Campo escalar de Klein-Gordon

La ecuación de Klein-Gordon es una ecuación de ondas relativista, descubierta por Erwin Schrödinger, como alternativa relativsita a la ecuación con su nombre:

(1) ${\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\varphi +m^{2}\varphi =0$

Es similar a la ecuación de ondas del electromagnetismo, pero con un término extra correspondiente a una «masa». Las propiedades de esta ecuación la hacen inviable para describir una partícula cuántica. Sin embargo, si se toma como la ecuación de un campo clásico sin más —como pudiera ser el campo electromagnético— permite mostrar el primer ejemplo de teoría cuántica de campos.

Teoría clásica

La ecuación (1)

en notación cuadridimensional es:

$(\square +m^{2})\varphi =0\,,$

y puede obtenerse a traves de las ecuaciones de Lagrange aplicadas al siguiente lagrangiano:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi \partial ^{\mu }\varphi +{\frac {m^{2}}{2}}\varphi ^{2}={\frac {1}{2}}(\partial _{t}\varphi )^{2}-{\frac {1}{2}}(\nabla \varphi )^{2}-{\frac {m^{2}}{2}}\varphi ^{2}$

en el caso de que el campo de Klein-Gordon sea real, lo que se supondrá en adelante. Las soluciones de dicha ecuación se pueden obtener observando que es lineal, lo que corresponde a una ecuación algebraica para la transformada de Fourier de φ:

${\begin{aligned}&\varphi (t,\mathbf {x} )=\int {\frac {d^{3}\mathbf {k} }{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}\varphi (t,\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\\&{\ddot {\varphi }}(t,\mathbf {k} )+(\mathbf {k} ^{2}+m^{2})\varphi (t,\mathbf {k} )=0\end{aligned}}$

De este modo, es claro que la ecuación de Klein-Gordon es equivalente a la ecuación de un conjunto de osciladores armónico, uno por cada modo k de la transformada del campo. La frecuencia del oscilador asociado al modo k es ω_k = √ (k² + m²).

La solución para cada modo es una suma de ondas planas de frecuencia negativa y positiva:

$\varphi (t,\mathbf {k} )=\left(\alpha e^{i\omega _{\mathbf {k} }t}+\beta e^{-i\omega _{\mathbf {k} }t}\right)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\,,$

donde α y β son coeficientes constantes arbitrarias (no del todo, como se verá enseguida). Por lo tanto, la solución más general para el campo de Klein-Gordon es una superposición de estas ondas planas:

(2) $\varphi (x)=\int {\frac {d^{3}\mathbf {k} }{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}\left[\alpha (\mathbf {k} )e^{i\omega _{\mathbf {k} }t}+\alpha ^{*}(-\mathbf {k} )e^{-i\omega _{\mathbf {k} }t}\right]e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\,,$

donde, para asegurar que el campo sea real, φ(x)^* = φ(x), se ha de imponer la condición adicional β(k) = α(−k)^*.

El lagrangiano de Klein-Gordon no depende explícitamente de las coordenadas espacio-temporales, por lo que es simétrico bajo translaciones. Concretamente, para una dirección cualquiera ν, la integral de acción no cambia su valor al transladar el campo y las coordenadas en esa dirección, mediante las transformaciones:

${\begin{aligned}&\varphi (x^{\mu })\to \varphi (x^{\mu }+s\cdot \delta _{\nu }^{\mu })=\varphi (x^{\mu })+s\cdot \partial _{\nu }\varphi +\ldots \\&x^{\mu }\to x^{\mu }+s\cdot \delta _{\nu }^{\mu }\end{aligned}}$

El producto s·δ^μ_ν se corresponde con un cuadrivector apuntando en la dirección ν con «longitud» s. Las variaciones infinitesimales del campo y las coordenadas son entonces δφ = ∂_νφ y δχ^μ = δ^μ_ν, y mediante el teorema de Noether se obtiene una corriente conservada dada por:

(3) $j_{\ \nu }^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\partial _{\nu }\varphi -\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}=\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -{\frac {1}{2}}\delta _{\nu }^{\mu }\left(\partial _{\sigma }\varphi \partial ^{\sigma }\varphi -m^{2}\varphi ^{2}\right)$

Existen cuatro corrientes conservadas, una para cada dirección ν. En realidad, puede notarse de la forma de la corriente (3)

que estas cuatro corrientes son en realidad las componentes de un tensor de dos índices. La versión contravariante (con los índices arriba) de este tensor se escribe:

$T^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }\varphi \partial ^{\nu }\varphi -{\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\left(\partial _{\sigma }\varphi \partial ^{\sigma }\varphi -m^{2}\varphi ^{2}\right)$

Este se denomina tensor de energía-momento, y está definido en general, para cualquier campo cuya acción sea invariante bajo translaciones, como el conjunto de corrientes conservadas asociadas a estas. Las cargas conservadas asociadas a las translaciones temporales y espaciales son la energía y el momento del campo (el momento total que este transporta, no confundir con el momento conjugado del campo π). En este caso vienen dadas por:

(4) ${\begin{aligned}&E=\int T_{\ 0}^{0}\,d^{3}\mathbf {x} ={\frac {1}{2}}\int d^{3}\mathbf {x} \left\{{\dot {\varphi }}^{2}+(\nabla \varphi )^{2}+m^{2}\varphi ^{2}\right\}\\&P_{i}=\int T_{\ i}^{0}\,d^{3}\mathbf {x} =-\int d^{3}\mathbf {x} \,{\dot {\varphi }}\partial _{i}\varphi \end{aligned}}$

Además la expresión de la energía total coincide con el hamiltoniano del sistema, teniendo en cuenta que el momento conjugado de φ es π = ∂_tφ, y que la expresión para dicha densidad es:

(5) ${\mathcal {H}}=\pi {\dot {\varphi }}-{\mathcal {L}}=\pi ^{2}-{\frac {1}{2}}\left\{\pi ^{2}-(\nabla \varphi )^{2}-m^{2}\varphi ^{2}\right\}={\frac {1}{2}}\left\{\pi ^{2}+(\nabla \varphi )^{2}+m^{2}\right\}$

Caso complejo

En el caso de que φ sea un campo con valores complejos, su lagrangiano es:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi ^{*}\partial _{\mu }\varphi -{\frac {m^{2}}{2}}\varphi ^{*}\varphi \,,$

y la solución más general a la ecuación de Klein-Gordon es entonces:

$\varphi (x)=\int {\frac {d^{3}\mathbf {k} }{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}\left[\alpha (\mathbf {k} )e^{i\omega _{\mathbf {k} }t}+\beta (-\mathbf {k} )e^{-i\omega _{\mathbf {k} }t}\right]e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\,,$

donde ahora α y β son funciones arbitrarias e independientes. Las correspondientes expresiones para el hamiltoniano, el tensor energía-momento, la energía y momento total, etc., son fáciles de obtener, introduciendo φ^* y π^* donde sea necesario para hacer las expresiones reales:

${\begin{aligned}&H={\frac {1}{2}}\int d^{3}\mathbf {x} \left\{\pi \pi ^{*}+\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi ^{*}+m^{2}\varphi \varphi ^{*}\right\}\\&T^{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\left(\partial ^{\mu }\varphi \partial ^{\nu }\varphi ^{*}+\partial ^{\mu }\varphi ^{*}\partial ^{\nu }\varphi \right)-\eta ^{\mu \nu }{\mathcal {L}}\\&\ldots \end{aligned}}$

Sin emabargo, el lagrangiano del campo complejo tiene una particularidad propia: es simétrico bajo cambios de fase. En efecto, este no cambia al transformar el campo bajo φ → e^{i α}φ = φ + i α φ + ..., donde α es un número constante cualquiera. La corriente y la carga conservadas correspondientes son:

${\begin{aligned}&j^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}i\varphi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi ^{*})}}(-i\varphi ^{*})=i\left(\varphi \partial ^{\mu }\varphi ^{*}-\varphi ^{*}\partial ^{\mu }\varphi \right)\\&Q=\int d^{3}\mathbf {x} \left(\varphi {\dot {\varphi }}^{*}-\varphi ^{*}{\dot {\varphi }}\right)\end{aligned}}$

La interpretación de esta cantidad será evidente al cuantizar el campo complejo.

La ecuación de Klein-Gordon (compleja) se formuló originalmente como una versión relativista de la ecuación de Schrödinger no relativista. Sin embargo, interpretar el campo complejo φ como una función de onda es problemático por varias razones. La primera es que sus soluciones incluyen ondas planas proporcionales a e^{i ω t}, que tiene el signo incorrecto en el exponente, o de otro modo, con energía negativa.^[1] Pero además, una función de onda con una interpretación probabilista requiere de una definición de norma. La integral de |φ|² no es constante en el tiempo, luego no sirve como probabilidad total, y la carga conservada Q definida anteriormente puede tomar valores negativos (precisamente para las ondas planas de «energía negativa»).

Cuantización

Para cuantizar el campo, se procede como en el ejemplo del capítulo anterior. Se parte de un operador campo φ y su momento conjugado π, los cuales verifican una relación de conmutación canónica,

(6) $[\varphi (\mathbf {x} ),\pi (\mathbf {y} )]=i\delta ^{3}(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\,,$

y se adopta como operador densidad hamiltoniana del sistema el dado por la expresión del caso clásico (5)

, entendiendo ahora los φ y π como operadores. Para diagonalizarlo se debe descomponer el operador campo en sus «modos normales». La expresión (2)

sugiere precisamente cómo hacerlo:

(7) ${\begin{aligned}&\phi (\mathbf {x} )=\int {\frac {d^{3}\mathbf {k} }{(2\pi )^{\frac {3}{2}}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {k} }}}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\left(a_{\mathbf {k} }+a_{-\mathbf {k} }^{\dagger }\right)\\&\pi (\mathbf {x} )=\int {\frac {d^{3}\mathbf {k} }{(2\pi )^{\frac {3}{2}}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {k} }}}}}i\omega _{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\left(-a_{\mathbf {k} }+a_{-\mathbf {k} }^{\dagger }\right)\end{aligned}}$

Los factores 1/(2π)^3/2 √2ω_k se introducen meramente de cara a simplificar fórmulas posteriores. De manera equivalente, se ha definido el operador destrucción a_k como:

$a_{\mathbf {k} }={\sqrt {\frac {\omega _{\mathbf {k} }}{2}}}\int {\frac {d^{3}\mathbf {x} }{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\left(\varphi (\mathbf {x} )+i{\frac {\pi (\mathbf {x} )}{\omega _{\mathbf {k} }}}\right)$

Las relaciones de conmutación canónicas (6)

aseguran precisamente que a_k y a_k^† se comportan como operadores escalera: su relación de conmutación es [a_k, a_p^†] = δ³(k − p). Implementando la expansión (7)

en la densidad hamiltoniana (5)

, e integrando sobre el espacio tridimensional para obtener el operador hamiltoniano, se obtiene:

$H=\int d^{3}\mathbf {k} {\frac {\omega _{\mathbf {k} }}{2}}\left(a_{\mathbf {k} }a_{\mathbf {k} }^{\dagger }+a_{\mathbf {k} }^{\dagger }a_{\mathbf {k} }\right)$

Esta expresión es idéntica a la que se encuentra en la cuantización de un oscilador armónico. Sin embargo, a la hora de poner los operadores a_k y a_k^† en el orden normal, o sea, todos los operadores de creación a_k^† a la izquierda, se encuentra un problema similar al que apareció al cuantizar el campo sonoro en una varilla en el capítulo 2: aparece una constante infinita, debido a que a_k a_k^† + a_k^† a_k = 2 a_k^† a_k + δ³(0) y por tanto:

$H=\int d^{3}\mathbf {k} \,\omega _{\mathbf {k} }\left(a_{\mathbf {k} }^{\dagger }a_{\mathbf {k} }+{\frac {1}{2}}\delta ^{3}(\mathbf {0} )\right)$

Esta constante, que se corresponde con la energía del estado de vacío, es doblemente infinita: involucra una integral de ω_k para todos los valores del vector k, y además está multiplicada por la delta de Dirac en 0, δ³(0), que también diverge. Esta segunda divergencia está relacionada con el volumen infinito en el que se propaga el campo: no aparece en la constante correspondiente E₀ para la varilla. Al tener esta longitud finita l, los posibles valores del momento del fonón k están cuantizados, por lo que aparece una delta de Kronecker finita, δ_kk=1. La otra causa del infinito, la integración en k, sí aparece en el caso de la varilla —como una suma en infinitos k—, y es inevitable en presencia un campo continuo, que equivale a un número infinito de grados de libertad. Sin embargo, esta constante puede ignorarse en base a que su valor es indetectable, ya que físicamente sólo es medible la diferencia de energía respecto al vacío.

El espectro de energías del campo se obtiene postulando, al igual que en los casos anteriores, un estado de vacío |0⟩ aniquilado por todos los a_k. A partir de este, las distintas excitaciones se construyen aplicando operadores de creación:

$|\mathbf {k} \rangle =a_{\mathbf {k} }^{\dagger }|0\rangle {\text{ , }}|\mathbf {k} \,\mathbf {p} \rangle =a_{\mathbf {k} }^{\dagger }a_{\mathbf {p} }^{\dagger }|0\rangle ,\ldots$

De este modo se puede hablar de estados con 0, 1, 2, ... partículas, y la energía del estado |k₁...k_n⟩ es precisamente ω_k₁ + ... + ω_{k_n}. Esta interpretación se refuerza al examinar el espectro del operador momento total del campo, definido a partir de la expresión (4)

$P_{i}=-\int d^{2}\mathbf {x} \,\pi (\mathbf {x} )\partial _{i}\varphi (\mathbf {x} )=\int d^{3}\mathbf {k} \,k_{i}\,a_{\mathbf {k} }^{\dagger }a_{\mathbf {k} }\,,$

de modo que el momento total del estado |k₁...k_n⟩ es k₁ + ... + k_n. Así:

${\begin{aligned}&H|\mathbf {k} _{1},\ldots ,\mathbf {k} _{n}\rangle =(\omega _{\mathbf {k} _{1}}+\ldots +\omega _{\mathbf {k} _{n}})|\mathbf {k} _{1},\ldots ,\mathbf {k} _{n}\rangle \\&\mathbf {P} |\mathbf {k} _{1},\ldots ,\mathbf {k} _{n}\rangle =(\mathbf {k} _{1}+\ldots +\mathbf {k} _{n})|\mathbf {k} _{1},\ldots ,\mathbf {k} _{n}\rangle \end{aligned}}$

Al igual que en el caso de los fonones, llamar partículas a estas excitaciones no es debido a que estén localizadas. El estado |k⟩ se comporta como un estado con una partícula de momento bien definido, y por tanto deslocalizada. De hecho, ninguno de los estados |k₁...k_n⟩ tiene norma bien definida, así que han de interpretarse en el mismo sentido que la base de momentos en mecánica cuántica ordinaria: como una base generalizada para construir paquetes de onda.

La relación de dispersión de estas partículas es relativista, ya que proviene de la relación correspondiente para el campo. ω_k = k² + m². Al igual que en el caso de los fonones, las partículas que aparecen son bosones indistinguibles, ya que los operadores creación conmutan entre sí, a_k^† a_p^† = a_p^† a_k^† y por tanto |k p⟩ = |p k⟩. Por último, parece obvio que estas partículas tienen espín 0, dado que no tienen ningún grado de libertad además de su momento (más tarde se confirmará formalmente este hecho). Recapitulando: el comportamiento cuántico de un campo escalar real que cumpla la ecuación de Klein-Gordon (con masa m) es el de un colectivo de un número indeterminado de bosones relativistas de masa m y espín 0.

Bibliografía y referencias

↑ Vale la pena enfatizar que estas soluciones «tienen» energía negativa si se interpretan como funciones de onda. La energía del campo de Klein-Gordon, es decir, la carga conservada es siempre positiva.

Peskin, Michael; Schroeder, Daniel (1995) (en inglés). An introduction to quantum field theory. Westview Press. ISBN 0-201-50397-2.

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[1] Vale la pena enfatizar que estas soluciones «tienen» energía negativa si se interpretan como funciones de onda. La energía del campo de Klein-Gordon, es decir, la carga conservada es siempre positiva.

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