Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Diferencia de conjuntos y conjuntos complementarios

1.4.1 Si $\,x$ e $\,y$ son dos conjuntos cualesquiera, la diferencia de $\,x$ e $\,y$ es el conjunto $\,x-y$ (también simbolizado por $x\backslash y$ ) definido por

x-y=\{a\mid a\in x

y

a\notin y\}

.

Es decir, $\,x-y$ consiste de todos los elementos que están en $\,x$ pero no en $\,y$ . Este conjunto se representa por el área sombreada en el siguiente diagrama:

Diferencia de $\,x$ e $\,y$ , o entre A y B en este caso

Ejercicio: Probar que $\,x$ e $\,y$ son conjuntos disjuntos si y solo si $\,x-y=x$ .

Sean $\,x$ , $\,y$ y $z\,$ conjuntos cualesquiera. Entonces

( D-1 ) $x-x=\varnothing$

( D-2 ) $x-\varnothing =x$

( D-3 ) $x-(x-y)=x\cap y$

( D-4 ) $x\cap (y-z)=(x\cap y)-(x\cap z)$

( D-5 ) $x-(y\cup z)=(x-y)\cap (x-z)$

( D-6 ) $x-(y\cap z)=(x-y)\cup (x-z)$

( D-7 ) $x-y\subseteq x$

( D-8 ) $x\subseteq y$ si y solo si $x-y=\varnothing$

1.4.2. Si $\,x_{1}$ es un subconjunto de $\,x$ , entonces el subconjunto de $\,x$ ,

{\mathcal {C}}_{x}x_{1}=x-x_{1}

,

se dice conjunto complementario de $\,x_{1}$ en $\,x$ . En el siguiente diagrama se representa este conjunto como el area sombreada:

Complemento de $x_{1}$ en $x$ , o de A en U en este caso

Sean $\,x$ e $\,y$ subconjuntos de un conjunto $u\,$ . Se cumplen

( C-1 ) ${\mathcal {C}}_{u}u=\varnothing$

( C-2 ) ${\mathcal {C}}_{u}\varnothing =u$

( C-3 ) ${\mathcal {C}}_{\varnothing }u=\varnothing$ (conmutatividad)

( C-4 ) ${\mathcal {C}}_{u}{\mathcal {C}}_{u}x=x$

( C-5 ) $x\cup {\mathcal {C}}_{u}x=u$

( C-6 ) $x\cap {\mathcal {C}}_{u}x=\varnothing$

( C-7 ) ${\mathcal {C}}_{u}(x\cup y)={\mathcal {C}}_{u}x\cap {\mathcal {C}}_{u}y$

( C-8 ) ${\mathcal {C}}_{u}(x\cap y)={\mathcal {C}}_{u}x\cup {\mathcal {C}}_{u}y$

( C-9 ) $x-y=x\cap {\mathcal {C}}_{u}y$

Los enunciados ( C-7 ) y ( C-8 ) se conocen como leyes de De Morgan.

1.4.3. En ocasiones, para evitar complejidades notacionales, escribiremos ${\mathcal {C}}x$ en lugar de ${\mathcal {C}}_{y}x$ cuando del contexto se sobreentienda cual es el conjunto $\,y$ .

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