Matemáticas/Matrices/Tipos de matrices

Existen diversos tipos y clasificaciones de matrices:

Matriz cuadrada

Se dice que una matriz A es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas. Ejemplos de matriz cuadrada:

Puede ser una matriz con valores $A\in {\mathcal {M}}_{3\times 3}(\mathbb {R} )$

A={\begin{bmatrix}+4&+7&-9\\+2&+1&+7\\-5&+6&+9\end{bmatrix}}

O también una matríz con subíndices (Genérica) $B\in {\mathcal {M}}_{3\times 3}(\mathbb {R} )$

B={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix}}

Puede ser de otro tamaño e incluso con variables $C\in {\mathcal {M}}_{4\times 4}(\mathbb {R} )$

C={\begin{bmatrix}+7&+6&6&-5\\+8&(3*w)&+3&-1\\-1&+6&(w+8)&+8\\-3&(6-w)&0&-6\end{bmatrix}}

Se llama diagonal principal de una matriz A a la diagonal formada por los elementos $aii$ .
Se llama diagonal secundaria a la diagonal del cuadrado que no es la principal, tiene por extremos los elementos $a_{1,n}$ y $a_{n,1}$ , como características, todos los elementos tienen la particularidad que sus subíndices suman (n+1), por ejemplo $a_{8,n-7}$ , donde 8 + (n - 7 ) = n + 1.

Matriz rectangular

Es aquella matriz que no es cuadrada, esto es que la cantidad de filas es diferente de la cantidad de columnas.
Puede ser de dos formas; vertical u horizontal, y/o puede ser una matriz diagonal.

Al tener distinto número de filas que de columnas, su dimensión es mxn.

${\begin{bmatrix}1&2&25\\9&1&3\end{bmatrix}}$

Matriz de lado lineal o vertical.

Es aquella que tiene más filas que columnas.

Matriz columna

Caso especial de matriz vertical que posee una sola columna.

${\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}}$

Matriz horizontal

Es aquella que tiene más columnas que filas.

Matriz fila

Caso especial de matriz horizontal que posee una sola fila.

{\begin{bmatrix}1&2&1\end{bmatrix}}

Matriz diagonal

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas o valores son todos nulas salvo en la diagonal principal, y éstos incluso pueden ser nulos o no. Escrito de otra forma, los elementos $a_{ij}=0$ siempre que $i\neq j$ .
La matriz identidad es una matriz diagonal.

Ejemplos de matrices diagonales:

Puede ser una matriz con valores $A\in {\mathcal {M}}_{3\times 3}(\mathbb {R} )$

A={\begin{bmatrix}+4&0&0\\0&+1&0\\0&0&+9\end{bmatrix}}

O también una matríz con subíndices (Genérica) $B\in {\mathcal {M}}_{3\times 3}(\mathbb {R} )$

B={\begin{bmatrix}b_{11}&0&0\\0&b_{22}&0\\0&0&b_{33}\end{bmatrix}}

Puede ser de otro tamaño e incluso con variables $C\in {\mathcal {M}}_{4\times 4}(\mathbb {R} )$

C={\begin{bmatrix}+7&0&0&0\\0&(3*w)&0&0\\0&0&(w+8)&0\\0&0&0&-6\end{bmatrix}}

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

${\begin{bmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{bmatrix}}$

Matriz escalonada

Es toda matriz en la que si existe alguna fila nula, esta se encuentra al final de la matriz y el primer valor diferente de cero de una fila se encuentra siempre a la derecha del primer valor diferente de cero en cualquier fila anterior, exceptuando la primera fila de la matriz.
EL proceso se puede aplicar lo mismo por fila que por columna conociendose como escalonada por filas o escalonada por columnas.

Matriz triangular superior

Se dice que una matriz (cuadrada) es triangular superior si todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son nulos.

${\begin{bmatrix}1&7&-2\\0&8&5\\0&0&4\end{bmatrix}}$

Matriz triangular inferior

Se dice que una matriz es triangular inferior si todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son ceros.

${\begin{bmatrix}1&0&0\\3&6&0\\7&-1&4\end{bmatrix}}$

Matriz identidad

Se llama matriz identidad de orden n y se nota en una matriz cuadrada de orden n en la que los elementos de la diagonal principal son 1 y el resto 0.
$I_{3}\in {\mathcal {M}}_{3\times 3}(\mathbb {R} )$

I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}

La matriz identidad puede ser de cualquier tamaño, siempre y cuando sea cuadrada

Matriz nula o matriz cero

Una matriz cero o matriz nula es una matriz con todos sus elementos nulos, o sea de valor cero. Algunos ejemplos de matrices nulas son:

0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},etc.\

Por lo tanto, una matriz nula de orden mxn asume la forma:

0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}_{m\times n}

Una matriz cero es, al mismo tiempo,matriz simétrica, antisimétrica, nilpotente y singular.

Matriz opuesta

Teniendo una matriz determinada, se llama matriz opuesta de la antes mencionada a aquella que tiene por elementos los opuestos de los elementos de la matriz original.

Matriz traspuesta

Matriz traspuesta ( A^T). Se llama matriz traspuesta de una matriz A a aquella matriz cuyas filas coinciden con las columnas de A y las columnas coinciden con las filas de A.

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta A^T a la matriz que se obtiene intercambiando ordenadamente las filas por las columnas de A. Es decir, $a_{ij}=a_{ji}\ \forall \ i,j.$

Para una matriz $A\in M_{m\times n}(\mathbb {R} )$ , se define la matriz traspuesta de $A=(a_{ij})$ , denotada por $A^{t}\in M_{n\times m}(\mathbb {R} )$ , como $A^{t}=B=(b_{ij})\quad b_{ji}=a_{ij}\quad \forall i\in \{1,2,\dots ,m\}{\text{ , }}j\in \{1,2,\dots ,n\}$ . Es decir, las filas de la matriz $A$ corresponden a las columnas de $B$ y viceversa.

Ejemplo 1:

A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}},\ A^{T}={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}\

Ejemplo 2:

Si $A={\begin{bmatrix}2&3&0\\1&2&0\\3&5&6\end{bmatrix}}$ ,
entonces:

$A^{T}={\begin{bmatrix}2&1&3\\3&2&5\\0&0&6\end{bmatrix}}$

Propiedades:

(A^T)^T = A
(A + B)^T = A^T + B^T
(α • A)^T = α • A^T
(A • B)^T = B^T • A^T

Matriz simétrica

Una matriz es simétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta.

{\begin{bmatrix}1&3&-1\\3&0&5\\-1&5&1\end{bmatrix}}

Matriz antisimétrica o hemisimetrica

Una matriz es antisimétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta de signo opuesto, siendo los elementos de la diagonal principal nulos; de valor cero.

A = – A^T

Matriz ortogonal

Una matriz ortogonal es una matriz cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta.

y cumple que A • A^T = I.

Matriz normal

Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y sólo si

A^{*}A=AA^{*}\,

donde A^* es la matriz traspuesta conjugada de A (también llamado hermitiano)

Matriz conjugada

Una Matriz conjugada es el resultado de la sustitución de los elementos de una matriz $A$ por sus valores conjugados. Es decir, la parte imaginaria de los elementos de la matriz cambian su signo.

Ejemplo de matrices conjugadas

B={\begin{pmatrix}2-5i&3-5i&3-i\\4+3i&4&2+i\\1&3+2i&1-4i\end{pmatrix}},{\overline {B}}={\begin{pmatrix}2+5i&3+5i&3+i\\4-3i&4&2-i\\1&3-2i&1+4i\end{pmatrix}}

Matriz inversa

La matriz inversa de una matriz dada A, es otra, que se anota A ⁻¹ y que cumple:

A·A ⁻¹ = A ⁻¹ · A = I

Matriz invertible

También llamada matriz , no singular, no degenerada, regular.

Una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A⁻¹, tal que

AA⁻¹ = A⁻¹A = I_n,

donde I_n es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual. Una matriz tiene inversa siempre que su determinante no sea cero.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

Matriz regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa y como consecuencia, su determinante es diferente de cero.

Matriz singular o degenerada

También llamada no regular. Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero. Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz permutación

La matriz permutación es la matriz cuadrada con todos sus n×n elementos iguales a 0, excepto uno cualquiera por cada fila y columna, el cual debe ser igual a 1.

Matrices iguales

Se dice que dos matrices A y B son iguales si tienen la misma dimensión y son iguales elemento a elemento, es decir, aij=bij i=1,...,n j=1,2,...,m.

Matriz hermitiana

Una matriz Hermitiana (o Hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j.

Matriz definida positiva

Una matriz definida positiva es una matriz hermitiana que en muchos aspectos es similar a un número real positivo.

Matriz unitaria

Es una matriz compleja U, de n por n elementos, que satisface la condición:

U^{*}U=UU^{*}=I_{n}\,

donde $I_{n}\,$ es la matriz identidad y $U^{*}\,$ es el traspuesto conjugado (también llamado el hermitiano adjunto o la hermítica) de U. Esta condición implica que una matriz U es unitaria si tiene inversa igual a su traspuesta conjugada $U^{*}\,$ .

Una matriz unitaria en la que todas las entradas son reales es una matriz ortogonal.

Submatriz

A partir de una Matriz M, se llama submatriz M' a toda matriz obtenida suprimiendo p filas y q columnas en M. Si M es de orden mxn, M' será de orden (m-p)x(n-q), es decir con p filas menos y q columnas menos. Es evidente que p < m ; q < n.

Propiedades

(A · B) ⁻¹ = B ⁻¹ · A ⁻¹

( A ⁻¹ ) ⁻¹ = A

(k · A)⁻¹ = k ⁻¹ · A ⁻¹

(A ^T) ⁻¹ = ( A ⁻¹ ) ^T