unser Überschlag falsch und sehr ungenau?

3. Lösung BM2014
Also kontrollieren wir noch mal unsere Überschlagsrechnung: 10 Umdrehungen in 5,22 s 100 Umdrehungen in 52,2 s Also ca. etwas mehr als 52 s, also ca. 60 U/min. --- Ist unsere Überschlagsrechnung korrekt? Wo steckt der Fehler?

4. Lösung BM2014
Wir versuchen es noch einmal mit einem etwas anderen Ansatz: 10 Umdrehungen in 5,22 s 1 Umdrehung in 0,522 s $0{,}522s\cdot x=60s$ Das stellen wir nach x um: $x={\tfrac {0{,}522}{60}}$ $x=0{,}0087$ Was will uns diese letzte Zahl sagen? Oder haben wir schon wieder einen Fehler gemacht?

5. Lösung BM2014
Da ist uns ein Rechenfehler unterlaufen, als wir $0{,}522s\cdot x=60s$ nach x umgestellt haben. ES muss richtig lauten: $x={\tfrac {60}{0{,}522}}$ $x=114{,}9$ Es bleibt also bei 114,9 U/min. Aber woher kommt diese relativ starke Abweichung unserer Überschlagsrechnung vom Endergebnis? Und was stimmt nun und was ist falsch? Das Endergebnis oder die Überschlagsrechnung?

6. Lösung BM2014

Wir versuchen noch einmal rückwärts zu rechnen, also vom Endergebnis her. Die Welle hat eine Drehzahl von 114,9 U/min Das Runden wir mal auf 120 Umdrehungen. Bei 60 U/min würde eine Umdrehung genau 1 s dauern. Die Welle dreht sich doppelt so schnell, also dauert eine Umdrehung nur halb so lange. Bei 120 U/min dauert eine Umdrehung eine halbe Sekunde. Gegeben waren 10 Umdrehungen in 5,22 s. Also eine Umdrehung in ca. 0,5 s, eine halbe Minute. --- Insofern passt unser Ergebnis von 114,9 U/min schon ganz gut. --- Unser Fehler muss also bei der Überschlagsrechnung liegen: 10 Umdrehungen in 5,22 s 100 Umdrehungen in 52,2 s Also ca. etwas mehr als 52 s, also ca. 60 U/min. --- Und plötzliche fällt es uns wie Schuppen von den Augen. Ein peinlicher Flüchtigkeitsfehler. Wenn „100 Umdrehungen 52,2 s“ dauern, dann folgt daraus nicht „60 U/min“ sondern: Taraaaa! „100 U/min“ Und somit liegt auch der Überschlag in der Größenordnung unseres Rechenergebnisses.

BM2015

Rechne!

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a) ${\tfrac {22}{5}}+{\tfrac {31}{10}}$

b) $(-{\tfrac {31}{4}})-(-{\tfrac {91}{12}})$

c) $x-(-{\tfrac {15}{2}})$

d) $x=-0{,}5$; $y=-1{,}5$; $a=|4x-3y|$

---

e) $(+{\tfrac {7}{8}})\cdot (-{\tfrac {2}{3}})\cdot (-{\tfrac {1}{2}})$

f)$5\cdot (-2)+3$

g₁) $-{\tfrac {4}{5}}-{\tfrac {3}{2}}+{\tfrac {9}{16}}-{\tfrac {2}{5}}+{\tfrac {3}{40}}-({\tfrac {25}{20}}+{\tfrac {79}{80}})-{\tfrac {7}{4}}$

h) $2+3\cdot {\tfrac {2}{5}}-3$

Lösung BM2015

a) ${\tfrac {22}{5}}+{\tfrac {31}{10}}={\tfrac {44}{10}}+{\tfrac {31}{10}}={\tfrac {75}{10}}=7{,}5$ b1) $(-{\tfrac {31}{4}})-(-{\tfrac {91}{12}})={\tfrac {91}{12}}+{\tfrac {31}{4}}=?$ b2) ${\tfrac {91}{12}}-{\tfrac {93}{12}}=-{\tfrac {2}{12}}=-{\tfrac {1}{6}}=-0{,}16667$ c1) $x-(-{\tfrac {15}{2}})=-2{,}82$ c2) $x+{\tfrac {15}{2}}=-2{,}82$ c3) $x=-2{,}82-{\tfrac {15}{2}}$ c4) $x=-2{,}82-7{,}5$ c5) $x=-10{,}32$ d1) $x=-0{,}5$; $y=-1{,}5$; $a=|4x-3y|$ d2) $a=|4\cdot (-0{,}5)-3\cdot (-1{,}5)|$ d3) $a=|(-2)-(-4{,}5)|$ d4) $a=|(-2)+4{,}5|$ d5) $a=|4{,}5-2|$ d6) $a=|2{,}5|$ d7) $a=2{,}5$ --- e1) $(+{\tfrac {7}{8}})\cdot (-{\tfrac {2}{3}})\cdot (-{\tfrac {1}{2}})={\tfrac {7}{8}}\cdot {\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {1}{2}}=?$ e2) ${\tfrac {7\cdot 2\cdot 1}{8\cdot 3\cdot 2}}={\tfrac {7}{8\cdot 3}}={\tfrac {7}{24}}=0{,}2916667$ f)$5\cdot (-2)+3=-7$ g1) $-{\tfrac {4}{5}}-{\tfrac {3}{2}}+{\tfrac {9}{16}}-{\tfrac {2}{5}}+{\tfrac {3}{40}}-({\tfrac {25}{20}}+{\tfrac {79}{80}})-{\tfrac {7}{4}}=?$ kgV: 80 g2) ${\tfrac {-64-120+35-32+6-(100+79)-160}{80}}=?$ g3) $-{\tfrac {514}{80}}=-{\tfrac {2\cdot 257}{2^{4}\cdot 5}}=-{\tfrac {2\cdot 257}{2^{4}\cdot 5}}=?$ g4) $-{\tfrac {257}{2^{3}\cdot 5}}=-{\tfrac {257}{40}}=-6{,}425=-{\tfrac {6.425}{1000}}$ h) $2+3\cdot {\tfrac {2}{5}}-3={\tfrac {1}{5}}$

BM2016

kleinstes gemeinsames Vielfaches

kgV

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Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist ein mathematischer Begriff. Sein Pendant ist der größte gemeinsame Teiler (ggT). Beide spielen unter anderem in der Bruchrechnung eine Rolle.

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen $m$ und $n$ ist die kleinste positive natürliche Zahl, die sowohl Vielfaches von $m$ als auch Vielfaches von $n$ ist. Zusätzlich wird für den Fall $m=0$ oder $n=0$ das kgV definiert als $\operatorname {kgV} (m,\,n):=0$.

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Beispiel zur kgV-Berechnung:

• Die Vielfachen von 12 sind: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, …
• Die Vielfachen von 18 sind: 18, 36, 54, 72, 90, 108, …
• Die gemeinsamen Vielfachen von 12 und 18 sind also 36, 72, 108, …
• und das kleinste von diesen ist 36; in Zeichen:

$\operatorname {kgV} (12,18)=36$

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Berechnung über die Primfaktorzerlegung:

ggT und kgV kann man über die Primfaktorzerlegung der beiden gegebenen Zahlen bestimmen. Beispiel:

$3528=2^{\color {Red}3}\cdot 3^{\color {Red}2}\cdot 7^{\color {Red}2}$

$3780=2^{\color {OliveGreen}2}\cdot 3^{\color {OliveGreen}3}\cdot 5^{\color {OliveGreen}1}\cdot 7^{\color {OliveGreen}1}$

Für das kgV nimmt man die Primfaktoren, die in mindestens einer der beiden Zerlegungen vorkommen, und als zugehörigen Exponenten den jeweils größeren der Ausgangsexponenten:

$\operatorname {kgV} (3528{,}3780)=2^{\color {Red}3}\cdot 3^{\color {OliveGreen}3}\cdot 5^{\color {OliveGreen}1}\cdot 7^{\color {Red}2}=52.920$

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Das kgV von mehreren Zahlen

Man verwendet alle Primfaktoren, die in mindestens einer der Zahlen vorkommen, mit der jeweils höchsten vorkommenden Potenz, zum Beispiel:

$144=2^{\color {Red}4}\cdot 3^{\color {Red}2}$

$160=2^{\color {OliveGreen}5}\cdot 5^{\color {OliveGreen}1}$

$175=5^{\color {Blue}2}\cdot 7^{\color {Blue}1},$

also:

$\operatorname {kgV} (144,160,175)=2^{\color {OliveGreen}5}\cdot 3^{\color {Red}2}\cdot 5^{\color {Blue}2}\cdot 7^{\color {Blue}1}=50.400.$

Man könnte auch zunächst $\operatorname {kgV} (144,160)=1440$ berechnen und danach $\operatorname {kgV} (1440,175)=50.400,$ denn als eine zweistellige Verknüpfung auf den ganzen Zahlen ist das kgV assoziativ:

$\operatorname {kgV} (m,\,\operatorname {kgV} (n,p))=\operatorname {kgV} (\operatorname {kgV} (m,n),\,p).$

Dies rechtfertigt die Schreibweise $\operatorname {kgV} (m,n,p)$

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Anwendung: Bruchrechnung

Angenommen, man möchte die Brüche ${\tfrac {17}{21}}$ und ${\tfrac {44}{35}}$ addieren. Dazu müssen diese durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Man könnte natürlich einfach $21$ mit $35$ multiplizieren, was $735$ ergibt. Der kleinstmögliche gemeinsame Nenner (der sog. Hauptnenner) ist aber $\operatorname {kgV} (21,35)=105$. Die beiden Brüche werden auf diesen Nenner erweitert und dann addiert:

${\frac {17}{21}}+{\frac {44}{35}}={\frac {{\color {Red}5}\cdot 17}{{\color {Red}5}\cdot 21}}+{\frac {{\color {Red}3}\cdot 44}{{\color {Red}3}\cdot 35}}={\frac {85}{105}}+{\frac {132}{105}}={\frac {217}{105}}$

BM2017

Primfaktorzerlegung

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Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer natürlichen Zahl $n$ als Produkt aus Primzahlen, die dann als Primfaktoren von $n$ bezeichnet werden. Diese Darstellung ist (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig und zählt zu den grundlegenden und klassischen Werkzeugen der Zahlentheorie. Sie ist Gegenstand des Fundamentalsatzes der Arithmetik („Jede natürliche Zahl kann man in Primfaktoren zerlegen. Diese Primfaktorzerlegung ist eindeutig, also für eine bestimmte Zahl nur auf eine bestimmte einzige Art möglich.“) Es ist bisher kein effizientes Faktorisierungsverfahren bekannt, um die Primfaktorzerlegung einer beliebigen Zahl zu erhalten. Darauf beruhen auch die Verschlüsselungsverfahren mit sehr großen Primzahlfaktoren.

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Definition der Primfaktorzerlegung:

Sei $n$ eine natürliche Zahl. Eine Zahl $p$ heißt Primfaktor von $n$,

wenn $p$ ein Teiler von $n$ ist und

$p$ eine Primzahl ist.

Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung der Zahl $n$ als Produkt ihrer Primfaktoren. Da die Multiplikation kommutativ und assoziativ ist, ist die Reihenfolge der Primfaktoren aus Sicht der Zahlentheorie unwichtig. Die Primfaktorzerlegung der Eins kann als leeres Produkt betrachtet werden. Wenn $n$ selbst eine Primzahl ist, so ist sie selbst ihr einziger Primfaktor. Gibt es mehr als einen Primfaktor, so wird $n$ „zusammengesetzte Zahl“ genannt. Die Null ist niemals Teil der multiplikativen Gruppe und wird von solchen Betrachtungen ausgeschlossen. Ein Primfaktor $p$ kann mehrfach auftreten; mehrfach auftretende Primfaktoren können mittels Exponenten-Schreibweise zusammengefasst werden.

Üblicherweise werden die Primfaktoren aufsteigend geordnet.

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Beispiele für Primfaktorzerlegungen

$30=2\cdot 3\cdot 5$

$37=37\$ (Primzahl)

$1001=7\cdot 11\cdot 13$

$1024=\underbrace {2\cdots 2} _{\text{10-mal}}=2^{10}$ (Zweierpotenz)

$6936=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 17\cdot 17$, mit der kanonischen Darstellung $2^{3}\cdot 3\cdot 17^{2}$

$10000=2^{4}\cdot 5^{4}$ (Zehnerpotenz)

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Faktorisierungsverfahren

Das Faktorisierungsproblem für ganze Zahlen ist eine Aufgabenstellung aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Dabei soll zu einer zusammengesetzten Zahl ein nichttrivialer Teiler ermittelt werden.

Ist beispielsweise die Zahl 91 gegeben, so sucht man eine Zahl wie 7, die 91 teilt.

Entsprechende Algorithmen, die dies bewerkstelligen, bezeichnet man als Faktorisierungsverfahren. Durch rekursive Anwendung von Faktorisierungsverfahren in Kombination mit Primzahltests kann die Primfaktorzerlegung einer ganzen Zahl berechnet werden.

Bis heute ist kein Faktorisierungsverfahren bekannt, das nichttriviale Teiler und damit die Primfaktorzerlegung einer Zahl effizient berechnet. Das bedeutet, dass ein enormer Rechenaufwand notwendig ist, um eine Zahl mit mehreren hundert Stellen zu faktorisieren. Diese Schwierigkeit wird in der Kryptografie ausgenutzt. Die Sicherheit von Verschlüsselungsverfahren wie dem RSA-Kryptosystem] beruht darauf, dass die Faktorisierung des RSA-Moduls zum Entschlüsseln der Nachrichten schwierig ist; somit würde ein effizientes Faktorisierungsverfahren zum Brechen des RSA-Verfahrens führen. Es ist jedoch denkbar, dass man das RSA-Problem effizienter als das Faktorisierungsproblem lösen kann. Jedoch ist bisher kein solches Verfahren bekannt.

Beispiel: 5.824.725.220.441 ist eine (noch relativ „kleine“) Zahl, die ganz einfach aus der Multiplikation zweier Primzahlen gebildet wurde. Diese Multiplikation ging ganz schnell. Aber wie lauten die beiden Primzahlen. Da es dafür kein wirkliches Rechenverfahren gibt, bleibt nur stundenlanges suchen und rumprobieren.

Die beiden gesuchten Primzahlen lauten 14.281 und 407.865.361.

Falls die beiden Primzahlen wesentlich größer sind (ca. 300 Stellen; also 35 mal größer als die Beispielzahl; Schlüssellänge), kann das Finden des Ergebnisses (auch mit Supercomputern) einige Zehntausend Jahre dauern.

Funktionen, bei denen eine Richtung leicht, die andere (Umkehrfunktion) schwierig zu berechnen ist, bezeichnet man als Einwegfunktionen. Das ist beispielsweise die Zerlegung einer großen Zahl in ihre beiden Primfaktoren.

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In der Praxis wird man, um eine Zahl zu faktorisieren, wie folgt vorgehen:

• Durch Probedivision kleine Faktoren finden/entfernen.
• Mit Hilfe eines Primzahltests herausfinden, ob die Zahl eine Primzahl oder eine Primpotenz ist.

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Probedivision:

Das einfachste Verfahren zur Ermittlung eines Teilers von $n$ ist die Probedivision. Dabei wird $n$ durch alle Primzahlen beginnend mit der Zwei dividiert, bis sich eine Primzahl als deren Teiler erweist oder bis der Probedivisor größer als ${\sqrt {n}}$ geworden ist. Das Verfahren eignet sich sehr gut zur Bestimmung kleiner Primfaktoren, aber es ist sehr aufwändig, damit eine Zahl mit zwei oder mehr großen Primfaktoren vollständig zu zerlegen.

BM2018

Kältepol

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Als Kältepol wird der Ort mit den tiefsten (gemessenen) Temperaturen auf der Erde bezeichnet. Der Begriff stammt aus der Zeit der berühmten Polarexpeditionen; analog zu ihm wurde das Gegenwort Hitzepol gebildet.

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Hitzepol

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Als Hitzepol wird das Gebiet eines Planeten mit den höchsten (gemessenen) Temperaturen bezeichnet. Die Bezeichnung ist eine Analogiebildung zum Kältepol, die zusammen die Temperaturextrema bezeichnen.

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Die höchste zuverlässig gemessene Lufttemperatur wurde am 30. Juni 2013 im Death Valley in Kalifornien gemessen. Sie betrug 54,0 °C.

Bei der Forschungsstation Wostok-Station in der Antarktis am 21. Juli 1983 −89,2 °C gemessen.

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Wie viel Grad beträgt der Unterschied zwischen diesen beiden Temperaturen?

BM2019

Term

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In der Mathematik ist ein Term ein sinnvoller Ausdruck, der Zahlen, Variable, Symbole für mathematische Verknüpfungen und Klammern enthalten kann. Terme sind die syntaktisch korrekt gebildeten Wörter oder Wortgruppen in der formalen Sprache der Mathematik.

In der Praxis wird der Begriff häufig benutzt, um über einzelne Bestandteile einer Formel oder eines größeren Terms zu reden. So kann man bspw. für die lineare Funktion $f(x)=mx+b$ von einem linearen Term $mx$ und einem konstanten Term $b$ reden.

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Umgangssprachliche Erklärung des Begriffes Term

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Der Begriff „Term“ wird umgangssprachlich für alles verwendet, das eine Bedeutung trägt. Im engeren Sinn sind mathematische Gebilde gemeint, die man prinzipiell ausrechnen kann, zumindest wenn man den darin enthaltenen Variablen Werte zugewiesen hat. So ist zum Beispiel $(x+y)^{2}$ ein Term, denn weist man den darin enthaltenen Variablen $x$ und $y$ einen Wert zu, so erhält auch der Term einen Wert. Statt Zahlen können hier auch andere mathematische Objekte in Betracht kommen, so ist etwa $(p_{1}\vee \neg p_{2})\wedge p_{3}$ ein Term, der einen Wert erhält, wenn man den booleschen Variablen $p_{1},p_{2},p_{3}$ einen Wahrheitswert zuordnet.

Grob kann man sagen, dass ein Term eine Seite einer Gleichung oder Relation, z. B. einer Ungleichung, ist. Die Gleichung oder Relation selbst ist kein Term, sie besteht aus Termen.

Mit Termen können üblicherweise folgende Operationen ausgeführt werden:

• ausrechnen (dazu rechnet man erst die „inneren“ Funktionen aus und dann die äußeren): $(2+3)^{2}=5^{2}=25$
• nach bestimmten Rechenregeln umformen: $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ durch Anwendung des Distributivgesetzes und einiger anderer „erlaubter“ Regeln.
• miteinander vergleichen, falls Relationen für die passenden Typen definiert sind: $2xy\leq x^{2}+y^{2}$
• ineinander einsetzen (oft wird ein Term anstelle einer Variable eines anderen Terms eingesetzt). Eine spezielle Form der Einsetzung ist die Substitution, bei der ein Term mit Variablen durch einen anderen Term mit Variablen (meist eine einzelne Variable) ersetzt wird: $(x+y)^{2}$ entsteht aus $z^{2}$ durch Ersetzung von $z$ durch $x+y$.

• Jedes Variablensymbol $v$ ist ein Term.
• Jedes Konstantensymbol $c$ ist ein Term.

Durch Funktionssymbole werden Verknüpfungen verschiedener Stelligkeit zwischen Termen erzeugt. Daraus ergeben sich wiederum Terme.

Die Stelligkeit der Verknüpfungsoperatoren kann durch Klammersetzung umgangen werden. Bei verschachtelten Klammersetzungen werden manchmal auch [ ] und { } eingesetzt, um die Zusammengehörigkeit der Klammern deutlicher zu machen.

BM2020

Algebraische Umformungen von Termen

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Durch algebraische Umformungen ändert sich der Wert des Terms nicht.

Lange, komplizierte Terme können oft vereinfacht werden, indem man auf sie Rechenregeln anwendet, die den Wert des Terms unverändert lassen, beispielsweise das Kommutativgesetz, Assoziativgesetz oder Distributivgesetz:

$(x+y)(x-y)$    Ausmultiplizieren

$=x^{2}-xy+yx-y^{2}$     Kommutativgesetz anwenden

$=x^{2}-y^{2}$

Mit der Umformung von Termen werden folgende Ziele verfolgt:

• Vereinfachung von Termen
• Aufpumpen von Termen zur Erzeugung gewünschter Strukturen.
• Herauspräparieren gewünschter Teilterme, die dann wiederum substituiert werden sollen.

BM2021 - BM2030

BM2021

Äquivalenzumformung

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In der Mathematik bezeichnet Äquivalenzumformung (lateinisch aequus = gleich; valere = wert sein) eine Umformung einer Gleichung bzw. Ungleichung, die den Wahrheitswert unverändert lässt (logische Äquivalenz). Die umgeformte logische Aussage ist also für dieselbe Variablenbelegung wahr wie die ursprüngliche Aussage.

Äquivalenzumformungen können durch Anwendung der inversen Operation wieder ohne Probleme rückgängig gemacht werden. Äquivalenzumformungen sind die wichtigste Methode zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen.

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Eine Äquivalenzumformung ist beispielsweise die Addition oder Subtraktion eines Terms auf beiden Seiten. Subtrahiert man von der Gleichung

$x+5=7\;$

die Zahl 5 (indem man die Zahl auf beiden Seiten subtrahiert), erhält man die Gleichung

$x=2\!$.

Die Multiplikation oder Division eines Terms auf beiden Seiten der Gleichung, solange dieser ungleich 0 ist, ist ebenfalls eine Äquivalenzumformung.

Zu beachten ist, dass die Multiplikation mit Null oder Division durch Null oft versteckt auftritt; so ist beispielsweise die Multiplikation mit $x-1$ keine Äquivalenzumformung, da dieser Multiplikator im Falle $x=1$ eben Null sein kann. Allerdings kann man durch Fallunterscheidung sicherstellen, dass eine Multiplikation oder Division mit Null nicht stattfindet: Fälle, in denen ein Multiplikator oder Divisor Null ist, sind gesondert zu untersuchen; ansonsten sind die umgeformten Aussagen nur unter einer entsprechenden Zusatzvoraussetzung (also nicht allgemein) zueinander äquivalent.

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Notation

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Äquivalenzumformungen werden meist mit einem Äquivalenzpfeil „⇔“ bezeichnet. Angewendet auf obiges Beispiel also:

$x+5=7\Leftrightarrow x=2\!$

Darstellung der Umformungsoperation: Insbesondere in der Schulmathematik wird bei Äquivalenzumformungen oft mit einem senkrechten Strich hinter der Gleichung dargestellt, welche Operation als nächste auf beide Seiten der Gleichung angewendet werden soll. Die obigen Beispiele schreiben sich dann in der Form

$x+5=7\;\;\;\;\;\;\;\;|-5$

$x=2\;$

bzw.

$x>y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\cdot (-5)$

$-5x<-5y\;$.

BM2022

Ein häufiges Problem ist das Separieren/Isolieren („auf eine Seite bringen“) einer Variablen aus einer Ausgangsgleichung. Hier hat man eine Ausgangsgleichung mit mindestens einer Variablen gegeben, von der man weiß, dass sie erfüllt sein muss (Beispiel: $3s+t=s-t$). Nun möchte man wissen, welche Werte eine bestimmte Variable (in Abhängigkeit der anderen Variablen) annehmen kann, so dass die Ausgangsgleichung mit diesen Werten erfüllt ist (Welche Werte für $s$ erfüllen die Ausgangsgleichung $3s+t=s-t$?). Hier kann man schrittweise die Ausgangsgleichung in andere Gleichungen umformen, bis man eine Gleichung erhält, in der die gewünschte Variable auf einer Seite separiert ist. So können wir $3s+t=s-t$ folgendermaßen nach $s$ umformen:

${\begin{array}{lrll}&3s+t&=s-t&{\color {Gray}\left|\ -t{\text{ auf beiden Seiten}}\right.}\\[0.3em]\Rightarrow \ &3s&=s-2t&{\color {Gray}\left|\ -s{\text{ auf beiden Seiten}}\right.}\\[0.3em]\Rightarrow \ &2s&=-2t&{\color {Gray}\left|\ {}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\text{ auf beiden Seiten}}\right.}\\[0.3em]\Rightarrow \ &s&=-t\end{array}}$

Insgesamt haben wir so die Implikation $3s+t=s-t\Rightarrow s=-t$ bewiesen. Wir wissen damit, dass immer dann, wenn $3s+t=s-t$ ist, auch die Gleichung $s=-t$ erfüllt sein muss.

BM2023

Enthalten Gleichungen oder Ungleichungen Variablen, so muss festgelegt werden, aus welchem Zahlenbereich wir Zahlen für die Variablen einsetzen dürfen. Diesen Berech nennen wir den Grundbereich der Variablen. Alle Zahlen des vorgegebenen Grundbereichs , die die gegebenen Gleichung oder Ungleichung beim Einsetzen zu einer wahren Aussage machen, heißen Lösungen dieser Gleichung bzw. Ungleichung.

Man sagt: „Diese Zahlen erfüllen die gegebene Gleichung bzw. Ungleichung.“

Die Menge aller Lösungen einer Gleichung bzw. Ungleichung wird als Lösungsmenge bezeichnet.

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$\mathbb {N}$ (natürliche Zahlen)

$\mathbb {Q}$ (rationale Zahlen; „Q“ steht für „Quotient“)

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1. Beispiel:

$4+x=5,5$ $(x\in Q)$ (lies: „x Element der rationalen Zahlen“ oder kurz „x Element von Q“)

Die Gleichung enthält eine Variable, der Variablengrundbereich ist die Menge der rationalen Zahlen $(\mathbb {Q} )$.

Durch Einsetzen de Zahl 1,5 für x wird die Gleichung erfüllt. Es gibt keine anderen Zahlen, die diese Gleichung erfüllen. Die Lösungsmenge enthält nur ein Element.

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2. Beispiel:

$17>5\cdot x$ $(x\in N)$

Die Ungleichung wird durch keine natürliche Zahl erfüllt.

Die Lösungsmenge ist leer.

$L={\;}$ oder

$L=\emptyset$

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3. Beispiel:

$2+x<8$ $(x\in N)$

Die Ungleichung wird durch die natürlichen Zahlen 0; 1; 2; 3; 4 und 5 erfüllt.

$L={0;1;2;3;4;5}$.

BM2024

Äquivalente Gleichungen

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Beim Lösen von Gleichungen können wir die Lösung manchmal durch Probieren ermitteln. So können wir z. B. erkennen, dass für die Gleichung $4x=3$ $(x\in Q)$ die Zahl ${\tfrac {3}{4}}$ die Lösung ist.

Wir können aber auch durch systematische Anwendung von Rechenoperationen, die wir auf beiden Seiten einer gegebenen Gleichung ausführen, diese Gleichung schrittweise auf die Form $x=a$ bringen.

Dies schrittweise Umformung nennen wir Auflösen der Gleichung nach der Variablen oder Isolieren der Variablen. Die dabei entstehenden Gleichungen haben alle dieselbe Lösungsmenge.

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Definition: Gleichungen heißen zueinander äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge besitzen.

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Umformungen, die Schritt für Schritt auf Gleichungen führen, die zur gegebenen Gleichung äquivalent sind, nennt man äquivalente Umformungen.

Durch Vertauschen der Seiten einer gegebenen Gleichung ohne Variable erhalten wir eine neuer Gleichung.

Aus $4+1=5$ erhalten wir $5=4+1$.

Beide Gleichungen stellen eine wahre Aussage dar.

Vertauscht man in einer Gleichung, die eine wahre Aussage darstellt, die Seiten, so erhält man wieder eine wahre Aussage.

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Enthält eine gegebene Gleichung eine Variable, so erhalten wir durch Vertauschen der Seiten eine äquivalente Gleichung. Setzt man nämlich in beide Gleichungen ein und dieselbe Zahl ein, so gibt es zwei Möglichkeiten:

a) Entweder beide Gleichungen werden zu einer wahren Aussage. Dann ist die eingesetzte Zahl Lösung beider Gleichungen.

b) Oder beide Gleichungen werden zu einer falschen Aussage. Dann ist die eingesetzte Zahl nicht Lösung der Gleichung.

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Gibt es für eine Gleichung im vorgegebenen Grundbereich keine Lösung, so hat auch die druch Vertauschen der Seiten entstandene Gleichung in diesem Grundbereich keine Lösung.

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Wenn man Sachen ausrechnen will, die sich nicht teilen lassen, z. B. Autos oder Pferde, dann mancht es keinen Sinn im Zahlenbereich der rationalen Zahlen zu rechnen, dann machen nur ganze Zahlen Sinn.

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$x+3=7$ und $7=x+3$

Die Lösung ist in beiden Fällen 4, denn durch Einsetzen erhalten wir die Aussage:

$4+3=7$ und $7=4+3$

Dei Gleichungen $x+3=7$ und $7=x+3$ sind also zueinander äquivalent:

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SATZ: Vertauscht man in einer Gleichung mit einer Variablen die Seiten, so erhält man eine äquivalente Gleichung.

BM2025

Weitere äquivalente Umformungen (neben dem Vertauschen der Seiten)

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Wenn auf beiden Seiten einer Gleichung ohne Variablen dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren, so erhalten wir eine neue Gleichung.

$10-2=8$

$10-2+5=8+5$

$10-2-5=8-5$

Addiert oder subtrahiert man in einer Gleichung, die eine wahre Aussage darstellt, auf beiden Seiten dieselbe Zahl, so erhält man wieder eine wahre Aussage.

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Enthält eine gegebene Gleichung eine Variable, so erhalten wir durch Addition oder Subtraktion derselben Zahl auf beiden Seiten dieser Gleichung auch wieder eine neue Gleichung.

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$x+9=15$ (I)

$x+9+4=15+4$ (II)

$x+9-3=15-3$ (III)

Setzen wir die Zahl 6 ein, so erhalten wir die wahren Aussagen.

$6+9=15$

$6+9+4=15+4$

$6+9-3=15-3$

Also haben die Gleichungen I, II und III dieselbe Lösung. Daher sind die Gleichungen II und III zur Gleichung I äquivalent.

Hat die gegebene Gleichung keine Lösung, so ist auch die durch Addition bzw. Subtraktion entstandene Gleichung nit lösbar.

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SATZ: Addiert oder subtrahiert man in einer Gleichung, die eine Variable enthält, auf beiden Seiten dieselbe zahl, so erhält man äquivalente Gleichungen.

BM2026

Wenn wir beide Seiten einer Gleichung ohne Variablen mit derselben Zahl multiplizieren oder durch dieselbe Zahl dividieren, so erhalten wir jeweils eine neue Gleichung.

Dabei ist die Division durch Null natürlich ausgeschlossen, während die Multiplikation mit Null stets die wahre Aussage $0=0$ ergibt.

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Beispiel:

$10-2=8$

$4\cdot (10-2)=4\cdot 8$

$(10-2):7=8:7$

Werden beide Seiten einer Gleichung, die eine Variable enthält, mit einer Zahl multipliziert oder durch dieselbe Zahl (außer Null) dividiert, so erhalten wir wider eine wahre Aussage.

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Entsprechend können wir die Seite einer Gleichung, die eine Variable enthält, mit einer Zahl multiplizieren oder durch eine Zahl ungleich Null dividieren

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Beispiel:

$x+9=15$ (I)

$4\cdot (x+9)=4\cdot 15$ (II)

$(x+9):7=15:7$ (III)

Wenn wir nun die Zahl 6 einsetzen, so erhalten wir in jedem Fall eine wahre Aussage. Daher sind die Gleichungen II und III zur Gleichung I äquivalent.

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Hat die Gleichung im vorgegebenen Grundbereich keine Lösung, so kann auch die durch Multiplikation oder Division bieder Seiten entstandene Gleichung von keiner dieser Zahlen in diesem Grundbereich erfüllt werden.

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Bemerkung:

Bei der Division beider Seiten einer Gleichung müssen wir die Null selbstverständlich wieder ausschließen.

$x+9=15\;|\;:0$

${\tfrac {x+9}{0}}={\tfrac {15}{0}}$ (FALSCH!)

Aber auch bei der Multiplikation muss im Falle von Gleichungen mit Variablen die Null ausgeschlossen werden.

$x+9=15\;|\;\cdot 0$

$0\cdot (x+9)=0\cdot 15$ (FALSCH!)

Multiplizieren wir nämlich beide Seiten einer solchen Gleichung mit Null, so erhalten wir die wahre Aussage $0=0$.

In dieser Gleichung tritt aber die Variable nicht mehr auf. Diese Gleichung ist also der ursprünglichen nicht äquivalent..

Die Multiplikation mit Null ist keine äquivalente Umformung.

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SATZ: Multiplizieren wir in einer Gleichung, die eine Variable enthält, beide Seiten mit derselben von Null verschiedenen Zahl, so erhalten wir eine äquivalente Gleichung.

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SATZ: Dividieren wir in einer Gleichung, die eine Variable enthält, beide Seiten durch derselbe von Null verschiedenen Zahl, so erhalten wir eine äquivalente Gleichung.

BM2027

Die Multiplikation beider Seiten einer Gleichung mit der Variablen führt nicht immer auf eine äquivalente Gleichung.

Die Gleichung ${\tfrac {0}{x}}=7$ $(x\in Q)$ hat keine Lösung, denn es gibt keine von Null verschiedene Zahl $x$ $(x\neq 0)$ (lies: „$x$ ungleich Null“), die den Quotienten ${\tfrac {0}{x}}$ gleich $7$ werden lässt.

Die Zahl 0 dürfen wir für $x$ nicht einsetzen, da dann die linke Seite der Gleichung nicht definiert ist.

Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit $x$ führt zu

$0=7\cdot x$.

Diese Gleichung hat die Lösung 0, also ist in diesem Fall die Multiplikation mit $x$ keine Äquivalenzumformung.

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Bei der Multiplikation beider Seiten mit $x$ müssen wir also streng genommen immer $x\neq Q$ dazu schreiben.

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Dagegen liefert die Multiplikation mit der Variablen $x$ auf beiden Seiten der Gleichung

${\tfrac {14}{x}}=7$ eine äquivalente Gleichung:

Die Gleichung ${\tfrac {14}{x}}=7$ hat die Lösung $2$.

Die Gleichung $14=7x$ hat ebenfalls die Lösung $2$.

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Auch in der Gleichung ${\tfrac {14}{x}}=0$ liefert die Multiplikation mit der Variablen x auf beiden Seiten der Gleichung eine zu ihr äquivalente Gleichung:

Die Gleichung ${\tfrac {14}{x}}=0$ hat keine Lösung.

Die Gleichung $14=0\cdot x$ hat ebenfalls keine Lösung

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$14=7x$

In Produkten wie $7\cdot x$ nennt man die Zahl 7 Koeffinzient von x.

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${\tfrac {2}{3}}x=4$

In Produkten wie ${\tfrac {2}{3}}\cdot y$ nennt man die Zahl ${\tfrac {2}{3}}$ Koeffinzient von y.

BM2028

Rechne!

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a) $-{\tfrac {11}{8}}x=2{,}5$

b) $4x+19==31$

c) $6{,}2=2{,}2-8x$

---

d) $5x+7x=4$

e) $5x+2x+8-4x=9$

f) $x-{\tfrac {3}{2}}=0{,}7$

Lösung BM2028
a) $-{\tfrac {11}{8}}x=2{,}5$; $x=-{\tfrac {20}{11}}$ b) $4x+19==31$; $x=3$ c) $6{,}2=2{,}2-8x$; $x=-{\tfrac {1}{2}}$ --- d) $5x+7x=4$; $(5+7)x=4$; $12x=4$; $x={\tfrac {1}{3}}$ e) $5x+2x+8-4x=9$; $x={\tfrac {1}{3}}$ f) $x-{\tfrac {3}{2}}=0{,}7$; $x=2{,}2$

BM2029

Die Variable kann auch auf beiden Seiten einer gegebenen Gleichung vorkommen. In diesem Fall ordnen wir zunächst, d. h. wir formen die Gleichung so um, dass die Variable nur auf einer Seite der Gleichung vorkommt.

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$5x-2=6+3x\;|\;-3x$

$2x-2=6\;|\;+2$

$2x=8\;|\;:2$

$x=4$

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Rechne!

a) ${\tfrac {80}{x}}-{\tfrac {16}{3}}=8$

b) ${\tfrac {5}{2}}+h={\tfrac {39}{4}}$

c) $x-{\tfrac {2}{2}}={\tfrac {43}{4}}$

d) ${\tfrac {84}{5}}+t={\tfrac {223}{10}}$

---

e) $f-{\tfrac {19}{4}}={\tfrac {43}{6}}$

f) $-x+81=-19$

g) $-c-3{,}5=-14={\tfrac {43}{4}}$

h) $2x={\tfrac {10}{3}}$

Lösung BM2029

a) ${\tfrac {80}{x}}-{\tfrac {16}{3}}=8$; $x=6$ b) ${\tfrac {5}{2}}+h={\tfrac {39}{4}}$; $h={\tfrac {29}{4}}$ c) $x-{\tfrac {2}{2}}={\tfrac {43}{4}}$; $x={\tfrac {47}{4}}$ d) ${\tfrac {84}{5}}+t={\tfrac {223}{10}}$; $t={\tfrac {55}{10}}$ --- e) $f-{\tfrac {19}{4}}={\tfrac {43}{6}}$; $f={\tfrac {143}{12}}$ f) $-x+81=-19$; $x=100$ g) $-c-3{,}5=-14$; $c=10{,}5$ h) $2x={\tfrac {10}{3}}$; $x={\tfrac {5}{3}}$

BM2030

Truhe A	Truhe B	Truhe C

Logik

---

Wir haben drei Schatztruhen. Zwei sind leer und in einer befindet sich Gold. In welcher?

Wir haben drei Aussagen, von denen zwei falsch sind und eine richtig ist.

Aussage 1) Das Gold ist nicht in Truhe A.

Aussage 2) Das Gold ist nicht in Truhe B.

Aussage 3) Das Gold ist in Truhe B.

Wo ist das Gold?

Lösung BM2030
Lösung: Truhe A

Lösungsweg BM2030

Lösungsweg: Wir wissen, dass eine Aussage wahr ist und zwei Aussagen falsch sind. Wir gehen alle möglichen Kombinationen der Reihe nach durch. Wenn Aussage 1 wahr ist, dann ist Truhe A leer. Das bedeutet, dass das Gold entweder in B ode C sein muss. Unsersuchen wir nun diese möglichkeiten im Einzelnen: - Wenn das Gold in B ist, dann ist Aussage 3 auch wahr, wass der Voraussetzung widerspricht, dass nur eine Aussage wahr ist. Diesen Fall können wir also ausschließen. - Wenn das Gold in C ist, dann ist Aussage 2 wahr, was wiederumg der Voraussetzung widerspricht, dass nur eine Aussage wahr ist. Diesen Fall können wir also auch ausschließen. Wir können also komplett ausschließen, dass Aussage 1 wahr ist. Wenn Aussage 3 wahr ist, dann ist das Gold in Truhe B. Also währe Aussage 1 wahr. , was wiederumg der Voraussetzung widerspricht, dass nur eine Aussage wahr ist. Diesen Fall können wir also auch ausschließen. Wir können also komplett ausschließen, dass Aussage 3 wahr ist. Wenn Aussage 2 wahr ist, dann ist Truhe B leer. - Wenn Truhe A den Goldschatz enthält, dann ist Aussage 1 falsch und Aussage 3 auch falsch. Das erfüllt unsere Voraussetzung, dass eine Aussage wahr ist und zwei Aussagen falsch sind. Wie wissen also, dass Aussage 2 wahr ist, und was noch wichtiger ist, dass der Goldschatz in Truhe A ist. --- 1) Das Gold ist nicht in Truhe A. - FALSCH 2) Das Gold ist nicht in Truhe B. - WAHR 3) Das Gold ist in Truhe B. - FALSCH --- 2) Das Gold ist nicht in Truhe B. - WAHR Also ist das Gold in A oder C. Zusammen mit der Aussage 2 3) Das Gold ist in Truhe B. - FALSCH - was bedeutet, dass das Gold nicht in B ist - sind wir immer noch nicht weiter und wissen nur, dass das Gold in A oder C ist. Die endgültige Lösung bringt Aussage 1 1) Das Gold ist nicht in Truhe A. - FALSCH - was bedeutet, das das Gold in A ist. Das Gold ist nicht in Truhe A. - FALSCH Das Gold ist nicht in Truhe B. - WAHR Das Gold ist in Truhe B. - FALSCH

BM2031 - BM2040

BM2031

Rechne!

---

a) $18{,}75=20{,}5-p$

b) $38{,}875-x=40{,}75$

c) $14x=154$

d) $3x={\tfrac {17}{6}}$

e) ${\tfrac {3}{8}}u={\tfrac {6}{5}}$

---

f) ${\tfrac {15}{4}}={\tfrac {5}{9}}t$

g) ${\tfrac {x}{24}}=3$

h) $80={\tfrac {t}{0{,}8}}$

i) ${\tfrac {x}{\tfrac {1}{2}}}=3$

j) ${\tfrac {25}{4}}x={\tfrac {20}{3}}$

Lösung BM2031

a) $18{,}75=20{,}5-p$; $p=1{,}75$ b) $38{,}875-x=40{,}75$; $x=-1{,}875$ c) $14x=154$; $x=11$ d) $3x={\tfrac {17}{6}}$; $x={\tfrac {17}{18}}=0{,}9444$ e) ${\tfrac {3}{8}}u={\tfrac {6}{5}}$; $u={\tfrac {16}{5}}=3{,}2$ --- f) ${\tfrac {15}{4}}={\tfrac {5}{9}}t$; $t={\tfrac {27}{4}}=6{,}75$ g) ${\tfrac {x}{24}}=3$; $x=72$ h) $80={\tfrac {t}{0{,}8}}$; $t=64$ i) ${\tfrac {x}{\tfrac {1}{2}}}=3$; $x=1{,}5$ j) ${\tfrac {25}{4}}x={\tfrac {20}{3}}$; $x={\tfrac {16}{15}}=1{,}066667$

BM2032

Rechne!

---

a) ${\tfrac {m}{24}}={\tfrac {1}{2}}$

b) ${\tfrac {x}{1{,}6}}=60$

c) ${\tfrac {x}{\tfrac {7}{10}}}=5$

d) ${\tfrac {3}{14}}={\tfrac {18}{7}}x$

e) $38={\tfrac {x}{2}}$

---

f) ${\tfrac {x}{6{,}1}}=0{,}05$

g) ${\tfrac {n}{\tfrac {7}{6}}}=2$

h) ${\tfrac {\tfrac {4}{x}}{9}}={\tfrac {25}{4}}$

i) $3x+4=2x+7$

j) $16+8u=25+u$

Lösung BM2032

a) ${\tfrac {m}{24}}={\tfrac {1}{2}}$; $m={\tfrac {1}{48}}=0{,}0208333$ b) ${\tfrac {x}{1{,}6}}=60$; $x={\tfrac {60}{1{,}6}}={\tfrac {600}{16}}={\tfrac {150}{4}}=37{,}5$ c) ${\tfrac {x}{\tfrac {7}{10}}}=5$; $x={\tfrac {50}{7}}=7{,}1428$ d) ${\tfrac {3}{14}}={\tfrac {18}{7}}x$; $x={\tfrac {1}{12}}=0{,}08333$ e) $38={\tfrac {x}{2}}$; $x=76$ --- f) ${\tfrac {x}{6{,}1}}=0{,}05$; $x=0{,}366$ g) ${\tfrac {n}{\tfrac {7}{6}}}=2$; $n={\tfrac {7}{3}}$ h) ${\tfrac {\tfrac {4}{x}}{9}}={\tfrac {25}{4}}$; $x={\tfrac {225}{4}}=56{,}25$ i) $3x+4=2x+7$; $x=3$ j) $16+8u=25+u$; $u={\tfrac {9}{7}}=1{,}2857$

BM2033

Rechne!

---

a) $5x-11=3x+15$

b) $9+5p-6=3p-11$

c) $25+6x=29+2x$

d) $6x-16=20-3x$

e) $4x+13-7x+36+4x=14x+42-34+30x+19{\tfrac {1}{2}}$

---

f) $3x+21-8x+30-x=71-12x+19+4x-35{\tfrac {1}{2}}$

g) $13+34a-5+23-14a-97=20a+29-10a$

h) $3k-2-k+8-11k-4=k+16+4k-12-3k-4-k$

i) $0{,}23x+4{,}7-0{,}19x-3{,}4=0{,}18x+5{,}7-0{,}25x$

j) $0{,}56x+8{,}9+1{,}14x-6{,}5+8{,}8x-19{,}7+12{,}4x-0{,}9x=4{,}7$

Lösung BM2033

a) $5x-11=3x+15$; $x=13$ b) $9+5p-6=3p-11$; $p=-7$ c) $25+6x=29+2x$; $x=1$ d) $6x-16=20-3x$; $x=4$ e) $4x+13-7x+36+4x=14x+42-34+30x+19{\tfrac {1}{2}}$; $x+49=44x+27{,}5$; $x={\tfrac {21{,}5}{43}}={\tfrac {215}{430}}={\tfrac {1}{2}}=0{,}5$ --- f) $3x+21-8x+30-x=71-12x+19+4x-35{\tfrac {1}{2}}$; $x=-{\tfrac {105{,}5}{2}}=-52{,}75$ g) $13+34a-5+23-14a-97=20a+29-10a$; $20a-66=-8a+54{,}5$; $a={\tfrac {120{,}5}{28}}={\tfrac {5\cdot 241}{2\cdot 2\cdot 7}}=4{,}3036$ h) $3k-2-k+8-11k-4=k+16+4k-12-3k-4-k$; $-9k+2=k$; $k={\tfrac {1}{5}}=0{,}2$ i) $0{,}23x+4{,}7-0{,}19x-3{,}4=0{,}18x+5{,}7-0{,}25x$; $0{,}04x+1{,}3=0{,}07x+5{,}7$; $x={\tfrac {44}{0{,}03}}={\tfrac {4400}{3}}=1466{,}6667$ j) $0{,}56x+8{,}9+1{,}14x-6{,}5+8{,}8x-19{,}7+12{,}4x-0{,}9x=4{,}7$; $22x-5{,}3=4{,}7$; $x={\tfrac {5}{11}}=0{,}454545$

BM2034

Rechne!

---

a) ${\tfrac {2}{3x}}=7$

b) ${\tfrac {4}{x}}-6=0{,}8$

c) ${\tfrac {4}{3x}}=11$

---

d) ${\tfrac {13}{x}}+8=4{,}3$

e) ${\tfrac {7}{x+2}}={\tfrac {1}{2}}$

f) $3x+2=7$

Lösung BM2034

a) ${\tfrac {2}{3x}}=7$; $x={\tfrac {2}{21}}=0{,}095238$ b) ${\tfrac {4}{x}}-6=0{,}8$; $x={\tfrac {4}{6{,}8}}={\tfrac {40}{68}}={\tfrac {10}{17}}=0{,}58823$ c) ${\tfrac {4}{3x}}=11$; $x={\tfrac {4}{33}}=0{,}121212$ --- d) ${\tfrac {13}{x}}+8=4{,}3$; $x=-{\tfrac {13}{3{,}7}}=-{\tfrac {130}{37}}=-{\tfrac {2\cdot 5\cdot 13}{37}}=3{,}513513$ e) ${\tfrac {7}{x+2}}={\tfrac {1}{2}}$; $x=12$ f) $3x+2=7$; $x={\tfrac {5}{3}}=1{,}66667$

BM2035

Sei

es sei

es ist

gegeben

es ist gegeben

Gegeben sei folgende Gleichung

---

Seien $a$, $b$ und $c$ natürliche Zahlen.

Kann es zwei Zahlen $a$ und $b$ geben, so dass in der Gleichung

$a\cdot b=c$

$c$ eine Primzahl ist?

Lösung BM2035

Nein, denn eine Primzahl hat ja außer Eins und dieser Zahl selber keinen anderen Teiler. Aber unsere Zahl $c$ lässt sich auch durch $a$ und $b$ Teilen. Beispiel: $3\cdot 7=21$ 21 kann keine Primzahl sein. --- Es gibt allerdings eine trivialen Fall als Ausnahme: $1\cdot 17=17$ Schließlich haben wir vergessen zwei Nebenbedinungen zu formulieren: $a$ und $b$ müssen ungleich Eins oder $c$ sein. --- $a\neq 1$; $a\neq c$; $b\neq 1$; $b\neq c$;

BM2036

Lösbarkeit von Gleichungen

---

Die meisten der bisher betrachteten Gleichungen ließen sich durch äquivalente Umformungen auf die Form $x=a$ bringen.

Die rationale Zahl $a$ ist dann die einzige Lösung einer solchen Gleichung.

Es gibt aber auch Gleichungen, die alle rationale Zahlen als Lösungen besitzen.

$2x-3+x-1=-4+5x-2x$

Nach dem Zusammenfassen haben wir

$3x-4=3x-4$

Ganz gleich, welche rationale Zahl wir für $x$ in diese Gleichung einsetzen, stets erhalten wir eine wahre Aussage. Die Lösungsmenge $L$ dieser Gleichung enthält also alle rationalen Zahlen: $L=\mathbb {Q}$.

Wir können die letzte Gleichung noch weiter äquivalent umformen:

$3x-4=3x-4\;|\;-3x$

$-4=-4\;|\;+4x$

$0=0$

---

Jeder Gleichung, die sich durch äquivalente Umformungen auf die Form

$0=0$

bringen lässt, wird von allen Zahlen des jeweiligen Grundbereichs erfüllt. Auch solche Gleichungen bezeichnet man als lösbar.

---

Anders verhält es sich dagegen bei der folgenden Gleichung:

$5+7x-8=4x+6+3x-1{,}5$ (// zusammenfassen)

$7x-3=7x+4{,}5$

Ganz gleich, welche rationale Zahl wir für $x$ in die letzte Gleichung einsetzen, stets erhalten wir eine falsche Aussage. Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist also die leere Menge: ∅

Wir können noch weiter äquivalent umformen:

$7x-3=7x+4{,}5\;|\;-7x+3$

$0=7{,}5$

Jede Gleichung, die sich durch äquivalente Umformungen auf eine solche falsche Aussage bringen lässt, hat keine Lösung.

BM2037

Verschiedene Grundbereiche

---

Die Lösbarkeit einer Gleichung hängt nicht nur von der Gleichung selbst ab.

Die Lösbarkeit hängt auch von dem Zahlenbereich ab, aus dem für die jeweilige Variable eingesetzt werden kann.

---

Beispiel:

Welche natürliche Zahl erfüllt die Gleichung $3x=4$?

Ergebnis: Es gibt keine natürliche Zahl, die mit 3 multipliziert 4 ergibt.

Also: Die Gleichung ist im Bereich der natürlichen Zahlen nicht lösbar.

Im Bereich der rationalen zahlen dagegen hat die Gleichung die Lösung ${\tfrac {3}{4}}$.

BM2038

Bild 1

Die grünen Flächen sind insgesamt 1,28 m² groß.

Welche Maße hat die rot umrandete Gesamtfläche?

Lösung BM2040

Ein grünes Dreieck bedeckt die Hälfte von 2 Quadraten. Also ist ein grünes Dreieck so groß wie 1 Quadrat. Zwei grüne Dreiecke sind folglich so groß wie zwei Quadrate. Die grüne Fläche (beide Dreiecke zusammen), also zwei Quadrate, hat einen Flächeninhalt von $1{,}28m^{2}$. Ein Quadrat hat also $1{,}28m^{2}:2=0{,}64$ Flächeninhalt. $0{,}80m\cdot 0{,}80m=0{,}64m^{2}$ $(8\cdot 8=64)$ Ein Quadrat hat eine Kantenlänge von 80 cm. Die rot umrandete Fläche ist also 3,20 m mal 2,40 m groß. $4\cdot 0{,}80m=3{,}20m$; $3\cdot 0{,}80m=2{,}40m$

BM2039

Ungleichungen

---

Eine Ungleichung ist ein Gegenstand der Mathematik, mit dem Größenvergleiche formuliert und untersucht werden können. Jede Ungleichung besteht aus zwei Termen, die durch eines der Vergleichszeichen < (Kleinerzeichen), ≤ (Kleinergleichzeichen), ≥ (Größergleichzeichen) oder > (Größerzeichen) verbunden sind.

Sind $T_{1}$ und $T_{2}$ zwei Terme, dann ist $T_{1}<T_{2}$ eine Ungleichung. Man spricht „$T_{1}$ kleiner (als) $T_{2}$“. Wie bei einer Gleichung heißt $T_{1}$ die linke Seite und ${T_{2}}$ die rechte Seite der Ungleichung.

---

Formen von Ungleichungen:

Folgende fünf Formen von Ungleichungen sind möglich:

(1) ${T_{1}}<{T_{2}}$ (${T_{1}}$ kleiner ${T_{2}}$)

(2) ${T_{1}}\leq {T_{2}}$ (${T_{1}}$ kleiner oder gleich ${T_{2}}$)

(3) ${T_{1}}>{T_{2}}$ (${T_{1}}$ größer ${T_{2}}$)

(4) ${T_{1}}\geq {T_{2}}$ (${T_{1}}$ größer oder gleich ${T_{2}}$)

(5) ${T_{1}}\neq {T_{2}}$ (${T_{1}}$ ungleich ${T_{2}}$)

Die Form (5) entsteht durch Negation einer Gleichung. Sie wird daher in der Mathematik in der Regel nicht eigens thematisiert.

Ungleichungen sind Aussageformen. Die auf den beiden Seiten einer Ungleichung vorkommenden funktionalen Terme beinhalten in der Regel Variablen, welche stellvertretend für Elemente aus dem Definitionsbereich der jeweiligen Terme stehen.

---

Umformung von Ungleichungen:

Ähnlich wie bei Gleichungen ist es auch bei Ungleichungen möglich, diese in äquivalente Ungleichungen umzuformen. Äquivalente Ungleichungen haben die gleichen Lösungsmengen, daher ist das Umformen von Ungleichungen wichtig zum Lösen von Ungleichungen, worauf der hierauf folgende Abschnitt eingehen wird.

Im Folgenden werden wichtige Regeln zu äquivalenten Ungleichungen für die Vergleichszeichen < und > und für Terme im Körper der reellen Zahlen dargestellt. Diese Äquivalenzumformungsregeln gelten analog auch für die Vergleichszeichen ≤, ≥ und ≠.

---

Umkehrbarkeit:

Ungleichungen können umgekehrt werden:

$({T_{1}}\leq {}{T_{2}})\Leftrightarrow ({T_{2}}\geq {}{T_{1}})\,.$

---

Addition und Subtraktion auf beiden Seiten einer Ungleichung:

Für beliebige reellwertige Terme $T_{1}$, $T_{2}$, $T_{3}$ und $T_{4}$ gilt:

• Es ist $T_{1}<T_{2}$ genau dann, wenn $T_{1}+T_{3}<T_{2}+T_{3}$.
• Es ist $T_{1}<T_{2}$ genau dann, wenn $T_{1}-T_{3}<T_{2}-T_{3}$.

Es dürfen also auf beiden Seiten einer Ungleichung die gleichen Terme addiert oder subtrahiert werden, ohne dass sich die Lösungsmenge der Ungleichung ändert. Beispielsweise vereinfacht sich die Ungleichung $5x<4x+7$ durch Subtraktion des Terms $4x$ auf beiden Seiten zu der äquivalenten Ungleichung $x<7$.

BM2040

Multiplikation und Division auf beiden Seiten einer Ungleichung

---

Bei Punktrechnung mit einer Zahl > 0 bleiben die Vergleichszeichen erhalten, während sie sich bei Punktrechnung mit einer Zahl < 0 umkehren.

---

WICHTIG: Bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl wird das Vergleichszeichen umgedreht. (WICHTIG!)

Beispiele:

Bild 1

Bild 2

Bild 3

$-x<3\;|\;\cdot (-1)$

$x>-3$

---

$-{\tfrac {x}{3}}>-{\tfrac {4}{3}}\;|\;\cdot (-3)$

$x<4$

---

$4<5\;|\;\cdot (-1)$

$-4>-5$

---

Durch die Multiplikation mit einer negativen Zahl drehen sich die folgenden Vergleichsoperatoren $(<;\leq ;>;\geq )$ um.

Bei der Multiplikation mit einer positiven Zahl dreht sich der Vergleichsoperator NICHT um.

Für die Divison gilt dasselbe:

Bei der Division durch eine negative Zahl dreht sich der Vergleichsoperator um $(<;\leq ;>;\geq )$.

Bei der Division durch eine positive Zahl dreht sich der Vergleichsoperator NICHT um.

---

Eigentlich ist ja die Division durch eine Zahl $a$ nichts anderes als eine Multiplikation mit dem Kehrwert (das Reziproke; der reziproke Wert) von $a$ $({\tfrac {1}{a}})$.

---

$a<b\;|\;\cdot (-1)$

$-a>-b$

---

$-a\leq b\;|\;\cdot (-1)$

$a\geq -b$

---

$a>-b\;|\;\cdot (-1)$

$-a<b$

---

$-a\geq -b\;|\;\cdot (-1)$

$a\leq b$

---

$-3x<12$

$x>-4$

Die Ungleichungen $-3x<12$ und $x>-4$ sind äquivalent, wie man mit Hilfe von Division durch $-3$ sieht.

BM2041 - BM2050

BM2041

Lösen von Ungleichungen

---

Eine Frage beim Umgang mit Ungleichungen ist - ähnlich wie bei der Lösung von Gleichungen - die Frage nach der Lösungsmenge der Ungleichung. Hier ist die Frage zu beantworten, ob und wenn ja welche Elemente der Definitionsbereiche beim Einsetzen in die beiden Terme eine wahre oder falsche Aussage liefern. Eine wichtige Technik zum Finden der Lösungsmenge ist das Umformen der Ungleichung in eine einfachere Form.

---

Beim Lösen von Ungleichungen versucht man, eine unübersichtliche Ungleichung so weit zu vereinfachen, dass sich einfache Aussagen etwa der Form x>5 bilden, die unmittelbar zu verstehen sind oder die sich an der Zahlengeraden veranschaulichen lassen. Im Prinzip gelten hier die gleichen Grundregeln wie für das Lösen von Gleichungen. Allerdings erfordert die Asymmetrie der Vergleichszeichen $<,\leq ,\geq ,>$ darüber hinaus ein besonderes Augenmerk auf die Vorzeichen der Umformungen.

BM2042

Bruchungleichungen

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Für das Lösen von Bruchungleichungen ergeben sich neue Aspekte nur, wenn die gesuchte Größe x auch in mindestens einem der Nenner erscheint. Durch beidseitiges Multiplizieren der Gleichung mit den Nennern und anschließendes Ausmultiplizieren wird die Bruchungleichung in eine Ungleichung aus zwei Polynomen überführt.

Beim Multiplizieren mit den Nennern ist vorher zu bestimmen, für welche Werte von x sie einen negativen Wert annehmen, da sich dann ja durch die Multiplikation das Vergleichszeichen umkehrt. Gibt es einen Bereich von x, in dem beide Nenner negativ sind, so wird das Vergleichszeichen zweimal umkehrt, was sich gegenseitig aufhebt. Diese Vorabklärung wird als Fallunterscheidung bezeichnet.

Als Beispiel soll die Ungleichung

${\frac {x-1{,}6}{x+0{,}2}}<{\frac {0{,}2-x}{x+0{,}6}}$

betrachtet werden.

Wie leicht ersichtlich ist, wird jeweils ein Nenner gleich Null, wenn entweder x=−0,2 oder x=−0,6. Für diese Werte von x ist die Ungleichung nicht definiert (Division durch Null).

Ist dagegen x kleiner als −0,6 (x<−0,6), so sind beide Nenner negativ; für x>−0,2 sind beide positiv. Dann findet keine Umkehr des Vergleichszeichens statt und es ergibt sich durch Multiplikation der Ungleichung mit den Nennern:

(x−1,6)·(x+0,6) < (0,2−x)·(x+0,2).

Sonst (x liegt zwischen −0,6 und −0,2) wird nur der linke Nenner negativ. In diesem Fall ergibt sich aus der Multiplikation und nachfolgenden Äquivalenzumformungen:

(x−1,6)·(x+0,6)	> (0,2−x)·(x+0,2)		ausmultiplizieren!
x²−1x−0,96	> 0,04 − x²		+x² −0,04
2x²−1x−1	> 0		÷2
x²−0,5x−0,5	> 0

Dies ist die quadratische Ungleichung, die bereits zuvor gelöst wurde. Ihre Lösung wäre der blaue Bereich der Abbildung. Da diese Rechnung allerdings nur für den Bereich zwischen −0,6 und −0,2 gilt (s.o.), bleiben vom blauen Bereich nur Werte zwischen −0,6 und −0,5 übrig.

Zuletzt müssen wir noch die Fälle x<−0,6 und x>−0,2, für die sich das Vergleichszeichen nicht umkehrt. Lösung der erzeugten quadratischen Ungleichung wäre dann der rote Bereich der Abbildung.

Da diese Rechnung allerdings nicht für den Bereich zwischen −0,6 und −0,2 gilt, ergibt sich als Lösungsbereich der Ungleichung nur die Werte zwischen −0,2 und +1.

Fazit: Die Ungleichung ist erfüllt für −0,6<x<−0,5 und für −0,2<x<+1.

BM2043

Rechne!

---

a) $0{,}4x-2{,}8<1{,}6$

b) $3x+4<7$

c) $2x-5>2$

d) $0{,}5x+1{,}4<-2{,}3$

e) ${\tfrac {7}{x}}<5$

---

f) ${\tfrac {x}{2}}+1<{\tfrac {1}{3}}$

g) $x-2>1$

h) $2x<1$

i) $2x+5<-1$

j) ${\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{4}}>-{\tfrac {1}{3}}$

Lösung BM2043
a) $0{,}4x-2{,}8<1{,}6$; $x<11$ b) $3x+4<7$; $x<1$ c) $2x-5>2$; $x>3{,}5$ d) $0{,}5x+1{,}4<-2{,}3$; $x<-7{,}4$ e) ${\tfrac {7}{x}}<5$; $x>{\tfrac {7}{5}}$ --- f) ${\tfrac {x}{2}}+1<{\tfrac {1}{3}}$; $x<-{\tfrac {4}{3}}$ g) $x-2>1$; $x>3$ h) $2x<1$; $x<{\tfrac {1}{2}}$ i) $2x+5<-1$; $x<-3$ j) ${\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{4}}>-{\tfrac {1}{3}}$; $x>-{\tfrac {1}{6}}$

BM2044

Ungleichungen

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Ungleichungen kann man als spezielle Intervalle betrachten, welche in mindestens einer Richtung keine Grenze haben, also bis ins Unendliche offen sind.

Bei Ungleichungen handelt es sich um vergleichende Aussagen im Gegensatz zu gleichsetzenden Aussagen bei Gleichungen.

---

Arten der Ungleichungen:

Es gibt einige Ungleichungszeichen, welche unterschiedliche Verhältnisse der beiden zu vergleichenden Größen beschreiben. Die auftretenden Zeichen sind:

• < bzw. > als Zeichen für kleiner als bzw. größer als
• ≤ bzw. ≥ als Zeichen für kleiner gleich bzw. größer als
• ≠ bedeutet ungleich, es kann also sowohl größer als auch kleiner sein.

Darüber hinaus gibt es außerdem die seltener benutzten Zeichen:

• ⋙ bzw. ⋘ für "sehr viel größer bzw. kleiner als
• ⋚ und ⋛ für entweder kleiner, gleich oder größer als (keine EInschränkung)

---

Rechenregeln:

Insgesamt sind die Ungleichungszeichen ähnlich zu behandeln wie Gleichungszeichen, haben aber einige Besonderheiten zu beachten.

---

Allgemeine Regeln:

Ungleichungen kann man, ebenso wie Gleichungen, einfach umdrehen, muss das Relationszeichen jedoch mitnehmen!

$A\cdot B\leq C$ entspricht $C\geq B\cdot A$

---

Subtraktion und Addition:

bei der Subtraktion und Addition müssen keine Regeln extra bedacht werden; es gelten die selben Regeln wie bei Gleichungen.

---

negative Division und Multiplikation:

man stelle sich vor, wir haben eine Ungleichung wie diese:

$A\cdot B\leq C$

Sie ist leicht zu überschauen und sagt lediglich aus, dass A und B zusammen kleiner als C sind. Wenn man jetzt A in Abhängigkeit der anderen Größen erfassen wollen, rechne man auf beiden Seiten „$:B$“:

$A\cdot B\leq C\;|\;:B$

Jetzt würde man vielleicht meinen das ist einfach „$A<{\tfrac {C}{B}}$“. Stellt man sich aber vor, $B<0$ sei und überdenkt man die Gleichung: Das kann nicht hinkommen, man müsste das Relationszeichen umdrehen, sodass das Ergebnis wäre:

$A<{\tfrac {C}{B}}$ wenn $B>0$

$A>{\tfrac {C}{B}}$ wenn $B<0$

Kann B auch im weiteren Verlauf nicht genauer benannt werden, so sind beide (und nur beide) Ergebnisse richtig.

Wir sehen also:

• teilt man durch negative Zahlen oder multipliziert mit ihnen, dreht sich das Relationszeichen um. Sind die entsprechenden Zahlen positiv, verändert sich nichts.

BM2045

Gleichungen mit Beträgen

---

Gleichungen in denen die Variablen zwischen Betragsstrichen auftreten.

Da immer zwei rationale Zahlen dieselbe positive Zahl als Betrag haben, werden solche Gleichungen zwei Lösungen haben.

1. Beispiel:

$|x|=3$

Um diese Gleichung zu lösen, muss man die Zahlen finden, die den Betag $3$ haben. Das sind die Zahlen $3$ und $-3$. Der gegebenen Gleichung sind also die beiden folgenden Gleichungen äquivalent:

$x=3$ und $-x=3$, d. h. $x=-3$.

Für $|x|=3$ ist also $L={3;-3}$

---

$|x-{\tfrac {3}{2}}|=0{,}7$

Wir erhalten die Gleichungen

a) $+(x-{\tfrac {3}{2}})=0{,}7$ und

b) $-(x-{\tfrac {3}{2}})=0{,}7$

---

a) Wir lösen Gleichung a) auf:

$+(x-{\tfrac {3}{2}})=0{,}7$

$x-1{,}5=0{,}7$

$x=0{,}7+1{,}5$

$x=2{,}2$

---

b) Wir lösen Gleichung b) auf:

$-(x-{\tfrac {3}{2}})=0{,}7$

$x-1{,}5=-0{,}7$

$x=-0{,}7+1{,}5$

$x=0{,}8$

---

Also $L=\{2{,}2;0{,}8\}$ für $|x-{\tfrac {3}{2}}|=0{,}7$.

---

2. Beispiel:

$|x|+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {5}{6}}$

$|x|={\tfrac {5}{6}}-{\tfrac {3}{4}}$

$|x|={\tfrac {10}{12}}-{\tfrac {9}{12}}$

$|x|={\tfrac {10-9}{12}}$

$|x|={\tfrac {1}{12}}$

$x={\tfrac {1}{12}}$ und $x=-{\tfrac {1}{12}}$

Also $L=\{{\tfrac {1}{12}};-{\tfrac {1}{12}}\}$ für $|x|+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {5}{6}}$.

---

3. Beispiel:

$8-|x|=12$

$-|x|=12-8$

$-|x|=4$

$|x|=-4$

Diese Gleichung hat keine Lösung, da der Betrag einer rationalen Zahl stets positiv oder mindestens gleich Null ist.

Also $L=\{\;\;\}$ für $8-|x|=12$.

BM2046

Rechne!

---

a) $|x|=4{,}5$

b) $|2x+4|=4$

c) $|2+x|=4$

d) $|x+{\tfrac {1}{2}}|=0$

e) $|{\tfrac {x}{2}}|+2={\tfrac {9}{4}}$

---

f) $|3x+2|=-4$

g) $|x|-2=-3$

h) $|{\tfrac {3}{x}}-2|=-4$

i) ${\tfrac {2}{3}}-|x|={\tfrac {3}{5}}$

j) $|x-3|=5$

Lösung BM2046

a) $|x|=4{,}5$; $L=\{-4{,}5;4{,}5\}$ b) $|2x+4|=4$; $L=\{-4;0\}$ c) $|2+x|=4$; $L=\{-2;2\}$ d) $|x+{\tfrac {1}{2}}|=0$; $L=\{-{\tfrac {1}{2}}\}$ e) $|{\tfrac {x}{2}}|+2={\tfrac {9}{4}}$; $L=\{-{\tfrac {1}{4}};{\tfrac {1}{4}}\}$ --- f) $|3x+2|=-4$; $L=\{-2;{\tfrac {2}{3}}\}$ g) $|x|-2=-3$; $L=\{-1;1\}$ h) $|{\tfrac {3}{x}}-2|=-4$; $L=\{-1;{\tfrac {1}{3}}\}$ i) ${\tfrac {2}{3}}-|x|={\tfrac {3}{5}}$; $L=\{-{\tfrac {2}{3}};{\tfrac {2}{3}}\}$ j) $|x-3|=5$; $L=\{-2;8\}$

BM2047

Rechne!

---

a) $|x|+4=1$

b) $|{\tfrac {x}{2}}-1|+2=5$

c) $|x+{\tfrac {1}{5}}|={\tfrac {2}{7}}$

d) $-|x|-{\tfrac {3}{2}}=-{\tfrac {2}{3}}$

---

e) $|x|-2=5$

f) $|x|-3=7$

g) $|x|=2{,}3$

h) $|2x-3|=-5$

Lösung BM2047
a) $|x|+4=1$; $L=\{-3;3\}$ b) $|{\tfrac {x}{2}}-1|+2=5$; $L=\{-4;8\}$ c) $|x+{\tfrac {1}{5}}|={\tfrac {2}{7}}$; $L=\{-{\tfrac {17}{35}};{\tfrac {3}{35}}\}$ d) $-|x|-{\tfrac {3}{2}}=-{\tfrac {2}{3}}$; $L=\{-{\tfrac {5}{6}};{\tfrac {5}{6}}\}$ --- e) $|x|-2=5$; $L=\{-7;7\}$ f) $|x|-3=7$; $L=\{-10;10\}$ g) $|x|=2{,}3$; $L=\{-2{,}3;2{,}3\}$ h) $|2x-3|=-5$; $L=\{-1;4\}$

BM2048

Bild 1

Welche Fläche hat diese Blumenwiese?

1. Lösung BM2048

Die Gesamtfläche der 4 Quadrate ist $4\cdot 30m\cdot 30m=3.600m^{2}$ Wir haben in der oberen Hälfte 2 Kreissektoren. Der Kreis hat den Radius 30 m. Wir wollen die Aufgabe aber ganz allgemein lösen und deshalb mit „r“ für Radius rechnen. Den konkreten Wert „30 m“ werden wir erst zum Schluss einsetzen und ausrechnen. So kann man die Lösung auch verwenden, wenn ein anderer Zahlenwert für den Radius gegeben ist. Die Kreisfläche berechnet sich nach der Formel $A=\pi \cdot r^{2}$. Den Wert für Pi (3,141...) werden wir auch erst am Ende der Rechnung einsetzen. Wer wieder mal die Formel zur Berechnung der Kreisfläche vergessen hat, merke sich bitte, dass $A=4\cdot r^{2}$ etwas zu groß ist, denn das ist die Fläche des umschreibenden Quadrates. Stattdessen wäre $A=3\cdot r^{2}$ ein etwas besserer Näherungswert, der schon dicht an $A=3,141\cdot r^{2}$ rankommt. Würde der Kreis alle 4 Quadraten umfassen, dann hätte er eine Fläche von $\pi \cdot r^{2}$. --- Bild 1 Wir betrachten zuerst die beiden oberen Quadrate, da dort die Berechnung der Kreissegmente etwas einfacher ist. In den beiden oberen Quadraten haben wir einen halben Kreis, also $A_{o}=\pi \cdot r^{2}\cdot {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {\pi \cdot r^{2}}{2}}$ ($A_{o}=$ = Fläche oben) Nun betrachten wir die beiden unteren Quadrate. Hier rechnen wir einfach die weiße Fläche der beiden unteren Quadrate aus. Diese ziehen wir von der Fläche von zwei vollen Quadraten ab und erhalten die Fläche der grünen Blumenwiese für die beiden unteren Quadrate. Auch die beiden unteren weißen Kreissektoren kann man ganz einfach wie bereits oben geschehen berechnen mit $A_{w}=\pi \cdot r^{2}\cdot {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {\pi \cdot r^{2}}{2}}$ Die beiden unteren Quadrate haben eine Gesamtfläche von $A_{q}=2\cdot r^{2}$. Die grüne Fläche der beiden unteren Quadrate berechnet sich nun aus der Differenz $A_{u}=A_{q}-A_{w}$ ($A_{u}$ = untere grüne Fläche; $A_{q}$ = beide unteren Quadrate; $A_{w}$ = weiße Fläche in den unteren Quadraten.) Nun setzen wir in $A_{u}=A_{q}-A_{w}$ ein: $A_{u}=(2\cdot r^{2})-({\tfrac {\pi \cdot r^{2}}{2}})=({\tfrac {2\cdot 2\cdot r^{2}}{2}})-({\tfrac {\pi \cdot r^{2}}{2}})={\tfrac {(4\cdot r^{2})-(\pi \cdot r^{2})}{2}}$ --- Bild 1 Zum Schluss addieren wir die grüne Fläche der beiden oberen Quadrate mit der der unteren Quadrate. $A=A_{o}+A_{u}$ $A={\tfrac {\pi \cdot r^{2}}{2}}+{\tfrac {(4\cdot r^{2})-(\pi \cdot r^{2})}{2}}$ $A={\tfrac {(\pi \cdot r^{2})+(4\cdot r^{2})-(\pi \cdot r^{2})}{2}}$ $A={\tfrac {4\cdot r^{2}}{2}}$ $A=2\cdot r^{2}$ $A=2\cdot 30^{2}$ $A=2\cdot 900$ $A=1.800m^{2}$ Die Blumenwiese hat eine Fläche von 1.800 m2. --- Die Lösung kann viel einfacher sein. Kommst du drauf?

2. Lösung BM2048
Bild 1 Die grüne Fläche der beiden unteren Quadrate ist genau so groß, wie die weiße Fläche der beiden oberen Quadrate. Die Flächen ergänzen sich zu genau zwei vollen Quadraten. $A=2\cdot 30m\cdot 30m$ $A=1.800m^{2}$ --- Aber warum einfach, wenn es kompliziert geht?

BM2049

Bild 1

Wir haben zwei Karten. Eine ist leer und die andere trägt den Buchstaben „K“.

Wir wollen prüfen, ob die folgende Aussage wahr ist:

„Wenn eine Karte eine Nummer trägt, dann ist sie auf der anderen Seite leer.“

---

Welche Karte muss man umdrehen? Oder braucht man gar keine Karte umzudrehen?

1. Lösung BM2049
Die Karte mit dem „K“. --- Warum?

2. Lösung BM2049

Erklärung: Betrachten wir zunächst die leere Karte: Es ist egal, ob sie auf der Rückseite eine Nummer trägt, denn die Aussage ist in beiden Fällen wahr. (Fall 1: Sie trägt eine Nummer: Fall 2: Sie trägt keine Nummer. Auch dann ist die Aussage wahr, denn sie bezieht sich nur auf den Fall, 'falls sie eine Nummer trägt. Für den Fall, dass sie keine Nummer trägt wird keine Aussage gemacht. Es kann also auch keine Aussage fasch sein.) Es ist also schlicht überflüssig die leere Karte auf der Rückseite zu kontrollieren, um den Wahrheitsgehalt der Aussage - hinsichtlich der leeren Karte - zu prüfen. --- Betrachten wir nur die Karte mit dem „K“. Diese Karte müssen wir auf der Rückseite prüfen, denn die Aussage wäre falsch, wenn die Karte auf der Rückseite eine Zahl tragen würde. --- Wir müssen also die Karte mit dem „K“ umdrehen, um den Wahrheitsgehalt der Aussage zu überprüfen.

BM2050

Die Menschen auf einer Feier kann man in zwei Gruppen aufteilen:

a) Diejenigen, die Alkohol trinken.

b) Diejenigen, die keinen Alkohol trinken.

Der Sicherheitsdienst soll folgendes sicherstellen:

„Personen unter 18 Jahren dürfen keinen Alkohol trinken.“

Bei welcher Gruppe sollte das Alter überprüft werden.

Lösung BM2050
Die Leute, die Alkohol trinken sollten überprüft werden. Einfach und logisch. Diese Aufgabe ist eine Analogie zur vorhergehenden Aufgabe mit dem Kartenwenden. Die leere Karte entspricht den Leuten, die keinen Alkohol trinken. Diese Karten und Leute braucht man nicht kontrollieren, weil sie uninteressant sind, denn für diese Karten/Leute liegt keine Aussage/Auftrag vor.

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