Ecuación cuadrática/Versión para imprimir

Introducción

El análisis de la ecuación cuadrática es la continuación del estudio de la ecuación lineal con una incógnita, tratada con anterioridad. Encontrar la solución de una ecuación cuadrática es más difícil de abordar y se necesitan nuevos métodos, así, como el conocimiento previo de álgebra elemental en especial de expresiones algebraicas.

En analogía con la ecuación lineal que genera una recta en el plano cartesiano, la ecuación cuadrática genera el objeto geométrico llamado Parábola, cuyo estudio se aborda con el nombre de Función Cuadrática y Secciones Cónicas.

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Conceptos previos

¿Qué es una Ecuación?

Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación.

Ejemplo. 3x - 8 = 10

sólo se cumple para x = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que x = 6 es la solución de la ecuación dada. De hecho, es la única solución. Si usáramos, por ejemplo, x = 2, resultaría -2 = 10 (un absurdo)

Resolver una ecuación es hallar los valores de x que la satisfacen a través de técnicas matemáticas variadas. Si la ecuación es de primer grado, un despeje es el procedimiento general. Si el grado de la ecuación es superior a uno, deben utilizarse otros métodos.

Vease el artículo:Ecuación

Qué es una Raíz

Representación de "raíz cuadrada de x".

En matemática, la raíz cuadrada de un número real no negativo x es el número real no negativo que, multiplicado con sí mismo, da x. La raíz cuadrada de x se denota por ${\sqrt {x}}$.

Ejemplo. ${\sqrt {16}}=4$, ya que $4\cdot 4=16$

Ejemplo. ${\sqrt {144}}=12$ , ya que $12\cdot 12=144$

No todos los números reales no negativos tienen una raíz cuadrada exacta.

Ejemplo. ${\sqrt {2}}=1,41421...$ .

Vease el artículo:Raíz cuadrada

Propiedad raíz cuadrada

$Si\quad x^{2}=a\quad \Rightarrow \quad x=\pm {\sqrt {a}}\quad con\quad a>0$

Esto significa que ${\sqrt {a}}$ y $-{\sqrt {a}}$ satisfacen la ecuación. Esto es debido a que es una ecuación de segundo grado y ésta tiene a lo más dos soluciones. Ademas, la raíz tiene sentido en el conjunto de los números reales si a es no negativo.

Ejemplo. Encontrar el valor de x en la ecuación: x²= 9
Usando la propiedad nos queda: $x={\sqrt {9}}\Rightarrow x=\pm 3$. Por lo tanto la incognita x tiene dos valores: x=3 y x=-3
Respuesta: Los números multiplicados dos veces a si mismos que dan como resultado 9 son 3 y -3

Propiedad Cero

'Propiedad'. El producto de dos números es cero si y solo si al menos uno de ellos es cero.

$a\cdot b=0\quad \iff \quad a=0\quad \lor \quad b=0$

Ejemplo. Encontrar el valor de a en: $3\cdot a=0$
Por propiedad : 3=0 o a=0. La igualdad 3=0 es un absurdo y se descarta, por tanto nos queda a = 0
Respuesta: $3\cdot a=0$ si y solo si a = 0

Productos notables

• (a + b)² =a²+ 2ab + b²
  
• (a + b)(a - b) = a² - b²
  
• (x + a)(x + b) = x² + (a+b)x + ab

Vease el artículo:Productos notables

Ecuación cuadrática

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es aquella en la cual el mayor exponente de la incógnita (en este caso $x$) es dos.

La forma general de la ecuación cuadrática es:

$ax^{2}+bx+c=0$

con $a$, $b$, $c$ números reales cualquiera y $a\neq 0$ ($a$ distinto de cero).

Un ejemplo sería: $2x^{2}-3x=9$.

En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la $x$, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones

Ejemplos

• $3x^{2}-8x-1=0$

• $-2x^{2}2+3x+8=0$

• $x^{2}-12x=0$

• $8x^{2}=0$

• ${\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {3}{8}}x=9$

Completa

Una ecuación cuadrática se denomina completa si sus coeficientes son no nulos. Donde los tres literales:$a$, $b$ y $c$, son distintos de cero:

$ax^{2}+bx+c=0$

Ejemplo: $3x^{2}+5x+7=0$

Incompleta

Se llama incompleta si carece del termino de primer grado. En la forma

$ax^{2}+c=0$

Ejemplo: $5x^{2}-1=0$

Incompleta mixta

Es incompleta mixta cuando la ecuación carece de término independiente. En la forma:

$ax^{2}+bx=0$

Ejemplo: $7x^{2}+2x=0$

Radical

Es radical cuando la ecuación contiene una raíz En cualquier forma:

${\sqrt {bx+c}}=0$

Ejemplo: ${\sqrt {3x+1}}=0$

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• Fuente 
  Matematicas 1 SEP. pag 153, en Google libros [[1]]

Factorización

Si lográramos escribir $ax^{2}+bx+c$ como el producto de dos factores de primer grado, entonces la ecuación de segundo grado puede resolverse rápida y fácilmente.

Este método se basa en la propiedad cero de los números reales.

Cuando el número término cuadrado es 1

Ejemplo: $x^{2}-5x+6=0$

Pasos:

1.-Se buscan dos números enteros que den cómo resultado la suma del término líneal

-5 = -3-2

2.-Se multiplican ambos números y se comprueba si es el término independiente.

-3*-2=6

3.-Se termina por escribir los binomios correspondientes, agrupando los términos en parentesis con x

$(x-3)(x-2)$

Cuando el número término cuadrado no es 1

Ejemplo: $3x^{2}-x-2=0$

1.-Se factoriza el número del término cuadrado.

$3x^{2}=-x*-3x$

$3x^{2}=3x*x$

2.-Se factoriza el término independiente

$-2=-2*1$

$-2=-1*2$

3.-Se hacen multiplicaciones cruzadas y se reducen los números hasta dar cómo resultado el número del término líneal

$3x*-1=-3x$

$x*2=2x$

$2x-3x=-1$

4.-Al finalizar el procedimiento se escriben los bínomios correspondientes

$(3x+2)(x-1)$

Completación de cuadrados

Este método se basa en el proceso de transformar la ecuación cuadrática estándar $ax^{2}+bx+c=0$

En la formas

$P(x)={\color {Red}\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}}-{\frac {b^{2}}{4}}+c$ o $a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}$ Donde a,b son constantes

Procedimiento

Trinomio mónico x² + bx + c

Descripción	Procedimiento Simbólico	Ejemplo
Dado un polinomio de la forma	$P(x)=x^{2}+bx+c$	$x^{2}+10x+28$
Sumando y restando el cuadrado del cociente (la división/fracción), del coeficiente de x entre 2	$P(x)=x^{2}+bx{\color {Red}+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}}+c$	$x^{2}+10x{\color {Red}+\left({\frac {10}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {10}{2}}\right)^{2}}+28$
Agrupando términos, se obtendrá un trinomio cuadrado perfecto	$P(x)={\color {Red}\left(x^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{2^{2}}}\right)}-{\frac {b^{2}}{2^{2}}}+c$	${\color {Red}\left(x^{2}+10x+25\right)}-25+28$
Factorizando (reduciendo) este trinomio a un binomio al cuadrado, el cual se obtuvo: (1) extrayendo la raíz cuadrada del primer término del trinomio ($\surd x^{2}=x$), que será el término izquierdo del binomio; (2) extrayendo la raíz cuadrada del tercer término del trinomio ($\surd ({\frac {b^{2}}{2^{2}}})={\frac {\surd b^{2}}{\surd 2^{2}}}={\frac {b}{2}}$), que será el término derecho del binomio; (3) usando el signo del segundo término del trinomio ($+bx$) como el signo que separa los términos del nuevo binomio.	$P(x)={\color {Red}\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}}-{\frac {b^{2}}{4}}+c$	${\color {Red}\left(x+5\right)^{2}}-3$

Observación: con respecto a la expresión resultante ${\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}}-{\frac {b^{2}}{4}}+c$ puede continuarse simplificado/reduciendo. Un método es elevando al cuadrado ambos miembros, lo cual generará dos resultados, debido a la presencia de una raíz de índice par (en este caso cuadrada).

Así,  $x^{2}+bx+c=\left(x+h\right)^{2}+k=\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4}}$, donde $h={\frac {b}{2}}$ y $k=c-{\frac {b^{2}}{4}}$.

Polinomio de la forma ax² + bx + c

Descripción	Procedimiento Simbólico	Ejemplo
Dado un polinomio de la forma	$ax^{2}+bx+c$	$3x^{2}+24x+40$
Sacando a a como factor común, de los términos con x	${\color {Red}a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x\right)}+c$	${\color {Red}3\left(x^{2}+8x\right)}+40$
Sumando y restando el cuadrado del cociente, del coeficiente de x entre 2	$a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x{\color {Red}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}}\right)+c$	$3\left(x^{2}+8x{\color {Red}+16-16}\right)+40$
Acomodando términos, se obtendrá un trinomio cuadrado perfecto	$a\left({\color {Red}x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)+c$	$3\left({\color {Red}x^{2}+8x+16}-16\right)+40$
Multiplicamos por el factor común a, al término que acabamos de restar, $-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}$, para sacarlo del paréntesis	$a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right){\color {Red}-{\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}}+c$	$3\left(x^{2}+8x+16\right){\color {Red}-48}+40$
Quedando dentro del paréntesis el trinomio cuadrado perfecto	$a{\color {Red}\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)}-{\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}+c$	$3{\color {Red}\left(x^{2}+8x+16\right)}-48+40$
Reduciendo este trinomio a un binomio al cuadrado (con los términos x y el coeficiente de x dividido entre 2).	$a{\color {Red}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}}-{\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}+c$	$3{\color {Red}\left(x+4\right)^{2}}-48+40$
Simplificando	$a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}$	$3\left(x+4\right)^{2}-8$

Así,     $ax^{2}+bx+c=a\left(x+h\right)^{2}+k$

donde     $h={\frac {b}{2a}}$     y     $k=c-{\frac {b^{2}}{4a}}$

Ejemplos

$4x^{2}+3x-2=0$

1.

$4x^{2}+3x=2$

2.

$x^{2}+{\frac {3x}{4}}={\frac {1}{2}}$

3.

$({\frac {3}{\frac {4}{2}}})={\frac {3}{8}}$

Formula general

Consideremos la ecuación general de segundo grado (ecuación cuadrática) que tiene la forma: $ax^{2}+bx+c=0$. Resolver esta ecuación implica encontrar el valor o los valores de $x$ que cumplen con la expresión, si es que existen

Cuando nos enfrentamos por primera vez en la vida a esta clase de problemas, la primera forma en la que se intenta dar una respuesta es probando con varios números hasta "atinarle" (ya sea por que nos sonría la buena fortuna, o por aproximación).

Algunos incluso prueban número tras número hasta hallar la solución (Método de la "Fuerza Bruta")

Después, conforme nos vamos enfrentando a mas problemas que involucran ecuaciones cuadráticas, descubrimos algunos métodos de solución. De los primeros que aprendemos (por simplicidad) están el "Método Gráfico" (Realizar la gráfica correspondiente a la ecuación cuadrática igualada a cero y observar en que abscisas la gráfica "toca o pasa" por el eje horizontal del plano cartesiano). Otro método que aprendemos es el "Método de Factorización" (Trabajar con la expresión cuadrática igualada a cero hasta dejarla expresada como multiplicación de otras dos expresiones algebraicas, y encontrar "por simple observación" los valores que hacen que estas últimas dos ecuaciones sean iguales a cero).

Las desventajas de estos métodos es que implican trabajo excesivo, y no se garantiza que se encuentre la solución de la ecuación (al menos una solución "Real").

El último método que se estudia para resolver ecuaciones de segundo grado es la "Fórmula General".

Explicación de la Formula General

La deducción de la fórmula cuadrática viene de la fórmula de completar el cuadro:

La ecuación canónica de segundo grado se puede simplificar dividiendo por el coeficiente principal, de forma que

$ax^{2}+bx+c=0\ \Leftrightarrow \ x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$

Si usamos otras letras para simplificarlo de forma que $m={\frac {b}{a}}$ y $n={\frac {c}{a}}$ la demostración (que es algo más sencilla) queda como sigue:

Desde la ecuación

$x^{2}+mx+n=0\,$

Aislando n

$x^{2}+mx=-n\,$

Sumando ${\frac {m^{2}}{4}}$ a ambos términos

$x^{2}+mx+{\frac {m^{2}}{4}}={\frac {m^{2}}{4}}-n$

Simplificamos el primer término a un binomio cuadrado

$\left(x+{\frac {m}{2}}\right)^{2}={\frac {m^{2}}{4}}-n$

Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros

$x+{\frac {m}{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {m^{2}}{4}}-n}}$

Aislando $x\,$ y simplificando la fracción de la raíz

$x={\frac {-m}{2}}\pm {\sqrt {\frac {m^{2}-4n}{4}}}$

Simplificando a común denominador

$x={\frac {-m\pm {\sqrt {m^{2}-4n}}}{2}}$

si deshacemos el cambio de variables, obtenemos el resultado

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

La demostración sin cambio de variables se puede ver aquí:

• Partimos de nuestra ecuación simplificada:

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$

• Pasamos al otro término ${\frac {c}{a}}$:

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}$

• Sumamos ${\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$ para obtener un binomio desarrollado:

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}$

• El trinomio a la izquierda es un cuadrado perfecto; simplificando a común denominador el segundo miembro:

$\,\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$

Extrayendo las 2 posibles raíces cuadradas, obtenemos:

$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$

Moviendo ${\frac {b}{2a}}$ y aplicando la raíz al denominador:

$x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$

Simplificando a común denominador:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

$X_{1},_{2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Analizando la raíz cuadrada, se llega a las siguientes conclusiones :

Si $b^{2}$ es menor que $-4ac$ los resultados de X serán dos valores con parte real y parte imaginaria. Es decir, el resultado sera un número complejo.

Si $b^{2}$ es mayor que $-4ac$ obtendremos dos valores distintos de X reales.

Y si $b^{2}$ es igual que $-4ac$ obtendremos dos valores de X reales e iguales.

Otras operaciones cuadraticas utilizadas son al realizarlas ejemplo:(x+8)al cuadrado

(×+8)(×+8)

×al cuadrado+8x+8x+64 SIMPLIFICADO:

xal cuadrado+16x+64

Al término $b^{2}-4ac$ se le llama discriminante.

tomando en cuenta el orden de los términos: "a","b"y"c"=x²-6x+9

Las características principales de estas son:

1. Tienen que estar igualadas a cero

2. Tienen una, dos, o ninguna solución dependiendo del problema de ecuación..

http://melisa3f.blogspot.mx/2014/02/formula-general-de-las-ecuaciones.html

Tipos de soluciones

Para determinar el tipo de solución en una ecuación cuadrática

$ax^{2}+bx+c=0$

Se usa la ecuación del discriminante,que es la operación que se ubica dentro de la raíz de la solución general

$D=b^{2}-4ac$

Existen 3 tipos de soluciones para las ecuaciones cuadráticas que dependen del resultado del discriminante

a) $D<0$ La Solución es Imaginaria $(i)$
b) $D=0$ La Solución es Igual para ambas incógnitas, por lo tanto tiene 1 raíz real.
c) $D>0$ La Solución tiene dos cantidades posibles, por la tanto tiene 2 raíces reales.

Ejemplo:

$2x^{2}+x-1=0$

Sustituyendo valores

$a=2$,$b=1$ y $c=-1$

Entonces:

$D=(1)^{2}-4(-1)(2)=1+8=9$

Se considera que la ecuación tiene dos soluciones

==Interpretación cuadrada ==

.

Se puede interpretar la ecuación cuadrática cómo un cuadrado dividido en 4 partes:

1. un cuadrado grande que representa $x^{2}$

2. un cuadrado pequeño que representa ${\frac {b^{2}}{4}}$

3. dos rectánculos con el largo del cuadrado pequeño que representa ${\frac {bx}{2}}$

Aplicaciones

Las ecuaciones cuadráticas presentan un sin número de aplicaciones, entre ellos tenemos algunos problemas de Economía que dan lugar a una ecuación de segundo grado. Veamos un ejemplo.

Mensualmente una compañía puede vender x unidades de cierto artículo a p pesos cada uno, en donde la relación entre p y x (precio y número de artículos vendidos) está dada por la siguiente ecuación de demanda: P = 1400 – 40x ¿Cuántos artículos debe vender para obtener unos ingresos de 12.000 pesos?

SOLUCIÓN Partimos de la siguiente ecuación de economía. Ingreso = Precio de venta × Número de artículos vendidos Datos suministrados Ingreso = 12000 pesos Precio de venta = 1400 – 40x Número de artículos vendidos = x

Sustituimos estos datos en la ecuación de economía Ingreso = Precio de venta × Número de artículos vendidos 12000 = (1400 – 40x) × x Destruyendo paréntesis nos queda 12000 = 1400x – 40x2 Lo que nos da una ecuación cuadrática, haremos ahora una transposición de términos para llevarla a su forma general, quedando de la siguiente manera. 40x2 – 1400x + 12000 = 0 Esta ecuación se puede simplificar dividiendo cada término entre 40. Quedando x2 – 35x + 300 = 0, esta ecuación se puede solucionar por factorización, multiplicando dos paréntesis. (x -20)(x – 15) = 0, de aquí se concluye que; (x-20) = 0 ٨ (x-15) = 0, por lo que x = 20 y x =15, son las soluciones de este problema.

https://gduran2.wordpress.com/aplicacion-de-la-ecuacion-cuadratica/

http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U10_L2_T1_text_final_es.html

http://aportemath.blogspot.mx/2011/04/aplicacion-de-las-funciones-cuadraticas.html