Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Unión e intersección de conjuntos

1.3.1. Las operaciones entre conjuntos consisten en tomar ciertos elementos de uno y ciertos de otro para formar con ellos nuevos conjuntos. Así, por ejemplo, si $\,x$ e $\,y$ son dos conjuntos, la unión de $\,x$ e $\,y$ es el conjunto

$x\cup y=\{a\mid a\in x$ o $a\in y\}$.

Esto es, $x\cup y$ consiste de todos los elementos que están ya sea en $\,x$, ya sea en $\,y$, ya sea en ambos $\,x$ e $\,y$. La unión se representa por el área sombreada en el diagrama siguiente:

$x\cup y$

Sean $\,x$, $\,y$ y $\,z$ conjuntos cualesquiera. Se cumplen las propiedades siguientes:

( U-1 ) $x\cup x=x$ (idempotencia)

( U-2 ) $x\cup \varnothing =x$ (identidad)

( U-3 ) $x\cup y=y\cup x$ (conmutatividad)

( U-4 ) $x\cup (y\cup z)=(x\cup y)\cup z$ (asociatividad)

( U-5 ) $x\subseteq x\cup y$

( U-6 ) $x\subset y$ si y solo si $x\cup y=y$

Estas propiedades son fácilmente demostrables. Veamos la demostración de ( U-2 ) y ( U-6 ):

( U-2 ) Hay que demostrar que todo elemento de $x\cup \varnothing$ es elemento de $x$ (demostrar que $x\cup \varnothing \subseteq x$) y que, recíprocamente, todo elemento de $x$ es elemento de $x\cup \varnothing$ (demostrar que $x\subseteq x\cup \varnothing$). Si $a\in x\cup \varnothing$, entonces $a\in x$ o $a\in \varnothing$, de lo que solo puede ser $a\in x$. Recíprocamente, si $a\in x$, entonces $a\in x\cup \varnothing$. Por tanto $x\cup \varnothing =x$.

( U-6 ) Supóngase que $x\subseteq y$ pero que $x\cup y\neq y$. Entonces, en particular, existe $a\notin y$ tal que $a\in x\cup y$, pero si esto es cierto, $a\in x$, lo que contradice el hecho de que $x\subseteq y$. Recíprocamente, si $x\cup y=y$, entonces de ( U-5 ) se sigue el resultado deseado.

1.3.2. La intersección de dos conjuntos $\,x$ e $\,y$ se define como el conjunto

$x\cap y=\{a\mid a\in x\quad {\mbox{y}}\quad a\in y\}$.

Es decir, $x\cap y$ es el conjunto formado por todos los elementos que están tanto en $\,x$ como en $\,y$. La intersección se representa por el área sombreada en el diagrama siguiente :

$x\cap y$

Sean $\,x$, $\,y$ y $\,z$ conjuntos cualesquiera

( I-1 ) $x\cap x=x$ (idempotencia)

( I-2 ) $x\cap \varnothing =\varnothing$

( I-3 ) $x\cap y=y\cap x$ (conmutatividad)

( I-4 ) $x\cap (y\cap z)=(x\cap y)\cap z$ (asociatividad)

( I-5 ) $x\cap y\subseteq x$

( I-6 ) $x\subseteq y$ si y solo si $x\cap y=x$

Además, se cumplen las siguientes leyes distributivas:

( UI-1 ) $x\cup (y\cap z)=(x\cup y)\cap (x\cup z)$

( UI-2 ) $x\cap (y\cup z)=(x\cap y)\cup (x\cap z)$

1.3.3. Si $\,x$ e $\,y$ son dos conjuntos tales que $x\cap y=\varnothing$ (i.e. si $\,x$ e $\,y$ no tienen elementos en común) se dice que $\,x$ e $\,y$ son conjuntos disjuntos.

1.3.4. Las operaciones de unión e intersección pueden generalizarse. Si $\,C$ es una colección (conjunto) de conjuntos, la unión de los conjuntos de $\,C$ puede definirse como el conjunto

$\bigcup _{x\in C}x=\{a\mid \mathrm {existe} \ x\in C\ \mathrm {tal} \ \mathrm {que} \ a\in x\}$.

Así, $a\in \bigcup _{x\in C}x$ si y solo si existe por lo menos un conjunto $\,x$ en $\,C$ que contenga al elemento $\,a$. Como caso particular, tenemos

$\bigcup \{x,y\}=x\cup y$.

1.3.5. De manera similar, la intersección de los conjuntos de una colección $C\,$ se define por

$\bigcap _{x\in C}x=\{a\mid \mathrm {para} \ \mathrm {todo} \ x\in C,\quad a\in x\}$.

Por tanto, $a\in \bigcap _{x\in C}x$ si $a\in x$ para todo conjunto $\,x$ de $\,C$ (i.e. $\bigcap _{x\in C}x$ consiste de los elementos que están en todo conjunto de $\,C$). Como caso particular, tenemos

$\bigcap \{x,y\}=x\cap y$.

1.3.6. Nótese que, de acuerdo a la definición anterior, si $C=\varnothing$, entonces, puesto que en ese caso $x\in \varnothing$ implica $a\in x$ para cualquiera que sea el conjunto $\,x$ y el elemento $\,a$, el conjunto $\bigcap C$ lo contiene todo.

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