Ecuación cuadrática/Fórmula general

Consideremos la ecuación general de segundo grado (ecuación cuadrática) que tiene la forma: $ax^{2}+bx+c=0$. Resolver esta ecuación implica encontrar el valor o los valores de $x$ que cumplen con la expresión, si es que existen

Cuando nos enfrentamos por primera vez en la vida a esta clase de problemas, la primera forma en la que se intenta dar una respuesta es probando con varios números hasta "atinarle" (ya sea por que nos sonría la buena fortuna, o por aproximación).

Algunos incluso prueban número tras número hasta hallar la solución (Método de la "Fuerza Bruta")

Después, conforme nos vamos enfrentando a mas problemas que involucran ecuaciones cuadráticas, descubrimos algunos métodos de solución. De los primeros que aprendemos (por simplicidad) están el "Método Gráfico" (Realizar la gráfica correspondiente a la ecuación cuadrática igualada a cero y observar en que abscisas la gráfica "toca o pasa" por el eje horizontal del plano cartesiano). Otro método que aprendemos es el "Método de Factorización" (Trabajar con la expresión cuadrática igualada a cero hasta dejarla expresada como multiplicación de otras dos expresiones algebraicas, y encontrar "por simple observación" los valores que hacen que estas últimas dos ecuaciones sean iguales a cero).

Las desventajas de estos métodos es que implican trabajo excesivo, y no se garantiza que se encuentre la solución de la ecuación (al menos una solución "Real").

El último método que se estudia para resolver ecuaciones de segundo grado es la "Fórmula General".

Explicación de la Formula General

La deducción de la fórmula cuadrática viene de la fórmula de completar el cuadro:

La ecuación canónica de segundo grado se puede simplificar dividiendo por el coeficiente principal, de forma que

$ax^{2}+bx+c=0\ \Leftrightarrow \ x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$

Si usamos otras letras para simplificarlo de forma que $m={\frac {b}{a}}$ y $n={\frac {c}{a}}$ la demostración (que es algo más sencilla) queda como sigue:

Desde la ecuación

$x^{2}+mx+n=0\,$

Aislando n

$x^{2}+mx=-n\,$

Sumando ${\frac {m^{2}}{4}}$ a ambos términos

$x^{2}+mx+{\frac {m^{2}}{4}}={\frac {m^{2}}{4}}-n$

Simplificamos el primer término a un binomio cuadrado

$\left(x+{\frac {m}{2}}\right)^{2}={\frac {m^{2}}{4}}-n$

Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros

$x+{\frac {m}{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {m^{2}}{4}}-n}}$

Aislando $x\,$ y simplificando la fracción de la raíz

$x={\frac {-m}{2}}\pm {\sqrt {\frac {m^{2}-4n}{4}}}$

Simplificando a común denominador

$x={\frac {-m\pm {\sqrt {m^{2}-4n}}}{2}}$

si deshacemos el cambio de variables, obtenemos el resultado

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

La demostración sin cambio de variables se puede ver aquí:

• Partimos de nuestra ecuación simplificada:

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$

• Pasamos al otro término ${\frac {c}{a}}$:

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}$

• Sumamos ${\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$ para obtener un binomio desarrollado:

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}$

• El trinomio a la izquierda es un cuadrado perfecto; simplificando a común denominador el segundo miembro:

$\,\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$

Extrayendo las 2 posibles raíces cuadradas, obtenemos:

$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$

Moviendo ${\frac {b}{2a}}$ y aplicando la raíz al denominador:

$x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$

Simplificando a común denominador:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

$X_{1},_{2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Analizando la raíz cuadrada, se llega a las siguientes conclusiones :

Si $b^{2}$ es menor que $-4ac$ los resultados de X serán dos valores con parte real y parte imaginaria. Es decir, el resultado sera un número complejo.

Si $b^{2}$ es mayor que $-4ac$ obtendremos dos valores distintos de X reales.

Y si $b^{2}$ es igual que $-4ac$ obtendremos dos valores de X reales e iguales.

Otras operaciones cuadraticas utilizadas son al realizarlas ejemplo:(x+8)al cuadrado

(×+8)(×+8)

×al cuadrado+8x+8x+64 SIMPLIFICADO:

xal cuadrado+16x+64

Al término $b^{2}-4ac$ se le llama discriminante.

tomando en cuenta el orden de los términos: "a","b"y"c"=x²-6x+9

Las características principales de estas son:

1. Tienen que estar igualadas a cero

2. Tienen una, dos, o ninguna solución dependiendo del problema de ecuación..

http://melisa3f.blogspot.mx/2014/02/formula-general-de-las-ecuaciones.html