Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 106b

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Mathematik auf Deutsch - 56

BM2751 - BM2760

BM2751

Gegeben sind die Punkte (5; 1) und (0; -3). Finde die Gleichung der Geraden!

Es ist nicht zwingend, aber es hilft, wenn wird Punkt

(0;-3)

als

(x_{1};y_{1})

nehmen, da er eine Null enthält. Folglich ist dann der Punkt

(5;1)

unser

(x_{2};y_{2})

.

1. Lösung BM2751
$m={\tfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ $m={\tfrac {1-(-3)}{5-0}}$ $m={\tfrac {1+3}{5}}$ $m={\tfrac {4}{5}}$

2. Lösung BM2751
$y-y_{1}=m(x-x_{1})$ Wir setzen m und Punkt 1 ein. $y-(-3)={\tfrac {4}{5}}(x-0)$ $y+3={\tfrac {4}{5}}x$ \|\| da wir den Punkt genommen haben, der eine Null enthält, ist das Ausmultiplizieren hier ganz einfach, den $x-0=x$ $y={\tfrac {4}{5}}x-3$

Überprüfe das Ergebnis rechnerisch mit beiden Punkten!

3. Lösung BM2751
Einsetzen in $y={\tfrac {4}{5}}x-3$ 1. Test: Punkte: (5; 1) einsetzen: $1={\tfrac {4}{5}}\cdot 5-3$ $1=4-3$ $1=1$ Stimmt! 2. Test: Punkte: (0; -3) einsetzen: $-3={\tfrac {4}{5}}\cdot 0-3$ $-3=-3$ Stimmt!

Zeichne die Gerade an Hand der ermittelten Geradengleichung! Kontrolliere erst danach, ob die beiden Punkt auf der so gezeichneten Geraden liegen.

4. Lösung BM2751
Bitte nicht erst die Punkte eintragen und dann die Gerade durch diese Punkte ziehen, sondern die gerade mittels der Gleichung zeichnen. Und erst danach die Punkte eintragen, um zu überprüfen, ob sie auch wirklich auf der Geraden liegen.

BM2752

Gegeben sind die Punkte (1; -1) und (-2; 0). Finde die Gleichung der Geraden!

Weil der Punkt

(-2;0)

eine Null enthält nehmen wir ihn als

(x_{1};y_{1})

. Folglich ist dann der Punkt

(1;-1)

unser

(x_{2};y_{2})

.

1. Lösung BM2752
$m={\tfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ $m={\tfrac {-1-0}{1-(-2)}}$ $m={\tfrac {-1}{3}}$ $m=-{\tfrac {1}{3}}$

2. Lösung BM2752
$y-y_{1}=m(x-x_{1})$ Wir setzen m und Punkt $(-2;0)$ ein. $y-0=-{\tfrac {1}{3}}(x-(-2))$ $y=-{\tfrac {1}{3}}(x+2)$ $y=-{\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {2}{3}}$

Überprüfe das Ergebnis rechnerisch mit beiden Punkten!

3. Lösung BM2752
Einsetzen in $y=-{\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {2}{3}}$ 1. Test: Punkte: (1; -1) einsetzen: $-1=-{\tfrac {1}{3}}\cdot 1-{\tfrac {2}{3}}$ $-1=-{\tfrac {1}{3}}\cdot -{\tfrac {2}{3}}x$ $-1=-{\tfrac {3}{3}}$ $-1=-1$ Stimmt! 2. Test: Punkte: (-2; 0) einsetzen: $0=-{\tfrac {1}{3}}\cdot (-2)-{\tfrac {2}{3}}$ $0={\tfrac {2}{3}}\cdot -{\tfrac {2}{3}}$ $0=0$ Stimmt!

Zeichne die Gerade an Hand der ermittelten Geradengleichung! Kontrolliere erst danach, ob die beiden Punkt auf der so gezeichneten Geraden liegen.

4. Lösung BM2752
Bitte nicht erst die Punkte eintragen und dann die Gerade durch diese Punkte ziehen, sondern die gerade mittels der Gleichung zeichnen. Und erst danach die Punkte eintragen, um zu überprüfen, ob sie auch wirklich auf der Geraden liegen.

BM2753

Lineare Gleichungssysteme (das LGS)

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehr als einer Geraden im gleichen Koordinatensystem.

Bei 2 Linien im gleichen Koordinatensystem unterscheiden wir dabei prinzipielle 3 mögliche Fälle:

Fall 1) Die beiden Geraden kreuzen sich NICHT.

Fall 2) Die beiden Geraden kreuzen sich.

Fall 3) Die beiden Geraden sind identisch, sie liegen also aufeinander.

Wir werden drei Lösungsmöglichkeiten für Lineare Gleichungssysteme behandeln.

a) grafisches Lösungsverfahren (Diese ist in manchen Fällen aufwendig und ungenau, ist aber sehr anschaulich und hilft uns bei den anderen beiden Lösungsmethoden.)

b) Einsetzungsverfahren (und eine Unterform: das Gleichsetzungsverfahren

c) Additionsverfahren

BM2754

Das grafische Lösungsverfahren gibt uns eine gute Vorstellung dafür, was wir später mit den rein rechnerischen Verfahren - dem Einsetzungsverfahren und dem Additionsverfahren - zur Lösung eines LGS machen.

Bei der Lösung eines Linearen Gleichungssystems suchen wir den Kreuzungspunkt der beiden Geraden - wenn es ihn denn gibt.

Dieser Kreuzungspunkt ist der einzige Punkt, den beide Geraden gemeinsam haben. Dieser Punkt gehört zu der einen Geraden, aber auch gleichzeitig zu der anderen Geraden. Wenn man diesen Punkt, genauer: die x- und y-Koordinaten dieses Punktes in die Geradengleichung einsetzt, dann ist sie wahr - mit anderen Worten: beim Testen ist das Ergebnis, dass die Gleichung auf beiden Seiten gleich ist. Das ist der einzige Punkt, bei dem alle beiden Geradengleichungen wahr sind. Alle anderen Punkte in diesem Koordinatensystem erfüllen entweder gar keine der Gleichungen oder nur eine der beiden Gleichungen. Der Kreuzungspunkt ist der einzige Punkt, der in beiden Gleichungen funktioniert. Durch Einsetzen dieses Punktes erhalten wir eine wahre Gleichung, einen wahren mathematischen Ausdruck. Der Punkt mach gleichzeitig beide Gleichungen wahr. Nur dieser eine Punkt macht gleichzeitig beide Gleichungen wahr

Die Gerade ist nur eine andere Darstellungsform für die lineare Gleichung ( = Geradengleichung).

Unser Ziel ist also diesen Schnittpunkt zu finden.

Das ist Fall 2): Die beiden Geraden kreuzen sich.

BM2755

Nicht jedes LGS hat eine Lösung.

Wenn die beiden Geraden parallel zueinander verlaufen, dann kreuzen sie sich nicht. Es gibt keinen Schnittpunkt. Es gibt keinen Punkt, der gleichzeitig zu beiden Geraden gehört. Es gibt keine Lösung für dieses LGS.

Das ist Fall 1): Die beiden Geraden kreuzen sich NICHT.

BM2756

Im Fall 3, wenn die beiden Geraden identisch sind, also aufeinander liegen, dann haben sie praktisch JEDEN Punkt gemeinsam. Laienhaft gesprochen: Sie kreuzen sich an jedem Punkt.

Deshalb haben wir hier unendlich viele Punkte, also unendlich viele Lösungen.

---

Der Fall 3 betrifft Geraden, die komplett aufeinander liegen. Wenn sie durch identische Gleichungen gegeben sind springt das natürlich ins Auge. Wenn sich die Gleichungen aber durch irgendwelche Tricks unterscheiden, dann müssen wir erst mal rechnen. Natürlich lassen sich die beiden Gleichungen letztendlich ineinander umwandeln. Auch wenn uns die Gleichungen durch Punkte gegeben werden, ist oft nicht gleich erkennbar, dass es sich um identische Geraden handelt.

Spätestens wenn wir die beiden Geraden zeichnen, springt uns ins Auge, dass die beiden Linien praktisch identisch sind.

BM2757

Ein Lineares Gleichungssystem besteht aus mindestens zwei Geradengleichungen. Diese Geradengleichungen können durch zwei Geraden in einem Koordinatensystem repräsentiert werden. Das ist meist viel anschaulicher, als die nackten Gleichungen.

Die graphische Repräsentation einer Gleichung nennen wir GRAPH. Bitte nicht mit "Graf" verwechseln!

Bisher kennen wir nur lineare Gleichungen, bei denen der Graph eine Gerade ist, also eine Linie. Daher auch der Name lineare Gleichung. Später werden wir Gleichungen kennenlernen, bei denen der Graph durchgebogen ist oder eine gleichmäßige oder ungleichmäßige Welle darstellt.

---

Zwei Geraden können sich nicht in 2 Punkten kreuzen, denn es sind Geraden.

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Fall 1) Die beiden Geraden verlaufen parallel zueinander. Folglich kreuzen sie sich NICHT. - Es gibt KEINE Lösung.

Fall 2) Die beiden Geraden kreuzen sich in einem Punkt. - Es gibt EINE Lösung.

Fall 3) Die beiden Geraden sind identisch, sie liegen also aufeinander. Die beiden Geraden liegen komplett aufeinander. Sie haben also alle Punkte der Geraden gemeinsam. Es handelt sich dabei um unendlich viele Punkte. - Es gibt viele Lösungen. Es gibt UNENDLICH VIELE Lösungen.

BM2758

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung y = 3x - 1

Welche Steigung hat der Graph dieser Gleichung?

Das sieht doch ein Blinder mit einem Krückstock!

1. Lösung BM2758
m = 3

Welchen Wert hat der y-Achsenabschnitt?

2. Lösung BM2758
-1 Die y-Achse wird bei -1 geschnitten. Also bei den Koordinaten (0; -1)

Damit können wir nun ganz einfach den Graphen zeichnen. Also bitte!

Zeichne den Graphen der Gleichung y = 3x - 1 !

3. Lösung BM2758
y = 3x - 1

BM2759

Bestimme für die Gleichung y = 3x - 1 den x-Wert für y = 2 !

Bisher haben wir meist aus einem gegebenen x-Wert einen gesuchten y-Wert ermittelt. Das ist die "normale Richtung".

Aber natürlich geht es auch andersrum, wie in diesem Fall.

1. Lösung BM2759
y = 1 Also setzen wir diese EINS in unsere gegebene Gleichung y = 3x - 1 an die Stelle, wo das y steht.

2. Lösung BM2759
Wir ersetzen also y durch x. 2 = 3x - 1 Bitte umstellen und den x-Wert ermitteln!

Wir haben y durch 2 ersetzt.

ersetzen = substituieren

3. Lösung BM2759
2 = 3x - 1 \|\| +1 3 = 3x \|\| :3 1 = x \|\| die Variable solle am Schluss links stehen x = 1

Damit haben wir einen Punkt der Gleichung y = 3x - 1 ermittelt.

Der y-Wert wurde uns mit y=2 gegeben und den dazugehörigen x-Wert haben wir ausgerechnet.

Also lauten die Koordinaten dieses Punktes:

4. Lösung BM2759
(x; y) (1; 2)

Das ist also einer der Punkte, der auf der Geraden y = 3x - 1 liegt.

BM2760

Gegeben ist die Gleichung y = 2

Ist das eine lineare Gleichung? Wo ist das x hin?

1. Lösung BM2760
Ja, es ist eine lineare Gleichung. Der Graph der Gleichung y = 2 ist eine Gerade. Auch ohne das x ist y = 2 eine lineare Gleichung. y = 2 ist das Gleiche wie y = 0*x + 2 Da ist unser x.

Welche Steigung hat die Gerade y = 2?

2. Lösung BM2760
m = 0 Das ist die Null in der Gleichung y = 0*x + 2 Die Gerade liegt also horizontal.

Wo schneidet y = 2 die y-Achse? Mit anderen Worten: Wo liegt der y-Achsenabschnitt von y = 2

3. Lösung BM2760
Bei +3 Das ist dann der Punkt (0; 3)

Zeichne die Gerade y = 2!

4. Lösung BM2760
y = 2

BM2761 - BM2770

BM2761

Löse das Gleichungssystem:

1.) y = 3x - 1

2.) y = 2

Löse das das Gleichungssystem grafisch! (Die beiden Gleichungen sind ja schon aus den vorherigen Übungen bekannt.)

1. Lösung BM2761
y = 3x - 1 und y = 2

Wie lautet die numerische Lösung des Gleichungssystems? Lies die Koordinaten des Punktes aus der grafischen Lösung ab!

2. Lösung BM2761
(1; 2)

Löse das Gleichungssystem rechnerisch - mit dem Gleichsetzungsverfahren (durch Substitution, substituieren):

1.) y = 3x - 1

2.) y = 2

3. Lösung BM2761
1.) y = 3x – 1 2.) y = 2 Wir setzen das y von beiden Gleichungen gleich. Mit anderen Worten: wir ersetzen das y der ersten Gleichung durch das y der 2. Gleichung, genauer: durch den Wert (oder Ausdruck), mit dem das y in der zweiten Gleichung gleich (also identisch) ist. y (erste Gleichung) = y (zweite Gleichung) 3x - 1 = y = y = 2 3x - 1 = 2 3x - 1 = 2 \|\|+1 3x = 3 \|\| :3 $x={\tfrac {3}{3}}$ x = 1 Damit haben wir vorerst aber nur den x-Wert des Punktes, der das Gleichungssystem erfüllt. Wie finden wir nun den y-Wert dazu?

4. Lösung BM2761
Diesen x-Wert müssen wir in die erste Gleichung einsetzen. Und die Gleichung dann ausrechnen. Also los!

5. Lösung BM2761
y = 3x - 1 x = 1 $y=3\cdot 1-1$ $y=3-1$ $y=2$ Der gesuchte Kreuzungspunkt hat also die Koordinaten (1; 2) Wir hätten unser zuerst gefundenes x = 1 auch in die zweite Gleichung einsetzen können, um den dazugehörigen y-Wert zu finden. Die zweite Gleichung lautet y = 2. Und wenn wir x = 1 in die Gleichung einsetzen wollen, geht das zwar nicht, aber das Ergebnis ist y = 2 (eigentlich egal welchen x-Wert dazu haben) Die Punkt hat dann jedenfalls die Koordinaten (1; 2) Es ist EGAL, ob wir in die 1. oder 2. Gleichung einsetzen!!!

Der eine Kreuzungspunkt ist die Lösung unseres linearen Gleichungssystems.

Der Punkt, der auf beiden Linien gleichzeitig liegt ist die Lösung des LGS.

BM2762

Gleichsetzungsverfahren zur Lösung eines Linearen Gleichungssystems.

Am Schnittpunkt der Geraden, genau an diesem Punkt, haben die Geraden den gleichen y-Wert. Deshalb können wir die andere Seite der Geradengleichung, auf der das y NICHT steht gleichsetzen. Vorausgesetzt, dass in beiden Geradengleichungen das y isoliert (also ganz allein) auf einer Seite der Gleichung steht. Für gewöhnlich steht das y isoliert auf der linken Seite, jeweils in beiden Geradengleichungen.

Also können wir die rechte Seite der 1. Gleichung mit der rechten Seite der 2. Gleichung gleichsetzen. Dazu schreiben wir beide rechte Seiten in eine einzige Gleichung, durch ein Gleichheitszeichen verbunden.

So fliegt das y vorläufig aus der Rechnung raus und wir haben nur nur zwei mal ein x in der Gleichung. Die Gleichung müssen wir nun ausrechnen, so dass im Ergebnis links das x steht und rechts der Wert für das x.

Nachdem wir das x gefunden haben, setzen wir den Wert für das x in die erste (oder zweite) Gleichung ein. So erhalten wir eine Gleichung, in der die Variable x nicht mehr auftaucht, sondern nur noch y. Das y müssen wir ausrechnen.

Damit haben wir den Punkt (x; y) errechnet, den Schnittpunkt der Geraden, der die Lösung unseres Gleichungssystems ist.

BM2763

Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren kann zum Lösen von Gleichungssystemen genutzt werden. Es ist bei einfachen Gleichungssystemen relativ einfach anzuwenden.

Beim Gleichsetzungsverfahren werden zwei Gleichungen so umgestellt, dass ihre linken Seiten identisch sind und nur eine Variable enthalten, die auf den rechten Seiten nicht vorhanden ist. Anschließend werden die beiden rechten Seiten gleichgesetzt, damit die neu entstehende Gleichung von einer Variablen weniger abhängt.

BM2764

Wir schreibt man nun die Lösung des LGS mathematisch sauber hin.

Meist steht da nur einfach: Der Punkt (3; -4) ist die Lösung

oder

x = 3; y = - 4

ABER:

mathematisch korrekt sprechen wir von einer Lösungsmenge, denn bei gebogenen Graphen kann es zwei, drei oder noch mehr Kreuzungspunkte geben. Das ist dann schon eine Menge.

Wir sagen also: Die Lösungsmenge ist der Punkt (3; -4).

Da man in der Mathematik alles sehr kurz und exakt mit Formel und Symbolen ausdrücken kann, wollen wir diese auch für die Lösungsmenge benutzen.

Zur Erinnerung:

Mengen schreibt man in geschweiften Klammern - den "Mengenklammern". Eine Möglichkeit, die uns hier interessiert, ist die Aufzählung aller Elemente dieser Menge innerhalb der geschweiften Klammern.

Beispiel: A = {2; 5; 22}

Diese Menge hat die Elemente 2; 5 und 22

Dabei ist die Reihenfolge der Elemente egal, aber als ordentliche Schüler schreiben wir sie schön der Größe nach sortiert.

{2; 5; 22} = {5; 2; 22}

Auch wenn wir Elemente doppelt schreiben ändert das nichts an der Menge:

{2; 5; 22} = {2; 5; 2; 22; 5; 5; 5}

Mengen werden mit Großbuchstaben bezeichnet.

Für die Lösungsmenge schreiben wir also:

L = {3; -4}

ABER wer aufgepasst hat wird bemerkt haben, dass das noch nicht ganz korrekt ist.

"Die Reihenfolge der Elemente in einer Menge ist egal"

Damit wäre L = {3; -4} = {-4; 3}. Das geht gar nicht.

Denn die Lösung ist ein geordnetes Zahlenpaar: (3; -4)

Die runden Klammern geben an, dass die Reihenfolge nicht geändert werden darf, denn die erste Zahl ist immer der x-Wert des Punktes und die zweite Zahl der y-Wert.

Die Lösungsmenge besteht aus einem Punkt, dessen x-y-Werte in runden Klammern angegeben werden, während die Menge in geschweiften Klammern steht.

So ist es korrekt:

L = { (3; -4) }

Oft werden beide Zahl auch durch ein Komma getrennt, das aber mit dem Dezimalkomma verwechselt werden könnte.

Noch besser ist die Schreibweise mit einem senkrechten Strich statt Semikolon oder Komma:

L = { (3 | -4) }

BM2765

Löse da folgende Lineare Gleichungssystem grafisch!

x + 2y = 4

2x - y = 3

1. Lösung BM2765
Bei der ersten Gleichung gehen wir mal bitte so vor, dass wir den y-Achsenabschnitt und den x-Achsenabschnitt ermitteln, also den Schnittpunkt der Geraden mit der x- und y-Achse. Wie geht das noch mal?

2. Lösung BM2765
Man setzt ein mal x=0 und ermittelt den dazugehörigen y-Wert. Das ist dann der y-Abschnitt. Beim zweiten mal setzt man y=0 und ermittelt den dazugehörigen x-Wert. Das ist dann der Schnittpunkt mit der x-Achse. So haben wir dann zwei Punkten, mit deren Hilfe wir die erste Gerade zeichnen. Also los!

3. Lösung BM2765
x + 2y = 4 y=0 $x+2\cdot 0=4$ $x+0=4$ $x=4$ y-Achsenabschnitt: (4; 0) --- Jetzt suchen wir den x-Achsenabschnitt. (Vorsicht: wir sind immer noch bei der ersten Gleichung unseres LGS!) x + 2y = 4 x=0 $0+2y=4$ $2y=4$ \|\| :2 $y={\tfrac {4}{2}}$ $y=2$ x-Achsenabschnitt (0; 2) Mit diesen zwei Punkten können wir nun den Graphen zeichnen. Also los!

4. Lösung BM2765
x + 2y = 4

Nun zeichne bitte den Graphen für die zweite Gleichung nach der selben Methode!

2x - y = 3

Bitte beide Graphen gemeinsam in ein Koordinatensystem zeichnen!

5. Lösung BM2765
2x - y = 3 y=0 2x - 0 = 3 2x = 3 $x={\tfrac {3}{2}}$ x = 1,5 P (1,5; 0) --- 2x - y = 3 x=0 2*0 - y = 3 - y = 3 y = - 3 P (0; 3)

6. Lösung BM2765
x + 2y = 4 und 2x - y = 3

Die beiden Geraden liegen NICHT parallel zueinander und sie liegen auch nicht komplett aufeinander, weshalb sie sich in einem Punkt kreuzen.

Versuch die Koordinaten dieses Punktes abzulesen!

7. Lösung BM2765
L = { (2\|1) }

Natürlich sind die gezeichneten Graphen soft nicht absolut genau und man kann den Schnittpunkt der Geraden nicht exakt ablesen, wenn es sich nicht um runde zahlen handelt.

Ergebnis kontrollieren: Setze die Koordinaten der Lösung in beiden Gleichungen ein und rechne die Gleichung aus!

Hier noch mal die Gleichungen das LGS:

x + 2y = 4

2x - y = 3

8. Lösung BM2765
L = { (2\|1) } --- 1. Gleichung x + 2y = 4 2 + 21 = 4 2 + 2 = 4 4 = 4 Die Lösung stimmt für die 1. Gleichung. --- 2x - y = 3 22 - 1 = 3 4 - 1 = 3 3 = 3 Die Lösung stimmt auch für die 2. Gleichung. --- Also ist unsere Lösung korrekt! L = { (2\|1) }

Erst nach der erfolgreichen Kontrolle sind wir mit der Lösung unseres LGS fertrig.

BM2766

Löse das Gleichungssystem grafisch!

3x + y = - 2

x - 4y = - 5

1. Lösung BM2766
1. Gleichung 3x + y = - 2 y=0 3x + 0 = - 2 3x = - 2 $x=-{\tfrac {2}{3}}$ P (-2/3; 0) y-Achsenabschnitt --- 3x + y = - 2 x=0 3*0 + y = - 2 0 + y = - 2 y = - 2 P (0; -2) x-Achsenabschnitt --- Mit den beiden Punkten (Achsenabschnitt) zeichnen wir jetzt unseren ersten Graphen.

2. Lösung BM2766
3x + y = - 2

Nun noch den Graphen für die zweite Gleichung.

3. Lösung BM2766
x - 4y = - 5 y=0 x - 0 = - 5 x = - 5 P (-5; 0) --- x - 4y = - 5 x=0 0 - 4y = - 5 - 4y = - 5 4y = 5 $y={\tfrac {5}{4}}$ y = 1,25 P (0; 1,25) --- Mit den beiden Punkten (Achsenabschnitt) zeichnen wir jetzt unseren zwiten Graphen - in das Koordinatensystem zusammen mit dem ersten Graphen.

4. Lösung BM2766
3x + y = - 2 und x - 4y = - 5

Nun müssen wir die Lösung ablesen und noch die Kontrolle durchführen.

Wir sehen jetzt schon den größten Nachteil der grafischen Lösungsmethode: Wir können die Lösung eigentlich nur näherungsweise ablesen. Das Problem fängt schon an, wenn wir Brüche, z. B. 0,6666, als Koordinaten unserer Punkte haben.

5. Lösung BM2766
L = { (-1\|1) } Oder zumindest so ungefähr. Ganz sicher können wir da nicht sein. Nun der Test!

6. Lösung BM2766
L = { (-1\|1) } --- 1. Gerade: 3x + y = -2 3(-1) + 1 = -2 -3 + 1 = -2 -2 = -2 1. Gleichung korrekt --- 2. Gerade x - 4y = -5 -1 - 41 = -5 -1 - 4 = -5 -5 = -5 2. Gleichung korrekt

BM2767

Die grafische Lösungsmethode gibt oft ungenaue Ergebnisse bei der Ablesung des Kreuzungspunktes.

Diese Methode ist relativ langsam.

Sollten wir am Grafikpunkt Koordinaten haben, die Brüche enthalten, dann wird die genaue Ablesung schwer bis unmöglich.

2/3 oder 5/4 kann man je evtl. noch irgendwie ablesen. Aber 21/7 oder -9/15 klappt dann meist nicht mehr.

Deshalb ist das Gleichsetzungsverfahren besser, um den Kreuzungspunkt zu finden.

Gegeben ist das Gleichungssystem:

2x - y = 7

x + 2y = 1

Frage: Ist der Punkt (5; 3) eine Lösung des Gleichungssystems?

1. Lösung BM2767
Ist der Punkt (5; 3) eine Lösung des Gleichungssystems? Die Frage bedeutet also: Ist der Punkt P (5; 3) die Lösung unseres LGS? Es kann nur einen Kreuzungspunkt geben. Ist das der Punkt (5; 3)? Liegt der Punkt (5; 3) auf beiden Geraden? Erfüllt der Punkt (5; 3) beide Geradengleichungen? Zur Beantwortung dieser Frage setzen wir den Punkt nacheinander in die beiden Gleichungen ein. Das haben wir beim grafische Lösungsverfahren auch getan, um das Ergebnis zu überprüfen. Also los!

2. Lösung BM2767
P (5; 3) --- 2x - y = 7 25 - 3 = 7 10 - 3 = 7 7 = 7 1. Gleichung korrekt. Der Punkt liegt auf der 1. Geraden. --- x + 2y = 1 5 + 23 = 1 5+ 6 = 1 11 = 1 Das ist falsch, denn 11≠1. Der Punkt liegt also NICHT auf der 2. Geraden. Der Punkt liegt auf der 1. Geraden, nicht aber auf der 2. Geraden. Der Punkt ist also NICHT der Kreuzungspunkt - der SCHNITTPUNKT - der beiden Geraden Der Punkt P (5; 3) ist keine Lösung des Linearen Gleichungssystems 2x - y = 7 x + 2y = 1

BM2768

Wir nehmen nochmals das gleiche LGS:

2x - y = 7

x + 2y = 1

Frage: Ist der Punkt P (3; -1) eine Lösung des Linearen Gleichungssystems?

Lösung BM2768
2x - y = 7 23 - (-1) = 7 6 + 1 = 7 7 = 7 1. Gleichung: ja --- x + 2y = 1 3 + 2(-1) = 1 3 - 2 = 1 1 = 1 2. Gleichung: auch ja Ja, der Punkt P (3; -1) ist die Lösung des Gleichungssystems. Das ist der Schnittpunkt der beiden Geraden. Der Punkt liegt gleichzeitig auf beiden Geraden.

BM2769

Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren bietet sich besonders an wenn auf einer Seite der Gleichung bereits die Variable isoliert steht

Beispiel:

y = 2x + 4

y = -x + 8

Denn dann dürfen wir schreiben

2x + 4 = y = -x + 8 (Es ist nicht schön in einer Gleichung zwei Gleichheitszeichen in einer Zeile zu schreiben. Das steht hier nur mal zur besseren Verdeutlichung der Gleichsetzung.

2x + 4 = -x + 8 (So ist es korrekt)

Der Trick bei der Gleichsetzung ist, dass vorläufig die Variable y verschwindet. So haben wir erst mal eine Gleichung, die nur die Variable x enthält. Auch wenn das x an zwei Stellen in der Gleichung auftaucht, so können wir diese Gleichung aber nach x auflösen, d. h. das x steht isoliert ganz allein auf der linken Seite und auf der rechten Seite steht der Zahlenwert.

Beispiel:

2x + 4 = -x + 8 || +x

3x + 4 = 8 || - 4

3x = 4 || :3

x = 4/3

x = 1,3333

Den Wert für x könne wir dann in die Geradengleichung einsetzen, so dass dann in der Geradengleichung nicht mehr zwei Unbekannte (x und y) stehen, sondern nur noch eine Unbekannte (y).

Beispiel:

y = 2x + 4

x = 4/3

y = 2*(4/3) + 4

y = 8/3 + 4

y = 8/3 + 12/3

y = 20/3

Sollte in den gegebenen Gleichungen des Gleichungssystems nicht die Variable auf einer Seite isoliert stehen, so bietet sich eher das Einsetzungsverfahren an, das wir weiter unten behandeln werden.

Man kann das Gleichsetzungsverfahren auch anwenden, wenn das x isoliert auf einer Seite steht.

x = y + 1

x = -8y + 12

Also:

y + 1 = -8y + 12 || + 8y || -1

9y = 11

y = 11/9

x = y + 1

x = 11/9 + 1

Was aber nicht geht: Wenn in der 1. Gleichung das y isoliert steht und die 2. Gleichung nach x aufgelöst ist.

Beispiel:

x = -8y + 12

y = 2x + 4

Denn x≠ y

Das Gleichsetzungsverfahren beruht also auf

y = y

oder

x = x

BM2770

Einsetzungsverfahren

Bei Einsetzungsverfahren müssen die beiden Gleichungen nicht nach y aufgelöst sein. Es reicht wenn eine Gleichung nach y aufgelöst ist.

Auch hier beruht das Prinzip auf y = y. Wir hängen aber die beiden Gleichungen nicht hintereinander, sondern fügen "mit einem Trichter" die rechte Seite der einen Gleichung an eine Stelle mitten in der anderen Gleichung ein.

Also: einfügen statt (hinten) anfügen.

Beispiel:

2x - y = 1

y = -2x + 4

Wir setzen die rechte Seite der 2. Gleichung an eine bestimmte Position in der 1. Gleichung ein. Das dürfen wir, denn y in der einen Gleichung ist gleich dem y in der anderen Gleichung, denn das ist ja gerade die Bedingung für unseren gesuchten Schnittpunkt der beiden Graphen dieser Gleichungen.

Wir erhalten also:

2x - (-2x + 4) = 1

Der Rest ist Pipifax (ganz einfach, Kinderkram, eine Lappalie).

2x - (-2x + 4) = 1

2x + 2x + 4 = 1

4x + 4 = 1

4x = -3

x = - 3/4

Und wie lautet nun die Lösung des Gleichungssystems?

2x - y = 1

y = -2x + 4

1. Lösung BM2770
Dazu müssen wir x = - 3/4 noch in eine der beiden Geradengleichungen einsetzen, um y auszurechnen: Also los!

2. Lösung BM2770
2x - y = 1 x = - 3/4 2*(3/4) - y = 1 3/2 - y = 1 - y = 1 - 3/2 - y = - 1/2 y = 1/2

BM2771 - BM2780

BM2771

In vielen anderen Ländern spricht man nur vom Einsetzungsverfahren (= Substitutionsverfahren) und betrachtet das Gleichsetzungsverfahren nur als einen Spezialfall des Einsetzungsverfahren. Eigentlich ist das Gleichsetzungsverfahren nur ein besonders bequemer und übersichtlicher Sonderfall des Einsetzungsverfahrens. Die beide Gleichungen nach y aufgelöst sind, gelingt das Einsetzen besonders leicht und übersichtlich.

Sollte überhaupt keine der beiden gegebenen Gleichungen nach einer Variable aufgelöst sein, wo müssen wir dies als Vorbereitungsschritt selber tun, bevor wir das eigentlich Einsetzungsverfahren anwenden.

Beispiel:

4x + 2y = 1

2x - y = 7

Wir stellen die 2. Gleichung nach y um, um sie dann in die 1. Gleichung einzusetzen.

1. Lösung BM2771
2x - y = 7 \|\| - 2x - y = - 2x + 7 \|\| *(-1) y = - (-2x + 7) y = 2x - 7 Das setzen wir jetzt in die 1. Gleichung ein.

2. Lösung BM2771
4x + 2y = 1 y = 2x - 7 Wir erhalten: 4x + 2(2x - 7*) = 1 4x + 4x - 14 = 1 8x - 14 = 1 8x = 15 x = 15/8 Und nun noch das y ausrechnen, durch Einsetzen in die 1. Gleichung.

3. Lösung BM2771
4x + 2y = 1 x = 15/8 x einsetzen 4*(15/8) + 2y = 1 15/2 + 2y = 1 7,5 + 2y = 1 2y = 1 - 7,5 2y = - 6,5 y = - 6,5/2 y = - 3,25 Ergebnis P (15/8 ; -3,25)

BM2772

LGS:

4 = 4x - 3y

4 =

Können wir auch beide rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen?

Denn schließlich ist 4=4.

Lösung BM2772
Ja, das können wir. Das ist erlaubt und würde dann so aussehen. 4x - 3y = -x + 2y Es macht nur keinen Sinn, weil wir in der so erhaltenen Gleichung immer noch 2 Unbekannte haben (x und y). Die Gleichsetzung von 4=4 hat uns nichts gebracht, denn wir setzen gleich, damit dadurch das y in beiden Gleichungen erst einmal komplett verschwindet.

BM2773

geg.: LGS

x - 3y = 11

y = 4x

Welches Verfahren bietet sich hier als Lösungsweg an?

1. Lösung BM2773
Das Einsetzungsverfahren, denn in der 2. Gleichung ist y allein auf einer Gleichungsseite. Also los! Natürlich hätten wir uns auch das grafische Lösungsverfahren auswählen können, aber mit 11 und 3 in der 1. Gleichung wäre das nicht ganz einfach geworden und der Schnittpunkt wäre sicherlich auch nicht eindeutig ablesbar.

2. Lösung BM2773
x - 3y = 11 y = 4x Einsetzen x - 3*(4x) = 11 x - 12x = 11 -11x = 11 x = - 11/11 x = -1 Nun müssen wir den Wert für x in eine der Gleichungen des LGS einsetzen. Wir nehmen einfach die 1. Gleichung

3. Lösung BM2773
x - 3y = 11 x = -1 -1 - 3y = 11 \|\| + 1 - 3y = 12 \|\| : (-3) y = - 12/3 y = -4 P (-1; -4)

Den Test nicht vergessen!

4. Lösung BM2773
P (-1; -4) x - 3y = 11 -1 - 3(-4) = 11 -1 + 12 = 11 11 = 11 1. Gleichung Probe bestanden --- y = 4x -4 = 4 (-1) -4 = -4 2. Gleichung Probe bestanden

BM2774

LGS:

3x - 5y = 8

x = 4y - 2

Welches Lösungsverfahren wenden wir an?

1. Lösung BM2774
Das Einsetzungsverfahren, weil die 2. Gleichung bereits nach x aufgelöst ist, setzen wir die rechte Seite der 2. Gleichung an die Stelle von y in der 1. Gleichung.

2. Lösung BM2774
3x - 5y = 8 x = 4y - 2 Einsetzen 3*(4y - 2) - 5y = 8 12y - 6 - 5y = 8 \|\| +6 12y - 5y = 14 7y = 14 y = 14/7 y = 2 Das setzen wir zur Abwechslung mal in die 2. Gleichung des LGS ein, denn diese Berechnung könnte etwas leichter werden.

3. Lösung BM2774
x = 4y - 2 y = 2 Einsetzen x = 4*2 - 2 x = 8 - 2 x = 6 P (6; 2)

Den Test nicht vergessen!

4. Lösung BM2774
P (6; 2) 1. Gleichung: 3x - 5y = 8 36 - 52 = 8 18 - 10 = 8 8 = 8 OK --- 2. Gleichung: x = 4y - 2 6 = 4*2 - 2 6 = 8 - 2 OK Der Punkt P (6; 2) liegt also auf beiden Geraden, folglich ist es unser Schnittpunkt, also die Lösungsmenge. L = { (6\|2) }

BM2775

Warum dürfen wir im Einsetzungsverfahren behaupten, dass das y der einen Gleichung gleich dem y der anderen Gleichung ist.

Beispiel:

x - 3y = 11

y = 4x

Lösung BM2775
Weil wir den Schnittpunkt der beiden Geraden suchen. Und deshalb suchen wir die Stelle, an der die beiden y-Werte identisch sind. Auch die beiden x-Werte sind an diesem Punkt identisch. Wir suchen gerade diese Stelle. Es gibt auch andere Stellen mit unterschiedlichen y-Werte, aber die suchen wir nicht, denn dort ist garantiert nicht der Schnittpunkt.

BM2776

Und noch mal die Einsetzungsmethode

geg: LGS

x - y = 3

5x + y = 9

Zur besseren Übersicht und zur einfacheren Besprechung werden die Gleichungen oft nummeriert - mit römischen Zahlen, die ansonsten in Deutschland nicht so häufig verwendet werden. Die römischen Zahlen haben auch den Vorteil, dass sie nicht so einfach aus Versehen in die Gleichung "rutschen" können. Wir haben also:

geg: LGS

I) x - y = 3

II) 5x + y = 9

In Mathematikbüchern steht die Nummerierung auch oft hinter jeder Zeile. Etwas so:

x - y = 3 (I)

5x + y = 9 (II)

Um das hier gegebenen Gleichungssystem zu lösen, stellen wir (I) nach x um.

Es ginge auch anders, aber das schein auf den ersten Blick der einfachste Rechenweg zu sein.

Wir könnten auch (I) nach y um stellen, oder (II) nach y.

Also: Stelle nun (I) nach x um.

1. Lösung BM2776
I) x - y = 3 \|\| +y x = y + 3

Modifizierte Gleichungen werden gerne kenntlich gemacht, indem ein Kleinbuchstabe an die römische Zahl angefügt wird:

Ia) x = y + 3

So können wir leicht sehen, dass es sich um die modifizierte (in diesem Fall: umgestellte) erste Gleichung des LGS handelt.

Ia) x = y + 3

ist nur eine andere Schreibweise für

I) x - y = 3

Es handelt sich um die gleiche Gerade.

Mit

Ia) x = y + 3 und

II) 5x + y = 9

können wir nun das LGS mittels Einsetzungsverfahren lösen, so wie wir es gerade gelernt haben.

2. Lösung BM2776
Ia) x = y + 3 II) 5x + y = 9 (Ia) in (II) einsetzen. Wir setzen hier für x ein. Aber das ist prinzipiell das Gleich wie für y. 5(y + 3*) + y = 9 \|\| ausmultiplizieren 5y + 15 + y = 9 \|\| -15 5y + y = -6 6y = -6 \|\| :6 y = -1 Und wie weiter?

3. Lösung BM2776
y = -1 setzen wir in I) x - y = 3 ein Also los!

4. Lösung BM2776
y = -1 einsetzen in x - y = 3 x - (-1) = 3 x + 1 = 3 x = 2 L { (2\|-1) }

Noch schnell die Kontrolle

5. Lösung BM2776
L { (2\|-1) } 1. Gleichung x - y = 3 2 - (-1) = 3 2 + 1 = 3 3 = 3 --- 2. Gleichung 5x + y = 9 5*2 + (-1) = 9 10 - 1 = 9 9 = 9 OK

BM2777

geg: LGS

I) 7x - 2y = -6

II) -2x + y = 3

1. Lösung BM2777
Wir nehmen das Einsetzungsverfahren Das y in der 2. Gleichung erscheint am einfachsten, weil davor nicht noch ein Faktor steht. Alle anderen Variablen sind etwas schwerder zu isolieren (7x; 2y; -2x) Wir stellen als (II) nach y um. Wir lösen (II) nach y auf. In der 2. Gleichung isolieren wir y auf einer Seite. Also los!

2. Lösung BM2777
II) -2x + y = 3 \|\| +2x IIa) y = 2x + 3 Und nun?

3. Lösung BM2777
Nun setzen wir die rechte Seite von (IIa) für das y in (I) ein Also los!

4. Lösung BM2777
I) 7x - 2y = -6 IIa) y = 2x + 3 Wir erhalten: 7x - 2(2x + 3)y = -6 \|\| ausmultiplizieren Vorher setzen wir noch Klammern, damit wir nicht schon beim Ausmultiplizieren das Minus mit beachten müssen 7x - [2(2x + 3)] = -6 7x - [4x + 6] = -6 \|\| die Klammer auflösen und dabei das Minus beachten 7x - 4x - 6 = -6 \|\| +6 7x - 4x = 0 \|\| die Variable x zusammenfassen 3x = 0 \|\| :3 x = 0/3 x = 0 Weiter? Also los!

5. Lösung BM2777
Das y muss noch ermittelt werden. Wir setzen x = 0 in (II) -2x + y = 3 ein, denn das ist einfacher als das Einsetzen in (I) -2*0 + y = 3 0 + y = 3 y = 3 L [ (0\|3) }

Bitte immer mit Kontrolle!

6. Lösung BM2777
L { (0\|3) } I) 7x - 2y = -6 70 - 23 = -6 -6 = -6 OK --- II) -2x + y = 3 -2*0 + 3 = 3 0 + 3 = 3 3 = 3 OK

BM2778

Der Vorteil des Einsetzungsverfahrens ist, dass es leicht anzuwenden ist.

Der Nachteil des Einsetzungsverfahrens ist, dass mindestens ein Gleichung nach einer Variablen aufgelöst sein muss.

Im nachfolgenden, gegebenen Linearen Gleichungssystem haben wir Brüche als Faktoren vor den Variablen. Diese Brüche kann man durch Umstellen nicht loswerden.

geg: LGS

I)

-{\tfrac {1}{2}}x-y=-1

II)

2x-{\tfrac {1}{2}}y={\tfrac {13}{2}}

Normalerweise würde man bei so einem LGS mit Brüchen auf das Eliminationsverfahren oder das Additionsverfahren zurückgreifen, die wir aber nicht nicht kennen gelernt haben.

Deshalb stürzen wir uns auch mit diesen Brüchen in der Einsetzungsverfahren.

Wie fangen wir am besten an?

1. Lösung BM2778
Am einfachsten könnte es sein (I) nach y umzustellen. Also los!

2. Lösung BM2778
$-{\tfrac {1}{2}}x-y=-1$ \|\| + y $-{\tfrac {1}{2}}x=-1+y$ \|\| + 1 $-{\tfrac {1}{2}}x+1=y$ \|\| Seiten vertauschen $y=-{\tfrac {1}{2}}x+1$ (Ia) Und wie weiter?

3. Lösung BM2778
Wir setzen (Ia) für das y in (II) ein. Also los!

4. Lösung BM2778
Ia) $y=-{\tfrac {1}{2}}x+1$ II) $2x-{\tfrac {1}{2}}y={\tfrac {13}{2}}$ $2x-{\tfrac {1}{2}}\cdot (-{\tfrac {1}{2}}x+1)={\tfrac {13}{2}}$ \|\| Wir klammern noch zusätzlich. Das ist nicht verboten und hilft oft. $2x-[{\tfrac {1}{2}}\cdot (-{\tfrac {1}{2}}x+1)]={\tfrac {13}{2}}$ \|\| ausmultiplizieren $2x-[{\tfrac {1}{2}}\cdot -{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {1}{2}}]={\tfrac {13}{2}}$ $2x-[-{\tfrac {1\cdot 1}{2\cdot 2}}x+{\tfrac {1}{2}}]={\tfrac {13}{2}}$ $2x-[-{\tfrac {1}{4}}x+{\tfrac {1}{2}}]={\tfrac {13}{2}}$ \|\| Klammer auslösen ${\tfrac {8}{4}}x+{\tfrac {1}{4}}x-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {13}{2}}$ \|\| x zusammenfassen ${\tfrac {9}{4}}x-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {13}{2}}$ \|\| +1/2 ${\tfrac {9}{4}}x={\tfrac {13}{2}}+{\tfrac {1}{2}}$ ${\tfrac {9}{4}}x={\tfrac {14}{2}}$ \|\| : 9/4 $x={\tfrac {14}{2}}:{\tfrac {9}{4}}$ \|\| Brüche werden dividiert, indem man den Kehrwert des Divisors multiplizeirt $x={\tfrac {14}{2}}\cdot {\tfrac {4}{9}}$ $x={\tfrac {14\cdot 4}{2\cdot 9}}$ \|\| Das Kürzen wird einfacher, wenn wir den Bruch in kleinere Faktoren zerlegen $x={\tfrac {14\cdot 2\cdot 2}{2\cdot 9}}$ \|\| wir kürzen die eine 2 $x={\tfrac {14\cdot 2}{9}}$ $x={\tfrac {28}{9}}$ Und wie weiter?

5. Lösung BM2778
$x={\tfrac {28}{9}}$ setzen wir in (1) oder (2) ein, um noch y zu finden. Da (I) etwas einfacher erscheint, werden wir y in (I) einsetzen $x={\tfrac {28}{9}}$ I) $-{\tfrac {1}{2}}x-y=-1$

6. Lösung BM2778
$x={\tfrac {28}{9}}$ I) $-{\tfrac {1}{2}}x-y=-1$ $-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {28}{9}}-y=-1$ \|\| +y \|\| -1 \|\| und Seiten tauschen $y=-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {28}{9}}+1$ $y=-{\tfrac {1\cdot 28}{2\cdot 9}}+1$ $y=-{\tfrac {28}{18}}+1$ \|\| das können wir mindestens noch mit 2 kürzen, denn 28 und 18 sind beides gerade Zahlen $y=-{\tfrac {14}{9}}+1$ \|\| zum Schluss noch die Eins addiert, aber vorher Neuntel daraus machen $y=-{\tfrac {14}{9}}+{\tfrac {9}{9}}$ \|\| 9-14 = -5 $y=-{\tfrac {5}{9}}$ P = { (28/9 \| -5/9) } Man sieht schon, dass das Einsetzungsverfahren sehr aufwendig und deshalb auch fehleranfällig werden kann, wenn Brüche mit ins Spiel kommen.

Ohne Test geht hier gar nichts. Schon allein weil sich Rechenfehler eingeschlichen haben könnten.

7. Lösung BM2778
Kontrolle: $x={\tfrac {28}{9}}$ $y=-{\tfrac {5}{9}}$ --- I) $-{\tfrac {1}{2}}x-y=-1$ $-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {28}{9}}-[-{\tfrac {5}{9}}]=-1$ $-{\tfrac {28}{18}}-[-{\tfrac {5}{9}}]=-1$ $-{\tfrac {28}{18}}+{\tfrac {5}{9}}]=-1$ \|\| 5/9 mit 2 erweitern, um Achtzehntel zu erhalten, damit es zu 28/18 passt $-{\tfrac {28}{18}}+{\tfrac {5\cdot 2}{9\cdot 2}}]=-1$ $-{\tfrac {28}{18}}+{\tfrac {10}{18}}]=-1$ \|\| -28+10 = 10-28 = -18 $-{\tfrac {18}{18}}=-1$ \|\| kürzen $-1=-1$ OK --- II) $2x-{\tfrac {1}{2}}y={\tfrac {13}{2}}$ $2\cdot {\tfrac {28}{9}}-[{\tfrac {1}{2}}\cdot (-{\tfrac {5}{9}})]={\tfrac {13}{2}}$ ${\tfrac {56}{9}}-[{\tfrac {1}{2}}\cdot (-{\tfrac {5}{9}})]={\tfrac {13}{2}}$ ${\tfrac {56}{9}}-[-{\tfrac {1\cdot 5}{2\cdot 9}}={\tfrac {13}{2}}$ ${\tfrac {56}{9}}-[-{\tfrac {5}{18}}={\tfrac {13}{2}}$ ${\tfrac {56}{9}}+{\tfrac {5}{18}}={\tfrac {13}{2}}$ \|\| Die Brüche auf der linken Gleichungsseite müssen wir gleichnamig machen. ${\tfrac {56\cdot 2}{9\cdot 2}}+{\tfrac {5}{18}}={\tfrac {13}{2}}$ ${\tfrac {112}{18}}+{\tfrac {5}{18}}={\tfrac {13}{2}}$ \|\| 112+5 = 117 ${\tfrac {117}{18}}={\tfrac {13}{2}}$ \|\| Ja, 117/18 lässt sich kürzen. Wir zerlegen 117 in Faktoren. Primfaktorzerlegung - Übung BM1004 - Lektion 071b ${\tfrac {3\cdot 3\cdot 13}{2\cdot 3\cdot 3}}={\tfrac {13}{2}}$ \|\| wir können 3*3 oben und unten kürzen ${\tfrac {13}{2}}={\tfrac {13}{2}}$ OK

BM2779

Wiederholung:

Teilbarkeitsregel - Übung BM600 - Lektion 062b

Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Lang, lang ist's her. Es war nicht alles sinnloser Quatsch, was wir bis jetzt durchgenommen haben.

Frage:

Lässt sich der folgende Bruch kürzen?

{\tfrac {117}{18}}

Anders gefragt:

18 ist durch 2 und durch 9 teilbar.

Die Zahl 117 ist nicht durch 2 teilbar, weil es keine gerade Zahl ist.

Ist die Zahl 117 durch 9 teilbar?

Quersumme: 1 * 1 * 7 = 9

Also: Ja.

Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Wir kürzen:

{\tfrac {117}{18}}

={\tfrac {13\cdot 9}{2\cdot 9}}

={\tfrac {13}{2}}

BM2780

Wiederholung:

In einem Linearen Gleichungssystem unterscheiden wir prinzipiell drei Fälle:

Fall 1: Die beiden Geraden kreuzen sich nicht, weil sie parallel liegen.

Fall 2) Die beiden Geraden kreuzen sich.

Fall 3) Die beiden Geraden sind identisch, sie liegen also aufeinander. Die Geraden "schneiden sich konstant".

Nun wollen wir uns anschauen, wie diese 3 Fälle algebraisch aussehen.

Den 2. Fall, bei dem wir eine einzige Lösung erhalten, haben wir ja sozusagen als Normalfall schon eingehend abgehandelt.

Die Fälle, wo wir keine Lösung haben (parallele Geraden) bzw. wo wir ganz viele Lösungen haben, sehen auf den ersten Blick seltsam aus.

Beispiel:

geg: LGS

I)

3x+3y=9

II)

2x+2y=4

Wir wollen das noch mal mit dem Einsetzungsverfahren lösen, auch wenn wir später das Eliminationsverfahren oder Additionsverfahren prinzipiell bevorzugen werden.

Stell bitte (II) nach x um und setze für x in (I) ein!

1. Lösung BM2780
II) $2x+2y=4$ \|\| -2y $2x=-2y+4$ \|\| :2 $x=(-2y+4):2$ $x={\tfrac {-2y}{2}}+{\tfrac {4}{2}}$ IIa) $x=-y+2$ Das setzen wir in (I) ein.

2. Lösung BM2780
I) $3x+3y=9$ IIa) $x=-y+2$ $3\cdot (-y+2)+3y=9$ $-3y+6+3y=9$ \|\| y zusammenfassen $6=9$ Oh, Wunder! - unser y ist verschwunden Oh, Mist! - 6≠9 Und das, obwohl wir uns nicht verrechnet haben. Das macht keinen Sinn. Ist 6 jemals gleich 9? Nein, nie! Wir haben eine Nonsens-Antwort erhalten. 6 = 9 ist nie wahr. Für 6 = 9 gibt es keine wahre Antwort. Was können wir daraus für die Lage der Graphen zueinander schließen?

3. Lösung BM2780
Wenn es keine Lösung gibt, dann gibt es keinen Schnittpunkt. Es gibt also keinen Punkt, an dem beide Graphen gleichzeitig den gleichen x-Wert und y-Wert haben. Die beiden Graphen schneiden sich nicht, sie liegen parallel zueinander.

Frage BM2780
1.) Können zwei Graphen, die parallel zueinander liegen, sich also nicht überschneiden, den gleichen x-Wert haben? 2.) Können zwei Graphen, die parallel zueinander liegen, sich also nicht überschneiden, den gleichen y-Wert haben?

4. Lösung BM2780
Ja, natürlich. 1.) ja 2.) ja ABER, es gibt keinen Punkt, an dem sie gleichzeitig den gleichen x-Wert UND den gleichen y-Wert haben. Beispiel: Beide Graphen haben den Wert x = 1. Beide Graphen haben den Wert y = -1. Aber es gibt keine Stelle, an der gleichzeitig der x-Wert und der y-Wert der beiden Graphen gleich ist. Das wäre nur am Schnittpunkt der Fall.

BM2781 - BM2790

BM2781

geg: LGS

I)

2a-b=b

II)

-4a+2b=-12

Löse das Lineare Gleichungssystem mittels Substitutionsverfahren. Stelle dazu (I) nach b um und setze in (II) ein!

1 Lösung BM2781
$2a-b=6$ \|\| + b $2a=b+6$ \|\| - 6 $2a-6=b$ \|\| umdrehen $b=2a-6$ Das setzen wir in (II) ein

2 Lösung BM2781
Ia) $b=2a-6$ II) $-4a+2b=-12$ $-4a+2\cdot (2a-6)=-12$ $-4a+4a-12=-12$ \|\| a zusammenfassen $-12=-12$ Oh, Wunder! - Unsere Variable ist verschwunden. Das erinnert irgendwie an die vorige Übung. Aber mit dem Unterschied, dass jetzt unsere Gleichung wahr ist. Wie können wir dieses Ergebnis interpretieren?

3 Lösung BM2781
$-12=-12$ ist IMMER wahr. Egal welches x wir haben. Weil wir den Wert für x nicht in die Gleichung einsetzen müssen. Für x=1 ist : $-12=-12$ wahr. $-12=-12$ ist auch für x=2 oder x=3,4 usw. wahr. Gibt es überhaupt einen x-Wert, für den $-12=-12$ nicht wahr ist? Wir haben unendlich viele Lösungen. Die Linien liegen also genau aufeinander. Die Linien sind identisch

BM2782

Beweise, dass es sich bei

I)

2a-b=b

II)

-4a+2b=-12

um identische Geraden handelt, indem du die Gleichung (I) in (II) umformst!

Oder noch besser: Löse beide Gleichungen jeweils nach b auf!

Lösung BM2782
I) $2a-b=b$ \|\| + b $2a=b+6$ \|\| - 6 $2a-6=b$ \|\| umdrehen $b=2a-6$ (Ia) --- II) $-4a+2b=-12$ \|\| + 4a $2b=4a-12$ \|\| :2 ${\tfrac {2b}{2}}={\tfrac {4a}{2}}-{\tfrac {12}{2}}$ $b=a-6$ (IIa) --- (Ia) und (IIa) sind identisch, also sind beide Gleichungen und ihre Graphen identisch.

BM2783

Wiederholung:

Parallele Geraden: keine Lösung, bei Rechnen verschwindet die Variable und es kommt eine Gleichung raus, die NIE wahr ist.

Identische Geraden: unendlich viele Lösungen, bei Rechnen verschwindet die Variable und es kommt eine Gleichung raus, die IMMER wahr ist.

Korrekte Schreibweise für die Lösungsmenge L:

Fall 2: Die Lösung ist genau ein Schnittpunkt. Mengen werden in geschweiften Klammern geschrieben. Punkt werden in runde Klammern geschrieben. Zwischen den x- und y-Wert ein senkrechter Strich oder ein Semikolon oder in eindeutigen Fällen auch ein Komma.

Wie aber schreiben wir, wenn es KEINE Lösung gibt?

Möglich wäre einfach ein Antwortsatz: „Das LGS hat keine Lösung.“

Aber wie schreiben wir das mit mathematischen Symbolen? - L steht für Lösungsmenge, also die Menge aller Lösungen.

L = O ist FALSCH, denn die Lösung ist nicht Null und nicht 4, sondern es gibt keine. Die Lösungsmenge ist leer. Wie schreiben wir die leere Menge?

Damit hatte wir uns schon mal früher, in Übung BM1411 beschäftigt (Lección 079b)

Zur Erinnerung eine kurze Auffrischung unseres verschütteten Wissens:

Wenn wir nun eine leere Menge darstellen wollen, dann schreiben wir einfach nichts zwischen die geschweiften Klammern:

B = { }

Für unsere leere Menge im Fall 1 schreiben wir also:

L = { }

Die zweite Möglichkeit eine leere Menge darzustellen ist das Zeichen

\emptyset

(ein durchgestrichenes schmales Oval - eine typographische Variante) oder ∅ // (ein durchgestrichener Kreis)

Die zweite Möglichkeit eine leere Lösungsmenge im Fall 1 darzustellen ist also:

L = ∅

BM2784

Bevor wir uns der Schreibweise für die Lösungsmenge im Fall 3 zuwenden, wenn die beiden geraden praktisch identisch sind und aufeinander liegen, wollen wir kurz etwas ausholen und die Zahlenbereiche wiederholen.

Wir waren bisher bei unseren Gleichungen nicht ganz vollständig.

Ein ordentlicher Mathematiker gibt für eine Gleichung immer alle Nebenbedingungen an:

Eine wichtige Nebenbedingung ist, für welchen Zahlenbereich die Gleichung gelten soll.

Sind nur natürliche Zahlen

\mathbb {N}