Matemáticas/Cálculo en una variable/Funciones

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«Cálculo en una variable»

Una función es una relación entre dos conjuntos A y B, donde a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B.
El conjunto de todos los elementos de B relacionados con algún elemento de A se denomina rango, o conjunto imagen y a cada elemento del conjunto B le denominamos imagen de algún elemento del conjunto A.

Notación usual:

{\begin{array}{cccl}f:&A&\longrightarrow &B\\&x&\longmapsto &y=f(x)\end{array}}

Donde:

y=f(x)\,

: es la función.

x\,

: es la variable independiente.

y\,

: es la variable dependiente.

Dominio: Es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente " $x$ ".

Rango o codominio: Es el conjunto de todos los valores que puede tomar una función " $y$ ", dependiendo de los valores de " $x$ ".

Funciones Iguales: Dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ son iguales si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

Ambas funciones tienen el mismo dominio.
Para todo valor de " $x$ " que pertenece al dominio de $f(x)$ y $g(x)$ , se cumple que el rango de $f(x)$ es igual al rango de $g(x)$ .

Ejemplo

f(x)=x-2

g(x)={\cfrac {x^{2}-4}{x+2}}

Tenemos que el dominio de $f(x)$ son los números reales, mientras que el dominio de la función $g(x)$ son los números reales excepto el número -2.

Por lo que no se cumple la primera condición, entonces $f(x)$ y $g(x)$ no son iguales.

¿Cómo identificar una función de manera práctica?
Para identificar una función, hay que representarla gráficamente y trazar varias rectas paralelas al eje "y" o de ordenadas. Si cada una de esas rectas trazadas cortan a la curva en un único punto podemos estar seguros que la gráfica representa a una función, porque cumpliría con la definición más arriba mencionada, explícitamente, para cada valor de " $x$ " existe un único valor de " $y$ ".

Función implícita
Cuando una función está dada por una ecuación en donde no está despejada con respecto a la variable dependiente, se denomina implícita.

Ejemplo

4x+3y=0\,

Las funciones son de gran utilidad para resolver problemas de la vida cotidiana, por citar unos ejemplos, pueden ser útiles en las siguientes áreas: economía, estadística, ingeniería, medicina, química, física, astronomía, geología, biología y en cualquier área donde se relacionen variables.

Las funciones juegan un papel esencial en el desarrollo del cálculo, las funciones son generalmente del tipo:

y=f(x)

En otras palabras, "x" es una variable, "y" es otra variable, y el valor que tome "y" depende del valor que esté tomando "x". Por ejemplo, en la función "2x = y", pues cuando "x" tome el valor de 5, "y" va a tomar el valor de 10 (porque 2*5 es 10).

En donde a $y$ se la llama variable dependiente y a $x$ se la llama variable independiente, la anterior fórmula nos indica que y esta en función de x o sea x puede ser reemplazado en la función por cualquier número y el resultado de esta operacion se la asigna a y.
Así por ejemplo si nuestra función $y=f(x)$ es:

y=3x

Y la cambiamos por $y=f(5)$ esto nos dice que reemplazemos x por 5 y tenemos como resultado:

y=3*5

y por tanto:

y=15

Tenemos que:

y=f(2)

entonces

y=3*2

y por tanto:

y=6

y=f(9)

entonces

y=27

y=f(2a)

entonces

y=6a

Y así sucesivamente.

Dominio

El dominio son los valores que puede tomar la variable independiente para que la variable dependiente sea un número real, Por ejemplo:

y={\cfrac {1}{x}}

En esta función x puede tomar cualquier valor excepto el cero pues la división por cero no esta definida para los números reales.

Ilustración que muestra f, una función de dominio X a codominio Y. El óvalo pequeño dentro de Y es la imagen de f, a veces llamado rango de f.

En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien . En se denomina dominio a un conjunto conexo, abierto y cuyo interior no sea vacío.