Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Números complejos

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«Bachillerato LOGSE»

Qué son los números complejos

Si intentamos resolver esta ecuación $x^{2}+1=0$ veremos que no tiene solución en números reales.

Para ello recurrimos a los números imaginarios o números complejos.

Sin embargo para entender mejor el problema y luego la solución, primero debemos recurrir a la ley de los signos en la multiplicación, al multiplicar dos signos negativos o dos positivos, el resultado es un numero positivo siempre, es decir si elevo al cuadrado cualquier numero sea positivo o negativo, el resultado es siempre positivo, por tanto no hay manera de encontrar la raíz de un numero negativo. es allí donde se da la solución introduciendo el valor imaginario,es decir aislando el termino insoluble y dejándolo tal como esta , pues si bien es cierto $i={\sqrt {-1}}$ este no tiene solución y tampoco necesitamos que tenga solución, pues manteniéndolo tal como esta como una expresión matemática , nos sirve para dar la solución y se hace así: si mantengo este ${\sqrt {-1}}$ [sin necesidad de llamarlo i ] puedo operar: por ejemplo ${\sqrt {-9}}$ sería igual a ${\sqrt {9}}$ .(-1) y como se puede aplicar propiedad distributiva a la raíz, se tiene: ${\sqrt {-9}}$ = ${\sqrt {9}}$ . ${\sqrt {-1}}$ operando se tiene ${\sqrt {-9}}$ = 3. ${\sqrt {-1}}$

esta es la solución, pero alguien me dirá, pero sigue ahí el problema, que no se sabe cuanto es exactamente ${\sqrt {-9}}$ , yo le respondo que si llamamos "i" a ${\sqrt {-1}}$ , entonces la solucion es 3i, y ésta solución pasa la prueba, porque en este caso si elevo al cuadrado esta solución, "ahora si me da un numero NEGATIVO" pues: $(3.{\sqrt {-1}})^{2}$ es $(3)^{2}$ por $({\sqrt {-1}})^{2}$ = 9 por (-1) = -9

como ven, nunca se solucionó en realidad la raíz de un numero negativo, sino que se lo dejo en "durmiendo" para que cuando se aplique lo contrario ( el cuadrado o potencia par ) se elimine la raiz par y quede el MENOS 1 que hace negativo al numero solucion de un cuadrado o potencia par.

$i={\sqrt {-1}}$

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {-(-b^{2}+4ac)}}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {-1}}{\sqrt {-b^{2}+4ac}}}{2a}}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}$

Operaciones con números complejos

Suma

(a,b)+(c,d)=(a+c,\;b+d)

Resta

(a,b)-(c,d)=(a-c,\;b-d)

Multiplicación

(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,\;ad+cb)

División

{\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {ac+bd+(-ad+bc)i}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {ac+bd+(-ad+bc)i}{|z_{2}|^{2}}}

Igualdad

(a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d

Números complejos en forma polar

Paso de forma binómica a polar

Dado un complejo en forma binómica $u=(a,b)$ , definimos su modulo r como:

$r={\sqrt {(a)^{2}+(b)^{2}}}$

y su argumento como

$\textstyle {\phi }=\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)$

La expresión $r(\textstyle {\phi })$ la llamaremos forma polar del número complejo u.

Paso de forma polar a binómica

La parte real de un complejo $r(\textstyle {\phi })$ es

$a=r\cdot cos(\textstyle {\phi })$

y la parte imaginaria es

$b=r\cdot sen(\textstyle {\phi })$

con lo cual su forma binómica será

$u=r\cdot cos(\textstyle {\phi })+r\cdot sen(\textstyle {\phi })i$

Operaciones con números complejos en forma polar

La raiz de indice n de un numero complejo tiene n soluciones, todas ellas con el mismo modulo, que es la raiz n-esima del modulo de radicando y se obtienen al sumarle a este valor, 360/n sucesivas veces hasta completar una vuelta.

Referencias

Lección sobre Números Complejos (Con ejemplos graficos)

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