Discusión:Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Diferencia de conjuntos y conjuntos complementarios

Me parece haber encontrado un error en la propiedad D-5, en el texto pone:

$x-(y\cup z)=(x\cap y)-(x\cap z)$

En el caso particular de que y y z fueran subconjuntos propios de x, ocurriria:

$x\cap y=y$

y

$x\cap z=z$

sustituyendo queda:

$x-(y\cup z)=y-z$

lo cual no es cierto y se puede ver fácilmente con y sin un diagrama.

Para mi la expresión correcta es:

$x-(y\cup z)=(x-y)\cap (x-z)$

pero no estoy totalmente seguro.

Ademas creo que se deberian revisar el resto de propiedades, almenos desde D-4 (esta incluida).

Editado: Ya he comprobado la validez de la fórmula que propuse y he hecho los cambios en la página incluyendo el diagrama que he usado, puesto en un vínculo para ahorrar en espacio. Aún pienso que se deberian revisar el resto de propiedades, las miraré cuando pueda.

--Ramonrt 18:05 18 abr 2010 (UTC)

Encontré otro error en la D-6, donde pone:

$x-(y\cap z)=(x\cup y)-(x\cup z)$

Sean como sean los conjuntos y y z la resta de las uniones excluye a los elementos de x, por estar estos repetidos. Eso lleva a:

$x-(y\cap z)=y-z$

y igual que en el caso anterior esto no es cierto.

Para mi la fórmula es:

$x-(y\cap z)=x-(z-y)-(y-z)$

ya que solo se restan los elementos que no pertenecen a la intersección de z con y.

--Ramonrt 22:34 18 abr 2010 (UTC)

A pesar de lo anterior, no creo que sea esa la fórmula que quiso poner el autor del libro, por eso he hecho otra edición en la propiedad D-6, quedando así: $x-(y\cap z)=(x-y)\cup (x-z)$

--Ramonrt 14:07 20 abr 2010 (UTC)

Ejercicio

¿No les parece que deberíamos incluir la solución del ejercicio? Buscaré una solución y os la enseñaré para ver que os parece.

--Gimlinu 14:14 03 may 2010 (UTC)

¿Qué les parece esta solución?

Supongamos que $\,x$ e $\,y$ no son disjuntos. Por tanto, existe un conjunto $\,z$ no vacío tal que $x\cap y=z$. De esta manera, $x-y=x-z\,$, y como $\,z\neq \varnothing$, se desprende que $x-y=x-z\neq x$, con lo cual se contradice la suposición del principio. Es decir, si $\,x-y=x$ luego $\,x$ e $y\,$ son disjuntos.

¿Es correcta esta demostración?

--Gimlinu 12:42 3 may 2010 (UTC)

Sí, es correcta: $\,x-y=x$ solo cuando $z=\varnothing$ y como $z=x\cap y$ entonces $\,x$ e $\,y$ deben de ser disjuntos.

--Ramonrt 17:51 3 may 2010 (UTC)