Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 060b

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Lección 060

Mathematik auf Deutsch - 10

BM451 - BM460

BM451

Dividiere durch 10!

---

90

160

560

800

1.500

10.000

BM452

Berechne das Doppelte der Zahlen 16.420

600

2.400

---

Dividiere durch 100!

800

2.300

6.000

7.500

10.000

---

Berechne die Hälfte der Zahlen

80

460

5.200

10.000

BM453

1 km = 1.000 m = 10.000 dm = 100.000 cm = 1.000.000 mm

1 m = 100 cm = 1.000 mm

10 cm = 100 mm

1 cm = 10 mm

---

Treten in Längenangaben zwei Einheiten auf, kann man auch die größere von beiden Einheiten in die kleinere umrechnen.

---

7 m 80 cm oder 7,80 m

7 km 850 m oder 7,850 km

---

Rechne in die jeweils kleiner Einheit um!

3 cm 7 mm

7 m 80 cm

5 m 40 cm

6 m 5 cm

BM454

Rechne in Zentimeter um!

2 m

20 m

5 m

9 m

10 m

8 m

---

Rechne in Meter um!

3 km

8 km

10 km

30 km

4 km

17 km

---

Rechne in Zentimeter um!

4 m

9 m

6 m

5 m

10 m

14 m

BM455

Gib in Zentimeter an!

80 m

76 m

3 m 70 cm

8 m 5 cm

9 m 20 cm

4 m 90 cm

4 m 5 cm

--

Rechne folgende Längenangaben jeweils in die kleinere Einheiten um!

3 cm 7 mm

8 cm 4 mm

1 cm 8 mm

9 cm 1 mm

4 m 35 cm

12 m 75

26 m 18 cm

5 km 350 m

7 km 240 m

9 km 75 m

2 km 55 m

5 m 5 cm

5 m 8 cm

10 m 5 cm

BM456

Gib den 100. Teil an!

5 Euro

3 kg

8 t

40 cm

8 g

6 m

4 km

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viestellige Zahlen

Die Zahlen von 1.000 bis 9.999 nennt man vierstellig Zahlen.

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fünfstellige Zahlen

46.304

--

sechsstelligen Zahlen

375.084

BM457

Stellentafel

---

Die Zahlen 2.000; 300; 40, 5 und 2.379 sind in einer Stellentafel eingetragen.

---

10³	10²	10¹	10⁰
1000	100	10	1
2	0	0	0
	3	0	0
		4	0
			5
2	3	7	9

Die Stellentafel enthält für jede Zehnerpotenz eine Spalte. Es werden nur die Faktoren der Zehnerpotenzen eingetragen:

2.379

2 * 10³ + 3 * 10² + 7 * 10 + 5 * 1

Die Summanden sind Produkte aus einstelligen Zahlen und 10³, 10², 10 und 1.

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Wenn in einer Zahl ein Faktor mit einer Zehnerpotenz Null ist, so wird in der Zifferndarstellung an dieser Stelle die Ziffer „0“ geschrieben.

BM458

Bestimme jeweils den Vorgänger und den Nachfolger!

---

9.999

4.001

10.000

79.000

80.100

8.089

90.001

BM459

Sechsstellige Zahlen

Die Zahlen von 100.000 bis 999.999 sind sechsstellig

---

3 * 100.000 + 45.789 = 300.000 + 45.789

3 * 100.000 + 45.789 = 345.789

---

Zerlege 873.568 in Summanden!

873.568 = 800.000 + 70.000 + 3.000 + 500 + 60 + 8

---

Zerlege 873.568 in Summanden von Produkten!

873.568 = 8 * 100.000 + 7 * 10.000 + 3 * 1.000 + 5 * 100 + 6 * 10 + 1 * 8

873.568 = 8 * 10⁵ + 7 * 10⁴ + 3 * 10³ + 5 * 10² + 6 * 10¹ + 1 * 10⁰

BM460

Bestimme jeweils den Vorgänger und den Nachfolger!

---

500.000

700.000

456.999

347.999

915.999

706.201

880.900

240.000

500.190

589.989

dreizehnhundert

dreizehntausenddreizehnhundertdreizehn

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Wie viel ist die Hälfte von siebzehntausendelfhundertfünfzehn?

BM461 - BM470

BM461

Ermittle jeweils die kleinste und die größte Zahl, die folgende Ungleichungen erfüllen!

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100.000 < x < 1.000.000

345.000 < x < 445.000

200.000 < x < 900.000

270.000 < x < 720.000

BM462

Einheiten der Masse

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1 g = 1.000 mg

1 kg = 1.000 g

100 kg = 100.000 g

1 t = 1.000 kg = 1.000.000 g

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7 kg und 500 g

7,5 kg (rechts neben dem Komma steht jeweils die Angabe in der nächstkleineren Einheit)

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12,500 t bedeutet 12 t und 500 kg.

Für 12,500 t schreibt man oft 12,5 t

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12 t = 12,000 t

Nullen hinter dem Komma (Rechts vom Komma können weggelassen werden, wenn danach keine andere Ziffer mehr folgt.)

Aber 4,005 t ist NICHT gleich 4,5 t.

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7,500 g bedeutet 7 g 500 mg

Für 7,500 g schreibt man 7,5 g.

BM463

Rechne in Milligramm um!

3g

10 g

6 g

50 g

8 g

100 g

---

Rechne in Gramm um!

7.000 mg

7,000 mg

53.000 mg

10.000 mg

65.540 mg

---

Rechne in Milligramm um!

2 g 300 mg

3 g 50 mg

5 g 750 mg

7 g 5 mg

---

Rechne in Milligramm um!

3 g 200 mg

6 g 89 mg

12 g 530 mg

2 g 9 mg

BM464

100 g Weißkohl enthalten 40 mg Vitamin C.

Eine Vitamintablette enthält 50 mg Vitamin C.

Wie viele Tabletten entsprechen dem Vitamingehalt von einem Kilogramm Weißkohl?

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100 g Hagebutten enthalten 400 mg Vitamin C.

Es gibt Dragees mit je 200 mg Vitamin C.

Wie viel Dragees entsprechen dem Vitamingehalt von einem Kilogramm Hagebutten?

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Wie viel Tüten mit 10 g „Heroin“ kann man aus 1 kg, aus 10 kg, aus 100 kg, aus einer Tonne Heroin füllen, wenn das Heroin beim Abpacken zur Hälfte mit Milchpulver gestreckt wird?

BM465

Schreibe 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶ als Produkte mit den Faktoren 10.

Beispiel: 10² = 10 * 10

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10⁶ = 1.000.000 (eine Million)

10⁷ = 10.000.000 (zehn Millionen)

10⁸ = 100.000.000 (einhundert Millionen)

10⁹ = 1.000.000.000 (eine Milliarde)

10¹⁰ = 10.000.000.000 (zehnMilliarden)

---

Eine Milliarde = 1.000 Millionen

---

Wenn man die Zahl 1 mit 10 multipliziert (1 * 10), dann das Produkt wieder mit 10 und so fort multipliziert (1 * 10 * 10 * 10 * ...), dann erhält man nacheinander alle zehnerpotenzen.

10¹

10²

10³

10⁴

10⁵

10⁶

10⁷

10⁸

10⁹

---

10¹ = 10

BM466

Die Stellentafel wird erweitert:

Milliarden			Millionen			Tausend
10¹¹	10¹⁰	10⁹	10⁸	10⁷	10⁶	10⁵	10⁴	10³	10²	10¹	10⁰
...	...	1 Mrd.	...	...	1 Mill.	...	...	1.000	100	10	1

BM467

10⁹ = 1.000.000.000 (eine Milliarde hat 9 Nullen)

10¹⁰

10¹¹

10¹² = 1.000.000.000.000 (eine Billion hat 12 Nullen)

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Viele Menschen denken im ersten Moment, dass eine Milliarde gleich 100 Millionen ist. (also: 100 : 1)

Aber eine Milliard ist gleich 1.000 Millionen. (also: 1.000 : 1)

BM468

Gib die Differenz zur nächstgrößere Einheit an!

---

50 kg

80 kg

99 kg

500 g

560 g

780 mg

890 m

5 cm

3 mm

BM469

Wie heißen die Zahlen?

--

4 * 10⁵ + 5 * 10⁴ + 7 * 10³ + 3 * 10² + 6 * 10¹ + 7 * 10⁰

--

9 * 10⁴ + 0 * 10³ + 6 * 10² + 3 * 10¹ + 4 * 10⁰

--

9 * 10⁸ + 3 * 10⁷ + 0 * 10⁶ + 4 * 10⁵ + 5 * 10⁴ + 8 * 10³ + 0 * 10² + 0 * 10¹ + 5 * 10⁰

BM470

Dividiere durch 10!

50

7.000

35.000

892.000

---

Dividiere durch 100!

800

9.000

23.500

360.000

---

Dividiere durch 1.000!

7.000

60.000

836.000

780.000

BM471 - BM480

BM471

Subtrahiere von 100.000!

25.000

85.000

60.500

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Schreibe die Zahl auf, die um 52.900 größer ist als 500.000!

---

Schreibe die Zahl auf, die um 125.000 größer ist als 3.000.000!

BM472

Zu jeder Zahl kann man eine um 1 größere Zahl bestimmen.

Es gibt keine größte natürliche Zahl.

jede natürliche Zahl a hat einen Nachfolger a + 1.

Die Zahl a + 1 ist die nächstgrößere natürliche Zahl nach a.

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0 (Null) ist die kleinste natürliche Zahl.

Jede von Null verschiedene natürliche Zahl b hat einen Vorgänger b-1.

Die Zahl b - 1 ist die zu b nächstkleinste natürliche Zahl.

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Von 0 (Null) ausgehend kann man durch die fortlaufende Addition von 1 jede beliebige natürliche Zahl bilden.

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Warum stellt man natürliche Zahlen mit Hilfe eines Zahlenstrahls dar?

Warum verwendet man hierfür keine Strecke oder Gerade?

BM473

Dekadisches Positionssystem

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Alle Zahlen kann man durch fortlaufende Addition von 1 oder durch Addition der Vielfachen von Zehnerpotenzen bilden.

7.346 = 7 * 10³ + 3 * 10² + 4 * 10¹ + 7 * 10⁰

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Man spricht bei diesem Zahlensystem von einem Zehnersystem oder dekadischen System.

„Deka“ bedeutet „zehn“, das Wort kommt aus der griechischen Sprache.

Im Zehnersystem verwendet man zehn Grundziffern.

Das sind die Zeichen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

In den arabischen Ländern (besonders in den östlichen arabischen Ländern) werden folgende Ziffern verwendet: ٠ ,١ ,٢ ,٣ ,٤ ,٥ ,٦ ,٧ ,٨ ,٩,

Zahlen schreibt man mit Hilfe dieser Grundziffern.

Dabei ordnet man den Grundziffern bestimmte Stellenwerte zu.

Die Stellentafel verdeutlicht das:

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10⁵	10⁴	10³	10²	10¹	10⁰
7	3	0	4	6	6

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Es ist von Bedeutung, welcher Stelle eine Grundziffer zugeordnet ist.

Das System wird deshalb als dekadisches Stellenwertsystem oder dekadisches Positionssystem genannt.

BM474

Es gibt auch andere Positionssysteme

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Im Zweiersystem (= Binärsystem) ist jede Stelle in der Zifferndarsellung einer Zahl eine Potenz von 2 zugeordnet.

In der Stellentafel ist das in der oberen Zeile entsprechend dargestellt.

Die nächste Zeile enthält dann die Zahlen 1, 2, 4, 8, ... ;

denn 2² = 2 * 2 = 4

denn 2³ = 2 * 2 * 2 = 8

denn 2⁴ = 2 * 2 * 2 * 2 = 16

---

2⁷	2⁶	2⁵	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰
128	64	32	16	8	4	2	1

---

Im Zehnersystem benötigt man zur Darstellung der Zahl zehn Grundziffern.

Im Zweiersystem sind dagegen nur zwei Grundziffern erforderlich. Dies können die Grundziffern 0 und 1 sein.

BM475

Die Zahl 13 wird im Zehnersystem und im Zweiersystem dargestellt.

---

Im Zehnersystem:

10³	10²	10¹	10⁰
1.000	100	10	1
0	0	1	3

13 (lies: dreizehn)

Man kann ohne Stellentafel schreiben:

0 * 10³ + 0 * 10² + 1 * 10¹ + 3 * 1

---

Im Zweiersystem

2³	2²	2¹	2⁰
8	4	2	1
1	1	0	1

1101 (Lies: eins eins null, eins)

Man kann ohen Stellentafel schreiben:

1 * 2³ + 1 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 1

BM476

Im Zweiersystem ist jeder Stelle eine Zweierpotenz zugeordnet.

---

Beispiele:

101

1 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 1

= 4 +1 = 5

---

1001

1 * 2³ + 0 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 1

= 8 * 1 = 9

---

1010

1 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 0 * 1

= 8 + 2 = 10

---

11001

1 * 2⁴ + 1 * 2³ + 0 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 1

= 16 + 8 + 1 = 25

---

101100

1 * 2⁵ + 0 * 2⁴ + 1 * 2³ + 1 * 2² + 0 * 2¹ + 0 * 1

= 32 + 8 = + 4 = 44

BM477

Achtersystem

---

Das Zehnersystem hat sich weltweit verbreitet, weil der Mensch zehn Finger hat und damit zählt.

Das Zweiersystem wird für Computer verwendet, weil der PC „zwei Finger“ hat: ein Schalter im Computer kann an oder aus sein. Der Strom kann fließen oder nicht fließen.

Im Film „ALF“ hat der Außerirdische 4 Finger an jeder Hand, also insgesamt 8 Finger.

Er rechnet sicher im Achtersystem (= Oktalsystem). Spaß beiseite: In Computers wird das Oktalsystem sehr oft verwendet.

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8⁴	8³	8²	8¹	8⁰
4096	512	64	8	1
6	2	7	0	7

6 * 8⁴ + 2 * 8³ + 7 * 8² + 0 * 8¹ + 7 * 8

= 6 * 4096 + 2 * 512 + 7 * 64 + 0 * 8 + 7 * 1

= 24.576 + 1.024 + 448 + 0 + 7

= 26.055

BM478

Sechzehnersystem

---

Das Sechzehnersystem, bekannter ist der Name Hexadezimalsystem ist die Darstelung von Zahlen in einem Stellenwertsystem zur Basis 16.

7-Segment-Anzeige mit Ziffern und Buchstaben

Das Zehnersystem hat 10 Ziffern: 0 bis 9

Das Hexadezimalsystem hat 16 Ziffern: 0 bis 9 und zusätzlich noch die 6 Buchstaben A, B, C, D, E, F und G

Die 6 zusätzlichen Ziffern werden also durch Buchstaben dargestellt.

Als Zahlzeichen auch manchmal die Kleinbuchstaben a bis e verwendet.

Auf Taschenrechnern mit 7-Segment-Anzeige werden die Buchstaben A, C, E, F, G als Großbuchstaben dargestellt und b, d als Kleinbuchstaben.

A
b
C
d
E
F
G

BM479

Gezählt wird im Hexadezimalsystem wie folgt:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	G
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E	1F
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	2A	2B	2C	2D	2E	2F
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
F0	F1	F2	F3	F4	F5	F6	F7	F8	F9	FA	FB	FC	FD	FE	FF
100	101	102	103	104	105	106	107	108	109	10A	10B	10C	10D	10E	10F
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
FF0	FF1	FF2	FF3	FF4	FF5	FF6	FF7	FF8	FF9	FFA	FFB	FFC	FFD	FFE	FFF
1000	1001	1002	1003	1004	1005	1006	1007	1008	1009	100A	100B	100C	100D	100E	100F
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
FFF0	FFF1	FFF2	FFF3	FFF4	FFF5	FFF6	FFF7	FFF8	FFF9	FFFA	FFFB	FFFC	FFFD	FFFE	FFFF
10000	10001	10002	10003	10004	10005	10006	10007	10008	10009	1000A	1000B	1000C	1000D	1000E	1000F
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

BM480

16⁴	16³	16²	16¹	16⁰
65.536	4.096	256	16	1
7	3	1	4	8

73148

= 7 * 16⁴ + 3 * 16³ + 1 * 16² + 4 * 16¹ + 8 * 16⁰

= 458.752 + 12.288 + 256 + 64 + 8

= 471.368

---

A = 10

B = 11

C = 12

D = 13

E = 14

F = 15

---

3F4B

(lies: 3, f, 4, b)

= 3 * 16³ + F * 16² + 4 * 16¹ + B * 16⁰

= 3 * 4.096 + 15 * 256 + 4 * 16 + 11 * 1

= 12.288 + 3.840 + 64 + 11

= 16.203

---

AB4CDF

(lies: a, b, 4, c, d, f)

= A * 16⁵ + B * 16⁴ + 4 * 16³ + C * 16² + D * 16¹ + F * 16⁰

= 10 * 1.048.576 + 11 * 65.536 + 4 * 4.096 + 12 * 256 + 13 * 16 + 15 * 1

= 10.485.760 + 720.896 + 16.384 + 3.072 + 208 + 15

= 11.226.335

BM481 - BM490

BM481

Damit man bei der Umrechnung zwischen verschieden Zahlensystemen nicht durcheinander kommt werden die Zahlen durch eine tiefergestellte Zahl markiert, die anzeigt auf welche Basis sich die Zahl bezieht.

Binärsystem: 100110₂ = 38₁₀

Oktalsystem: 100110₈ = 32840₁₀

Dezimalsstem: 100110₁₀

Hexadezimalsstem: 100110₁₆ = 1048848₁₀

---

6B₁₆ = 153₈ = 107₁₀ = 01101011₂

---

Auch die Schreibweise mit Klammern und Basis ist üblich:

(6B)₁₆ = (153)₈ = (107)₁₀ = (01101011)₂

---

Auch eine Basis mit anderen Zahlen ist möglich, aber in der Praxis nicht verbreitet.

BM482

Schreibe die ersten 30 Zahlen, beginnend bei Eins:

a) im Binärsystem

b) im Hex-System

c) im Oktalsystem

---

Schreibe die Zahl 100 und ihren Vorgänger und Nachfolger:

d) im Binärsystem

e) im Hex-System

f) im Oktalsystem

BM483

Römische Zahlen

Richtig müsste es heißen: Römische Zahlzeichen, denn die Zahlen sind die gleichen.

I	V	X	L	C	D	M
1	5	10	50	100	500	1.000

BM484

I	1
II	1 + 1
III	1 + 1 + 1
IV	5 - 1
V	5
VI	5 + 1
VII	5 + 1 + 1
VIII	5 + 1 + 1 + 1
IX	10 - 1
X	10
XI	10 + 1
XII	10 + 1 + 1
XIII	10 + 1 + 1 + 1
XIV	10 + 5 - 1
XV	10 + 5

Beim Zusammenstellen mehrerer Zeichen muss addiert werden.

In manchen Fällen wird auch subtrahiert.

Dieses System ist ein Additionssystem.

Im Gegensatz zum Positionssystem hat beispielsweise das Zeichen „I“ (römische Eins) stets die Bedeutung 1, ganz gleich wo es auch steht.

Diese 1 kann zu einer anderen Zahl addiert oder von einer anderen Zahl subtrahiert werden.

Vergleiche dazu z. B. die Zeichen für die Zahlen 9 und 11.

BM485

1 × 1000	+	(−1 × 100 + 1 × 1000)	+	1 × 50	+	3 × 10	+	(−1 × 1 + 1 × 5)	=	1984
M	+	CM	+	L	+	XXX	+	IV	=	MCMLXXXIV

MDLVI = 1.000 + 500 + 50 + 5 + 1 = 1.556

DCCCXXIII = 500 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 823

CMLXXIV = 1.000 - 100 + 50 + 10 + 10 + 5 - 1 = 974

BM486

Gib die folgenden römischen Zahlen im Dezimalsystem an und im Dualsystem und im Hexadezimalsystem! Überprüfe dein Ergebnis mit einem Zahlenkonverter, den du im Internet finden kannst! („converter roman to decimal“; „converter decimal to binary“; „converter decimal to hex“)

---

LII

MMXVI

MDCLXXII

MMMCMXCIX

MCMXVI

MDCCCCX

MCMXXIII

BM487

Näherungswert

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Ein Näherungswert ist in der Mathematik ein angenähertes Ergebnis für einen exakten Wert, zum Beispiel eine Dezimalzahl als Näherung für die Kreiszahl

\pi

(sprich: pi). Näherungswerte werden häufig verwendet, wenn die exakte Berechnung sehr aufwendig oder nicht möglich ist oder nur eine bestimmte Genauigkeit benötigt wird.

Die Kreiszahl

\pi

hat den Wert 3,14159 26535 89793 23846 26433 ... (Beachte, dass bei solchen langen Zahlen die Nachkommastellen in Fünferblöcken und nicht in Dreierblöcken geschriben werden!)

Pi hat den Näherungswert 3,14

\pi \approx

3,14

Dieses Zeichen (

\approx

), das einem Gleichheitszeichen in Wellenform ähnelt, steht für „ungefähr“; „rund“ oder angenähert gleich

BM489

Wenn verschiedene Leute einen Messung durchführren,, sind bei den Messergebnissen häufig kleine Abweichungen festzustellen. Das gleiche passiert, wenn ein und die selbe Person mehrere Messungen duchführt.

Es ist zum Beispiel nicht sinnvoll die Länge eines Fußballfeldes in Millimeter anzugeben, da es bei mehreren Messungen immer wieder unterschiedliche Ergebnisse geben würde.

Da es bei wiederholten Messungen immer zu Abweichungen kommt, wird die Länge einer Strecke angenähert angegeben.

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Man benötigt nicht immer Messergebnisse, die auf den Millimeter genau angegeben werden.

Je nach Kontext rundet man auf ganze Zahlen (also 732 statt 732,1) oder auf ganze Zehner (also 730 statt 732,1) oder auf ganze Hunderter (also 700 statt 732,1).

Manchmal braucht man nur auf einen Meter genau zu messen (z. B. die Länge eines Fußballfeldes).

Manchmal braucht man nur auf einen Kilometer genau zu messen (z. B. der Abstand zwischen Berlin und Hamburg).

Längen weden oft mit Näherungswerten angegeben.

BM490

Die folgenden Städte hatten am 31. Dezember die angegebenen Einwohnerzahlen:

Berlin: 3.520.031

Frankfurt: 732.688

Hamburg: 1.787.408

Hannover: 532.163

Leipzig: 560.472

München: 1.450.381

Rostock: 206.011

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Bei Vergleichen ist das Arbeiten mit Näherungswerten oft einfacher.

Berlin: 3.500.000

Frankfurt: 700.000

Hamburg: 1.800.000

Hannover: 500.000

Leipzig: 600.000

München: 1.500.000

Rostock: 200.000

BM491 - BM500

BM491

Führe eine Überschlagsrechnung durch!

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3.426 : 6 ≈ 3.000 : 6

3.426 : 6 ≈ 500

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3.148 : 7 ≈ 2.800 : 7

3.148 : 7 ≈ 400

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Bei der Überschlagsrechnung sucht man eine Zahl, die ungefähr so groß ist wie der Dividend und die sich leicht durch den Disvisor teilen lässt. Man rechnet also mit Näherungswerten.

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a : b = c

Dividend duch Divisor ist gleich Quotient

BM492

Führe erst eine Überschlagsrechnung durch, dann dividiere! (überschlagen)

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5.541 : 3

8.154 : 6

984 : 6

4.830 : 7

BM493

Bilde die Näherungswerte! Nimm nur Vielfache von Tausend!

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658

17.329

380.325

526.272

138.569

BM494

Führe nur eine Überschlagsrechnung durch!

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268 : 5

786 : 8

1.456 : 7

3.532 : 9

13.456 : 6

45.702 : 5

351.476 : 8

177.823 : 6

BM495

Runden

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Rundung ist eine arithmetische Operation, bei der eine Zahl in Stellenschreibweise, meist eine Dezimalzahl, durch eine Zahl mit einer geringeren Anzahl signifikanter (bedeutungstragender) Stellen ersetzt wird. Dabei wird der Unterschied zwischen ursprünglicher und gerundeter Zahl, der Rundungsfehler, so gering wie möglich gehalten.

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Zweck einer Rundung ist:

Platz für die Darstellung zu sparen
die Anzahl der Ziffern der Genauigkeit eines Rechenergebnisses anzupassen
die Genauigkeit des Ergebnisses der darstellbaren bzw. messbaren Einheit anzupassen (kleinste mögliche Währungseinheit z. B. Cent, ganze Gramm bei Küchenwaagen, ...)

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Meist verringert man die Anzahl der Dezimalstellen und damit die Anzahl der dargestellten Ziffern. Doch werden auch große Ganzzahlen gerundet. Zum Beispiel rundet die Bundesagentur für Arbeit die errechnete Anzahl der Arbeitslosen auf volle 100. Hier bleibt die Anzahl der dargestellten Ziffern unverändert, aber die letzten zwei Stellen werden als nicht signifikant gekennzeichnet.

BM495

aufrunden

abrunden

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Wird eine positive Zahl vergrößert, so spricht man von „aufrunden“; wird sie verkleinert, von „abrunden“.

Werden Nachkommastellen nur weggelassen, spricht man von „abschneiden“. Beim Runden von Zahlen ändert sich im Allgemeinen deren Wert.

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Gängige Rundungsverfahren lassen sich gemäß der Richtung einteilen:

aufwärts
abwärts
Richtung null

BM496

Kaufmännisches Runden

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Kaufmann

Kauffrau

Kaufleute

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Das Kaufmännische Runden geschieht wie folgt:

Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 0, 1, 2, 3 oder 4, dann wird abgerundet.
Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 5, 6, 7, 8 oder 9, dann wird aufgerundet.

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Beispiele (jeweils Rundung auf zwei Nachkommastellen):

13,3749 ... € ≈ 13,37 €
13,3750 ... € ≈ 13,38 €

BM497

Mathematisches Runden

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Die Mathematische Rundung ist wie folgt definiert:

1.) Folgt auf die letzte beizubehaltende Ziffer eine 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird abgerundet.
2.) Folgt auf die letzte beizubehaltende Ziffer eine 5 (gefolgt von weiteren Ziffern, die nicht alle null sind), 6, 7, 8 oder eine 9, so wird aufgerundet.
3.) Folgt auf die letzte beizubehaltende Ziffer lediglich eine 5 (oder eine 5, auf die nur Nullen folgen), so wird derart gerundet, dass die letzte beizubehaltende Ziffer gerade wird.

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Diese Art der Rundung wird in der Mathematik und Ingenieurwissenschaften verwendet.

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Beispiele (Rundung auf eine Nachkommastelle):

2,2499 ≈ 2,2 (nach Regel 1)
2,2501 ≈ 2,3 (nach Regel 2)
2,2500 ≈ 2,2 (nach Regel 3 zur geraden Ziffer hin gerundet)
2,3500 ≈ 2,4 (nach Regel 3 zur geraden Ziffer hin gerundet)

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Kaufmännisches und mathematisches Runden unterscheiden sich nur darin, wohin eine Zahl genau in der Mitte zwischen zwei Zahlen mit der gewählten Anzahl von Dezimalziffern gerundet wird.

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Das kaufmännische Runden erzeugt kleine systematische Fehler, da das Aufrunden um 0,5 vorkommt, das Abrunden um 0,5 jedoch nie; das kann Statistiken geringfügig verzerren. Die mathematische Rundung rundet von der genauen Mitte zwischen zwei Ziffern immer zur nächsten geraden Ziffer auf oder ab. Dadurch wird im Mittel genauso oft auf- wie abgerundet und der oben angesprochene systematische Fehler vermieden.

BM498

Mathematisches Runden (nach der „gerade-Zahl-Regel“)

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Wenn die letzte Grundziffer eine 1, 2, 3 oder 4 ist, wird diese beim Runden durch 0 ersetzt und die vorletzte Grundziffer bleibt unverändert. Man erhält in diesen Fällen beim Runden stets kleinere Zahlen.

Man sagt hierzu abrunden.

12.311 ≈ 12.310

12.312 ≈ 12.310

12.313 ≈ 12.310

12.314 ≈ 12.310

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12.316 ≈ 12.320

12.317 ≈ 12.320

12.318 ≈ 12.320

12.319 ≈ 12.320

Wenn die letzte Grundziffer eine 6, 7, 8 oder 9 ist, wird diese beim Runden durch 0 ersetzt und die vorletzte Grundziffer durch die für die nächstgrößere Zahl ersetzt. Man erhält in diesen Fällen beim Runden stets größere Zahlen.

Man sagt hierzu aufrunden.

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Wenn die letzte Grundziffer eine 5 ist, rundet man nach folgender Regel:

Man rundet so, dass die vorletzte Grundziffer der gerundeten Zahl eine gerade Zahl bezeichnet.

Diese Regel heißt „gerade-Zahl-Regel“.

BM499

Mathematisches Runden

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Runde auf Vielfache von 10!

Beispiel:

14.735 ≈ 14.740

14.725 ≈ 14.720

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375

165

845

985

10.624

996.553

374.781

808.711

BM500

Beim Aufrunden ist folgender Sonderfall zu beachten:

Es soll 408.697 auf ein Vielfaches von 10 gerundet werden.

Weil die letzte Ziffer von 408.697 eine 7 ist, muss man aufrunden. Zur 9 ist 1 zu addieren. Dadurch muss zu 6 (an der Hunderterstelle) auch 1 addiert werden:

408.697 ≈ 408.700

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Runde 23.997 auf ein Vielfaches von 10!

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Runde auf ein Vielfaches von 100!

6.340

3.170

4.750

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