Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Conjuntos potencia

1.5.1. Un conjunto muy importante en la teoría de conjuntos es aquel que, dado un conjunto $x$ cualquiera, contiene todos los subconjuntos de este conjunto $x$. Un conjunto así se llama conjunto potencia. Más exactamente, si $x$ es un conjunto, entonces el conjunto potencia de $x$ es el conjunto ${\mathcal {P}}(x)$ dado por

${\mathcal {P}}(x)=\{y\mid y\subseteq x\}$.

1.5.2. Puesto que $\varnothing \subseteq \varnothing$, ${\mathcal {P}}(\varnothing )=\{\varnothing \}$, y por tanto ${\mathcal {P}}(\varnothing )$ contiene un solo elemento, y por ello ${\mathcal {P}}(\varnothing )\neq \varnothing$. Sea $x$ un conjunto con $n$ elementos. Entonces, existen $n$ subconjuntos de $x$ con un solo elemento, $n \choose 2$ subconjuntos de $x$ con dos elementos, $n \choose 3$ subconjuntos de $x$ con 3 elementos, y así sucesivamente hasta llegar a los $n \choose n$ subconjuntos de $x$ con $n$ elementos. De este modo, ${\mathcal {P}}(x)$ tiene

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=(1+1)^{n}=2^{n}$

elementos, siendo esta última ecuación un caso particular del binomio de Newton. Como puede verse, el conjunto potencia ${\mathcal {P}}(x)$ de un conjunto $x$ contiene en general muchos más elementos que el conjunto $x$, razón por la cual es difícil dar ejemplos de conjuntos potencia.

1.5.3. Nótese que $a\in x$ equivale a $\{a\}\in {\mathcal {P}}(x)$.

1.5.4. Algo más interesante y conveniente de notar es que

$\bigcup _{x\in {\mathcal {P}}(X)}x=X$

para cualquier conjunto $X$. En efecto, pues de $a\in \bigcup _{x\in {\mathcal {(}}X)}x$, se sigue $a\in x$ para algún $x\in {\mathcal {P}}(X)$, es decir, para algún $x\subseteq X$, por lo que $a\in X$. Recíprocamente, si $a\in X$, entonces $a\in x$ para algún conjunto $x\in {\mathcal {P}}(X)$ (e.g. el conjunto $\{a\}\subseteq X$), luego $a\in \bigcup _{x\in {\mathcal {P}}(X)}x$.

1.5.5. Como hecho más general, si $C$ es una colección de subconjuntos de un conjunto $X$, es decir si $C\subseteq {\mathcal {P}}(X)$, entonces $\bigcup _{x\in C}x\subseteq X$.

1.5.6. Ahora vamos a generalizar algunas leyes a cerca de la unión e intersección de conjuntos. Primero, considérese un conjunto dado $u$, y luego considérese una colección $C$ de subconjuntos de $u$. Fórmese la unión

$\bigcup _{x\in C}x$,

un subconjunto de $u$. El complemento

${\mathcal {C}}\left(\bigcup _{x\in C}x\right)$,

es un subconjunto de $u$. Si $a\in {\mathcal {C}}(\bigcup _{x\in C}x)$, entonces $a\notin \bigcup _{x\in C}x$, por lo que $a\notin x$ para todo $x\in C$, y puesto que $x\subseteq u$, el complemento ${\mathcal {C}}x$ existe y $a\in {\mathcal {C}}x$ para todo $x\in C$. Así, $a\in \bigcap _{x\in C}{\mathcal {C}}x$. El conjunto anterior es en efecto una intersección de los conjuntos de una colección, a saber

$C'=\{y\mid y\subseteq v$ y ${\mathcal {C}}y\in C\}$.

Sea $u$ un conjunto y $C$ una colección de subconjuntos de $u$. El resultado anterior, y otro cuya demostración se deja como un sencillo ejercicio al lector, se presentan a continuación:

• ${\mathcal {C}}\left(\bigcup _{x\in C}x\right)=\bigcap _{x\in C}{\mathcal {C}}x$

• ${\mathcal {C}}\left(\bigcap _{x\in C}x\right)=\bigcup _{x\in C}{\mathcal {C}}x$

Las proposiciones anteriores son una generalización de las leyes de De Morgan.

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