Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Funciones no elementales

Índice de la sección
«Bachillerato LOGSE»

• Introducción
• Aritmética
• Álgebra
• Resolución de triángulos
• Números complejos
• Geometría analítica
• Derivadas
• Integrales
• Vectores
• Combinatoria
• Introducción a la trigonometría
• Funciones
• Funciones elementales
• Funciones no elementales
• Sucesos aleatorios
• Distribuciones de probabilidad
• Distribuciones bidimensionales

Dada una función real de variable real. función no elemental:

${\begin{array}{rccl}f:&\mathbb {R} &\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=f(x)\end{array}}$

se dice que la función f es no elemental si no cumple las condiciones de función elemental. Existen un número inlimitado de funciones no elementales, presentaremos unos ejemplos de funciones de este tipo.

Funciones de partes de x

Dada la función id(x) que asocia a y el mismo valor de x, definida así:

${\begin{array}{rccl}id:&\mathbb {R} &\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=id(x)\end{array}}$

con la representadión grafica de la derecha.

$id(x)=x$

La función id(x) esta definida para todo x real, es continua u derivable, y creciento en todo su entorno de definición.

Es función impar:

$\forall x\in \mathbb {R} \;:\quad id(-x)=-id(x)$

Es función idempotente:

$\forall x\in \mathbb {R} \;:\quad id({id(x)})=id(x)$

Función signo

La función signo es una función no elemental definida para todo x real:

${\begin{array}{rccl}sgn:&\mathbb {R} &\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=sgn(x)\end{array}}$

Asigna a y el volor 1 si x es positivo, 0 si x es 0 y -1 si x es negativo:

$sgn(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}-1&si&x<0\\0&si&x=0\\1&si&x>0\end{array}}\right.$

La función sgn(x) esta derinida para todo x real, es discontinua para x= 0, para los valores distintos de cero es continua y derivable, y estacionaria (no es creciente ni decreciente).

Es función impar:

$sgn(-x)=-sgn(x)$

Ademas:

$sgn(x)={\cfrac {1}{sgn(x)}}$

Es función idempotente:

$sgn({sgn(x)})=sgn(x)$

Función valor absoluto

La función valor absoluto asocia a y el valor de x sin signo:

${\begin{array}{rccl}abs:&\mathbb {R} &\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=abs(x)\end{array}}$

La función esta definida paro todo x real, es continua y no deribable para x= 0.

$abs(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}-x&si&x<0\\x&si&x\geq 0\end{array}}\right.$

La función abs nunca toma valores negativos, es decreciente para x negativo y es creciente para x positivo, para x= 0 la función tambien vale cero (y= 0).

Es función par:

$abs(-x)=abs(x)$

Es función idempotente:

$abs({abs(x)})=abs(x)$

podemos ver que:

$id(x)=sgn(x)\cdot abs(x)$

Escalón de Heaviside

La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo, incluido el cero:

${\begin{array}{rccl}H:&\mathbb {R} &\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=H(x)\end{array}}$

Esta función queda definida de esta forma:

$H(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}0&si&x<0\\1&si&x\geq 0\end{array}}\right.$

Función rampa

La función rampa definida para valores reales:

${\begin{array}{rccl}rampa:&\mathbb {R} &\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=rampa(x)\end{array}}$

Que se puede especificar de esta forma:

$rampa(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}0&si&x<0\\x&si&x\geq 0\end{array}}\right.$

Esta función es continua, y no es derivable para x = 0.

Es función idempotente:

$rampa({rampa(x)})=rampa(x)$

Puede verse que:

$rampa(x)=id(x)\cdot H(x)$

Función entero de x

Esta función asocia a y el mismo valor de x cuando x en un número entero, si x es positivo y se obtiene eliminando la parte decimas, si x tiene valor negativo y es el valor de x sin parte decimal menos una unidad.

${\begin{array}{rccl}E:&\mathbb {R} &\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=E(x)\end{array}}$

La función entero asocia a y el maximo número entero menor o igual a x, esto es, de todos los números enteros menores o iguales que x, el mayor de ellos:

$E(x)=max(entero\leq x)$

Representada en la figura de la derecha.

La función E(x) esta definida paro todo x real, es discontinua para x número entero, y para los valores en los que es continua es estacionaria.

Función mantisa de x

La función mantisa o parte decimal de x, es una función que asocia a y el valor que falta desde el número entero inferior a x

${\begin{array}{rccl}M:&\mathbb {R} &\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=M(x)\end{array}}$

Ver la figura de la derecha, si x es un número entero M(x) es cero, si x en un número positivo M(x) es la parte decimal de x, cuando x tiene valor negativo entonces M(x) es lo que le falta hasta en número entero inferior a x. M(x) nunca toma valores negativos.

La función M(x) esta definida para todo x real, es discontinua para x número entero y para los valores en los que es continua es creciente.

Puede verse que:

$id(x)=E(x)+M(x)$

Ver la figura de la derecha.

Función parte entera de x

La función parte entera de x es el resultado de eliminar la parte decimal del número, de forma que se conserva el signo y la parte entera. Es una funcion definida para todo número real:

${\begin{array}{rccl}int:&\mathbb {R} &\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=int(x)\end{array}}$

La función parte entera se define como:

$int(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}min(entero\geq x)&si&x<0\\max(entero\leq x)&si&x\geq 0\end{array}}\right.$

para x menor que cero: es el minimo entero mayor o igual que x y para x mayor o igual que cero: es el maximo entero menor o igual que x.

Esta función es impar:

$int(-x)=-int(x)$

Función parte decimal de x

La función parte decimal de x es el resultado de eliminar la parte entera del número, de forma que se conserva el signo y la parte decimal. Es una funcion definida para todo número real:

${\begin{array}{rccl}frac\;int:&\mathbb {R} &\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=frac\;int(x)\end{array}}$

Para x negativo frac int(x) es no positivo, para x positivo frac int(x) es no negativo.

Esta función es impar:

$frac\;int(-x)=-frac\;int(x)$

Puede verse que:

$id(x)=int(x)+frac\;int(x)$

Función redondeo de x

La funcion redondeo de x esta definida para todo número real:

${\begin{array}{rccl}redon:&\mathbb {R} &\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=redon(x)\end{array}}$

Esta función asocia a todo x número real el número entero más proximo, en caso de enteros igualmente proximos se tomara el de menor valor absoluto. La función parte entera se define como:

$redon(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}min(entero\geq x-0,5)&si&x<0\\max(entero\leq x+0,5)&si&x\geq 0\end{array}}\right.$

Esta función es impar:

$redon(-x)=-redon(x)$

Función fracción de redondeo de x

La funcion fracción de redondeo de x esta definida para todo número real:

${\begin{array}{rccl}frac\;redon:&\mathbb {R} &\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=frac\;redon(x)\end{array}}$

Esta función asocia a todo x número real el número fraccionario más proximo a un número entero.

Esta función es impar:

$frac\;redon(-x)=-frac\;redon(x)$

se puede ver que:

$id(x)=redon(x)+frac\;redon(x)$

Función suelo

Esta función es equivalente a la funcios parte entera: $y=E(x)$:

${\begin{array}{rccl}suelo:&\mathbb {R} &\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=suelo(x)\end{array}}$

La función suelo asocia a y el maximo número entero menor o igual a x:

$E(x)=max(entero\leq x)$

Función fracción de suelo

La función fracción de suelo es equivalente a mantisa o parte decimal, asocia a y el valor que falta desde el número entero inferior a x

${\begin{array}{rccl}frac\;suelo:&\mathbb {R} &\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=frac\;suelo(x)\end{array}}$

Puede verse que:

$id(x)=suelo(x)+frac\;suelo(x)$

Ver la figura de la derecha.

Función techo

La función techo asocia a y el valor entero de x por esceso, compararla con la función suelo:

${\begin{array}{rccl}techo:&\mathbb {R} &\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=techo(x)\end{array}}$

El valor de la función techo es el minimo valor entero mayor o igual que x:

$techo(x)=min(entero\geq x)$

Función fracción de techo

La función fracción de techo asocia a y el valor que falta desde el número entero superios a x

${\begin{array}{rccl}frac\;techo:&\mathbb {R} &\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=frac\;techo(x)\end{array}}$

Puede verse que:

$id(x)=techo(x)+frac\;techo(x)$

Ver la figura de la derecha.

Funciones escalonadas

Función rectangular

La función rectangular (también llamada función ventana unitaria o pulso unitario) se define como:

$\mathrm {rect} (x)=\Pi (x)=\left\{{\begin{array}{rcl}0&si&|x|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&si&|x|={\frac {1}{2}}\\1&si&|x|<{\frac {1}{2}}\\\end{array}}\right.$

Función escalonada

Una función es escalonada si toma valores constantes en distintos intervalos, por ejemplo podemos ver la función y= s(x) de la figura:

$s(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}1&si&-3\leq x<-1\\2&si&-1\leq x<1\\-1&si&1\leq x\leq 3\\\end{array}}\right.$

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