Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 090b

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Lección 090

Mathematik auf Deutsch - 40

BM1951 - BM1960

BM1951

Welche Zahlenmengen kennst Du?

Lösung BM1951

Einige der grundlegenden Zahlenmengen werden häufig durch Buchstaben mit Doppelstrich bezeichnet. 1.) Natürliche Zahlen $\mathbb {N}$ 1a) Natürliche Zahlen ohne Null Oft werden die natürlichen Zahlen ohne die Null gerechnet. Die Menge der natürlichen Zahlen umfasst dann die positiven ganzen Zahlen: $\mathbb {N} _{+}=\{1;2;3;\ldots \}$ 1b) Natürliche Zahlen mit Null Die Menge der natürlichen Zahlen mit Null umfasst die nicht negativen ganzen Zahlen: $\mathbb {N} _{0}=\{0;1;2;3;\ldots \}$ Für die Menge der natürlichen Zahlen mit Null wird auch das Symbol $\mathbb {N} _{0}:=\mathbb {N} \cup \{0\}$ verwendet. --- Wenn das Symbol $\mathbb {N}$ für die natürlichen Zahlen mit Null verwendet wird, dann wird die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null mit $\mathbb {N} _{+}$ bezeichnet. Letztlich ist es eine Frage der Definition, welche der beiden Mengen man als natürlicher ansieht. --- 2.) Negative ganze Zahlen $\{-1;-2;-3;\ldots \}$ --- 3.) Ganze Zahlen $\mathbb {Z}$ Die ganzen Zahlen umfassen alle natürlichen Zahlen, alle negativen ganzen Zahlen und die Null. $\mathbb {Z} =\{\ldots -3;-2;-1;0;1;2;3;\ldots \}$ --- 4.) Rationale Zahlen $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q} =\left\{\dots ,-{\tfrac {2}{1}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{1}},0,{\tfrac {1}{1}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{1}},{\tfrac {1}{3}},\dots \right\}$ $\mathbb {Q} =\left.\left\{{\tfrac {p}{q}}\right|p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} \setminus \{0\}\right\}$ Zahlenbereich Symbol natürliche Zahlen $\mathbb {N}$ ganze Zahlen $\mathbb {Z}$ rationale Zahlen $\mathbb {Q}$ reelle Zahlen $\mathbb {R}$ komplexe Zahlen $\mathbb {C}$

BM1952

Ganze Zahlen $\mathbb {Z}$

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Die ganzen Zahlen (auch Ganzzahlen, lat. numeri integri) sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen.

Die ganzen Zahlen umfassen alle Zahlen

..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...

und enthalten damit alle natürlichen Zahlen sowie deren negatives Gegenstück. Die Menge der ganzen Zahlen wird meist mit dem Buchstaben mit Doppelstrich $\mathbb {Z}$ bezeichnet (das „Z“ steht für das deutsche Wort „Zahlen“).

Die obige Aufzählung der ganzen Zahlen gibt auch gleichzeitig in aufsteigender Folge deren natürliche Anordnung wieder. Die Zahlentheorie ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Eigenschaften der ganzen Zahlen beschäftigt.

Die ganzen Zahlen werden im Mathematikunterricht üblicherweise in der fünften bis siebten Klasse eingeführt.

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Ganze Zahlen können ohne Einschränkung addiert, subtrahiert und multipliziert werden. Dabei gelten Rechenregeln wie das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz für Addition und Multiplikation, außerdem gelten die Distributivgesetze.

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Erkläre das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz.

Lösung BM1952
Kommutativgesetz: Für ganze Zahlen $a,b\in \mathbb {Z}$ gilt stets $a+b=b+a$ und $a\cdot b=b\cdot a$, --- Assoziativgesetz: $a\cdot \left(b\cdot c\right)=\left(a\cdot b\right)\cdot c$ --- Distributivgesetz: $a\cdot \left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c=(a+b)\cdot c$ $a\cdot \left(b-c\right)=a\cdot b-a\cdot c=(a-b)\cdot c$

BM1953

Das Vorzeichen einer Zahl ist Plus (+) oder Minus (-)

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Ein Vorzeichen ist ein Zeichen, das einer reellen Zahl vorangestellt wird, um sie als positiv oder negativ auszuweisen. Eine negative Zahl wird immer mit dem Minuszeichen versehen, während einer positiven Zahl ein Pluszeichen optional vorangestellt werden kann. Die Zahl Null wird meist als vorzeichenlos angesehen, bei der Zahldarstellung im Computer wird jedoch manchmal auch eine vorzeichenbehaftete Null verwendet.

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Streng genommen muss das Vorzeichen vom mathematischen Operator für Addition (binäres Plus) oder Subtraktion (binäres Minus) unterschieden werden.

Es gibt Programmiersprachen, die für Vorzeichen und Operatorzeichen unterschiedliche Zeichen verwenden.

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Plus- und Minuszeichen:

In der Arithmetik wird das Vorzeichen einer Zahl (genauer: einer reellen Zahlkonstanten) durch ein vorangestelltes Plus- oder ein Minuszeichen angezeigt. Hierbei werden dieselben Zeichen verwendet wie für die Addition und die Subtraktion zweier Zahlen. Das Vorzeichen wird dabei ohne Leerraum direkt an die erste Ziffer angeschlossen. Beispielsweise bezeichnen

$+3$   und   $-3$

Wird kein Vorzeichen angegeben, wird die Zahlkonstante als nicht-negativ angesehen.

Das Minuszeichen wird zur „Vorzeichenumkehr“ verwendet, wodurch die jeweilige Gegenzahl erhalten wird. Beispielsweise gilt

$-(-x)=x$

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Durch die Betragsfunktion wird das Vorzeichen einer negativen Zahl umgekehrt, während eine positive Zahl unverändert bleibt. Zum Beispiel sind

$|{-3}|=+3$   und   $|{+3}|=+3$.

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Vorzeichen von Richtungen:

In der Geometrie und in der Physik werden oft bestimmte Richtungen als positiv oder negativ ausgezeichnet. Als grundlegendes Beispiel wird die Zahlengerade üblicherweise mit den positiven Zahlen auf der rechten und den negativen Zahlen auf der linken Seite gezeichnet:

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In einem kartesischen Koordinatensystem werden die Richtungen nach rechts und oben üblicherweise als positiv angesehen, wobei die Richtung nach rechts der positiven x-Achse und die Richtung nach oben der positiven y-Achse entspricht.

BM1954

Positive und negative Zahlen

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In positive und negative Zahlen werden in der Mathematik die rationale Zahlen ohne die Null ($\mathbb {R} \backslash \{0\}$) unterschieden. Eine Zahl, die größer als Null ist, wie beispielsweise 3, nennt man positiv; ist sie kleiner als Null wie beispielsweise −3, nennt man sie negativ. Positive Zahlen tragen ein Pluszeichen (+) und negative Zahlen ein Minuszeichen (−) als Vorzeichen. Das Pluszeichen wird beim Notieren der Zahl normalerweise weggelassen. Die Zahl Null ist weder positiv noch negativ.

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Darstellung:

Positive Zahlen werden ohne Vorzeichen oder mit einem Pluszeichen, negative Zahlen mit einem Minuszeichen gekennzeichnet. Das Vorzeichen wird ohne Leerraum direkt an die erste Ziffer angeschlossen. Speziell im Finanzbereich werden negative Zahlen alternativ in Klammern geschrieben.

Auf der Zahlengeraden ist der Bereich der positiven Zahlen spiegelsymmetrisch zum Bereich der negativen Zahlen. Der Abstand einer Zahl a zur 0 ist gleich dem Abstand der 0 zur Zahl −a und wird Betrag der Zahl genannt.

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Gegenzahl:

Die Zahl −a heißt Gegenzahl zu a; a ist umgekehrt Gegenzahl zu −a. 0 ist seine eigene Gegenzahl.

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Betrag:

Der Betrag einer Zahl ist gleich dem Abstand der Zahl zur Zahl 0. Der Betrag einer Zahl a ist gleich dem Betrag ihrer Gegenzahl −a.

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Natürliche Zahlen:

Der Begriff „positive“ bzw. „negative Zahl“ kann auf die ganzen Zahlen (eingebettet in die reellen Zahlen) übertragen werden. Die natürlichen Zahlen sind die positiven (oder bei entsprechender Definition die nichtnegativen) ganzen Zahlen. Hierbei hat sich die Schreibweise $\mathbb {N}$ (nur positive ganze Zahlen) bzw. $\mathbb {N} _{0}$ (nichtnegative ganze Zahlen) eingebürgert. Nichtnegativ meint lediglich, dass auch die Null in dieser Menge betrachtet wird.

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Praktische Verwendung:

In manchen Bereichen haben sich besondere Begrifflichkeiten etabliert, durch die die Verwendung negativer Zahlen vermieden wird. So spricht man z. B. von „Schulden“ anstelle von „negativem Guthaben“ oder „Bremsen“ anstelle von „negativer Beschleunigung“. Auf der anderen Seite haben sich an manchen Stellen Skalen mit positiven und negativen Zahlen etabliert, wo negative Zahlen gar nicht erforderlich wären, wie etwa bei der Temperaturmessung (Celsius- und die Fahrenheitskala anstelle der Kelvinskala).

BM1955

Minus mal Minus gleich Plus

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Wenn man zwei negative oder zwei positive Zahlen miteinander multipliziert, erhält man stets eine positive Zahl. Multipliziert man hingegen eine positive mit einer negativen Zahl, so ist das Ergebnis stets negativ.

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$(-1)\cdot (-1)=1$

Warum ist Minus mal Minus gleich Plus?

Dafür braucht man keine Erklärung, denn das ist einfach eine DEFINITION.

Einverstanden.

Aber warum wurde das so definiert?

Damit man leichter rechnen kann.

Als Folge einer solchen Definition gilt beispielsweise das Distributivgesetz.

[ Distributivgesetz: $a\cdot \left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c=(a+b)\cdot c$ ]

Sind a und b positive rationale Zahlen, so ist $(a+(-a))\cdot (-b)=0$.

Stimmt das? Warum? Erkläre das!

1. Lösung BM1955
$a-a=0$ $0\cdot a=0$ $0\cdot -b=0$ $(a+(-a))\cdot (-b)=0$

Also beginnen wir noch mal mit der Erklärung:

Sind a und b positive rationale Zahlen, so ist $(a+(-a))\cdot (-b)=0$.

Will man nun hier das Distributivgesetz anwenden, muss man sich damit beschäftigen, wie man sinnvoll die Multiplikation zweier negativer Zahlen definiert.

$(-a)\cdot (-b)$ sollte ja dann so definiert werden, dass $a\cdot (-b)+(-a)\cdot (-b)=0$ gilt und daraus sieht man sofort,

dass man $(-a)\cdot (-b)$ als $a\cdot b$ definieren sollte.

---

Warum soll $a\cdot (-b)+(-a)\cdot (-b)=0$ gelten?

2. Lösung BM1955
Das Distributivgesetz lautet: $(a+b)\cdot c=a\cdot b+a\cdot c$ Das Distributivgesetz wenden wir nun an auf $(a+(-a))\cdot (-b)=0$ und so erhalten wir $a\cdot (-b)+(-a)\cdot (-b)=0$.

und warum folgt aus

$a\cdot (-b)+(-a)\cdot (-b)=0$,

dass man $(-a)\cdot (-b)$ als $a\cdot b$ definieren sollte?

3. Lösung BM1955

Weil man dann statt $a\cdot (-b)+(-a)\cdot (-b)$ (Zeile 1) auch schreiben könnte $-(a\cdot b)+(a\cdot b)$ (Zeile 2) oder auch $(a\cdot b)-(a\cdot b)$. Und nun ist ja auch für einen Blinden mit Krückstock ersichtlich, dass $(a\cdot b)-(a\cdot b)$ gleich Null ist. Das geht aber nur, wenn man den Schritt von Zeile 1 zu Zeile 2 machen kann. --- Was wäre denn die einzige Alternative, wenn man NICHT $(-1)\cdot (-1)=1$ definiert? Dann könnte man nur das Gegenteil für die Definition nehmen: $(-1)\cdot (-1)=-1$. Dann aber funktioniert der Übergang von Zeile 1 zu Teile 2 nicht und das Distributivgesetz könnte nicht angewendet werden.

BM1956

$(+)\cdot (+)=+$

$(+)\cdot (-)=-$

$(-)\cdot (+)=-$

$(-)\cdot (-)=+$

---

$(+1)\cdot (-1)=-1$

$1\cdot (-1)=-1$

$(-1)\cdot 1=-1$

$-1\cdot 1=-1$

---

Beispiel:

Er hat bei 5 Banken jeweils 1.000 EUR Schulden.

Wie viel Schulden hat er insgesamt?

$5\cdot (-1.000)=-5.000$

Er hat 5.000 EUR Schulden.

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$(+3)\cdot (-2)=-6$

$(+4)\cdot (+5)=+20$

$(-3)\cdot (+5)=-15$

$(-30)\cdot (-3)=-90$

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Setze die folgenden Sätze korrekt fort!

a) Plus mal Plus gleich ...

b) Plus mal Minus gleich ...

c) Minus mal Plus gleich ...

d) Minus mal Minus gleich ...

---

e) Plus mal Null gleich ...

f) Minus mal Null gleich ...

g) Null mal Plus gleich ...

h) Null mal Minus gleich ...

Lösung BM1956
a) Plus mal Plus gleich Plus. b) Plus mal Minus gleich Minus. c) Minus mal Plus gleich Minus. d) Minus mal Minus gleich Plus. --- e) Plus mal Null gleich Null. f) Minus mal Null gleich Null. g) Null mal Plus gleich Null. h) Null mal Minus gleich Null.

BM1957

Beliebte Fehler

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$2\cdot (-3)=6$, weil $2\cdot 3=6$ und das Minus 2x ergibt Plus. Also Plus 6. Das ist natürlich falsch.

Besser ist also, wenn man sich eine vorgegebenen Gleichungen mit so viel wie möglich Klammern ergänzt. Bei bedarf kann man auch Pluszeichen dazuschreiben, wenn die Zahl kein Vorzeichen hat.

Also wird aus $2\cdot (-3)$ das nicht so fehlerträchtige $(+2)\cdot (-3)$.

Und das ist $(+2)\cdot (-3)=-6$.

Beispiel: Zwei mal Minus 3 Euro Kontostand ergibt Minus 6 Euro Kontostand.

BM1958

Person A gräbt einen Garten in 6 Stunden um.

Person B gräbt den gleichen Garten in 4 Stunden um.

Wie lange dauert es den Garten umzugraben, wenn Person A und B den Garten gemeinsam umgraben?

Lösung BM1958

Person A schafft in einer Stunde ${\tfrac {1}{6}}$ des Gartens umzugraben. Person A schafft in einer Stunde ${\tfrac {1}{4}}$ des Gartens umzugraben. A und B schaffen in einer Stunde zusammen ${\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{4}}$ des Gartens umzugraben. ${\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{4}}={\tfrac {2}{12}}+{\tfrac {3}{12}}={\tfrac {5}{12}}$ A und B schaffen in einer Stunde zusammen ${\tfrac {5}{12}}$ des Gartens umzugraben. In einer Stunde schaffen sie zusammen ${\tfrac {5}{12}}$ der Gesamtfläche, die wir als 100 % oder als 1 betrachten können. ${\tfrac {5}{12}}\cdot t=1$ (Die Zeit wird gewöhnlich mit t abgekürzt. Hier haben wir die Einheit Stunden gewählt.) ${\tfrac {5}{12}}\cdot t=1$ (mal 12; durch 5) $t={\tfrac {1\cdot 12}{5}}$ Sie brauchen ${\tfrac {12}{5}}$ Stunden für die Arbeit. $12:5$ sind 2 Rest 2. Sie brauchen 2 Stunden und ${\tfrac {2}{5}}$ Stunden. Eine Stunde sind 60 Minuten. Wie viel sind ${\tfrac {2}{5}}$ von 60. Überschlag: Etwas weniger als die Hälfte von 60, sagen wir 25. ${\tfrac {2\cdot 60}{5}}=24$ Antwort: Person A und B brauchen 2 Stunden und 24 Minuten, um den Garten gemeinsam umzugraben.

BM1959

Ochsengespann A pflügt ein Feld in 10 Stunden.

Ochsengespann B braucht für das gleiche Feld doppelt so lange.

Das Ochsengespann A pflügt einige Stunden allein an einem Feld. Danach wird auch das Ochsengespann B auf dem Feld mit eingesetzt und nach 4 Stunden in die Arbeit fertig.

Wie lange hatte das Ochsengespann A anfangs allein gepflügt?

1. Lösung BM1959
Ochsengespann A schafft in einer Stunde ${\tfrac {1}{10}}$ des Feldes umzupflügen. Ochsengespann A schafft in einer Stunde ${\tfrac {1}{20}}$ des Feldes. gesucht ist die Zeit x, die das Ochsengespann anfangs allein gearbeitet hat: $x\cdot {\tfrac {1}{10}}+4\cdot ({\tfrac {1}{10}}+{\tfrac {1}{20}})=1$ --- Nach Umformung erhalten wir: $2x+12=20$ --- Was waren die einzelnen Schritt der Umformung?

2. Lösung BM1959

$x\cdot {\tfrac {1}{10}}+4\cdot ({\tfrac {1}{10}}+{\tfrac {1}{20}})=1$ $x\cdot {\tfrac {1}{10}}+4\cdot ({\tfrac {2}{20}}+{\tfrac {1}{20}})=1$ $x\cdot {\tfrac {1}{10}}+4\cdot ({\tfrac {3}{20}})=1$ $x\cdot {\tfrac {1}{10}}+({\tfrac {4\cdot 3}{20}})=1$ $x\cdot {\tfrac {1}{10}}+({\tfrac {12}{20}})=1$ $x\cdot {\tfrac {1}{10}}+({\tfrac {4\cdot 3}{20}})=1$ ${\tfrac {x}{10}}+({\tfrac {12}{20}})=1$ ${\tfrac {2x}{20}}+({\tfrac {12}{20}})=1$ ${\tfrac {2x+12}{20}}=1$ $2x+12=20$ --- Genau das waren die einzelnen Schritte, um auf :$2x+12=20$ zu kommen. Wie rechnen jetzt x aus!

3. Lösung BM1959
$2x+12=20$ $2x=8$ $x=4$ Antwort: Das Ochsengespann A hat anfangs 4 Stunden allein gepflügt.

BM1960

10 Maurer haben in 10 Tagen ${\tfrac {5}{11}}$ der Arbeit geschafft.

Wie viel zusätzliche Maurer werden benötigt, um die Arbeit nach weiteren 6 Tagen fertig zu haben?

(Für diese Aufgabe gehen wir davon aus, dass alle Maurer die gleiche Arbeitsleistung haben.)

1. Lösung BM1960
Ein einzelner Maurer würde an einem Tag ${\tfrac {5}{11}}\cdot {\tfrac {1}{10}}\cdot {\tfrac {1}{10}}$ der gesamten Arbeit schaffen. Rechne den Term aus!

2. Lösung BM1960

${\tfrac {5}{11}}\cdot {\tfrac {1}{10}}\cdot {\tfrac {1}{10}}$ ${\tfrac {5\cdot 1\ cdot1}{11\cdot 10\cdot 10}}$ ${\tfrac {5}{1100}}$ ${\tfrac {1}{220}}$ Ein einzelner Maurer schafft also an einem Tag ${\tfrac {1}{220}}$ der Gesamtarbeit. --- Die Anzahl der zusätzlich benötigten Maurer wollen wir mit x bezeichnen. Wir brauchen also x zusätzliche Maurer, die in 6 Tagen jeder einzelne pro Tag ${\tfrac {1}{220}}$ der Gesamtarbeit schaffen. $x\cdot 6\cdot {\tfrac {1}{220}}$ Außerdem wissen wir, dass schon ${\tfrac {5}{11}}$ der Arbeit fertig sind. Es bleibt als restliche Arbeit noch ${\tfrac {6}{11}}$ zu erledigen. $10+x$ (10 Maurer sind schon auf der Baustelle und x weitere Maurer müssen noch dazu kommen, damit die Arbeit in 6 Tagen fertig wird.) $(10+x)\cdot 6\cdot {\tfrac {1}{220}}={\tfrac {6}{11}}$ --- Wer kann das ausrechnen?

3. Lösung BM1960
$(10+x)\cdot 6\cdot {\tfrac {1}{220}}={\tfrac {6}{11}}$ $(10+x)\cdot 6={\tfrac {6\cdot 220}{11}}$ $(10+x)={\tfrac {6\cdot 220}{11\cdot 6}}$ $(10+x)={\tfrac {220}{11}}$ $(10+x)=20$ $10+x=20$ $x=10$ Antwort: Es werden zusätzlich 10 Maurer benötigt.

BM1961 - BM1970

BM1961

Verlauf der Betragsfunktion auf $\mathbb {Q}$

Betrag

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In der Mathematik ordnet die Betragsfunktion einer reellen oder komplexen Zahl ihren Abstand zur Null zu. Dieser sogenannte absolute Betrag, Absolutbetrag, Absolutwert oder auch schlicht Betrag ist immer eine nichtnegative reelle Zahl. Der Betrag einer Zahl $x$ wird meist mit $|x|$, seltener mit $\operatorname {abs} (x)$, bezeichnet.

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Betrag:

Den absoluten Betrag einer rationalen Zahl erhält man durch Weglassen des Vorzeichens. Auf der Zahlengeraden bedeutet der Betrag den Abstand der gegebenen Zahl von Null.

Für eine rationale Zahl $x$ gilt:

$|x|:={\begin{cases}\ \;\;\;\ x&{\text{fuer }}x\geq 0\\\ -x&{\text{fuer }}x<0\end{cases}}$

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Beispiele:

Folgende Zahlenbeispiele zeigen die Funktionsweise der Betragsfunktion.

$|7|=7$

$|-8|=-(-8)=8$

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Gleichungen mit Absolutbetrag:

Es gilt $|a|=b$ genau dann, wenn $a=b$ oder $a=-b$.

Als Beispiel sind alle Zahlen $x\in \mathbb {R}$ gesucht, welche die Gleichung $|x+3|=5$ erfüllen.

Man rechnet wie folgt:

$|x+3|=5$

$\Leftrightarrow x+3=5{\text{ oder }}x+3=-5$

$\Leftrightarrow x=5-3{\text{ oder }}x=-5-3$

$\Leftrightarrow x=2{\text{ oder }}x=-8$

Die Gleichung besitzt also genau zwei Lösungen für $x$, nämlich 2 und −8.

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Ungleichungen mit Absolutbetrag:

Für Ungleichungen können die folgenden Äquivalenzen verwendet werden:

$|a|\leq b\Leftrightarrow -b\leq a\leq b$

$|a|\geq b\Leftrightarrow a\leq -b{\text{ oder }}b\leq a$

Gesucht seien beispielsweise alle Zahlen $x\in \mathbb {R}$ mit der Eigenschaft $|x-3|\leq 9$.

Dann rechnet man:

$|x-3|\leq 9$

$\Leftrightarrow -9\leq x-3\leq 9$

$\Leftrightarrow -9+3\leq x\leq 9+3$

$\Leftrightarrow -6\leq x\leq 12$

Als Lösung erhält man also alle $x$ aus dem Intervall $[-6,12]$.

BM1962

Betrag

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Der Betrag $|x|$ einer reellen Zahl $x$ ist definiert durch

$|x|=\max(x,-x)={\begin{cases}x&;\,x\geq 0\\-x&;\,x<0\end{cases}}$

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Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null.

Es ist genau dann der Betrag einer Zahl 0, wenn die Zahl selbst 0 ist. Es gilt also

$|x|=0\Leftrightarrow x=0$

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Abstand mit Betrag Null:

Der Abstand zwischen $x$ und $y$ ist genau dann null, wenn $x$ und $y$ identisch sind. Es gilt also

$|x-y|=0\iff x=y$

BM1963

Zahlbereichserweiterung

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In der Mathematik versteht man unter einer Zahl(en)bereichserweiterung die Konstruktion einer neuen Zahlenmenge aus einer gegebenen Zahlenmenge, meist um gewisse algebraische Operationen zu verallgemeinern.

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Die übliche Reihenfolge der Zahlenbereichserweiterung ist, dass die natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen, die ganzen Zahlen zu den rationalen Zahlen, die rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen und die reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen erweitert werden,

BM1964

minus eins

Eine Zahl mit −1 zu multiplizieren ist äquivalent zum Vorzeichenwechsel.

Beispiel:

$(-1)\cdot a=-a$

$(-1)\cdot (-b)=b$

$c\cdot (-1)=-c$

$(-d)\cdot (-1)=d$

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Eine Zahl mit −1 zu multiplizieren ist äquivalent zum Vorzeichenwechsel.

$6-6=0$

$a-a=0$

(Das „- a“ können wir auch durch „$+(-1)\cdot a$“ ersetzen.)

$a+(-1)\cdot a=0$

(Das erste „a“ können wir auch durch „$1\cdot a$“ ersetzen.)

$1\cdot a+(-1)\cdot a=0$

(Wir können das „a“ ausklammern.)

$(1+(-1))\cdot a=0$

$(1-1)\cdot a=0$

$0\cdot a=0$

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Quadrieren von −1

Das Quadrat von −1 (das heißt −1 mal −1) ist gleich 1. In der Folge ist ein Produkt von zwei negativen Zahlen positiv.

$(-1)\cdot (-1)=1$

$(-1)^{2}=1$

BM1965

Die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$, die auf der Zahlengeraden rechts von Null liegen, heißen positive rationale Zahlen.

Die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$, die auf der Zahlengeraden links von Null liegen, heißen negative rationale Zahlen.

Die positiven rationalen Zahlen und die 0 werden als nichtnegative rationale Zahlen bezeichnet.

Die rationalen Zahlen können an einer Zahlengeraden veranschaulicht werden.

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Veranschauliche die folgenden Differenzen durch Streckenabtragung an einer Zahlengeraden!

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a) $5-3$

b) $9-7$

c) $4-2$

d) $3-5$

e) $7-9$

f) $2-4$

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g) Aus $5-3=4-2$ folgt $5+2=3+4$.

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Aus $a-b=c-d$ folgt $a+d=c+b$.

Lösung BM1965
a) 5 - 3 = 2 b) 9 - 7 = 2 c) 4 - 2 = 2 d) 3 - 5 = - 2 e) 7 - 9 = 2 f) 2- 4 = -2 g) 5 - 3 = 4 - 2 5 + 2 = 3 + 4

BM1966

Entgegengesetzte Zahlen

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Rationale Zahlen, die sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden heißen zueinander entgegengesetzt.

Die Zahl Null ist zu sich selber entgegengesetzt, denn $+0=-0$

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Beispiel für entgegengesetzte Zahlen:

$+5$ und $-5$

$+{\tfrac {17}{10}}$ und $-{\tfrac {17}{10}}$

$+13{,}7$ und $-13{,}7$

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Zu jeder rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ gibt es eine eindeutig bestimmte entgegengesetzte Zahl.

Wir bezeichnen die zu einer gegebenen rationalen Zahl „a“ entgegengesetzte Zahl mit „— a“. Dieses Minuszeichen darf nicht nicht mit dem Vorzeichen der rationalen Zahl verwechselt werden. Zur besseren Übersicht setzen wir dabei die gegebene rationale Zahl in Klammern.

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— (+6) = —6; denn —6 ist die zu +6 entgegengesetzte Zahl

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Wir können von der zu „a“ entgegengesetzten Zahl „— a“ erneut die entgegengesetzte Zahl „— (—a)“ bilden.

$-(-a)=a$

Genauso wie „a“ kann auch „—a“ sowohl eine positive als auch eine negative rationale Zahl, als auch Null, sein.

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Wenn wir in „—a“ für „a“ die rationale Zahl $-{\tfrac {3}{2}}$ einsetzen, so erhalten wir

$-(-{\tfrac {3}{2}})=+{\tfrac {3}{2}}$

Also kann „—a“ durchaus eine positive rationale Zahl sein.

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Wenn wir in „—a“ für „a“ die rationale Zahl $+{\tfrac {3}{2}}$ einsetzen, so erhalten wir

$-(+{\tfrac {3}{2}})=-{\tfrac {3}{2}}$

BM1967

Betrag

absoluter Betrag

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Durch die folgende Definition wird jeder rationalen Zahl eine nichtnegative rationale Zahl zugeordnet.

Definition: Der absolute Betrag |a| einer rationalen Zahl a (kurz: Betrag von a) wird folgendermaßen festgelegt:

$|a|={\begin{cases}\ \;\;\;\ a,&{\text{falls a positiv oder gleich 0 ist.}}\\\ -a,&{\text{falls a negativ ist.}}\end{cases}}$

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a = -7; |a| = +7

a = +11,7; |a| = +11,7

a = 0; |a| = 0

|-7| = +7

|+2,3| = +2,3

---

Einander entgegengesetzte rationale Zahlen haben den gleichen Betrag.

BM1968

Kommutativität der Addition von rationalen Zahlen

Die beiden Summanden haben positive Vorzeichen

$(+2)+(+7)=(+7)+(+2)=+9$

---

$(+9)-(+7)=+2$

---

Die beiden Summanden haben ungleiche Vorzeichen

$(+3)+(-1)=+2$

$(+3)+(-2)=+1$

$(+3)+(-3)=0$ (Die Summe zweier zueinander entgegengesetzter zahlen ist gleich 0.))

$(+3)+(-4)=-1$

$(+3)+(-5)=-2$

---

$(+3)+(-5)=-2$

$(+2)+(-5)=-3$

$(+1)+(-5)=-4$

$(0)+(-5)=-5$

$(-1)+(-5)=-6$

$(-2)+(-5)=-7$

$(-3)+(-5)=-8$

BM1969

$x=b-a$ // +a

$x+a=b$

---

$x+(-4)=-3$

Also ist $x=+1$, denn $(+1)+(-4)=-3$.

Gleichbedeutend damit ist:

$x=(-3)-(-4)=+1$.

Daraus wird ersichtlich: Die Addition von $(+4)$ führt zum gleichen Ergebnis wie die Subtraktion von $(-4)$.

---

$x=(-3)-(-4)=+1$

ist das gleiche wie

$x=(-3)+(+4)=+1$

---

Wir legen die Subtraktion daher folgendermaßen fest:

Definition: Eine rationale Zahl wird subtrahiert, indem man die zu ihr entgegengesetzte Zahl zum Minuenden addiert.

---

$x=(-3)-(-4)=+1$

ist das gleiche wie

$x=(-3)+4=+1$.

BM1970

$(+5)-(+2)=(+5)+(-2)=+3$

$(+4)-(+9)=(+4)+(-9)=-5$

$(+8)-(-2)=(+8)+(+2)=+10$

$(-2)-(+9)=(-2)+(-9)=-11$

$(-14)-(-6)=(-14)+(+6)=-8$

$(-7)-(-12)=(-7)+(+12)=+5$

BM1971 - BM1980

BM1971

Die Subtraktion einer rationalen Zahl „a“ führt zum gleichen Ergebnis wie die Addition der zu „a“ entgegengesetzten Zahl.

$(+1{,}5)-(a)$

$(+1{,}5)+(-a)$

---

Rechne!

---

$(+1{,}5)-(-3{,}8)$

$(-{\tfrac {3}{2}})-(+0{,}67)+(+10{,}0)-(-14)$

$x-y-r+s$

Lösung BM1971
$(+1{,}5)-(-3{,}8)=(+1{,}5)+(+3{,}8)=5{,}3$ $(-{\tfrac {3}{2}})-(+0{,}67)+(+10{,}0)-(-14)=(-{\tfrac {3}{2}})+(-0{,}67)+(+10{,},0)+(+14)=21{,}83$ $x-y-r+s=x+(-y)+(-r)+s$ --- Auf Grund dieser Umwandlungsmöglichkeiten können wir die obigen Terme auch dann als Summe bezeichnen, wenn in ihnen das Rechenzeichen „-“ auftritt.

BM1972

Rechne!

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a) $(-2)-(-1)$

b) $(2{,}8)+(+1{,}4)$

c) $(+{\tfrac {4}{3}})+(+{\tfrac {13}{6}})$

---

d) $(+6)-(+1{,}5)$

e) $(+{\tfrac {3}{2}})-(+{\tfrac {2}{3}})$

f) $(+7)+(+4)$

BM1973

Rechne!

---

a) $(-4{,}6)+(+1{,}9)$

b) $(+11{,}5)+(+{\tfrac {23}{2}})$

c) $(+5)-(+3{,}5)$

---

d) $(+{\tfrac {5}{4}})-(+{\tfrac {4}{5}})$

e) $(+2{,}6)-(+{\tfrac {4}{5}})$

f) $x+(+2{,}5)=(+8)$

BM1974

Rechne!

---

a) $(+3{,}4)+x=(+6)$

b) $(+{\tfrac {7}{6}})+x=(+{\tfrac {11}{6}})$

c) $x+(+{\tfrac {3}{3}})=(+{\tfrac {9}{5}})$

---

d) $x-(+2{,}9)=(+1{,}3)$

e) $x-(+4{,}2)=(+1{,}9)$

f) $(+3)+(-2)$

BM1975

Rechne!

---

a) $(-2{\tfrac {1}{2}})+(+{\tfrac {5}{6}})$

b) $(-5)+(+5)$

c) $(+4)+(-5)$

---

d) $(-4)+(-9)$

e) $(-3)+(-12{,}5)$

f) $(-{\tfrac {2}{5}})+(-1{,}96)$

BM1976

Multiplikation von positiven und negativen rationalen Zahlen

---

$(+2)\cdot (+3)$

$(+4)\cdot 0$

$(+{\tfrac {4}{3}})\cdot (+{\tfrac {7}{8}})$

Das Produkt positiver rationaler Zahlen ist stets eine positive rationale Zahl.

...

Multiplikation von positiven und negativen rationalen Zahlen

Die beiden Faktoren haben unterschiedliche Vorzeichen

$(-1)\cdot (+3)=(-3)$

$(-2)\cdot (+3)=(-6)$

$(-3)\cdot (+3)=(-9)$

$(-4)\cdot (+3)=(-12)$

BM1977

Rechne!

---

a) $(-9)\cdot (+7)$

b) $(+{\tfrac {3}{5}})\cdot (-{\tfrac {25}{9}})$

c) $(+1{,}5)\cdot (-0{,}5)$

---

d) $(-1{,}5)\cdot (+0{,}5)$

e) $(-2{,}5)\cdot (-1{,}2)$

f) $(-{\tfrac {4}{5}})\cdot (-{\tfrac {15}{8}})$

BM1978

Multiplikation von zwei negativen rationalen Zahlen

Beide Faktoren sind negative Zahlen

---

$(-4)\cdot 0=0$

$(-4)\cdot (-1)=+4$

$(-4)\cdot (-2)=+8$

$(-4)\cdot (-3)=+12$

$(-4)\cdot (-4)=+16$

BM1979

Produkte mit mehr als zwei Faktoren

---

$(+4)\cdot (+2)\cdot (+3)=+24$

---

$(-4)\cdot (+2)\cdot (+3)=-24$ (Minus mal Plus mal Plus gleich Minus.)

$(+4)\cdot (-2)\cdot (+3)=-24$ (Plus mal Minus ist als Zwischenergebnis Minus. Und dieses Minus-Zwischenergebnis mal Plus ist immer noch Minus.)

$(+4)\cdot (+2)\cdot (-3)=-24$

---

$(-4)\cdot (-2)\cdot (+3)=+24$ (Minus mal Minus ist Plus als Zwischenergebnis. ...)

$(+4)\cdot (-2)\cdot (-3)=+24$ (Plus mal Minus ist Minus als Zwischenergebnis. ...)

$(-4)\cdot (+2)\cdot (-3)=+24$

---

$(-4)\cdot (-2)\cdot (-3)=-24$

---

Und so kann man das Vorzeichen von beliebig langen Produktketten rausbekommen.

$(-1)\cdot (-2)\cdot (+3)\cdot (-2)\cdot (-4)=+48$

---

Am einfachsten rechnet man erst mal das Produkt ohne Vorzeichen aus. Man multipliziert erst mal alle Beträge, also einfach alle Vorzeichen weglassen und alle Zahlen stumpf multiplizieren. Das Zwischenergebnis ist erst mal eine positive Zahl.

$(-1)\cdot (-2)\cdot (+3)\cdot (-2)\cdot (-4)\cdot (+7)\cdot (+3)\cdot (-5)\cdot (-4)$

$|-1|\cdot |-2|\cdot |+3|\cdot |-2|\cdot |-4|\cdot |+7|\cdot |+3|\cdot |-5|\cdot |-4|$

$1\cdot 2\cdot 3\cdot 2\cdot 4\cdot 7\cdot 3\cdot 5\cdot 4=20.160$

Jetzt erst kümmern wir und uns getrennt die Vorzeichen. Normalerweise müssen wir das nicht separat aufschreiben, sondern können das im Kopf machen. Nur hier schreiben wir das mal zur Verdeutlichung ausführlich auf.

$(-)\cdot (-)\cdot (+)\cdot (-)\cdot (-)\cdot (+)\cdot (+)\cdot (-)\cdot (-)$

Oft steht vor positiven Zahlen nicht extra ein Pluszeichen, aber das macht nichts, denn Pluszeichen können wir eigentlich ohne Probleme unter den Tisch fallen lassen. Es kommt nur auf die Anzahl der Minuszeichen an.

Warum können wir Pluszeichen unter den Tisch fallen lassen?

Lösung BM1979
Weil Plus mal Minus gleich Minus ist. Und das ist das gleiche wie: (weglassen) mal Minus ist gleich Minus. Plus mal Plus gleich Plus. Und das ist das gleiche wie: (weglassen) mal (weglassen) ist gleich Plus. Nur bei Minus mal Minus kippt das Vorzeichen von Minus nach Plus.

Also weiter mit der Ermittlung des Vorzeichens. Wir lassen die Pluszeichen einfach mal weg bzw. beachten sie einfach nicht mehr:

$(-)\cdot (-)\cdot (+)\cdot (-)\cdot (-)\cdot (+)\cdot (+)\cdot (-)\cdot (-)$

$(-)\cdot (-)\cdot (-)\cdot (-)\cdot (-)\cdot (-)$

Jetzt müssen wir die Minuszeichen nur durchzählen, oder genauer gesagt abwechselnd „Plus“ und „Minus“ sagen.

$(-)\cdot (-)\cdot (-)\cdot (-)\cdot (-)\cdot (-)$

Los gehts:

Minus mal Minus ist „Plus“ mal Minus ist „Minus“ mal Minus ist „Plus“ mal Minus ist „Minus“ mal Minus ist „Plus“.

Unser Endergebnis ist also: „Plus“

Bei einer geraden Anzahl von Minussen (von Minuszeichen) erhalten wir als Endergebnis ein „Plus“. (Aber die Regel mit der „geraden Anzahl von Minuszeichen“ vergisst man meist sehr schnell. Besser ist es sich nur zu merken, dass sich „Plus“ und „Minus“ abwechseln, bis man am Ende der Multiplikationskette ist.)

Wir haben also durch Multiplikation der Beträge 20.160 erhalten. (Das kann man je nach Laune mit oder ohne Pluszeichen schreiben.)

Also Vorzeichen haben wir „Plus“ ermittelt also:

$(-1)\cdot (-2)\cdot (+3)\cdot (-2)\cdot (-4)\cdot (+7)\cdot (+3)\cdot (-5)\cdot (-4)=+20.160$

---

SATZ: Das Produkt rationaler Zahlen ist negativ, falls die Anzahl der negativen Faktoren ungerade ist.

BM1980

Rechne!

---

a) $(-0{,}25)\cdot (+{\tfrac {1}{5}})\cdot (+9)\cdot (+4)\cdot (+{\tfrac {1}{3}})$

b) $(+5)\cdot (-1)\cdot (+19)$

c) $(-9)\cdot (+3)\cdot (-6)$

---

d) $(+6)\cdot (-{\tfrac {2}{3}})\cdot (+7)$

e) $(+2)\cdot (-{\tfrac {11}{8}})\cdot (-{\tfrac {5}{22}})\cdot (+{\tfrac {7}{10}})\cdot (-{\tfrac {5}{14}})$

f) $(+80)\cdot (-91)\cdot (+{\tfrac {1}{4}})\cdot (-{\tfrac {5}{2}})$

Lösung BM1980
a) $(-0{,}25)\cdot (+{\tfrac {1}{5}})\cdot (+9)\cdot (+4)\cdot (+{\tfrac {1}{3}})=-0{,}6$

BM1981 - BM1990

BM1981

Rechne!

---

a) $((+10)-(-3))\cdot (-6)$

b) $((-{\tfrac {3}{2}})-(-{\tfrac {3}{4}}))\cdot (+3)$

c) $((-4)-(-8))\cdot (+6)$

---

d) $((-{\tfrac {1}{4}})-(+{\tfrac {5}{8}}))\cdot (-3)$

e) $((-0{,}4)-(+1{,}8))\cdot (+5)$

f) $((+0{,}5)-(-2{,}3))\cdot (-2)$

BM1982

Rechne!

---

a) $(+3)^{5}$

b) $(+1)^{7}$

c) $(-{\tfrac {3}{4}}))^{4}$

---

d) $(+{\tfrac {2}{3}}))^{4}$

e) $(-5)^{4}$

f) $(+1)^{6}$

BM1982

Rechne!

---

a) $(-{\tfrac {7}{8}}))^{2}$

b) $(-{\tfrac {1}{2}}))^{5}$

c) $(-4)^{3}$

---

d) $(+{\tfrac {3}{5}}))^{4}$

e) $(-{\tfrac {2}{3}}))^{2}$

f) $(-{\tfrac {13}{13}}))^{5}2$

BM1983

Wende das Distributivgesetz auf folgende Terme an!

---

$(b+c)\cdot a$

---

$a\cdot (b-c)$

Lösung BM1983
Einfach alles ausmultiplizieren! $(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a$ --- $a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot c$

BM1984

Distributivgesetz

---

$a\cdot \left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c=(a+b)\cdot c$

$a\cdot \left(b-c\right)=a\cdot b-a\cdot c=(a-b)\cdot c$

---

Das Ausmultiplizieren ist ein Teil des Distributivgesetzes:

$a\cdot \left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c$

$a\cdot \left(b-c\right)=a\cdot b-a\cdot c$

---

Welchen Wert hat der Term $12-(6+a)$, wenn $m=-12$ ist?

Lösung BM1984
$12-(6+a)$ $12-6-a$ $6-a$ $6-(-12)$ $6+12$ $18$ Antwort: Der Term hat den Wert 18.

BM1985

Division rationaler Zahlen

---

$x=a:b$ bedeutet das gleiche wie $x\cdot b=a$

Dabei muss $b\neq 0$ sein.

Daraus können wir folgern, dass zwei nichtnegative rationale Zahlen wie die ihnen zugeordneten gebrochenen Zahlen dividiert werden.

$(+{\tfrac {2}{5}}):(+{\tfrac {3}{7}})={\tfrac {2\cdot 7}{5\cdot 3}}=+{\tfrac {14}{15}}$

---

$a:b=x$

Ordne die Begriffe Dividend, Divisior und Quotient den Variable a, b und x zu!

Für $x=a:b$ kann man dann auch sagen „Dividend durch Divisior ist gleich Quotient“. Oder wie muss es richtig heißen?

Lösung BM1985
$a:b=x$ a (Dividend) b (Divisior) x (Quotient) „Dividend durch Divisior ist gleich Quotient“ ist richtig.

BM1986

Wir bei der Multiplikation zählt die Anzahl der Minuszeichen für endgültige Vorzeichen des Ergebnis.

---

$a:b=x$

$+a:+b=+x$

$-a:-b=+x$

$-a:+b=-x$

$+a:-b=-x$

---

Vorsicht! Das Plus-Vorzeichen wird oft weggelassen. Das ist eigentlich egal, da man sowieso nur die Anzahl der Minuszeichen durchzählen muss.

$a:b=x$

$-a:b=-x$

$a:-b=-x$

$-a:-b=x$

---

Das kann man auch alles mit Bruchstrich schreiben.

${\tfrac {a}{b}}=x$

${\tfrac {+a}{+b}}=+x$

${\tfrac {-a}{-b}}=+x$

${\tfrac {-a}{+b}}=-x$

${\tfrac {+a}{-b}}=-x$

Der Quotient zweier rationaler Zahlen ist positiv, wenn Dividend und Diviso gleiche Vorzeichen haben.

Der Quotient zweier rationaler Zahlen ist negativ, wenn Dividend und Diviso verschiedene Vorzeichen haben.

Die Division durch Null ist auch im Berech der rationalen Zahlen nicht erklärt.

---

${\tfrac {a}{b}}=x$

${\tfrac {-a}{b}}=-x$

${\tfrac {a}{-b}}=-x$

${\tfrac {-a}{-b}}=x$

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Vorsicht FALLE!

${\tfrac {-a}{-b}}$ ist NICHT $-{\tfrac {a}{b}}$ sondern $+{\tfrac {a}{b}}$

---

Vorsicht FALLE!

$-{\tfrac {a}{b}}$ ist NICHT ${\tfrac {-a}{-b}}$ sondern ${\tfrac {-a}{b}}$ (oder meinetwegen auch ${\tfrac {a}{-b}}$)

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$-{\tfrac {a}{b}}$ kann man auch mit Klammern schreiben $-({\tfrac {a}{b}})$

Wenn man ein Minuszeichen vor einem Bruch schreibt und nicht zusätzlich Klammern verwendet, dann sollte man immer sehr sauber und deutlich schreiben, damit klar erkennbar ist, ob das Minuszeichen vor dem Bruchstrich steht oder vor dem Divisor oder vor dem Dividenden.

$-{\tfrac {a}{b}}$

${\tfrac {-a}{b}}$

${\tfrac {a}{-b}}$

Obwohl es für das Endergebnis eigentlich keinen Unterschied macht, denn wenn wir das Minuszeichen 1x haben, dann ist das Endergebnis so oder so negativ.

BM1987

$-{\tfrac {-a}{b}}=+x$

$-{\tfrac {-a}{-b}}=-x$

$-{\tfrac {a}{-b}}=+x$

---

Das können wir natürlich auch mit Klammern schreiben:

$-({\tfrac {-a}{b}})=+x$

$-({\tfrac {-a}{-b}})=-x$

$-({\tfrac {a}{-b}})=+x$

---

Je mehr Klammern, desto weniger Möglichkeiten für eine Verwechslung.

$-({\tfrac {(-a)}{b}})=+x$

$-({\tfrac {(-a)}{(-b)}})=-x$

$-({\tfrac {a}{(-b)}})=+x$

---

Aber wer viel handschriftlich rechnet, der wird mit der Zeit zu faul so viele Klammern zu schreiben. So schleichen sich viele Flüchtigkeitsfehler ein.

BM1988

Zur Erinnerung hier noch einmal die Regeln für die Multiplikation zweier Brüche:

${\tfrac {a}{b}}\cdot {\tfrac {c}{d}}={\tfrac {a\cdot c}{b\cdot d}}$

${\tfrac {a}{b}}\cdot c={\tfrac {a}{b}}\cdot {\tfrac {c}{1}}={\tfrac {a\cdot c}{b}}$

$a\cdot {\tfrac {b}{c}}={\tfrac {a}{1}}\cdot {\tfrac {b}{c}}={\tfrac {a\cdot b}{c}}$

---

Die Division zweier Brüche erfolgt durch Multiplikation des Dividenden $({\tfrac {a}{b}})$ mit dem Inversen des Divisors $({\tfrac {c}{d}})$.

${\tfrac {a}{b}}:{\tfrac {c}{d}}={\tfrac {a}{b}}\cdot {\tfrac {d}{c}}={\tfrac {a\cdot d}{b\cdot c}}$

---

Noch einmal die Division zweier Brüche, diesmal mit Bruchstrich geschrieben:

${\tfrac {\tfrac {a}{b}}{\tfrac {c}{d}}}={\tfrac {a}{b}}:{\tfrac {c}{d}}={\tfrac {a\cdot d}{b\cdot c}}$

---

Auch wenn NUR der Dividend $({\tfrac {a}{b}})$ ein Bruch ist, ändert sich an der Rechenregel nichts prinzipielles:

${\tfrac {\tfrac {a}{b}}{c}}={\tfrac {a}{b}}:c={\tfrac {a}{b\cdot c}}$

${\tfrac {\tfrac {a}{b}}{c}}={\tfrac {\tfrac {a}{b}}{\tfrac {c}{1}}}={\tfrac {a\cdot 1}{b\cdot c}}={\tfrac {a}{b\cdot c}}$

---

Auch wenn NUR der Divisor $({\tfrac {b}{c}})$ ein Bruch ist, ändert sich an der Rechenregel nichts prinzipielles:

${\tfrac {a}{\tfrac {b}{c}}}=a:{\tfrac {b}{c}}={\tfrac {a\cdot c}{b}}$

${\tfrac {a}{\tfrac {b}{c}}}={\tfrac {\tfrac {a}{1}}{\tfrac {b}{c}}}={\tfrac {a\cdot c}{1\cdot b}}={\tfrac {a\cdot c}{b}}$

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Vorsicht Falle! Der Bruchstrich für den Hauptbruch muss deutlich länger sein, als die Bruchstriche für den Bruch im Divisor bzw den Bruch im Nenner. Wer viel handschriftlich rechnet, wird mit der Zeit damit nachlässig. Das ist eine Quelle für viele Flüchtigkeitsfehler.

Das hatten wir alles schon mal in Lektion 076b (Übung BM1285) durchgenommen.

Der Hauptbruchstrich wird stärker und/oder länger geschrieben, damit es keine Irrtümer gibt. UND das Gleichheitszeichen wird in Höhe des Hauptbruchstrichs geschrieben.

---

Rechne!

$(+20):(+{\tfrac {1}{5}})$

$(-20):(-{\tfrac {1}{5}})$

$(+20):(-{\tfrac {1}{5}})$

$(-20):(+{\tfrac {1}{5}})$

Lösung BM1988
$(+20):(+{\tfrac {1}{5}})=+100$, denn $(+100)\cdot (+{\tfrac {1}{5}})=+20$ $(-20):(-{\tfrac {1}{5}})=+100$, denn $(+100)\cdot (-{\tfrac {1}{5}})=-20$ $(+20):(-{\tfrac {1}{5}})=-100$, denn $(-100)\cdot (-{\tfrac {1}{5}})=+20$ $(-20):(+{\tfrac {1}{5}})=-100$, denn $(-100)\cdot (+{\tfrac {1}{5}})=-20$

BM1989

Rechne!

a) $(-{\tfrac {2}{3}}):(+{\tfrac {5}{6}})$

b) $a\cdot (-{\tfrac {1}{a}})$

c) $(+48):(-6)$

d) $(+119):(-17)$

e) $(-24{,}8):(0{,}8)$

---

f) $(+{\tfrac {3}{4}}):(+{\tfrac {1}{2}})$

g) $(+72):(+8)$

h) $(+92):(-4)$

i) $(-5{,}8):(+17{,}4)$

j) $(-{\tfrac {8}{3}}):(+{\tfrac {64}{39}})$

Lösung BM1989

a) $(-{\tfrac {2}{3}}):(+{\tfrac {5}{6}})=-({\tfrac {2}{3}}:{\tfrac {5}{6}})=-({\tfrac {2\cdot 6}{3\cdot 5}})=-({\tfrac {12}{15}})=-({\tfrac {4}{5}})$ b) $a\cdot (-{\tfrac {1}{a}})=-1$ c) $(+48):(-6)=-8$ d) $(+119):(-17)=-7$ e) $(-24{,}8):(0{,}8)=-31$ --- f) $(+{\tfrac {3}{4}}):(+{\tfrac {1}{2}})=1{,}5$ g) $(+72):(+8)=9$ h) $(+92):(-4)=-23$ i) $(-5{,}8):(+17{,}4)=-({\tfrac {1}{3}})$ j) $(-{\tfrac {8}{3}}):(+{\tfrac {64}{39}})=1{,}64$

BM1990

Rechne!

---

a) $(+96):(+12)$

b) $(-108):(+18)$

c) $(-2{,}75):(+0{,}25)$

d) $(-{\tfrac {19}{2}}):(+{\tfrac {20}{3}})$

---

e) $(+64):(-16)$

f) $(-105):(-21)$

g) $(+4{,}95):(-33)$

h) $(+{\tfrac {31}{6}})$

Lösung BM1990
a) $(+96):(+12)=8$ b) $(-108):(+18)=-6$ c) $(-2{,}75):(+0{,}25)=-11$ d) $(-{\tfrac {19}{2}}):(+{\tfrac {20}{3}})=-{\tfrac {57}{40}}=-1{,}425$ --- e) $(+64):(-16)=-4$ f) $(-105):(-21)=5$ g) $(+4{,}95):(-33)=-{\tfrac {3}{20}}=-0{,}15$ h) $(+{\tfrac {31}{6}}):(-{\tfrac {15}{4}})=-{\tfrac {62}{15}}=4{,}13$

BM1991 - BM2000

BM1991

Rechne!

---

a) $2-7$

b) $-3-9$

c) $-17+23$

d) $24-0{,}74$

e) $-{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {2}{7}}$

---

f) $0{,}28+0{,}04$

g) $3{,}15-6{,}51$

h) $-25+3{,}32$

i) $-2{,}8-1{,}2$

j) ${\tfrac {9}{16}}-{\tfrac {7}{8}}$

Lösung BM1991
a) $2-7=-5$ b) $-3-9=-12$ c) $-17+23=6$ d) $24-0{,}74=23{,}26$ e) $-{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {2}{7}}=-{\tfrac {7}{14}}-{\tfrac {4}{14}}=-{\tfrac {11}{14}}=-0{,}786$ --- f) $0{,}28+0{,}04=0{,}32$ g) $3{,}15-6{,}51=-3{,}362$ h) $-25+3{,}32=6$ i) $-2{,}8-1{,}2=-46$ j) ${\tfrac {9}{16}}-{\tfrac {7}{8}}={\tfrac {9}{16}}-{\tfrac {14}{16}}=-{\tfrac {5}{16}}=-0{,}3125$

BM1992

Rechne!

---

a) $4-8$

b) $-2-11$

c) $19-23$

d) $36-0{,}26$

e) $-{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {2}{5}}$

---

f) $0{,}22+0{,}05$

g) $4{,}11-5{,}2$

h) $-0{,}8+1{,}2$

i) $-0{,}8-0{,}08$

j) $2{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {14}{3}}$

Lösung BM1992
a) $4-8=-4$ b) $-2-11=-13$ c) $19-23=-4$ d) $36-0{,}26=35{,}74$ e) $-{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {2}{5}}=-{\tfrac {5}{10}}-{\tfrac {4}{10}}=-{\tfrac {9}{10}}=-0,9$ --- f) $0{,}22+0{,}05=0{,}27$ g) $4{,}11-5{,}2=-1{,}09$ h) $-0{,}8+1{,}2=0{,}4$ i) $-0{,}8-0{,}08=-0{,}88$ j) $2{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {14}{3}}={\tfrac {5}{2}}-{\tfrac {14}{3}}={\tfrac {15}{6}}-{\tfrac {28}{6}}=-{\tfrac {13}{6}}=-2{,}167$

BM1993

Rechne!

---

a) $12-29+13-27{,}5$

b) $29{,}3-40{,}1+0-9{,}8$

c) ${\tfrac {3}{4}}-{\tfrac {6}{9}}+{\tfrac {11}{12}}-{\tfrac {13}{6}}+{\tfrac {1}{2}}$

---

d) $-28-3+5-6+29$

e) $45{,}6-22{,}8-53{,}1+6{,}2$

f) $-{\tfrac {7}{8}}-{\tfrac {3}{7}}+{\tfrac {27}{28}}-1{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {19}{14}}$

Lösung BM1993

a) $12-29+13-27{,}5=-31{,}5$ b) $29{,}3-40{,}1+0-9{,}8=-20{,}6$ c1) ${\tfrac {3}{4}}-{\tfrac {6}{9}}+{\tfrac {11}{12}}-{\tfrac {13}{6}}+{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {3}{2\cdot 2}}-{\tfrac {6}{3\cdot 3}}+{\tfrac {11}{2\cdot 2\cdot 3}}-{\tfrac {13}{2\cdot 3}}+{\tfrac {1}{2}}$ c2) kgV: $2^{2}\cdot 3^{2}=36$ c3) ${\tfrac {3}{4}}-{\tfrac {6}{9}}+{\tfrac {11}{12}}-{\tfrac {13}{6}}+{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {27}{36}}-{\tfrac {24}{36}}+{\tfrac {33}{36}}-{\tfrac {78}{36}}+{\tfrac {18}{36}}$ c4) ${\tfrac {3}{4}}-{\tfrac {6}{9}}+{\tfrac {11}{12}}-{\tfrac {13}{6}}+{\tfrac {1}{2}}=-{\tfrac {24}{36}}$ c5) ${\tfrac {3}{4}}-{\tfrac {6}{9}}+{\tfrac {11}{12}}-{\tfrac {13}{6}}+{\tfrac {1}{2}}=-{\tfrac {2}{3}}=-0{,}667$ --- d) $-28-3+5-6+29=-3$ e) $45{,}6-22{,}8-53{,}1+6{,}2=-24{,}1$ f1)$-{\tfrac {7}{8}}-{\tfrac {3}{7}}+{\tfrac {27}{28}}-1{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {19}{14}}=-{\tfrac {7}{8}}-{\tfrac {3}{7}}+{\tfrac {27}{28}}-{\tfrac {5}{4}}+{\tfrac {19}{14}}$ f2)$-{\tfrac {7}{8}}-{\tfrac {3}{7}}+{\tfrac {27}{28}}-1{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {19}{14}}=-{\tfrac {7}{2\cdot 2\cdot 2}}-{\tfrac {3}{7}}+{\tfrac {27}{2\cdot 2\cdot 7}}-{\tfrac {5}{2\cdot 2}}+{\tfrac {19}{2\cdot 7}}$ f3) kgV: $2^{3}\cdot 7=56$ f4)$-{\tfrac {7}{8}}-{\tfrac {3}{7}}+{\tfrac {27}{28}}-1{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {19}{14}}=-{\tfrac {7\cdot 7}{56}}-{\tfrac {8\cdot 3}{56}}+{\tfrac {2\cdot 27}{56}}-{\tfrac {14\cdot 5}{56}}+{\tfrac {4\cdot 19}{56}}$ f5)$-{\tfrac {7}{8}}-{\tfrac {3}{7}}+{\tfrac {27}{28}}-1{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {19}{14}}=-{\tfrac {49}{56}}-{\tfrac {24}{56}}+{\tfrac {54}{56}}-{\tfrac {70}{56}}+{\tfrac {76}{56}}$ f6) $-{\tfrac {7}{8}}-{\tfrac {3}{7}}+{\tfrac {27}{28}}-1{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {19}{14}}=-{\tfrac {13}{56}}$ f6) $-{\tfrac {7}{8}}-{\tfrac {3}{7}}+{\tfrac {27}{28}}-1{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {19}{14}}=-0.232$

BM1994

Rechne!

---

a) $(-7)\cdot 3$

b) $3\cdot (-9)$

c) $(-6)\cdot (-1)$

d) $(-3)\cdot {\tfrac {1}{3}}$

e) $(-{\tfrac {3}{2}})\cdot {\tfrac {2}{3}}$

---

f) $(-104):8$

g) $98:(-49)$

h) $11{,}78:(-5{,}12)$

i) $(-{\tfrac {7}{8}}):{\tfrac {5}{12}}$

j) $(-409):1$

Lösung BM1994
a) $(-7)\cdot 3=-21$ b) $3\cdot (-9)=-27$ c) $(-6)\cdot (-1)=6$ d) $(-3)\cdot {\tfrac {1}{3}}=-1$ e) $(-{\tfrac {3}{2}})\cdot {\tfrac {2}{3}}=-1$ --- f) $(-104):8=-13$ g) $98:(-49)=-2$ h) $11{,}78:(-5{,}12)=-2{,}3$ i) $(-{\tfrac {7}{8}}):{\tfrac {5}{12}}=-({\tfrac {7}{8}}\cdot {\tfrac {12}{5}})=-{\tfrac {7\cdot 12}{8\cdot 5}}=-{\tfrac {84}{40}}=-{\tfrac {21}{10}}=-2{,}1$ j) $(-409):1=-409$

BM1995

Rechne!

---

a) $(-6)\cdot {\tfrac {2}{3}}$

b) $(-28{,}5):13{,}5$

c) ${\tfrac {12}{22}}:(-1)$

d) $(-3)\cdot {\tfrac {1}{3}}$

e) $(-{\tfrac {5}{6}})\cdot (-{\tfrac {2}{10}})$

---

f) $1:(-{\tfrac {2}{3}})$

g) $11{,}07\cdot (-9{,}27)\cdot 2{,}19$

h) $7{,}04\cdot (93{,}75)\cdot (-13{,}11)$

i) $0\cdot (-91{,}78)\cdot 0$

j) $5+6\cdot 3$

Lösung BM1995

a) $(-6)\cdot {\tfrac {2}{3}}=-{\tfrac {2\cdot 3\cdot 2}{3}}=-(2\cdot 2)=-4$ b) $(-28{,}5):13{,}5=-{\tfrac {28{,}5}{13{,}5}}=-{\tfrac {285}{135}}=-{\tfrac {19}{9}}=-2{,}111$ c) ${\tfrac {12}{22}}:(-1)=-{\tfrac {12}{22}}$ d) $(-3)\cdot {\tfrac {1}{3}}=-1$ e) $(-{\tfrac {5}{6}})\cdot (-{\tfrac {2}{10}})={\tfrac {5\cdot 2}{6\cdot 10}}={\tfrac {10}{60}}={\tfrac {1}{6}}=0{,}16667$ --- f) $1:(-{\tfrac {2}{3}})=-{\tfrac {3}{2}}$ g) $11{,}07\cdot (-9{,}27)\cdot 2{,}19=-224.73$ h) $7{,}04\cdot (93{,}75)\cdot (-13{,}11)=-8652{,}6$ i) $0\cdot (-91{,}78)\cdot 0=0$ j) $5+6\cdot 3=23$

BM1996

a) Gib drei rationale Zahlen an, die zwischen $2$ und ${\tfrac {3}{2}}$ liegen!

b) Gib drei rationale Zahlen an, die zwischen $-{\tfrac {1}{2}}$ und $-{\tfrac {1}{3}}$ liegen!

---

c) Gib drei rationale Zahlen an, die zwischen $-{\tfrac {1}{6}}$ und $0$ liegen!

d) Gib drei rationale Zahlen an, die zwischen $-{\tfrac {17}{19}}$ und $-{\tfrac {18}{19}}$ liegen!

Lösung BM1996
a) $2>1{,}9>{\tfrac {11}{6}}>{\tfrac {7}{4}}>{\tfrac {3}{2}}$ b) $-{\tfrac {1}{2}}<-{\tfrac {7}{15}}<-{\tfrac {4}{9}}<-{\tfrac {5}{12}}<-{\tfrac {1}{3}}$ --- c) $-{\tfrac {1}{6}}<-{\tfrac {1}{7}}<-{\tfrac {1}{9}}<-{\tfrac {1}{11}}0$ d) $-{\tfrac {17}{19}}>-{\tfrac {20}{22}}>-{\tfrac {19}{21}}>-{\tfrac {18}{20}}>-{\tfrac {18}{19}}$

BM1997

Rechne!

---

a) $-2+3\cdot 5$

b) $5\cdot (-2)+3$

c) $(-6)\cdot (-1)+2$

d) $-4+(-2)\cdot 3$

e) ${\tfrac {3}{2}}+(-{\tfrac {5}{4}})\cdot (-2)$

---

f) ${\tfrac {3}{2}}\cdot (-{\tfrac {5}{4}})-2$

g) $2\cdot (-{\tfrac {3}{2}})+5$

h) ${\tfrac {5}{4}}-{\tfrac {4}{8}}\cdot {\tfrac {3}{5}}$

i) $(-{\tfrac {5}{4}})\cdot {\tfrac {3}{5}}+{\tfrac {4}{8}}$

j) ${\tfrac {2}{4}}\cdot (-{\tfrac {3}{10}})+1$

Lösung BM1997

a) $-2+3\cdot 5=8$ b) $5\cdot (-2)+3=-7$ c) $(-6)\cdot (-1)+2=8$ d) $-4+(-2)\cdot 3=-10$ e) ${\tfrac {3}{2}}+(-{\tfrac {5}{4}})\cdot (-2)=4$ --- f) ${\tfrac {3}{2}}\cdot (-{\tfrac {5}{4}})-2=-{\tfrac {31}{8}}=-3{,}875$ g) $2\cdot (-{\tfrac {3}{2}})+5=2$ h) ${\tfrac {5}{4}}-{\tfrac {4}{8}}\cdot {\tfrac {3}{5}}={\tfrac {19}{20}}=0{,}95$ i) $(-{\tfrac {5}{4}})\cdot {\tfrac {3}{5}}+{\tfrac {4}{8}}=-{\tfrac {1}{4}}$ j) ${\tfrac {2}{4}}\cdot (-{\tfrac {3}{10}})+1={\tfrac {17}{20}}=0{,}85$

BM1998

Rechne!

---

a) ${\tfrac {2}{7}}+(-{\tfrac {5}{3}})\cdot 0$

b) $(-{\tfrac {3}{10}})\cdot (-{\tfrac {1}{2}})-{\tfrac {1}{2}}$

c) $(-5)\cdot (-4)+3\cdot (-2)$

d) $(-{\tfrac {3}{8}})\cdot (-16)-0{,}5\cdot (-5)\cdot (-4)$

e) $(-{\tfrac {80}{11}})\cdot {\tfrac {28}{5}}\cdot {\tfrac {17}{5}}\cdot {\tfrac {4}{9}}\cdot (-{\tfrac {17}{4}})\cdot {\tfrac {21}{34}}\cdot (-{\tfrac {11}{7}})$

---

f) $5+6:3$

g) $5+6:(-3)$

h) $-2+5:15$

i) $-4+2:(-6)$

j) $5+(-6):2$

Lösung BM1998

a) ${\tfrac {2}{7}}+(-{\tfrac {5}{3}})\cdot 0={\tfrac {2}{7}}$ b) $(-{\tfrac {3}{10}})\cdot (-{\tfrac {1}{2}})-{\tfrac {1}{2}}=-{\tfrac {7}{20}}=0{,}35$ c) $(-5)\cdot (-4)+3\cdot (-2)=14$ d) $(-{\tfrac {3}{8}})\cdot (-16)-0{,}5\cdot (-5)\cdot (-4)=-4$ e) $(-{\tfrac {80}{11}})\cdot {\tfrac {28}{5}}\cdot {\tfrac {17}{5}}\cdot {\tfrac {4}{9}}\cdot (-{\tfrac {17}{4}})\cdot {\tfrac {21}{34}}\cdot (-{\tfrac {11}{7}})=-253{,}667$ kgV: $11\cdot 5\cdot 9\cdot 4\cdot 17\cdot 7=235.620$ --- f) $5+6:3=7$ g) $5+6:(-3)=3$ h) $-2+5:15=-{\tfrac {2}{3}}$ i) $-4+2:(-6)={\tfrac {4}{3}}$ j) $5+(-6):2=2$

BM1999

$a+(+b)=a-(-b)=a+b$

$a+(-b)=a-(+b)=a-b$

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Rechne!

a) $2a+3b-4a-4b+9a-6b$

b) $2a+5b+4a-5b$

c) $7x+(3y-2z+4x)$

BM2000

Was steht auf dem Grabstein eines Mathematikers? – „Damit hat er nicht gerechnet.“

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10 Leute (inklusive Fahrer) fahren mit dem Bus. Der Bus hält an und 11 Leute steigen aus. Drei Wissenschaftler werden zu diesem Vorgang befragt.

Der Physiker: „Das ist okay, 10% Abweichung sind noch in der Toleranz.“

Der Biologe: „Ganz klar, die haben sich unterwegs vermehrt.“

Der Mathematiker: „Wenn jetzt noch einer einsteigt, dann ist der Bus leer!“

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Was macht ein Mathematiker, der vor dem Fliegen Angst hat, dass eine Bombe im Flugzeug ist?

Er nimmt eine eigene Bombe mit, da die statistische Wahrscheinlichkeit, dass sich in einem Flugzeug zwei Bomben befinden, nahezu 0 ist.

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Warum können Seeräuber den Flächeninhalt eines Kreises nicht berechnen? – Weil sie Pi raten.

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Was macht ein Mathematiker auf dem Klo? – π π.

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Was macht ein Mathematiker beim Ski fahren?

Er rechnet mit Brüchen

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Eine unendliche Anzahl Mathematiker geht in eine Bar. Der erste bestellt ein Bier, der zweite ein halbes Bier, der nächste 1/4, und so geht das eine ganze Weile weiter… Der Barkeeper zapft 2 Bier, schüttelt mit dem Kopf und sagt: „Ihr Mathematiker solltet eure Grenzen kennen.“

$1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{16}}+{\tfrac {1}{32}}+{\tfrac {1}{64}}=1{,}984375$

$1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+...=2$

${\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+...=2$

Summe:

$\sum \limits _{k=0}^{6}{\tfrac {1}{2^{k}}}={\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{16}}+{\tfrac {1}{32}}+{\tfrac {1}{64}}=1{,}984375$

$\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{k}}}={\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{16}}+{\tfrac {1}{32}}+{\tfrac {1}{64}}+...=2$

Grenzwert (Limes)

$\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}=0$

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