Física/Física avanzada/Teoría cuántica de campos/Introducción

La teoría cuántica de campos es el resultado de aplicar el formalismo de la mecánica cuántica a los sistemas de campos continuos, como el campo electromagnético. La descripción matemática de estos sistemas es muy distinta de la de los sistemas discretos, formados por un número finito de partículas interaccionando entre sí, incluso al nivel puramente clásico, como se ha detallado en el capítulo anterior. A nivel cuántico, los estados de una campo cuántico se corresponden con los posibles estados de un colectivo de partículas cuánticas de número indeterminado. En el caso del campo electromagnético, por ejemplo, es conocido que a nivel cuántico este se comporta como un conjunto de partículas llamadas fotones. Esta equivalencia es obvia a la luz de la analogía existente entre un campo continuo y un conjunto de osciladores, como se verá en la sección siguiente.

La teoría cuántica de campos es pues indispensable para describir los fenómenos cuánticos asociados con la radiación electromagnética, por necesitar esta del formalismo de campo continuo. Sin embargo no es esta su única aplicación. Cualquier otro campo «no fundamental», como el campo sonoro, es susceptible de ser tratado mediante esta técnica (véase el ejemplo de más adelante). A nivel microscópico, este no es más que la vibración colectiva de los átomos de un medio, pero aun así la descripción como campo cuántico puede ser útil. Por otro lado, si el campo que se cuantiza es relativista —si sus ecuaciones son invariantes bajo transformaciones de Lorentz—, la dinámica de las partículas que conforman su espectro respetará también dicha invariancia. Además, en un régimen relativista se ha de incluir necesariamente la posibilidad de que el número de partículas del sistema varíe —como en una colisión a altas energías, una desintegración, etc.—. Por ello, para la descripción de las interacciones de un sistema cuántico y relativista es imprescindible utilizar una teoría cuántica de campos.

Segunda cuantización

El comportamiento cuántico de un campo es fácilmente comprensible en virtud de la equivalencia entre un campo continuo y un conjunto de osciladores acoplados. Un campo clásico puede entenderse como el límite continuo de un sistema discreto, cuando la separación media entre las partículas que lo conforman es muy pequeña. Este análisis, que resulta en que el espectro de un campo continuo es equivalente a un conjunto de partículas de número variable, se denomina segunda cuantización.

Modelo simplificado

Un sistema de dos osciladores cuánticos de frecuencias ω_rojo y ω_azul es equivalente a un sistema con un número variable de partículas con dos posibles niveles de energía. (Más información)

Un modelo sencillo que ilustra esta equivalencia es un conjunto de osciladores armónicos cuánticos desacoplados, cuyo hamiltoniano es:

$H=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {P_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}X_{i}^{2}\right)=\sum _{i=1}^{N}\omega _{i}\left(a_{i}^{\dagger }a_{i}+{\frac {1}{2}}\right)\,,$

Cada oscilador tiene sus propios operadores escalera u operadores de creación y destrucción, a_i^† y a_i, con la definición y propiedades usuales:

${\begin{aligned}&a_{i}={\sqrt {\frac {m\omega _{i}}{2}}}X_{i}+i{\frac {P_{i}}{2m\omega _{i}}}\,,\\&[a_{i},a_{j}]=[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }]=0{\text{ , }}[a_{i},a_{j}^{\dagger }]=\delta _{ij}\end{aligned}}$

los cuales permiten diagonalizar el hamiltoniano total a la forma mostrada. El espectro de energías de este sistema es sencillo. Existe un estado fundamental |0⟩, con energía E₀ = Σ_i ω_i/2, aniquilado por cada operador de destrucción, a_i |0⟩ = 0. Cada operador de creación a_i^† produce un nuevo nivel con la energía aumentada en ω_i. La notación de números de ocupación o de segunda cuantización permite entonces visualizar todo el espectro como:

${\begin{aligned}&|\nu _{1},\nu _{2},...,\nu _{N}\rangle \propto (a_{k_{1}}^{\dagger })^{\nu _{1}}\cdot (a_{k_{2}}^{\dagger })^{\nu _{2}}\cdot \ldots \cdot (a_{k_{N}}^{\dagger })^{\nu _{N}}|0\rangle \\&H|\nu _{1},\nu _{2},...,\nu _{N}\rangle =(\nu _{1}\omega _{1}+\ldots +\nu _{N}\omega _{N}+E_{0})|\nu _{1},\nu _{2},...,\nu _{N}\rangle \,,\end{aligned}}$

donde los ν_i son enteros no negativos, ν_i = 0 ,1 , ... Llegado este punto, es evidente la analogía que existe entre este sistema, y otro dado por el siguiente hamiltoniano:

$H=\sum _{i}\omega _{i}n_{i}\,,$

donde n_i es un operador «número», actuando sobre una serie de estados |ν₁, ..., ν_N⟩ de la forma:

$n_{i}|\nu _{1},\nu _{2},...,\nu _{N}\rangle =\nu _{i}|\nu _{1},\nu _{2},...,\nu _{N}\rangle$

Este hamiltoniano describe un sistema con N niveles de energía fijos, con energías ω₁, ..., ω_N, poblado por un número variable de partículas repartidas por estos. El estado fundamental |0⟩ ≡ |0, ..., 0⟩ es el vacío, que no contiene partículas en ningún nivel. Estas son indistinguibles ya que los números de ocupación ν_i no reflejan ninguna diferencia entre las que pueblan el nivel i-ésimo. De hecho son bosones, dado que no hay ninguna restricción sobre el valor de dichos números (pueden ser mayores que 1). Excepto por la constante E₀ el espectro de energías de ambos sistemas es idéntico.

Límite continuo en mecánica clásica

Para terminar de entender la equivalencia entre campo y colectivo de partículas, es necesario recordar cómo un campo puede expresarse como el límite continuo de un sistema de osciladores. Para ello, un ejemplo habitual es una varilla elástica capaz de vibrar longitudinalmente. A nivel microscópico, puede imaginarse que se trata de una «cadena» de partículas sobre una recta, espaciadas en equilibrio por una distancia a; y capaces de vibrar dentro de la misma, sujetas a fuerzas elásticas entre ellas. El lagrangiano de este conjunto de partículas es:

(1) $L=\sum _{n}\left\{{\frac {1}{2}}m{\dot {\chi }}_{n}^{2}-{\frac {1}{2}}K(\chi _{n+1}-\chi _{n})^{2}\right\}\,,$

donde cada χ_n es el desplazamiento de la partícula n-ésima respecto de su posición de equilibrio; m es la masa de estas y K la constante elástica que caracteriza su potencial elástico. Sus ecuaciones de movimiento son entonces:

$m{\ddot {\chi }}_{n}+K\left(2\chi _{n}-\chi _{n+1}-\chi _{n-1}\right)=0$

Los modos normales de un sistema físico son sus vibraciones colectivas más simples, como las de esta membrana elástica.

El comportamiento de este sistema es bien conocido: su movimiento puede descomponerse en una superposición de vibraciones colectivas sencillas, del tipo

(2) $\chi _{n}\propto e^{ikna}e^{\pm i\omega _{k}t}$

donde k es un «vector de onda» unidimensional, un número en el intervalo 0 < k ≤ 2π/a (por ejemplo, ya que no hay diferencia física entre k y k + 2π/a). La frecuencia depende de k y viene dada por:

(3) $\omega _{k}={\sqrt {\frac {4K}{m}}}\left|\operatorname {sen} {\frac {ka}{2}}\right|$

Si se suponen condiciones de contorno periódicas para N de estos «átomos» —que simplifican el análisis y no afectan significativamente al contenido físico— entonces χ_n = χ_{n + N} y k sólo puede ser un múltiplo de 2π/N·a.

Esta descomposición en vibraciones colectivas fundamentales se hace más patente al reexpresar el lagrangiano en función de las coordenadas normales:

(4) ${\begin{aligned}&\eta _{k}={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{n=1}^{N}\chi _{n}e^{-ikna}\\&L=\sum _{k}\left\{{\frac {1}{2}}m|{\dot {\eta }}_{k}|^{2}-{\frac {1}{2}}m\omega _{k}^{2}|\eta _{k}|^{2}\right\}\,,\end{aligned}}$

lo que requiere hacer uso de la identidad

$\sum _{k}e^{ikna}=\left\{{\begin{array}{l}0,{\text{ si }}n\neq N\\N,{\text{ si }}n=N\end{array}}\right.\,,$

donde k recorre los posibles «vectores de onda»: 2π/N a, 4π/N a, ... , 2π/a.

Osciladores acoplados	${\xrightarrow {\quad \qquad \qquad }}$ Límite continuo	Campo continuo
Dinámica en   términos de:		Dinámica en   términos de:
Coordenadas normales	${\xrightarrow {\quad \qquad \qquad }}$ Límite continuo	Ondas planas

En el límite continuo de este sistema, se toma la distancia de equilibrio entre las partículas muy pequeña, a → 0. Las posiciones de referencia de las partículas, n a, son cada vez más densas dentro de la varilla, y los desplazamientos de cada partícula, χ_n(t), se transforman en un campo continuo χ(x, t), definido en cada punto de la misma. La coordenada x no describe un grado de libertad, sino que es la versión continua del índice n. Las derivada temporal dχ_n/dt se corresponde ahora con la derivada parcial ∂_tχ(x, t), y la diferencia χ_{n + 1} − χ_n, cuando a es muy pequeño, es proporcional a la derivada ∂_xχ(x, t). En definitiva, al tomar detalladamente el límite en el lagrangiano:

$L=\sum _{n=1}^{N}\left\{{\frac {1}{2}}m{\dot {\chi }}_{n}^{2}-{\frac {1}{2}}K(\chi _{n+1}-\chi _{n})^{2}\right\}=\sum _{n=1}^{N}a\left\{{\frac {1}{2}}{\frac {m}{a}}{\dot {\chi }}_{n}^{2}-{\frac {1}{2}}Ka\left({\frac {\chi _{n+1}-\chi _{n}}{a}}\right)^{2}\right\}{\stackrel {a\to 0}{\longrightarrow }}\int _{0}^{l}dx\left\{{\frac {1}{2}}\mu {\dot {\chi }}^{2}-{\frac {1}{2}}Y\chi '^{2}\right\}\,,$

de forma que resulta ser la integral de una densidad lagrangiana. Para que el límite tenga sentido ha de ocurrir simultáneamente que m → 0, K → ∞ y el número de partículas N → ∞, de tal modo que se obtenga m/a → μ —la densidad lineal de la varilla— y K a → Y —su módulo elástico—, y que su longitud N a = l sea constante. La ecuación de movimiento de este campo es una ecuación de ondas que describe la propagación del sonido a lo largo de la misma:

$\mu {\ddot {\chi }}-Y\chi ''=0$

Sus soluciones pueden a su vez descomponerse en ondas planas de forma simple:

$\chi (x,t)\propto e^{ikx}e^{\pm ic_{s}|k|t}\,,$

donde c_s² = Y/μ es la velocidad del sonido. La expresión de estas ondas planas se obtiene en particular a partir de las vibraciones normales (2)

en el límite continuo, teniendo en cuenta que cuando k → 0, la frecuencia (3)

es proporcional a |k|. El número de ondas k solo puede ser un múltiplo de 2π/l, dado que el campo es periódico, χ(x, t) = χ(x + l, t). Realizando una transformada de Fourier puede expresarse el lagrangiano en términos de estas ondas planas:

${\begin{aligned}&\eta (k,t)={\frac {1}{\sqrt {l}}}\int _{0}^{l}e^{-ikx}\chi (x,t)dx\\&L=\sum _{{\frac {kl}{2\pi }}\geq 0}^{\infty }\left\{{\frac {1}{2}}\mu |{\dot {\eta }}(k,t)|^{2}-{\frac {1}{2}}\mu c_{s}^{2}k^{2}|\eta (k,t)|^{2}\right\}\,,\end{aligned}}$

donde se han de usar las identidades:

$\int _{0}^{l}dx\,e^{ikx}=\left\{{\begin{array}{l}0,{\text{ si }}k\neq 0\\l,{\text{ si }}k=0\end{array}}\right.{\text{ , }}\sum _{k}e^{ikx}=l\delta (x-y)\,,$

donde ahora k es un múltiplo entero de 2π/l, y δ(x −y) es la delta de Dirac.

Límite continuo en mecánica cuántica

La cuantización del sistema de osciladores acoplados descrito en (1)

es una versión más general de la cuantización de un oscilador armónico. El hamiltoniano clásico de los osciladores es:

(5) $H_{cl}=\sum _{n=1}^{N}\left\{{\frac {\pi _{n}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}K\left(\chi _{n+1}-\chi _{n}\right)\right\}\,,$

donde π_n es el momento de la partícula n-ésima. El operador hamiltoniano puede diagonalizarse parcialmente utilizando las coordenadas normales (4)

(no se utilizan signos distintos para magnitudes clásicas y sus operadores cuánticos correspondientes):

$H=\sum _{k={\frac {2\pi }{Na}}}^{\frac {2\pi }{a}}\left\{{\frac {\zeta _{k}\zeta _{k}^{\dagger }}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{k}^{2}\eta _{k}\eta _{k}^{\dagger }\right\}\,,$

donde ζ_k es el momento conjugado de la coordenada normal η_k:

$\zeta _{k}={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{n}\pi _{n}e^{ikna}$

Los operadores escalera tienen una expresión algo más complicada que en el caso de los osciladores desacoplados:

$a_{k}={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2}}}\eta _{k}+i{\frac {\zeta _{-k}}{\sqrt {2m\omega _{k}}}}={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2N}}}\sum _{n}e^{-ikna}\left(\chi _{n}+i{\frac {\pi _{n}}{m\omega _{k}}}\right){\text{ , }}[a_{k},a_{k'}^{\dagger }]=\delta _{kk'}\,,$

y de este modo, se consigue diagonalizar el hamiltoniano en la forma habitual

$H=\sum _{k}\omega _{k}\left(a_{k}^{\dagger }a_{k}+{\frac {1}{2}}\right)$

El espectro de la teoría es análogo al modelo simplificado anterior, pues esta forma del hamiltoniano es idéntica a un conjunto de osciladores desacoplados, uno por cada modo normal. Suponiendo un estado fundamental |0⟩ que es aniquilado por cada a_k, a_k |0⟩ = 0, el resto de niveles de energía se obtienen aplicando operadores de creación o subida a_k^† sobre este. La energía del estado (a_k1^†)^ν₁ (a_k2^†)^ν₂ ... |0⟩ es ω_k1 ν₁ + ω_k2 ν₂ + ... + E₀, donde la constante E₀ = Σ_k ω_k/2 es la energía del nivel fundamental.

Desde la perspectiva de los números de ocupación, puede hablarse de estados poblados por un cierto número de cuantos elementales de la vibración, denominados habitualmente fonones. En el formalismo de segunda cuantización es corriente describir un sistema en términos de estas cuasiparticulas o excitaciones colectivas, que se comportan como partículas individuales. Por «partícula» se entiende «partícula cuańtica», es decir, deslocalizada. Los fonones no tienen una posición determinada, sino que se corresponden con un modo colectivo de vibración, parecido a un estado de momento definido para una partícula libre. Estos fonones tienen un comportamiento bosónico, al igual que en el modelo anterior, ya que puede haber un número arbitrario de ellos en cualquier nivel ω_k.

El espectro de energías del campo cuántico es por tanto el límite continuo de este sistema, y el proceso de cuantización puede repetirse paso a paso de manera análoga. El campo χ(x, t) da paso a un operador cuántico χ(x) con momento conjugado π(x). Al tomar el límite continuo del hamiltoniano (5)

, se obtiene:

$H=\int _{0}^{l}dx\left({\frac {1}{2\mu }}\pi (x)^{2}+{\frac {Y}{2}}\chi '(x)^{2}\right)\,,$

siempre que el momento conjugado continuo se defina mediante el límite π_n/a → π(x) cuando a → 0. Esto resulta en que las relaciones de conmutación canónicas en el continuo presentan deltas de Dirac:

${\frac {i\delta _{nm}}{a}}=[\chi _{n},\pi _{m}/a]{\stackrel {a\to 0}{\longrightarrow }}[\chi (x),\pi (y)]=i\delta (x-y)\!$

Los operadores creación y destrucción se definen entonces como:

$a_{k}={\sqrt {\frac {\mu c_{s}|k|}{2l}}}\int _{0}^{l}e^{-ikx}\left(\chi (x)+i{\frac {\pi (x)}{\mu c_{s}|k|}}\right)$

Y en términos de estos, el hamiltoniano queda en su forma diagonal:

$H=\sum _{k}c_{s}|k|\left(a_{k}^{\dagger }a_{k}+{\frac {1}{2}}\right)$

El espectro de la teoría está formado por estados con un número arbitrario de fonones. La energía c_s |k| de estos es arbitrariamente alta. Precisamente por esto la energía del nivel fundamental o vacío |0⟩ es formalmente infinita, aunque se considera habitualmente que esta constante no es observable y se ignora.

Bibliografía y referencias

• Ashcroft, Neil; Mermin, N. David (1976) (en inglés). Solid state physics. Harcourt. ISBN 0-03-082993-9. 
• Goldstein, Herbert (1998). Mecánica clásica. Editorial Reverté. ISBN 978-84-291-4306-5. 
• Ynduráin, Francisco José (2003). Mecánica cuántica (2ª edición edición). Ariel. ISBN 84-344-8060-3.