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Electricidad

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Electricidad La electricidad es la rama de la física que estudia los fenómenos eléctricos, además de una tecnología que aprovecha los efectos eléctricos. La electricidad como fenómeno físico, esta arraigado a la propia estructura de la materia, dado que es el movimiento de los electrones que constituyen la corteza atómica lo que realmente forma la corriente eléctrica. Veamos un tratado sobre electricidad. Ejemplo de terrella activa. Historia Carácter eléctrico de la materia Electrostática Introducción al Fenómeno Eléctrico Cargas positivas y negativas Origen de las cargas El electrón Aislantes y conductores Formas de cargar un cuerpo Ley de Coulomb Propiedades de la carga Unidad de medida de la carga eléctrica Campo eléctrico Circuito eléctrico Apéndice 1: Vectores Apéndice 2: Tabla Periódica Apéndice 3: El Sistema Internacional de Unidades (SI) Apéndice 4:Biografías

Índice ----------------- Texto completo - Versión para imprimir

Historia

Antigüedad

Hacia el año 600 adC, el filósofo griego Tales de Mileto observo que frotando una varilla de ámbar con una piel o con lana podía atraer cuerpos pequeños. También había observado que si la frotaban mucho tiempo podrían causar el salto de una chispa.

Magnetita

Cerca de Mileto, (en la actualidad Turquía), se encuentra un sitio arqueológico llamado Magnesia, donde en la antigüedad se encontraron trozos de magnetita. Los antiguos griegos observaron que los trozos de este material se atraían entre sí, y también a pequeños objetos de hierro. La palabra magneto (en español, imán) proviene del lugar donde se descubrió.

Un objeto fue encontrado en Iraq en 1938, fechado alrededor de 250 adC, llamado la Batería de Bagdad, se asemeja a una celda electroquímica. No se han encontrado documentos que evidencien su utilización, aunque hay otras descripciones anacrónicas de dispositivos eléctricos en muros egipcios y escritos antiguos.

Edad Moderna

En 1600 el científico inglés William Gilbert publicó su libro De Magnete, en donde utiliza la palabra latina «electricus» derivada del griego elektron, que significa ámbar, para describir los fenómenos descubiertos por los griegos. También estableció las diferencias entre el magnetismo y la electricidad.

Estas investigaciones fueron continuadas en 1660 por Otto von Guericke quien inventó un generador electrostático. Robert Boyle afirmó en 1675 que la atracción y repulsión pueden producirse en el vacío. Stephen Gray en 1729 clasificó los materiales como conductores y aislantes. C.F. Du Fay fue el primero en identificar los dos tipos de carga eléctrica que más tarde se llamarían positiva y negativa. Pieter van Musschenbroek inventó en 1745 la botella de Leyden, un tipo de capacitor para almacenar cargas eléctricas en gran cantidad. William Watson experimentó con la botella Leyden, descubriendo en 1747 que una descarga de electricidad estática es equivalente a una corriente eléctrica.

Corte de una botella de Leyden

Benjamin Franklin en 1752 experimentó con la electricidad haciendo volar una cometa durante una tormenta. Demostró que el relámpago es debido a la electricidad. Como consecuencia de estas experimentaciones inventó el pararrayos y formuló una teoría sobre un fluido que explicara la presencia de cargas positivas y negativas.

Charles-Augustin de Coulomb en 1777 inventó una balanza de torsión para medir la fuerza de repulsión y atracción eléctrica. Por este procedimiento formuló el principio de interacción de cargas eléctricas (ley de Coulomb).

Edad Contemporánea

Hans Christian Oersted en 1819 observó que una aguja imantada se orientaba colocándose perpendicularmente a un conductor al cual se le hacia pasar una corriente eléctrica. Siguiendo estas investigaciones, Michael Faraday en 1831 descubrió que se generaba una corriente eléctrica en un conductor que se exponía a un campo magnético variable.

Pila de Volta. a) Disco de cobre. b) Disco de cinc. c) Capa intermedia humedecida.

Anillo utilizado por Faraday en el descubrimiento de la inducción magnética

Luigi Galvani en 1790 descubrió accidentalmente que se producen contracciones en los músculos de una rana en contacto con metales cargados eléctricamente. Alessandro Volta descubrió que las reacciones químicas podían generar cargas positivas (cationes) y negativas (aniones). Cuando un conductor une estas cargas, la diferencia de potencial eléctrico (también conocido como voltaje) impulsa una corriente eléctrica a través del conductor. La diferencia de potencial entre dos puntos se mide en unidades de voltio, en reconocimiento al trabajo de Volta. Humphry Davy en 1807 trabajó con la electrólisis y aisló de esta forma los metales alcalinos.

En 1821 el físico alemán Thomas Seebeck descubrió que se producía una corriente eléctrica por la aplicación de calor a la unión de dos metales diferentes. Jean Peltier en 1834 observó el fenómeno opuesto, la absorción de calor mediante el paso de corriente en una unión de materiales.

Georg Simon Ohm en 1827 dio una relación (Ley de Ohm) que liga la tensión entre dos puntos de un circuito y la intensidad de corriente que pasa por él, definiendo la resistencia eléctrica. El físico alemán Gustav Kirchoff expuso dos reglas, llamadas Leyes de Kirchoff con respecto a la distribución de corriente eléctrica en un circuito eléctrico con derivaciones.

James Prescott Joule en 1841 desarrolló una ley que establece la cantidad de calor que se produce en un conductor por el paso de una corriente eléctrica. Wheatstone en 1844 ideó su puente para medir resistencias eléctricas.

En 1878, Thomas Alva Edison construyó la primera lámpara incandescente con filamentos de bambú carbonizado. En 1901 Peter Hewitt inventa la lámpara de vapor de mercurio.

Bombilla de Edison

En 1873, el físico británico James Clerk Maxwell publicó su obra Tratado sobre electricidad y magnetismo, en donde, por primera vez, reúne en cuatro ecuaciones la descripción de la naturaleza de los campos electromagnéticos. Heinrich Hertz extendió esta teoría y demostró que la electricidad puede transmitirse en forma de ondas electromagnéticas, como la luz. Estas investigaciones posibilitaron la invención del telégrafo sin cables y la radio.

Nikola Tesla experimentó con alto voltaje y corriente alterna polifásica de esa manera inventó el alternador y el primer motor de inducción en 1882.

Por medio de los trabajos de Johann Wilhelm Hittorf, Williams Crookes inventó en 1872 el tubo de rayos catódicos. Utilizando un tubo de Crookes el físico alemán Wilhelm Röntgen descubrió los rayos X. Joseph John Thomson investigando el flujo de rayos catódicos descubrió el electrón. En 1906 el físico estadounidense Robert Andrews Millikan, mediante su experimento de "la gota de aceite", determinó la carga del electrón.

Actualmente, la comprensión y control del fenómeno eléctrico ha posibilitado la implantación de la electricidad en todos los tipos de aplicaciones industriales del ser humano e incluso en medicina (fisioterapia, electroterapia, etc)

Carácter eléctrico de la materia

Fundamentos

Para comprender los principios básicos en que se funda la electricidad debemos tener en claro ciertos conceptos que desarrollaremos a continuación:

Materia es todo aquello que tiene masa y conserva un lugar en el espacio; a su vez, la misma se encuentra formada por partículas llamadas átomos.

Según estudios realizados a principio del siglo veinte se ha observado que el átomo a su vez se encuentra formado por partículas subatómicas, a saber;

• Electrones, los mismos poseen carga eléctrica negativa (-) y se desplazan en una orbita elíptica al núcleo del átomo.
• Protones, estos se encuentran en el núcleo del átomo y poseen una carga eléctrica positiva (+).
• Neutrones, también se encuentran en el núcleo del átomo, y como su nombre lo indica posee carga neutra.

En su estado natural un átomo posee la misma cantidad de electrones que protones, obteniendo un átomo “neutro”. Sin embargo si el mismo poseyera mas protones que electrones se lo denominaría Ion positivo, caso contrario seria un Ion negativo.

Teniendo en claro estos conceptos básicos podemos comprender el carácter eléctrico de la materia:

Imaginemos por un instante que poseemos un átomo en un conductor metálico, supongamos que ese átomo A posee un electrón que se ha movido hacia la órbita exterior del átomo, la atracción producida por los protones a ese electrón es mínima, mediante lo cual si a este le proporcionamos suficiente energía, este electrón que se encuentra en la órbita o capa exterior (también llamado electrón de valencia) abandonara este átomo, pasando a llamarse electrón libre. Este electrón “libre” luego es adquirido por otro átomo (supongamos B), el cual previamente ha perdido un electrón, y así sucesivamente. Este proceso se denomina de “Ionizacion”.

Este movimiento es el causante de la corriente eléctrica.

Electrostática

• Introducción al Fenómeno Eléctrico
• Cargas positivas y negativas
• Origen de las cargas
• El electrón
• Aislantes y conductores
• Formas de cargar un cuerpo
• Ley de Coulomb
• Propiedades de la carga
• Unidad de medida de la carga eléctrica

Introducción al Fenómeno Eléctrico

Todos de alguna manera estamos familiarizados con la electricidad.

La utilizamos a diario para hacer funcionar nuestras herramientas, desde artículos de tocador hasta complicadas herramientas laborales. Necesitamos de la electricidad hasta tal punto que no concebimos una vida sin ella y cuando por alguna razón nos falta tratamos igualmente de encender la llave de luz o prender el televisor, dando muestra de lo asumido que tenemos su uso.

¿Pero qué es esa extraña fuerza que no ocupa espacio y que sabemos que puede ser hasta peligrosa?

Cuando nos ponemos a pensar realmente qué es, raramente llegamos a buen puerto.

Sin duda podemos decir que la electricidad es un fenómeno físico originado por cargas eléctricas estáticas o en movimiento y por su interacción. Esto nos dice que existe un "ente" físico que denominaremos, por ahora, carga eléctrica que se desplaza o no por el espacio que nos rodea y, estando en reposo o en movimiento, interacciona con otras cargas eléctricas originando así las fuerzas que nosotros percibimos.

Ahora bien, sabemos que toda la materia que nos rodea está formada de alguna forma, por "pequeñas partículas", que juntas dan forma a nuestro mundo conocido. Pero... ¿Cómo es que esas partículas interaccionan entre sí para unirse o separarse?

Es en este punto donde la electricidad empieza a tomar interés.

Primero comenzaremos por definir que son esas "pequeñas partículas" que forman la materia.

Átomos

Llamamos átomos a la unidad más pequeña de un elemento químico que mantiene su identidad o sus propiedades, y que no es posible dividir mediante procesos químicos.

El concepto de átomo como bloque básico e indivisible que compone la materia del universo ya fue postulado por la escuela atomista en la Antigua Grecia. Sin embargo, su existencia no quedó demostrada hasta el siglo XIX. Con el desarrollo de la Física nuclear en el siglo XX se comprobó que de hecho el átomo se puede subdividir en partículas más pequeñas.

La teoría aceptada hoy es que el átomo se compone de un núcleo, formado por protones y neutrones, alrededor del cual se encuentran una nube de electrones.

¿Pero por qué los electrones se quedan "dando vueltas" alrededor del núcleo y no se escapan libres por el espacio?

Fue C.F. Du Fay quien demostró que existían "dos tipos de electricidad" una se llamó positiva y la otra negativa.

El hecho es que dos objetos que están cargados positiva y negativamente se atraen, mientras que si los dos están cargados con el mismo tipo (o signo) de electricidad se repelen.

Ahora podemos decir que los protones del núcleo tienen carga positiva, mientras que los electrones negativa. Los neutrones son precisamente neutros, es decir, que no se ven afectados por los fenómenos eléctricos.

Es por ésto que los átomos pueden interaccionar con otros átomos, uniéndose y separándose, formando nuevas substancias, y así ensamblar el mundo que nos rodea.

Cargas positivas y negativas

Si se toma una varilla de vidrio y se la frota con seda colgándola de un hilo largo, también de seda se observa que al aproximar una segunda varilla (frotada con seda) se produce repulsión mutua.

Sin embargo, si se aproxima una varilla de ebonita, previamente frotada con una piel, se observa que atrae a la varilla de vidrio colgada. También se verifica que dos varillas de ebonita frotadas con piel se repelen entre sí. Estos hechos se explican diciendo que al frotar una varilla se le comunica carga eléctrica y que las cargas en las dos varillas ejercen fuerzas entre sí.

Los efectos eléctricos no se limitan a vidrio frotado con seda o a ebonita frotada con piel. Cualquier sustancia frotada con cualquier otra, en condiciones apropiadas, recibe carga en cierto grado. Sea cual sea la sustancia a la que se le comunicó carga eléctrica se verá que, si repele al vidrio, atraerá a la ebonita y viceversa.

No existen cuerpos electrificados que muestren comportamientos de otro tipo. Es decir, no se observan cuerpos electrificados que atraigan o repelan a las barras de vidrio y de ebonita simultáneamente: si el cuerpo sujeto a observación atrae al vidrio, repelerá a la barra de ebonita y si atrae a la barra de ebonita, repelerá a la de vidrio.

La conclusión de tales experiencias es que sólo hay dos tipos de carga y que cargas similares se repelen y cargas diferentes se atraen. Benjamín Franklin denominó positivas a las que aparecen en el vidrio y negativas a las que aparecen en la ebonita.

Origen de las cargas

Franklin, después de numerosas observaciones experimentales, descubrió que cuando se frotan dos cuerpos, si uno de ellos se electrifica positivamente, el otro adquiere, necesariamente, carga negativa. Así, cuando se frota vidrio con seda, además de adquirir aquél carga eléctrica positiva, la seda se electrifica negativamente.

Buscando una explicación que justificara este hecho, formuló la teoría de que estos fenómenos se producen debido a la existencia de un "fluido eléctrico" que se transfiere de un cuerpo a otro. Un cuerpo no electrizado tendría una "cantidad normal" de fluido. El frotamiento sería la causa de la transferencia y el cuerpo que recibiera más fluido quedaría electrizado positivamente mientras que el que lo perdiera quedaría electrizado negativamente. Así, conforme a estas ideas, no habría creación ni destrucción de carga eléctrica, sino únicamente una transferencia de electricidad de un cuerpo hacia otro.

En la actualidad se sabe que la teoría estaba parcialmente acertada. El proceso de electrización consiste en transferencia de carga eléctrica, pero no debido al fluido imaginado por Franklin, sino por el paso de electrones de un cuerpo hacia otro.

Como ya hemos mencionado, la teoría atómica moderna afirma que toda materia está constituida, básicamente, por partículas: protones, electrones y neutrones. Los primeros poseen carga positiva (el tipo de carga con que se electrifica el vidrio), los segundos, carga negativa (el tipo de carga con que se electrifica la ebonita) y los neutrones carecen de carga eléctrica.

Un cuerpo no electrizado posee el mismo número de electrones que de protones. Cuando se frotan dos cuerpos hay una transferencia de electrones de uno hacia otro y el cuerpo que presenta exceso de electrones queda cargado negativamente, mientras que el que los perdió presenta un exceso de protones provocando la existencia de carga eléctrica positiva.

Los que se desplazan son los electrones debido a la posición que ocupa en el átomo y por ende en la molécula que forma el material. Así los protones se quedan fijos en los núcleos atómicos, mientras que los electrones, más libres que los componentes nucleares, se desplazan de un lugar a otro.

Obsérvese que los electrones y protones no poseen en su seno nada positivo ni negativo, esto sólo es una denominación que se aplica a una propiedad intrínseca de la materia que se manifiesta mediante repulsiones y atracciones.

El electrón

La existencia del electrón fue postulada por G. Johnstone Stoney, como una unidad de carga en el campo de la Electroquímica. Trataremos ahora de echar un poco de luz sobre esta partícula por considerarla la más importante para la materia que queremos estudiar.

Clasificación de los electrones

El electrón es un tipo de partícula subatómica denominada leptón, que se cree que es una de las partículas fundamentales (es decir, que no puede ser dividida en constituyentes más pequeños) de acuerdo con el modelo estándar de partículas.

Como toda partícula subatómica la Mecánica cuántica predice el comportamiento ondulatorio de los electrones en ciertos casos, el más famoso de los cuales es el experimento de Young de la doble rendija en el que se pueden hacer interferir ondas de electrones. Esta propiedad se denomina dualidad onda-partícula.

Propiedades, comportamiento y otros datos de los electrones

El electrón tiene una carga eléctrica negativa de −1.6 × 10−19 culombios (unidad que definiremos más adelante) y una masa de 9.10 × 10−31 kg (0.51 MeV/c²), que es aproximadamente 1800 veces menor que la masa del protón.

El electrón tiene un spin $1/2$, lo que implica que es un fermión, es decir, que se le puede aplicar la estadística de Fermi-Dirac.

Aunque la mayoría de los electrones se encuentran formando parte de los átomos, los hay que se desplazan independientemente por la materia o juntos formando un haz de electrones en el vacío. En algunos superconductores los electrones se mueven en pareja.

Los electrones y los positrones pueden aniquilarse mutuamente produciendo un fotón. De manera inversa, un fotón de alta energía puede transformarse en un electrón y un positrón.

Como dijimos anteriormente, el electrón es una partícula elemental, lo que significa que no tiene una subestructura (al menos los experimentos no la han podido encontrar). Por ello suele representarse como un punto, es decir, sin extensión espacial. Sin embargo, en las cercanías de un electrón pueden medirse variaciones en su masa y su carga. Esto es un efecto común a todas las partículas elementales: la partícula influye en las fluctuaciones del vacío en su vecindad, de forma que las propiedades observadas desde mayor distancia son la suma de las propiedades de la partícula más las causadas por el efecto del vacío que la rodea.

Hay una constante física llamada radio clásico del electrón, con un valor de 28.179 × 10−15 metros. Es preciso tener en cuenta que éste es el radio que se puede inferir a partir de la carga del electrón descrito desde el punto de vista de la Electrodinámica clásica, no de la Mecánica cuántica. Por esta constante se refiere a un concepto desfasado, aunque útil para algunos cálculos.

Los científicos creen que el número de electrones existentes en el universo conocido es de al menos 10⁷⁹. Este número asciende a una densidad media de alrededor de un electrón por metro cúbico de espacio.

Basándose en el radio clásico del electrón y asumiendo un empaquetado esférico denso, se puede calcular que el número de electrones que cabrían en el universo observable es del orden de 10¹³⁰. Por supuesto, este número es incluso menos significativo que el propio radio clásico del electrón.

En la Mecánica cuántica, el electrón es descrito por la ecuación de Fermi-Dirac. En el modelo estándar de la física de partículas forma un doblete con el neutrino, dado que ambos interacciónan de forma débil. El electrón tiene dos patrones masivos adicionales, el muon y el tauón.

El equivalente al electrón en la antimateria, su antipartícula, es el positrón, que tiene la misma cantidad de carga eléctrica que el electrón pero positiva. El spin y la masa son iguales en el electrón y el positrón. Cuando un electrón y un positrón colisionan, tiene lugar la aniquilación mutua, originándose dos fotones de rayos gamma con una energía de 0,500 MeV cada uno.

Los electrones son un elemento clave en el electromagnetismo, una teoría que es adecuada desde un punto de vista clásico, aplicable a sistemas macroscópicos.

Aislantes y conductores

Conductores

Cable de cobre, buen conductor

Aislante de vidrio, usado en torres de conducción

Una varilla metálica sostenida con la mano y frotada con una piel no resulta cargada. Sin embargo, es posible cargarla si se la provee de un mango de vidrio o de ebonita y el metal no se toca con las manos al frotarlo.

La explicación es que las cargas se pueden mover libremente en los metales y el cuerpo humano, mientras que en el vidrio y la ebonita no pueden hacerlo.

Esto se debe a que en ciertos materiales, típicamente en los metales, los electrones más alejados de los núcleos respectivos adquieren libertad de movimiento en el interior del sólido. Estas partículas se denominan electrones libres y son el vehículo mediante el cual se transporta la carga eléctrica. Estas sustancias se denominan conductores.

Aislantes

Oblea de arseniuro de galio, un semiconductor

Levitación de un imán sobre un superconductor de tipo cuprato YBa2Cu3O7 enfriado a -196 ° C.

En contrapartida a los conductores eléctricos, existen materiales en los cuales los electrones están firmemente unidos a sus respectivos átomos. En consecuencia, estas sustancias no poseen electrones libres y no será posible el desplazamiento de carga a través de ellos. Estas sustancias son denominadas aislantes o dieléctricos. El vidrio, la ebonita o el plástico son ejemplos típicos.

En consecuencia, esta diferencia de comportamiento de las sustancias respecto del desplazamiento de las cargas en su seno depende de la naturaleza de los átomos que las componen.

Semiconductores

Entre los buenos conductores y los dieléctricos existen múltiples situaciones intermedias. Entre ellas destacan los materiales semiconductores por su importancia en la fabricación de dispositivos electrónicos que son la base de la actual revolución tecnológica. En condiciones ordinarias se comportan como dieléctricos, pero sus propiedades conductoras pueden ser alteradas con cierta facilidad mejorando su conductividad en forma prodigiosa ya sea mediante pequeños cambios en su composición, sometiéndolos a temperaturas elevadas o a intensa iluminación.

Superconductores

A temperaturas cercanas al cero absoluto, ciertos metales adquieren una conductividad infinita, es decir, la resistencia al flujo de cargas se hace cero. Se trata de los superconductores. Una vez que se establece una corriente eléctrica en un superconductor, los electrones fluyen por tiempo indefinido.

Es de relevancia tener en cuenta, y puede verificarse experimentalmente, que solamente la carga negativa se puede mover. La carga positiva es inmóvil y únicamente los electrones libres son los responsables del transporte de carga.

Será una resistencia cero o muy cercana al límite de cero? Respuesta, R=0 ohms. Un superconductor no es simplemente un conductor normal perfecto Al contrario de lo que se podría pensar en principio, un superconductor se comporta de un modo muy distinto a los conductores normales: no se trata de un conductor cuya resistencia es cercana a cero, sino que la resistencia es exactamente igual a cero. Esto no se puede explicar mediante los modelos empleados para los conductores habituales, como por ejemplo el modelo de Drude.

Para demostrar esto vamos a suponer la hipótesis opuesta: imaginemos por un momento que un superconductor se comporta como un conductor normal. En tal caso, tendríamos que los electrones son esparcidos de alguna manera y su ecuación del movimiento sería:

donde es la velocidad media de los electrones, m su masa, e su carga y el campo eléctrico en el que se mueven. Suponiendo que dicho campo varía suavemente, al resolverla llegaríamos a la ley de Ohm:

donde es la densidad de corriente, \sigma la conductividad eléctrica, \tau el tiempo entre colisiones, y n la densidad de electrones.

Ahora bien, si suponemos que la resistencia tiende a cero, tendríamos que la conductividad tiende a infinito y por lo tanto el tiempo entre colisiones, tendería a infinito. Dicho de otra manera, no habría colisiones en absoluto. Esta es la idea de cómo se comportaría un conductor normal que tuviera resistencia nula. Sin embargo, esto significaría que, puesto que la densidad de corriente no puede ser infinita, la única posibilidad es que el campo eléctrico sea nulo:

No obstante, teniendo en cuenta la ley de Faraday, un campo eléctrico nulo implica que el campo magnético ha de ser constante:

pero esto entra en contradicción con el efecto Meissner, de modo que la superconductividad es un fenómeno muy diferente a la que implicaría una "conductividad perfecta", y requiere una teoría diferente que los explique.

Formas de cargar un cuerpo

Electrización por contacto

Consiste en cargar los cuerpos poniéndolo en contacto con otro previamente electrizado. En este caso, ambos quedarán cargados con carga del mismo signo (+ o -).

Esto se debe a que habrá transferencia de electrones libres desde el cuerpo que los posea en mayor cantidad hacia el que los contenga en menor proporción y manteniéndose este flujo hasta que la magnitud de la carga sea la misma en ambos cuerpos.

Electrización por fricción

Se caracteriza por producir cuerpos electrizados con cargas opuestas. Esto ocurre debido a que los materiales frotados tienen diferente capacidad para *retener y entregar* electrones y cada vez que se tocan algunos electrones saltan de una superficie a otra.

Electrización por inducción

La inducción es un proceso de carga de un objeto sin contacto directo.

Un cuerpo cargado eléctricamente puede atraer a otro cuerpo que está neutro. Esto es justamente lo que pasa cuando atraemos pequeños trozos de papel mediante un objeto cargado por frotamiento.

Cuando se acerca un cuerpo electrizado a un cuerpo neutro, se establece una interacción eléctrica entre las cargas del primero y las del cuerpo neutro.

Como resultado de esta interacción, la distribución inicial se altera: el cuerpo electrizado provoca el desplazamiento de los electrones libres del cuerpo neutro.

En este proceso de redistribución de cargas, la carga neta inicial no ha variado en el cuerpo neutro, pero en algunas zonas se carga positivamente y en otras negativamente.

Se dice que aparecen cargas eléctricas inducidas. Entonces el cuerpo electrizado, denominado inductor, induce una carga con signo contrario en el cuerpo neutro y por lo tanto lo atrae.

El diagrama de abajo muestra el procedimiento para electrificar un cuerpo por inducción. Es importante tener en cuenta que la carga obtenida por este método es de signo opuesto a la carga del inductor.

La aparición de cargas inducidas se produce tanto en conductores como en dieléctricos, aunque el mecanismo por el cual se produce esta aparición en unos y en otros es bien distinto.

En el caso de conductores, los responsables son los electrones libres capaces de moverse en el seno del conductor cuando son afectados por influencias debidas a la presencia del inductor produciendo los efectos mostrados en el diagrama.

Cuando una barra cargada es acercada a un dieléctrico no hay electrones libres que puedan desplazarse por el material aislante; lo que ocurre es un reordenamiento de las posiciones de las cargas dentro de los propios átomos y moléculas.

Por inducción, un lado del átomo o molécula se hace ligeramente más positivo o negativo que el lado opuesto por lo que decimos que el átomo está eléctricamente polarizado.

Si, por ejemplo, la barra es negativa, entonces el lado positivo del átomo o molécula se orienta hacia la barra y el lado negativo queda orientado en sentido contrario. Las cargas inducidas se hacen presentes debido al fenómeno de polarización eléctrica.

Ley de Coulomb

Diversos experimentos nos muestran como podemos producir fenómenos eléctricos. Uno de estos muy conocido es frotar vidrio, plastico u otros materiales no metálicos en pieles, franelas etc. Lo que ocurre cuando hacemos esto es que una vez "cargado" el no metal, podemos atraer con él pequeños trozos de papel u otros objetos livianos.

Lo que está sucediendo cuando hacemos estos tipos de experimentos, es que por alguna razón hacemos que los electrones que componen el material no metálico entren o salgan de él, y cuando terminamos el "cargado" vuelven al reposo pero el material se queda con un exceso o defecto de electrones.

Para ser más generalistas, y dado que los electrones no son las únicas partículas cargadas, diremos que el materia queda con un desequilibrio de cargas eléctricas. Estas cargas se reparten de manera más o menos regular en el material y atraen (o repelen) a las cargas de otros materiales no metálicos¹.

Claro que para poder entender cómo intercaccionan entre si distribuciones de carga, hay que entender primero las leyes que gobiernan a una carga puntual y cómo interaccionan entre si una cantidad determinadas de cargas puntuales. Claro está que luego de ésto podremos desarrollar las leyes para distribuciones complejas amplíando la formulación matemática de estas leyes más simples.

Muchos fueron las personas que se vieron atraidas por el fenómeno eléctrico a lo largo de la historia, pero uno que produjo un gran avance fue Charles-Augustin de Coulomb, que desarrolló un metodo practico para poder medir las fuerzas que roducían las cargas eléctricas.

La ley de Coulomb lleva el nombre de este notable físico francés por que fue uno de sus descubridores y el primero en publicarlo. No obstante, Henry Cavendish obtuvo la expresión correcta de la ley, con mayor precisión que Coulomb, si bien ésto no se supo hasta después de su muerte.

Coulomb efectuó mediciones muy cuidadosas de las fuerzas existentes entre cargas puntuales utilizando una balanza de torsión similar a la usada por Cavendish para evaluar la ley de la gravitación universal.

La balanza de torsión consiste en una barra que cuelga de una fibra. Esta fibra es capaz de torcerse, y si la barra gira la fibra tiende a regresarla a su posición original. Si se conoce la fuerza de torsión que la fibra ejerce sobre la barra, se logra un método sensible para medir fuerzas.

En la barra de la balanza, Coulomb, colocó una pequeña esfera cargada y, a continuación, a diferentes distancias, posicionó otra esferita con carga de igual magnitud. Luego midió la fuerza entre ellas observando el ángulo que giraba la barra.

Dichas mediciones permitieron determinar que:

1) La fuerza de interacción entre dos cargas $q_{1}$ y $q_{2}$ duplica su magnitud si alguna de las cargas dobla su valor, la triplica si alguna de las cargas aumenta su valor en un factor de tres, y así sucesivamente. Concluyó entonces que el valor de la fuerza era proporcional al producto de las cargas:

$F\,\!$ $\propto \,\!$ $q_{1}\,\!$     y     $F\,\!$ $\propto \,\!$ $q_{2}\,\!$

en consecuencia:

$F\,\!$ $\propto \,\!$ $q_{1}q_{2}\,\!$

2) Si la distancia entre las cargas es $r$, al duplicarla, la fuerza de interacción disminuye en un factor de 4; al triplicarla, disminuye en un factor de 9 y al cuadriplicar $r$, la fuerza entre cargas disminuye en un factor de 16. En consecuencia, la fuerza de interacción entre dos cargas puntuales, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:

$F\,\!$ $\propto \,\!$ $1 \over r^{2}$

Variación de la Fuerza de Coulomb en función de la distancia

Asociando las relaciones obtenidas en 1) y 2):

$F\,\!$ $\propto \,\!$ $q_{1}q_{2} \over r^{2}$

Finalmente, se introduce una constante de proporcionalidad para transformar la relación anterior en una igualdad:

$F=k{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$

La creencia en la ley de Coulomb, no descansa cuantitativamente en los experimentos del mismo. Las medidas con la balanza de torsión son difíciles de hacer con una precisión de más de unos cuantos centésimos. Esas medidas no son lo suficientemente precisas como para determinar que el exponente de la ecuación de Coulomb es 2 y no fuera, por ejemplo, 2.01. El hecho es que la ley de Coulomb puede deducirse mediante experimentos indirectos que ponen de manifiesto que el exponente en cuestión debe estar comprendido entre 2.000000002 y 1.999999998. No es raro, entonces, que se considere que el exponente sea exactamente 2.

Enunciado de la ley

El enunciado que describe la ley de Coulomb es el siguiente:

"La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa."

En términos matemáticos, la magnitud F de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales $q_{1}yq_{2}$ ejerce sobre la otra separadas por una distancia $r$ se expresa como:

$F=K{\frac {\left|q_{1}\right|\left|q_{2}\right|}{r^{2}}}$

Dadas dos cargas puntuales $q_{1}$ y $q_{2}$ separadas una distancia $r$ en el vacío, se atraen o repelen entre sí con una fuerza cuya magnitud esta dada por:

$F=k{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$

La Ley de Coulomb se expresa mejor con magnitudes vectoriales:

${\vec {F}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\vec {u}}_{r}={\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {q_{1}q_{2}}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}({\vec {r}}_{2}-{\vec {r_{1}}})$

donde ${\vec {u}}_{r}$ es un vector unitario que va en la dirección de la recta que une las cargas, siendo su sentido desde la carga que produce la fuerza hacia la carga que la experimenta.

El exponente (de la distancia r) de la Ley de Coulomb es, hasta donde se sabe hoy en día, exactamente 2. Experimentalmente se sabe que, si el exponente fuera de la forma $(2+\delta )\,\!$, entonces $\left|\delta \right|<10^{-16}\,\!$.

Representación gráfica de la Ley de Coulomb para dos cargas del mismo signo.

Obsérvese que esto satisface la tercera del ley de Newton debido a que implica que fuerzas de igual magnitud actúan sobre $q_{1}\,\!$ y $q_{2}\,\!$. La ley de Coulomb es una ecuación vectorial e incluye el hecho de que la fuerza actúa a lo largo de la línea de unión entre las cargas.

Constante de Coulomb

La constante $k$ es la constante de Coulomb y su valor es $1/(4\pi \varepsilon )$.

A su vez la constante $\varepsilon =\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}$ donde $\varepsilon _{r}$ es la permitividad relativa, $\varepsilon _{r}>1$, y $\varepsilon _{0}=8,85\times 10^{-12}$N$m^{2}$/$C^{2}$ es la permitividad del medio en el vacío.

Cuando el medio que rodea a las cargas no es el vacío hay que tener en cuenta la constante dieléctrica y la permitividad del material.

Algunos valores son:

Material	$\varepsilon _{r}$	Material	$\varepsilon _{r}$
Vacío	1	Aire	1,0006
Parafina	2, 1-2,2	Mármol	7,5-10
Mica	6-7	Ebonita	2,5-3
Papel parafinado	2,2	Porcelana	5,5-6,5
Poliestireno	1,05	Micalex	7-9
Baquelita	3,8-5	Micarta A y B	7-8
C-irbolito	3-5	Batista barnizada	3,5-5
Vidrio orgánico	3,2-3,6	Goma en hojas	2,6-3,5
Vidrio	5,5-10	Poliestireno	2,7

Considerando que la permitividad relativa en el vacío es igual a la unidad entonces la ecuación de la ley de Coulomb queda expresada de la siguiente manera:

$F={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$

Principio de superposición y la Ley de Coulomb

Como ley básica adicional, no deducible de la ley de Coulomb, se encuentra el Principio de Superposición:

"La fuerza total ejercida sobre una carga eléctrica q por un conjunto de cargas $q_{1},q_{2},q_{3},...,q_{N}\,\!$ será igual a la suma vectorial de cada una de las fuerzas ejercidas por cada carga $q_{i}\,\!$ sobre la carga q."

${\vec {F}}=\sum _{i}^{N}{\vec {F}}_{i}=\sum _{i}^{N}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{i}q}{r_{i}^{2}}}{\vec {u_{r}}}_{i}$

Representación gráfica del principio de superposición

Conjuntamente, la Ley de Coulomb y el Principio de Superposición constituyen los pilares de la electrostática.

Verificación experimental de la Ley de Coulomb

Es posible verificar la ley de Coulomb mediante un experimento sencillo.

Considérense dos pequeñas esferas de masa m cargadas con cargas iguales q del mismo signo que cuelgan de dos hilos de longitud l, tal como se indica en la figura.

Sobre cada esfera actúan tres fuerzas: el peso mg, la tensión de la cuerda T y la fuerza de repulsión eléctrica entre las bolitas $F_{1}$.

En el equilibrio: $T\ \sin \theta _{1}=F_{1}\,\!$ (1) y $T\ \cos \theta _{1}=mg\,\!$ (2).

Dividiendo (1) entre (2) miembro a miembro, se obtiene: ${\frac {\sin \theta _{1}}{\cos \theta _{1}}}={\frac {F_{1}}{mg}}\Rightarrow F_{1}=mg.\tan \theta _{1}\,\!$

Siendo $L_{1}$ la separación de equilibrio entre las esferas cargadas, la fuerza $F_{1}$ de repulsión entre ellas, vale, de acuerdo con la ley de Coulomb: $F_{1}={\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}L_{1}^{2}}}$ y, por lo tanto, se cumple la siguiente igualdad: ${\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}L_{1}^{2}}}=mg.\tan \theta _{1}\,\!$ (3)

Al descargar una de las esferas y ponerla, a continuación, en contacto con la esfera cargada , cada una de ellas adquiere una carga q/2, en el equilibrio su separación será $L_{2}<L_{1}$ y la fuerza de repulsíón entre las mismas estará dada por: $F_{2}={\frac {{\left({\frac {q}{2}}\right)}^{2}}{4\pi \epsilon _{0}L_{2}^{2}}}={\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \epsilon _{0}L_{2}^{2}}}$

Por estar en equilibrio, tal como se dedujo más arriba: $F_{2}=mg.\tan \theta _{2}\,\!$.

Y de modo similar se obtiene: ${\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \epsilon _{0}L_{2}^{2}}}=mg.\tan \theta _{2}\,\!$ (4)

Dividiendo (3) entre (4), miembro a miembro, se llega a la siguiente igualdad:

${\frac {\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}L_{1}^{2}}}{\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \epsilon _{0}L_{2}^{2}}}}={\frac {mg.\tan \theta _{1}}{mg.\tan \theta _{2}}}\Longrightarrow 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}=$ ${\frac {\tan \theta _{1}}{\tan \theta _{2}}}$ (5)

Midiendo los ángulos $\theta _{1}$ y $\theta _{2}$ y las separaciones entre las cargas $L_{1}$ y $L_{2}$ es posible verificar que la igualdad se cumple dentro del error experimental.

En la práctica, los ángulos pueden resultar difíciles de medir, así que si la longitud de los hilos que sostienen las esferas son lo suficientemente largos, los ángulos resultarán lo bastante pequeños como para hacer la siguiente aproximación:

$\tan \theta \approx \sin \theta ={\frac {\frac {L}{2}}{l}}={\frac {L}{2l}}\Longrightarrow {\frac {\tan \theta _{1}}{\tan \theta _{2}}}\approx {\frac {\frac {L_{1}}{2l}}{\frac {L_{2}}{2l}}}$

Con esta aproximación, la relación (5) se transforma en otra mucho más simple:

${\frac {\frac {L_{1}}{2l}}{\frac {L_{2}}{2l}}}\approx 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}\Longrightarrow$ ${\frac {L_{1}}{L_{2}}}\approx 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}\Longrightarrow {\frac {L_{1}}{L_{2}}}\approx {\sqrt[{3}]{4}}$

De esta forma, la verificación se reduce a medir la separación entre cargas y comprobar que su cociente se aproxima al valor indicado.

Comparación entre la Ley de Coulomb y la Ley de la Gravitación Universal

Esta comparación es relevante ya que ambas leyes dictan el comportamiento de dos de las fuerzas fundamentales de la naturaleza mediante expresiones matemáticas cuya similitud es notoria.

La ley de la gravitación universal establece que la fuerza de atracción entre dos masas es directamente proporcional al producto de las mismas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

Expresándolo matemáticamente: $F=G.{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$ siendo G la constante de gravitación universal, $m_{1}$ y $m_{2}$ las masas de los cuerpos en cuestión y r la la distancia entre los centros de las masas. G vale $6,67\times 10^{-11}$$N.m^{2}/kg^{2}$

A pesar del chocante parecido en las expresiones de ambas leyes se encuentran dos diferencias insoslayables.

La primera es que en el caso de la gravedad no se han podido observar masas de diferente signo como sucede en el caso de las cargas eléctricas, y por tanto, la fuerza entre masas siempre es atractiva.

La segunda tiene que ver con los órdenes de magnitud de la fuerza de gravedad y de la fuerza eléctrica. Para aclararlo analizaremos como actúan ambas entre un protón y un electrón en el núcleo de hidrógeno.

La separación promedio entre el electrón y el protón es: $5,3\times 10^{-11}$m.

La carga del electrón y la del protón valen $e^{-}=-1,6\times 10^{-19}C$ y $p^{+}=1,6\times 10^{-19}C$ respectivamente y sus masas son $m_{e^{-}}=9.11\times 10^{-31}kg$ y $m_{p^{+}}=-1,67\times 10^{-27}kg$.

Sustituyendo los datos:

$F_{E}=k{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}=8,99\times 10^{9}{\frac {Nm^{2}}{C^{2}}}.{\frac {-1,6\times 10^{-19}C.1,6\times 10^{-19}C}{5,3\times 10^{-11}m^{2}}}=8,2\times 10^{-8}N$

$F_{G}=G.{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}=6,67\times 10^{-11}{\frac {Nm^{2}}{kg^{2}}}.{\frac {9.11\times 10^{-31}kg.1,67\times 10^{-27}kg}{5,3\times 10^{-11}m^{2}}}=3,6\times 10^{-47}N$.

Al comparar resultados se observa que la fuerza eléctrica es de unos 39 órdenes de magnitud superior a la fuerza gravitacional.

Lo que esto representa puede ser ilustrado mediante un ejemplo muy llamativo.

1 C representa la carga transportada durante 1 segundo por una lámpara convencional de 120 watt de las utilizadas en las casas para suministrar iluminación.

Si fuera posible concentrar la mencionada carga en dos puntos con una separación de 1 metro, la fuerza de interacción sería:

$F_{E}=k{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}=8,99\times 10^{9}{\frac {Nm^{2}}{C^{2}}}.{\frac {1C.1C}{{1m}^{2}}}=9\times 10^{9}N$ o sea ¡1,01 millones de toneladas!

Si tales cargas se pudieran concentrar de la forma indicada más arriba, se alejarían bajo la influencia de esta enorme fuerza, ¡aunque tuvieran que arrancarse del acero sólido para hacerlo!

Si de esta hipotética disposición de cargas resultan fuerzas tan enormes, ¿porqué no se observan despliegues dramáticos debidos a las fuerzas eléctricas? La respuesta general es que en un punto dado de cualquier conductor nunca hay demasiado alejamiento de la neutralidad eléctrica. La naturaleza nunca acumula un Coulomb de carga en un punto.

Propiedades de la carga

Principio de conservación de la carga

En concordancia con los resultados experimentales, el principio de conservación de la carga establece que no hay destrucción ni creación neta de carga eléctrica, y afirma que en todo proceso eléctromagnético la carga total de un sistema aislado se conserva, tal como pensó Franklin.

Hemos visto que cuando se frota una barra de vidrio con seda, aparece en la barra una carga positiva. Las medidas muestran que aparece en la seda una carga negativa de igual magnitud. Esto hace pensar que el frotamiento no crea la carga sino que simplemente la transporta de un objeto al otro, alterando la neutralidad eléctrica de ambos. Así, en un proceso de electrización, el número total de protones y electrones no se altera y sólo hay una separación de las cargas eléctricas. Por tanto, no hay destrucción ni creación de carga eléctrica, es decir, la carga total se conserva, tal como pensó Franklin.

Pueden aparecer cargas eléctricas donde antes no había, pero siempre lo harán de modo que la carga total del sistema permanezca constante. Además esta conservación es local, ocurre en cualquier región del espacio por pequeña que sea.

Cuantización de la carga

La experiencia ha demostrado que la carga eléctrica no es continua, o sea, no es posible que tome valores arbitrarios, sino que lo valores que puede adquirir son múltiplos enteros de una cierta carga eléctrica mínima. Esta propiedad se conoce como cuantización de la carga y el valor fundamental corresponde al valor de carga eléctrica que posee el electrón y al cual se lo representa como e. Cualquier carga q que exista físicamente puede escribirse como N x e siendo N un número entero, positivo o negativo.

Vale la pena destacar que para el electrón la carga es -e, para el protón vale +e y para el neutrón, 0.

Se cree que la carga de los quarks, partículas que componen los núcleos atómicos, toma valores fraccionarios de esta cantidad fundamental. Sin embargo, nunca se han observado quarks libres.

Unidad de medida de la carga eléctrica

El valor de la carga eléctrica de un cuerpo, representada como q o Q, se mide según el número de electrones que posea en exceso o en defecto.

En el Sistema Internacional de Unidades la unidad de carga eléctrica se denomina coulomb (símbolo C) y se define como la cantidad de carga que a la distancia de 1 metro ejerce sobre otra cantidad de carga igual, la fuerza de $9x10^{9}$ N.

Un culombio corresponde a 6,24 × $10^{18}$ electrones.

En consecuencia, la carga del electrón es:

• $e={\frac {-1C}{6,24\times 10^{18}}}$ = $-1,602564\times 10^{-19}C$

Como el culombio puede no ser manejable en algunas aplicaciones, por ser demasiado grande, se utilizan también sus submúltiplos:

• 1 miliculombio = ${\frac {1C}{1.000}}=1mC$
• 1 microculombio = ${\frac {1C}{1.000.000}}=1\mu C$

Campo Eléctrico

El concepto de campo se refiere a la realización de un modelo de una magnitud física que presenta cierta variación sobre una región del espacio. En ocasiones campo se refiere a una abstracción matemática para estudiar la variación de una cierta magnitud física; en este sentido el campo puede ser un ente no visible pero sí medible. Históricamente fue introducido para explicar la acción a distancia de las fuerzas de gravedad, eléctrica y magnética, aunque con el tiempo su significado se ha extendido substancialmente.

En física el concepto surge ante la necesidad de explicar la forma de interacción entre cuerpos en ausencia de contacto físico y sin medios de sustentación para las posibles interacciones.

La acción a distancia se explica, entonces, mediante efectos provocados por la entidad causante de la interacción, sobre el espacio mismo que la rodea, permitiendo asignar a dicho espacio propiedades medibles. Así, será posible hacer corresponder a cada punto del espacio valores que dependerán de la magnitud del cuerpo que provoca la interacción y de la ubicación del punto que se considera.

Los campos más conocidos en física clásica son el campo electromagnético, superposición, de los campos electrostático y magnético, y el campo gravitatorio.

Por tipo de magnitud, atendiendo a la forma matemática de los campos pueden ser clasificados de la siguiente forma:

• Campo escalar: aquel en el que cada punto del espacio lleva asociada una magnitud escalar. (campo de temperaturas de un sólido, campo de presiones atmosféricas...)

• Campo vectorial: aquel en que cada punto del espacio lleva asociado una magnitud vectorial (campos de fuerzas,...).

• Campo tensorial: aquel en que cada punto del espacio lleva asociado un tensor (campo electromagnético en electrodinámica clásica, campo gravitatorio en teoría de la relatividad general, campo de tensiones de un sólido, etc.)

El campo eléctrico representa, en cada punto del espacio afectado por la carga, una propiedad local asociada al mismo. Una vez conocido el campo en un punto no es necesario saber qué lo origina para calcular la fuerza sobre una carga u otra propiedad relacionada con él.

Así, si se coloca una carga de prueba en un punto cualquiera del espacio en donde está definido un campo eléctrico, se observará la aparición de atracciones o de repulsiones sobre ella. Una forma de describir las propiedades de este campo sería indicar la fuerza que se ejercería sobre una carga determinada si se trasladara de un punto a otro del espacio. Al utilizar la misma carga de prueba es posible comparar la intensidad de las atracciones o repulsiones en los distintos puntos del campo. La carga de referencia más simple, a efectos de operaciones, es la carga unidad positiva. La fuerza eléctrica que en un punto cualquiera del campo se ejerce sobre la carga unidad positiva, tomada como elemento de comparación, recibe el nombre de intensidad del campo eléctrico y se representa por la letra E. Por tratarse de una fuerza, la intensidad del campo eléctrico es una magnitud vectorial que viene definida por su módulo E y por su dirección y sentido.

Interacciones entre dos cargas Q y q

Interacciones entre Q y q.

Considérese una carga Q fija en una determinada posición (ver figura). Si se coloca otra carga q en un punto $P_{1}$, a cierta distancia de Q, aparecerá una fuerza eléctrica actuando sobre q.

Si la carga q se ubica en otros puntos cualesquiera, tales como $P_{2}$, $P_{3}$ etc., evidentemente, en cada uno de ellos, también estaría actuando sobre q una fuerza eléctrica, producida por Q. Para describir este hecho, se dice que en cualquier punto del espacio en torno a Q existe un campo eléctrico originado por esta carga.

Obsérvese en la figura que el campo eléctrico es originado en los puntos $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$ etc., por Q, la cual, naturalmente, podrá ser tanto positiva (la de la figura) como negativa. La carga q que es trasladada de un punto a otro, para verificar si en ellos existe, o no, un campo eléctrico, se denomina carga de prueba.

El campo eléctrico puede representarse, en cada punto del espacio, por un vector, usualmente simbolizado por ${\vec {E}}\,\!$ y que se denomina vector campo eléctrico.

El módulo del vector en un punto dado se denomina intensidad del campo eléctrico en ese punto. Para definir este módulo, considérese la carga Q de la figura, generando un campo eléctrico en el espacio que la rodea. Colocando una carga de prueba q en un punto $P_{1}$, se verá que sobre ella actúa una fuerza eléctrica. La intensidad del campo eléctrico en $P_{1}$ estará dada, por definición, por la expresión:

${\vec {E}}=\lim _{q\to 0}{\frac {\vec {F}}{q}}$

La expresión anterior permite determinar la intensidad del campo eléctrico en cualquier otro punto, tales como $P_{2}$, $P_{3}$, etc. El valor de E será diferente para cada uno de ellos.

De ${\vec {E}}={\frac {\vec {F}}{q}}$ obtemos ${\vec {F}}={\vec {E}}q$, lo cual significa que si se conoce la intensidad del campo eléctrico en un punto, es posible calcular, usando la expresión anterior, el módulo de la fuerza que actúa sobre una carga cualquiera ubicada en aquél punto.

Campo eléctrico creado por una carga puntual

El campo que crea una carga puntual $Q$ se deduce a partir de la ley de Coulomb.

Consideremos una carga de prueba $Q_{0}$, colocada a una distancia r de una carga punto $Q$. La fuerza entre ambas cargas estará dada por:

${\vec {F}}={\frac {Q_{0}Q}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}$

La intensidad del campo eléctrico en el sitio en que se coloca la carga de prueba está dada por:

${\vec {E}}={\frac {\vec {F}}{Q_{0}}}$

y por lo tanto resulta:

${\vec {E}}={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}$ = $K{\frac {Q}{r^{2}}}{\vec {u}}_{r}$

donde $u_{r}\,\!$ es un vector unitario en la dirección radial, $\epsilon _{0}\,\!$=$8.85\times 10^{-12}\,\!$ $C^{2}/Nm^{2}\,\!$ es la llamada permitividad del vacío y $K\,\!$ es la constante de Coulomb cuyo valor es $8.98\times 10^{9}\,\!$ $Nm^{2}/C^{2}\,\!$. La unidad de intensidad de campo eléctrico es $[N/C]\,\!$ (newton por culombio) o $[V/m]\,\!$ (voltio por metro).

Representación gráfica del campo eléctrico

Una forma muy útil de esquematizar gráficamente un campo es trazar líneas que vayan en la misma dirección que dicho campo en varios puntos. Esto se realiza a través de las líneas de fuerza, líneas imaginarias que describen, si los hubiere, los cambios en dirección de las fuerzas al pasar de un punto a otro. En el caso del campo eléctrico, puesto que tiene magnitud y sentido se trata de una cantidad vectorial, y las líneas de fuerza o líneas de campo eléctrico indican las trayectorias que seguirían las partículas si se las abandonase libremente a la influencia de las fuerzas del campo. El campo eléctrico será un vector tangente a la línea de fuerza en cualquier punto considerado.

La relación entre las líneas de fuerza (imaginarias) y el vector intensidad de campo, es la siguiente:

1. La tangente a una línea de fuerza en un punto cualquiera da la dirección de E en ese punto.
2. El número de líneas de fuerza por unidad de área de sección transversal es proporcional a la magnitud de E. Cuanto más cercanas estén las líneas, mayor será la magnitud de E.

No es obvio que sea posible dibujar un conjunto continuo de líneas que cumplan estos requisitos. De hecho, se encuentra que si la ley de Coulomb no fuera cierta, no sería posible hacerlo.

Si un elemento de superficie de área $\Delta \ A$ es atravesado por $\Delta \ N$ líneas y si la intensidad del campo eléctrico en el centro del elemento de superficie es E, se tiene que:

${\frac {\Delta \ N}{\Delta \ A_{n}}}\propto E$

EL subíndice n indica que $\Delta \ A$ es normal a E. Para convertir esta proporcionalidad en ecuación se elige $\epsilon _{0}$ como constante de proporcionalidad. Así, se espacian arbitrariamente las líneas de fuerza de modo que, en cualquier punto, el número de líneas por unidad de superficie y la intensidad del campo eléctrico esté ligado por la relación:

${\frac {\Delta \ N}{\Delta \ A_{n}}}=\epsilon _{0}E$

Considérense, ahora, las líneas de fuerza que salen de una carga puntual positiva q y una esfera de radio r arbitrario rodeando la carga y de modo que ésta se encuentre en el centro. La intensidad del campo eléctrico en todos los puntos de la superficie de esta esfera es:

$E={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}$

En consecuencia, el número de líneas por unidad de superficie es el mismo en todos los puntos de la superficie y está dado por:

$\epsilon _{0}E={\frac {1}{4\pi }}{\frac {q}{r^{2}}}$

Las líneas de fuerza atraviesan la superficie perpendicularmente puesto que E tiene una dirección radial. El área de la esfera es $4\pi r^{2}\,\!$,lo que implica que el número de líneas que atraviesan la superficie es:

$N=\epsilon _{0}AE\,\!=q$

Esto demuestra que si el valor del exponente de r, en la ley de Coulomb, no fuera 2, el número de líneas de fuerza no solo estaria dado por el valor de q, también sería inversamente proporcional a alguna potencia de r y por ello seria imposible dibujar un conjunto continuo de líneas que cumplan los requisitos indicados más arriba.

Para la construcción de líneas de fuerza se debe tener en cuenta lo siguiente:

• A.- Por convención, las líneas deben partir de cargas positivas y terminar en cargas negativas y en ausencia de unas u otras deben partir o terminar en el infinito.

Representación de campos eléctricos creados por cargas puntuales negativa y positiva.

Una carga puntual positiva dará lugar a un mapa de líneas de fuerza radiales, pues las fuerzas eléctricas actúan siempre en la dirección de la línea que une a las cargas interactuantes, y dirigidas hacia fuera porque una carga de prueba positiva se desplazaría en ese sentido. En el caso del campo debido a una carga puntual negativa el mapa de líneas de fuerza sería análogo, pero dirigidas hacia ella ya que ese sería el sentido en que se desplazaría la carga positiva de prueba. Como consecuencia de lo anterior, en el caso de los campos debidos a varias cargas, las líneas de fuerza nacen siempre de las cargas positivas y por ello son denominadas manantiales y mueren en las negativas por lo que se les llama sumideros.

• B.- Las líneas de fuerza jamás pueden cruzarse.

Las líneas de fuerza o de campo salen de una carga positiva o entran a una negativa. De lo anterior se desprende que de cada punto de la superficie de una esfera, suponiendo forma esférica para una carga, puede salir o entrar solo una línea de fuerza, en consecuencia entre dos cargas que interactúan solo puede relacionarse un punto de su superficie con solo un punto de la otra superficie, y ello es a través de una línea, y esa línea es la línea de fuerza.

Si se admitiera que dos líneas de fuerza se interceptan, entonces se podría extender la superficie de la otra carga hacia el lugar donde se interceptan las líneas que se mencionan y se podría concluir que dos líneas entran o salen de una superficie de una carga eléctrica. Con esto se está contradiciendo lo postulado inicialmente. En consecuencia, es imposible que dos líneas de fuerza se intercepten.

Por otra parte, si las líneas de fuerza se cortaran, significaría que en dicho punto E poseería dos direcciones distintas, lo que contradice la definición de que a cada punto sólo le corresponde un valor único de intensidad de campo.

• C.- El número de líneas fuerza que parten de una carga positiva o llegan a una carga negativa es proporcional a la cantidad de carga respectiva.

• D.- La líneas de fuerza deben ser perpendiculares a las superficies de los objetos en los lugares donde conectan con ellas.

Esto se debe a que en las superficies de cualquier objeto, sin importar la forma, nunca se encuentran componentes de la fuerza eléctrica que sean paralelas a la superficie del mismo. Si fuera de otra manera, cualquier exceso de carga residente en la superficie comenzaría a acelerar. Esto conduciría a la aparición de un flujo de carga en el objeto, lo cual nunca se observa en la electricidad estática.

Representación del campo eléctrico creado por dos cargas positivas de igual magnitud y por un dipolo eléctrico.

Las representaciones anteriores reflejan el principio de superposición. Ya sea que las cargas ostenten el mismo signo o signo opuesto, las líneas de fuerza se verán distorsionadas respecto de la forma radial que tendrían si las cargas estuvieran aisladas, de forma tal, que la distorsión es máxima en la zona central, o sea, en la región más cercana a ambas. Si las cargas tienen la misma magnitud, la representación resulta simétrica respecto de la línea media que las separa. En el caso opuesto, predominará la influencia de una de ellas dando lugar a una distribución asimétrica de líneas de fuerza.

Ecuación de las líneas de fuerza

Siendo el campo tangente a las líneas de fuerza, se cumple:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {E_{y}}{E_{x}}}$

donde la función $y=y(x)\,\!$ describe la forma de la línea de fuerza.

Si tenemos una sola carga puntual, todas las líneas de fuerza son líneas rectas que parten de la carga. En este caso la razón entre $E_{y}\,\!$ y $E_{x}\,\!$ es una constante, por lo tanto:

${\frac {dy}{dx}}=C\quad \Rightarrow \quad y=Cx$

que la ecuación de una recta que pasa por el origen, como era de esperar.

El Campo Electrico producido por una distribución discreta de cargas

Caso general

Para determinar el campo eléctrico producido por un conjunto de cargas puntuales se calcula el campo debido a cada carga en el punto dado como si fuera la única carga que existiera y se suman vectorialmente los mismos para encontar el campo resultante en el punto. En forma de ecuación:

${\vec {E}}={\vec {E}}_{1}+{\vec {E}}_{2}+{\vec {E}}_{3}+...+{\vec {E}}_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {E}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u_{r}}}_{i}$

Campo eléctrico creado por un dipolo eléctrico

A continuación se analiza el campo eléctrico creado por una distribución de dos cargas de igual magnitud y de signo opuesto conocida como Dipolo eléctrico.

A. Campo eléctrico en los puntos de la bisectriz del eje del dipolo

Según el principio de superposición, el campo eléctrico en el punto $P\,\!$ es la suma vectorial de los dos campos creados por ambas cargas:

${\vec {E}}={{\vec {E}}_{1}}+{{\vec {E}}_{2}}$

Por el teorema de Pitágoras se cumple que la distancia entre cualquiera de las cargas y el punto $P\,\!$ es:

${\sqrt {a^{2}+r^{2}}}$

Y como ambas cargas son de igual magnitud se cumple:

$E_{1}=E_{2}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{a^{2}+r^{2}}}$

Las componentes $E_{1_{x}}$ y $E_{2_{x}}$ poseen la misma magnitud pero apuntan en sentidos opuestos, por lo tanto:

$E_{1_{x}}+E_{2_{x}}=0$

En consecuencia, para efectuar la suma vectorial, sólo se deberán tener en cuenta a las componentes $E_{y}\,\!$, es decir, la suma vectorial de ${{\vec {E}}_{1}}$ y ${{\vec {E}}_{2}}$ apuntan verticalmente hacia abajo, y siendo $E_{1_{y}}=E_{2_{y}}$, se cumplirá que:

$E=2E_{1}\cos \theta \,\!$

Teniendo en cuenta que:

$\cos \theta ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+r^{2}}}}$

y sustituyendo esta expresión y la de ${E_{1}}\,\!$ en la expresión de $E\,\!$ se obtiene:

$E={\frac {2}{4\pi \epsilon }}{\frac {q}{a^{2}+r^{2}}}{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+r^{2}}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {2aq}{(a^{2}+r^{2})^{\frac {3}{2}}}}$

Si $r\,\!$ >> $a\,\!$ se puede omitir a $a\,\!$ en el denominador y la ecuación se reduce a:

$E\approx {\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {(2a)(q)}{r^{3}}}$

El producto $2aq\,\!$ se denomina momento $p\,\!$ del dipolo eléctrico. Entonces, se puede volver a escribir la ecuación de $E\,\!$ como:

$E={\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {p}{(a^{2}+r^{2})^{\frac {3}{2}}}}$

Y si r>>a, es decir, para puntos distantes a lo largo de la bisectriz del eje del dipolo como:

$E\approx {\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {p}{r^{3}}}$

B. Campo eléctrico en los puntos del eje del dipolo

Puntos fuera de la línea de unión de las cargas

Como en el caso anterior, según el principio de superposición, el campo eléctrico en el punto $P\,\!$ es la suma vectorial de los campos creados por ambas cargas.

${\vec {E}}={{\vec {E}}_{1}}+{{\vec {E}}_{2}}$

Se observa que, al estar ambos vectores sobre el eje $x\,\!$, se cumple:

$E_{1_{y}}=E_{2_{y}}=0$

Por tanto, a efectos de calcular la suma vectorial, solo deben tenerse en cuenta las componentes $E_{1_{x}}$ y $E_{2_{x}}$.

En consecuencia las magnitudes del campo debidas a $q_{1}\,\!$ y $q_{2}\,\!$ serán respectivamente:

$E_{1}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{{(r-a)}^{2}}}\qquad \qquad E_{2}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{{(r+a)}^{2}}}$

Como ambas componentes, $E_{1_{x}}$ y $E_{2_{x}}$, apuntan en sentidos contrarios:

$E=E_{1}-E_{2}\,\!$

O sea:

$E={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{{(r-a)}^{2}}}-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{{(r+a)}^{2}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {q}{{(r-a)}^{2}}}-{\frac {q}{{(r+a)}^{2}}}\right]={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ 4aq\ {\frac {r}{{(r^{2}-a^{2})}^{2}}}$

Siendo $p=2aq\,\!$ el momento del dipolo eléctrico:

$E={\frac {1}{2\pi \epsilon _{0}}}{\frac {pr}{{(r^{2}-a^{2})}^{2}}}$

Y si $r\,\!$ >> $a\,\!$:

$E={\frac {1}{2\pi \epsilon _{0}}}{\frac {p}{r^{3}}}$

Puntos sobre la línea de unión de las cargas

La magnitud de ${\vec {E}}$ para puntos ubicados entre las cargas, tales como el punto $Q\,\!$, puede deducirse mediante un razonamiento similar al anterior. La diferencia estriba en que las componentes, $E_{1_{x}}$ y $E_{2_{x}}$, apuntan en el mismo sentido y por ello se suman en lugar de restarse:

$E=E_{1}+E_{2}\,\!$

Siendo:

$E_{1}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{l^{2}}}\qquad \qquad E_{2}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{{(2a-l)}^{2}}}$

Por tanto:

$E={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{l^{2}}}+{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{{(2a-l)}^{2}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {q}{l^{2}}}+{\frac {q}{{(2a-l)}^{2}}}\right]={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}q{\frac {2a}{l^{2}(2a-l)}}$

Siendo $p=2aq\,\!$ el momento del dipolo eléctrico:

$E={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {p}{l^{2}(2a-l)}}$

C. Otros puntos

Considérese un dipolo eléctrico y un punto $P\,\!$ de coordenadas $(x,y)\,\!$ tal como el representado en la figura.

Se cumple que:

$r_{1}={\sqrt {{(x+a)}^{2}+y^{2}}}\quad \cos \alpha ={\frac {x+a}{\sqrt {{(x+a)}^{2}+y^{2}}}}\quad \sin \alpha ={\frac {y}{\sqrt {{(x+a)}^{2}+y^{2}}}}$

$r_{2}={\sqrt {{(x-a)}^{2}+y^{2}}}\quad \cos \beta ={\frac {x-a}{\sqrt {{(x-a)}^{2}+y^{2}}}}\quad \sin \beta ={\frac {y}{\sqrt {{(x-a)}^{2}+y^{2}}}}$

En base a lo anterior, los campos generados por cada carga serán:

${E_{r}}_{1}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{{(x+a)}^{2}+y^{2}}}\quad {E_{r}}_{2}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{{(x-a)}^{2}+y^{2}}}$

Para determinar el campo en $P\,\!$ se aplica el principio de superposición por lo cual se debe efectuar la suma vectorial de los campos creados por ambas cargas.

Se calculan, entonces, las componentes $x\,\!$:

${{E_{r}}_{1}}_{x}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{{(x+a)}^{2}+y^{2}}}\cos \alpha ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{{(x+a)}^{2}+y^{2}}}{\frac {x+a}{\sqrt {{(x+a)}^{2}+y^{2}}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q(x+a)}{{\left[{(x+a)}^{2}+y^{2}\right]}^{\frac {3}{2}}}}$

${{E_{r}}_{2}}_{x}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{{(x-a)}^{2}+y^{2}}}\cos \beta ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{{(x-a)}^{2}+y^{2}}}{\frac {x-a}{\sqrt {{x-a)}^{2}+y^{2}}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q(x-a)}{{\left[{(x-a)}^{2}+y^{2}\right]}^{\frac {3}{2}}}}$

Las componentes $y\,\!$ serán:

${{E_{r}}_{1}}_{y}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{{(x+a)}^{2}+y^{2}}}\sin \alpha ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{{(x+a)}^{2}+y^{2}}}{\frac {y}{\sqrt {{(x+a)}^{2}+y^{2}}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {qy}{{\left[{(x+a)}^{2}+y^{2}\right]}^{\frac {3}{2}}}}$

${{E_{r}}_{2}}_{y}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{{(x-a)}^{2}+y^{2}}}\sin \beta ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{{(x-a)}^{2}+y^{2}}}{\frac {y}{\sqrt {{x-a)}^{2}+y^{2}}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {qy}{{\left[{(x-a)}^{2}+y^{2}\right]}^{\frac {3}{2}}}}$

Sumando se obtiene para la componente $x\,\!$ total:

$E_{x}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}q\left\lbrack {\frac {x+a}{{\left[{(x+a)}^{2}+y^{2}\right]}^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {x-a}{{\left[{(x-a)}^{2}+y^{2}\right]}^{\frac {3}{2}}}}\right\rbrack$

Y para la componente $y\,\!$ total:

$E_{y}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}q\left\lbrack {\frac {y}{{\left[{(x+a)}^{2}+y^{2}\right]}^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {y}{{\left[{(x-a)}^{2}+y^{2}\right]}^{\frac {3}{2}}}}\right\rbrack$

Campo generado por un cuadrupolo eléctrico lineal en su bisectriz

Un cuadrupolo eléctrico lineal es una distribución de cargas formada por dos dipolos alineados de forma opuesta de forma tal que sus cargas positivas se encuentran superpuestas (Ver figura).

Para determinar el campo eléctrico producido por el cuadrupolo sobre los puntos pertenecientes a su bisectriz, de acuerdo al principio de superposición, se deben sumar las contribuciones debidas a las cargas positivas y las producidas por las negativas.

El campo producido por cada carga positiva será: $E_{q}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{o}r^{2}}}$

Obsérvese que las componentes paralelas al cuadrupolo serán nulas, por lo tanto el campo total producido por ambas cargas positivas será: $E_{2q}={\frac {2q}{4\pi \epsilon _{o}r^{2}}}$

El campo producido por cada carga negativa será: $E_{-q}={\frac {-q}{4\pi \epsilon _{o}(r^{2}+d^{2})}}$

Por simetría, las componentes paralelas al cuadrupolo, se cancelan, por lo tanto, sólo deben ser tenidas en cuanta las componentes colineales con la bisectriz.

Teniendo en cuenta que $\sin \theta ={\frac {r}{\sqrt {r^{2}+d^{2}}}}$, el valor de cada componente colineal con la bisectriz será:

$E_{-q}={\frac {-q}{4\pi \epsilon _{o}(r^{2}+d^{2})}}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+d^{2}}}}$

y el aporte total correspondiente a ambas cargas negativas será: $E_{-2q}={\frac {-2q}{4\pi \epsilon _{o}(r^{2}+d^{2})}}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+d^{2}}}}$

Por lo tanto, el campo total será: $E=E_{2q}+E_{-2q}={\frac {2q}{4\pi \epsilon _{o}r^{2}}}+{\frac {-2q}{4\pi \epsilon _{o}(r^{2}+d^{2})}}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+d^{2}}}}$

O sea:

$E={\frac {q}{2\pi \epsilon _{o}}}\left[{\frac {1}{r^{2}}}-{\frac {r}{{(r^{2}+d^{2})}^{\frac {3}{2}}}}\right]$

El Campo Eléctrico producido por una distribución continua de cargas

Caso general

Si se dispone de una distribución lineal continua de carga, el campo producido en un punto cualquiera puede calcularse dividiendo la carga en elementos infinitesimales dq. Entonces, se calcula el campo d E que produce cada elemento en el punto en cuestión, tratándolos como si fueran cargas. La magnitud de d E está dada por:

$d{\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {dq}{r^{2}}}{\vec {u_{r}}}$

El campo resultante en el punto se encuentra, entonces, sumando; esto es, integrando; las contribuciones debidas a todos los elementos de carga, o sea,

${\vec {E}}=\int \,d{\vec {E}}$

Si la distribución continua de carga que se considera tiene una densidad lineal de carga $\lambda ={\frac {dq}{dL}}\,\!$, entonces $dq=\lambda dL\,\!$.

Por lo tanto,

${\vec {E}}=\int _{L}\,d{\vec {E}}=\int _{L}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {dq}{r^{2}}}{\vec {u_{r}}}=\int _{L}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\lambda dL}{r^{2}}}{\vec {u_{r}}}$

Campo eléctrico generado por una línea infinita de carga y densidad lineal de carga λ constante

Campo eléctrico creado por un elemento dx de una línea infinita de carga.

La figura muestra una porción de una línea infinita de carga de densidad lineal de carga uniforme $\lambda \,\!={\frac {dq}{dx}}$.

La magnitud de la contribución de campo eléctrico $d{\vec {E}}$ sobre el punto P debida al elemento de carga $dq=\lambda dx\,\!$ está dada por:

$dE={\frac {1}{4\pi {\epsilon }_{0}}}={\frac {1}{4\pi {\epsilon }_{0}}}{\frac {\lambda dx}{x^{2}+y^{2}}}$ (1)

El vector $d{\vec {E}}$ tiene las componentes:

$dE_{x}=-dE\sin \theta \,\!$ y $dE_{y}=dE\cos \theta \,\!$

El signo menos delante de $dE_{x}\,\!$ indica que $d{\vec {E}}_{x}$ apunta en la dirección negativa de las x.

Por tanto, las componentes x e y de ${\vec {E}}$ en el punto P, están dadas por:

$E_{x}=\int dE_{x}=-\int _{x=-\infty }^{x=+\infty }\sin \theta \,dE$

y

$E_{y}=\int dE_{y}=\int _{x=-\infty }^{x=+\infty }\cos \theta \,dE$

En estas expresiones $E_{x}\,\!$ debe ser cero porque todo elemento de carga a la izquierda de la perpendicular que une P con la línea de carga tiene un elemento correspondiente a la derecha, de modo que sus contribuciones al campo en la dirección de las x se anulan mutuamente. Así pues, ${\vec {E}}$ apunta exactamente en la dirección de las y. Como las contribuciones a $E_{y}\,\!$ de la mitad derecha y de la mitad izquierda de la línea de carga son iguales, se puede escribir:

$E=E_{y}=2\int _{x=0}^{x=+\infty }\cos \theta \,dE$

sustituyendo la expresión (1) en esta ecuación, se tiene:

$E=2\int _{x=0}^{x=+\infty }\cos \theta \,{\frac {1}{4\pi {\epsilon }_{0}}}{\frac {\lambda dx}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}}}\int _{x=0}^{x=+\infty }\cos \theta \,{\frac {dx}{x^{2}+y^{2}}}$ (2)

Siendo $\tan \theta ={\frac {x}{y}}$, se tiene $x=y\tan \theta \,\!$, diferenciando esta expresión resulta: $dx=y{\sec }^{2}\theta d\theta \,\!$ y sustituyendo en (2) se obtiene:

$E={\frac {\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}}}\int _{x=0}^{x=+\infty }\cos \theta \,{\frac {y{\sec }^{2}\theta d\theta }{x^{2}+y^{2}}}={\frac {\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}}}\int _{x=0}^{x=+\infty }{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\cos \theta {\sec }^{2}\theta d\theta$   (3)

Si se tiene en cuenta que: $\cos \theta ={\frac {y}{r}}$,    $\sec \theta ={\frac {r}{y}}\quad$    y    $\quad x^{2}+y^{2}=r^{2}\,\!$,     se puede establecer que:

${\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\cos \theta {\sec }^{2}\theta d\theta ={\frac {y}{r^{2}}}{\frac {y}{r}}{\frac {r^{2}}{y^{2}}}={\frac {y}{ry}}={\frac {\cos \theta }{y}}$

Sustituyendo en la expresión (3) se obtiene

$E={\frac {\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}y}}\int _{x=0}^{x=+\infty }\cos \theta d\theta$

Obsérvese que cuando $x\rightarrow 0\,\!$, $\theta \rightarrow 0\,\!$ y cuando $x\rightarrow +\infty \,\!$, $\theta \rightarrow {\frac {\pi }{2}}\,\!$, por lo tanto:

$E={\frac {\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}y}}\int _{\theta =0}^{\theta ={\frac {\pi }{2}}}\cos \theta d\theta ={\frac {\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}y}}{\Bigg [}\sin {\frac {\pi }{2}}-\sin 0{\Bigg ]}={\frac {\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}y}}$

Por lo tanto:

$E={\frac {\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}y}}$

Campo eléctrico generado por dos hilos paralelos, infinitos y de densidad de carga uniforme

Campo eléctrico en un punto B exterior

El campo eléctrico en el exterior de los hilos es la suma de los campos eléctricos que generan ambos, como apuntan en sentido opuesto, se restan.

Sea ${\vec {E}}_{1}\,\!$ el campo debido al hilo cargado positivamente y ${\vec {E}}_{2}\,\!$ el generado por el hilo con carga negativa. Se tiene, entonces:

$E=E_{1}-E_{2}={\frac {\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}(x-{\frac {d}{2}})}}-{\frac {\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}(x+{\frac {d}{2}})}}$

Operando, la expresión anterior se reduce a:

$E={\frac {\lambda }{2\pi \epsilon _{0}}}{\frac {d}{x^{2}-({\frac {d}{2}})^{2}}}$

Campo eléctrico en un punto A entre los hilos

El campo eléctrico entre los hilos es la suma de los campos eléctricos respectivos, como ambos campos apuntan en el mismo sentido, se suman.

Sea ${\vec {E}}_{1}\,\!$ el campo debido al hilo cargado positivamente y ${\vec {E}}_{2}\,\!$ el generado por el hilo con carga negativa. Se tiene, entonces:

$E=E_{1}+E_{2}={\frac {\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}({\frac {d}{2}}+l)}}+{\frac {\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}({\frac {d}{2}}-l)}}$

Operando, la expresión anterior se reduce a:

$E={\frac {\lambda }{2\pi \epsilon _{0}}}{\frac {d}{{({\frac {d}{4}})}^{2}-{({\frac {l}{2}})}^{2}}}$

Campo eléctrico generado por un anillo de densidad de carga uniforme sobre los puntos de su eje

La figura muestra un anillo de carga q y radio a. Considérese un elemento diferencial del anillo de longitud ds, localizado en la parte superior. Este elemento contiene una carga dada por:

$dq=q{\frac {ds}{2\pi a}}$

siendo $2\pi a\,\!$ la circunferencia del anillo. Este elemento produce un campo eléctrico diferencial dE en el punto P. El campo resultante E se encuentra integrnado los efectos de todos los elementos que constituyen el anillo. Por simetría, este campo resultante debe estar en el eje del anillo. Así pues, solamente la componente dE paralela a este eje contribuye al resultado final. La componente perpendicular al eje se anula por una componente igual y opuesta que produce el elemento de carga situado en el lado opuesto del anillo. Así la integral general de vector ${\vec {E}}=\int d{\vec {E}}$ se transforma en una integral escalar $E=\int dE\cos \theta$.

La cantidad dE será:

$dE={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {dq}{r^{2}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {qds}{2\pi a}}\right){\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}$

Según la figura, se tiene:

$\cos \theta ={\frac {x}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}$

Como para un punto P, x tiene el mismo valor para todos los elementos de carga y, por tanto, no es una variable, se obtiene:

$E=\int dE\cos \theta =\int {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {qds}{(2\pi a)(a^{2}+x^{2})}}{\frac {x}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {qx}{(2\pi a){(a^{2}+x^{2})}^{\frac {3}{2}}}}\int ds$

La integral es simplemente la circunferencia del anillo $(2\pi a)$ y, en consecuencia, se obtiene:

$E={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {qx}{{(a^{2}+x^{2})}^{\frac {3}{2}}}}$

Esta expresión de E se reduce E=0 para x =0 ya que, en tal caso, cada componente perpendicular al eje se anula, como antes, con una componente iguale y opuesta que produce el elemento de carga situado en el lado opuesto del anillo y la componente paralela al eje vale cero.

Para x >> a, se puede omitir a en el denominador de esta ecuación, dando:

$E={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{x^{2}}}$

Este es un resultado esperado porque a distancias suficientemente grandes el anillo se comporta como una carga punto q.

La Ley de Gauss

En física y en análisis matemático, la ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada en esta superficie. De esta misma forma, también relaciona la divergencia del campo eléctrico con la densidad de carga.

Véase el articulo de Wikipedia (http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Gauss)

El Potencial Eléctrico

El potencial eléctrico en un punto se mide por el trabajo eléctrico (w) efectuado al transportarse la carga eléctrica positiva (qo) desde ese punto hasta el infinito

Véase el articulo de Wikipedia (http://es.wikipedia.org/wiki/Potencial_el%C3%A9ctrico)

Recomiendo que quien use este material, preste especial atención a las variables en el anillo de carga, que pueden ser, acorde a la zona explorada, derivadas de una parte anterior a la examinada en este articulo

Circuito eléctrico

Electricidad/Circuito eléctrico

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Apéndice 1: Vectores

El concepto matemático de vector se utiliza en Física para describir magnitudes tales como posición, velocidades, aceleraciones, fuerzas, momento lineal, etc. En las cuales es importante considerar no sólo el valor sino también la dirección y el sentido.

Se representa por un segmento orientado para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la longitud de la flecha) y el punto de donde parte. Para este tipo de vectores (generalmente bidimencionales o tridimensionales) se definen módulo, dirección y sentido.

Representación vectorial

Un vector físico, corresponde a la estructura matemática llamada Espacio vectorial, pero por razones practicas, y para simplificar las operaciones, se toma siempre una base ortonormal, esto es un espacio euclídeo.

Cualquier vector que consideremos es siempre una combinación lineal de unos vectores unitarios perpendiculares entre si, que forman la base del espacio vectorial en cuestión.

Estos vertores unitarios se suelen llamar versores, y en el espacio tridimensional se representan por ${\vec {u}}_{x}$, ${\vec {u}}_{y}$, ${\vec {u}}_{z}$, si bien es también usual representarlos como ${\vec {i}}$, ${\vec {j}}$, ${\vec {k}}$, siendo ${\vec {i}}$ el vector unitario según el eje de la x, ${\vec {j}}$ el vector unitario en el eje de las y, y ${\vec {k}}$ en el de las z. En el espacio de dos dimensiones se tomas dos de estos versores los que correspondan a los ejes de coordenadas adoptados.

Este sistema de referencia es un sistema de coordenadas cartesianas a todos los efectos.

Convenio de representación

Por convenio representaremos las variables escalares con una letra: a, x, l, ..., y los vectores con una flecha encima: ${\vec {a}}$, ${\vec {x}}$, ${\vec {p}}$, ..., las coordenadas del vector en el sistema de referencia entre paréntesis y separadas con comas:

${\vec {a}}=(x,y,z)$

o como combinación de los versores:

${\vec {a}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}$

Estas dos representaciones son equivalentes entre sí, y los valores x, y, z, son las coordenadas del vector, que salvo que se indique lo contrario consideraremos siempre como números reales.

Propiedades de un vector

- Punto de aplicación, es el origen del segmento.

- Módulo, expresa el valor numérico de la magnitud vectorial. Se representa por la longitud del segmento, siempre en valor absoluto. Por ejemplo, si se quiere expresar que el módulo de ${\vec {a}}$ vale 5 unidades, se hace así: $|{\vec {a}}|=5u$.

- Dirección, que es la del segmento. A la recta que contiene el vector se le llama línea de acción.

- Sentido, distinguiéndose dos sentidos sobre la recta de aplicación del vector.

Se dice que dos vectores son concurrentes cuando tienen el mismo punto de aplicación.

Un vector opuesto a otro es el que tiene el mismo punto de aplicación, módulo y dirección pero sentido contrario. Así el vector opuesto a ${\vec {a}}$ es $-{\vec {a}}$ .

Expresado con fórmulas, dado un vector ${\vec {r}}$ de coordenadas (x, y, z) (${\vec {r}}=(x,y,z)$) su módulo es $|{\vec {r}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$. Su dirección está dada por la recta que contiene a dicho vector, y su sentido puede ser "hacia un lado" o "hacia el otro".

Operaciones con vectores

Suma de vectores

Suma de vectores

La suma y la resta de vectores tiene en cuenta, además de la magnitud escalar o módulo, el sentido de las magnitudes intervinientes.

Partiendo de la representación gráfica de dos vectores, la suma de ambos se consigue colocando el punto de aplicación del segundo vector, a continuación de la flecha del primero, el vector resultante es el que parte del punto de aplicación del primero hasta el final de la flecha del segundo.

Analíticamente, partiendo de las coordenadas de los dos vectores:

${\vec {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})$

${\vec {b}}=(b_{x},b_{y},b_{z})$

El vector suma será:

${\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x},a_{y},a_{z})+(b_{x},b_{y},b_{z})$

agrupando:

${\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y},a_{z}+b_{z})$

Representando los vectores como combinación lineal de versores tenemos:

${\vec {a}}=a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}}$

${\vec {b}}=b_{x}{\vec {i}}+b_{y}{\vec {j}}+b_{z}{\vec {k}}$

El resultado de la suma es:

${\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}})+(b_{x}{\vec {i}}+b_{y}{\vec {j}}+b_{z}{\vec {k}})$

ordenando los componentes:

${\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}+b_{x}){\vec {i}}+(a_{y}+b_{y}){\vec {j}}+(a_{z}+b_{z}){\vec {k}}$

Pongamos un ejemplo numérico:

${\vec {a}}=3{\vec {i}}+5{\vec {j}}-4{\vec {k}}$

${\vec {b}}=-4{\vec {i}}+6{\vec {j}}-2{\vec {k}}$

el resultado:

${\vec {a}}+{\vec {b}}=(3{\vec {i}}+5{\vec {j}}-4{\vec {k}})+(-4{\vec {i}}+6{\vec {j}}-2{\vec {k}})$

agrupando términos:

${\vec {a}}+{\vec {b}}=(3-4){\vec {i}}+(5+6){\vec {j}}+(-4-2){\vec {k}}$

esto es:

${\vec {a}}+{\vec {b}}=-{\vec {i}}+11{\vec {j}}-6{\vec {k}}$

Producto por un escalar

Producto por un escalar

Multiplicar un vector por un escalar es tomar el vector tantas veces como indique el escalar, esto es valido también en los casos en los que el escalar es fraccionario o negativo.

Si partimos de la representación gráfica del vector, y sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el modulo de vector como marque el escalar, el resultado es el producto del vector por este escalar, si el signo del escales es negativo, es sentido del vector será el opuesto al original.

Partiendo de un escalar $n\,$ y de un vector ${\vec {a}}$, el producto de $n\,$ por ${\vec {a}}$ es $n\,{\vec {a}}$, es el producto de cada una de las coordenadas del vector por el escalar, representando el vector por sus coordenadas:

${\vec {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})$

si lo multiplicamos por el escalar n:

$n\cdot {\vec {a}}=n\cdot (a_{x},a_{y},a_{z})$

esto es:

$n\cdot {\vec {a}}=(n\cdot a_{x},n\cdot a_{y},n\cdot a_{z})$

Representando el vector como combinación lineal de los versores:

${\vec {a}}=a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}}$

y multiplicándolo por un escalar n:

$n\cdot {\vec {a}}=n\cdot (a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}})$

esto es:

$n\cdot {\vec {a}}=n\cdot a_{x}{\vec {i}}+n\cdot a_{y}{\vec {j}}+n\cdot a_{z}{\vec {k}}$

Hagamos un ejemplo con valores numéricos, partimos del vector:

${\vec {a}}=3,2{\vec {i}}-1,27{\vec {j}}+6{\vec {k}}$

y multiplicamos el vector por 2,5:

$2,5\cdot {\vec {a}}=2,5\cdot (3,2{\vec {i}}-1,27{\vec {j}}+6{\vec {k}})$

esto es:

$2,5\cdot {\vec {a}}=2,5\cdot 3,2{\vec {i}}+2,5\cdot (-1,27){\vec {j}}+2,5\cdot 6{\vec {k}}$

haciendo las operaciones:

$2,5\cdot {\vec {a}}=8{\vec {i}}-3,175{\vec {j}}+15{\vec {k}}$

Producto escalar

Definición simplificada para espacios euclídeos reales

El producto escalar en el caso particular de dos vectores en el plano, o en un espacio euclídeo N-dimensional se define como el producto de sus módulos multiplicado por el coseno del ángulo $\theta$ que forman. El resultado es siempre una magnitud escalar.

Se representa por un punto, para distinguirlo del producto vectorial que se representa por un aspa. Por esta razón también se lo denomina producto punto.

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=|{\vec {A}}||{\vec {B}}|cos\theta$

El producto escalar, también puede calcularse a partir de las coordenadas cartesianas de ambos vectores, en una base ortonormal (ortogonal y unitaria, es decir, con vectores del mismo tamaño y que forman ángulos rectos entre sí):

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=(a_{1},a_{2},a_{3})\cdot (b_{1},b_{2},b_{3})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

Propiedades del producto escalar en un espacio euclídeo real

Conmutativa: ${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}={\vec {B}}\cdot {\vec {A}}$

Asociativa: $m({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})=(m{\vec {A}})\cdot {\vec {B}}={\vec {A}}\cdot (m{\vec {B}})$

Distribuitiva: ${\vec {A}}\cdot ({\vec {B}}+{\vec {C}})={\vec {A}}\cdot {\vec {B}}+{\vec {A}}\cdot {\vec {C}}$

Si los vectores son ortogonales, su producto escalar es nulo (cos 90º = 0).

Producto vectorial

Con el producto escalar de vectores se encuentra que se pueden definir ángulos y distancias de una forma fácil y directa. Con el producto vectorial, también llamado producto cruz (por representarse con una cruz), encontraremos otra manera también de definir ángulos y áreas de paralelogramos definidos por dos vectores de una forma tal que permitirá expresar volúmenes fácil y sencillamente con el producto mixto.

El producto vectorial da como resultado un vector a partir de otros dos, pero no tiene por qué ser en el mismo espacio vectorial; pues en el plano definido por los dos vectores que se operan, el producto vectorial es una operación externa ya que su resultado es un vector perpendicular a dicho plano. Pero en el espacio afín tridimensional, $\mathbb {R} ^{3}$, el producto vectorial es una operación interna.

Por ello el producto vectorial está definido en $\mathbb {R} ^{3}$.

Definición

Sean ${\vec {u}}=u_{x}{\vec {i}}+u_{y}{\vec {j}}+u_{z}{\vec {k}}$ y ${\vec {v}}=v_{x}{\vec {i}}+v_{y}{\vec {j}}+v_{z}{\vec {k}}$ dos vectores concurrentes de $\mathbb {R} ^{3}$, el espacio afín tridimensional, segun la base anterior.

Se define el producto $\times :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$, y se escribe ${\vec {u}}\times {\vec {v}}$, como el vector:

${\vec {u}}\times {\vec {v}}=\left(det{\begin{pmatrix}u_{y}&u_{z}\\v_{y}&v_{z}\\\end{pmatrix}}\cdot {\vec {i}}-det{\begin{pmatrix}u_{x}&u_{z}\\v_{x}&v_{z}\\\end{pmatrix}}\cdot {\vec {j}}+det{\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\\\end{pmatrix}}\cdot {\vec {k}}\right)$

En el que

$det{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\\\end{pmatrix}}=a\cdot d-b\cdot c$, es el determinante de orden 2.

O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo de un determinante de orden 3 por la primera fila, también decimos:

${\vec {u}}\times {\vec {v}}=det{\begin{pmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\\end{pmatrix}}=det{\begin{pmatrix}u_{y}&u_{z}\\v_{y}&v_{z}\\\end{pmatrix}}\cdot {\vec {i}}-det{\begin{pmatrix}u_{x}&u_{z}\\v_{x}&v_{z}\\\end{pmatrix}}\cdot {\vec {j}}+det{\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\\\end{pmatrix}}\cdot {\vec {k}}$

Que da origen a la llamada regla del tirabuzón: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, el sentido de ${\vec {u}}\times {\vec {v}}$ es el de un sacacorchos que gire en el mismo sentido.

Propiedades principales

Cualesquiera que sean los vectores ${\vec {a}}$, ${\vec {b}}$ y ${\vec {c}}$ en $\mathbb {R} ^{3}$:

1. ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-{\vec {b}}\times {\vec {a}}$,
2. $<{\vec {a}},({\vec {a}}\times {\vec {b}})>=<{\vec {b}},({\vec {a}}\times {\vec {b}})>=0$ (el producto vectorial es perpendicular a cualquiera de los factores),
3. Si ${\vec {a}}\neq {\vec {0}}$ y ${\vec {b}}\neq {\vec {0}}$ entonces ${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {0}}\Longleftrightarrow {\vec {a}}||{\vec {b}}$ (el producto cruz de dos vectores paralelos es cero).
4. $({\vec {a}}+{\vec {b}})\times {\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {c}}+{\vec {b}}\times {\vec {c}}$,
5. ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=<{\vec {a}},{\vec {c}}>{\vec {b}}-<{\vec {a}},{\vec {b}}>{\vec {c}}$

Otras propiedades

Continuando con los vectores del apartado anterior y con el operador norma habitual:

• $<{\vec {a}},({\vec {b}}\times {\vec {c}})>=<({\vec {a}}\times {\vec {b}}),{\vec {c}})>$.
• $||{\vec {a}}\times {\vec {b}}||=||{\vec {a}}||\cdot ||{\vec {b}}||\cdot sen\theta$, siendo $\theta$ el ángulo menor definido por los factores; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.
• El vector ${\vec {n}}={\frac {{\vec {a}}\times {\vec {b}}}{||{\vec {a}}\times {\vec {b}}||}}$ es el vector director del plano que definen los vectores del producto.

Derivada de un vector

Dado un vector que es función de una variable independiente

${\vec {a}}(t)=a_{x}(t){\vec {i}}+a_{y}(t){\vec {j}}+a_{z}(t){\vec {k}}$

Podemos calcular la derivada de a respecto de t, para cada una de sus componentes, como si de un escalar se tratara, siendo el vector de las derivadas:

${\frac {d}{dt}}{\vec {a}}(t)={\frac {d}{dt}}a_{x}(t){\vec {i}}+{\frac {d}{dt}}a_{y}(t){\vec {j}}+{\frac {d}{dt}}a_{z}(t){\vec {k}}$

${\vec {e}}(t)=Sen(t){\vec {i}}+Cos(t){\vec {j}}+5t{\vec {k}}$

Para calcular esta derivación hay que tener en cuenta que los versores son constantes en modulo dirección y sentido, cuando se deriva sobre un sistema de referencia en movimiento este punto tiene que ser tenido en cuenta. Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partamos de una función vectorial:

${\vec {e}}(t)=Sen(t){\vec {i}}+Cos(t){\vec {j}}+5t{\vec {k}}$

Esta función representa una espiral que su eje es el eje z, y de radio 1, en el plano xy, como el de la figura, partamos de la base que esta es la trayectoria de una partícula y la función determina el vector de posición en función del tiempo. Si derivamos, tendremos:

${\frac {d}{dt}}{\vec {e}}(t)={\frac {d}{dt}}Sen(t){\vec {i}}+{\frac {d}{dt}}Cos(t){\vec {j}}+{\frac {d}{dt}}5t{\vec {k}}$

Realizando la derivada:

${\frac {d}{dt}}{\vec {e}}(t)=Cos(t){\vec {i}}-Sen(t){\vec {j}}+5{\vec {k}}$

La derivada de la posición respecto al tiempo, es la velocidad, esta segunda función determina el vector velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos decir:

${\vec {V}}(t)=Cos(t){\vec {i}}-Sen(t){\vec {j}}+5{\vec {k}}$

Este vector velocidad, tiene su origen en el centro de coordenadas, y determina las componentes de la velocidad en cada instante, la velocidad de la partícula es un vector paralelo a este, en el punto donde se encuentra la partícula en ese mismo momento. Si derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración, como era fácil de suponer.

Otras operaciones

Módulo resultante

Dados dos vectores ${\vec {a}}$ y ${\vec {b}}$, de módulos conocidos y que forman el ángulo $\theta$ entre sí, se puede obtener el módulo $\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|$ con la siguiente fórmula:

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|={\sqrt {\left.|{\vec {a}}\right|^{2}+\left|{\vec {b}}\right|^{2}+2|{\vec {a}}|\left|{\vec {b}}\right|\cos \theta }}$

Deducción de la expresión

Sean dos vectores ${\vec {a}}$ y ${\vec {b}}$ que forman un ángulo $\theta$ entre sí:

Imagen de vectores colocados

La fórmula para calcular $\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|$ se deduce observando los triángulos rectángulos que se forman, OCB y ACB, y aplicando el Teorema de Pitágoras. En el triángulo OCB:

$OB^{2}=OC^{2}+CB^{2}$

$OB=|{\vec {a}}+{\vec {b}}|$

$OC=\left|{\vec {a}}\left|+AC\right.\right.$

Resultando:

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=\left(|{\vec {a}}|+AC\right)^{2}+CB^{2}$

En el triángulo ACB :

${\frac {AC}{|{\vec {b}}|}}=\cos \theta$

$AC=|{\vec {b}}|\cos \theta$

${\frac {CB}{|{\vec {b}}|}}=sen\theta$

$CB=|{\vec {b}}|sen\theta$

Sustituyendo esto en la igualdad de antes resulta:

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=\left(|{\vec {a}}|+|{\vec {b}}|\cos \theta \right)^{2}+\left(\left|{\vec {b}}|sen\theta \right)^{2}\right.$

$\left.\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}\cos ^{2}\theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}sen^{2}\theta$

$\left.\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}\left(\cos ^{2}\theta +sen^{2}\theta \right)$

$\left.\cos ^{2}\theta +sen^{2}\theta =1\rightarrow \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}$

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|={\sqrt {\left.|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}}}$

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|={\sqrt {\left.|{\vec {a}}|^{2}+\left|{\vec {b}}\right|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta }}$

Obtención de la Dirección

Para obtener los ángulos $\alpha ,\beta$ directores en el anterior ejemplo tenemos que conocer el ángulo $\theta$ y tener calculado $\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|$ .

Podemos usar esta fórmula:

${\frac {|{\vec {b}}|}{sen\alpha }}={\frac {|{\vec {a}}|}{sen\beta }}={\frac {\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|}{sen\theta }}$

Con la fórmula obtendremos los senos, después para hallar el ángulo a partir del seno tenemos que tener en cuenta que:

$\alpha +\beta =\theta$

Angulo entre dos vectores

Angulo entre 2 vectores en un plano

Para calcular el angulo entre dos vectores se usa la siguiente formula:

$\cos \theta ={\frac {a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}}{ab}}$

El cual se puede generalizar a cualquier dimensión:

$\cos \theta ={\frac {a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+...+a_{n}b_{n}}{ab}}$

Cuando se trata algebraicamente en un espacio vectorial el angulo entre dos vectores esta dado por

$\cos \theta ={\frac {|<a,b>|}{||a||.||b||}}$

Siendo <,> el producto interno definido dentro de dicho espacio vectorial

Apéndice 2: Tabla Periódica

Antecedentes de la Tabla periódica

Orígenes

Aunque algunos elementos como el oro, plata, estaño, cobre, plomo y mercurio ya eran conocidos desde la antigüedad, el primer descubrimiento científico de un elemento ocurrió en 1669 cuando Henning Brand descubrió el fósforo.

Un requisito previo necesario a la construcción de la tabla periódica era el descubrimiento de un número suficiente de elementos individuales, que hiciera posible encontrar alguna pauta en comportamiento químico y sus propiedades. Durante las siguientes 2 centurias, se fue adquiriendo un gran conocimiento sobre estas propiedades así como descubriendo muchos nuevos elementos.

El concepto actual de elemento químico según la idea expresada por Boyle en su famosa obra The Sceptical Chymist, "ciertos cuerpos primitivos y simples que no están formados por otros cuerpos, ni unos de otros, y que son los ingredientes de que se componen inmediatamente y en que se resuelven en último término todos los cuerpos perfectamente mixtos", desarrollado posteriormente por Lavoisier en su obra Tratado elemental de Química, condujo a diferenciar en primer lugar qué sustancias de las conocidas hasta ese momento eran elementos químicos, cuáles eran sus propiedades y cómo aislarlos.

El descubrimiento de un gran número de nuevos elementos, así como el estudio de sus propiedades pusieron de manifiesto algunas semejanzas entre ellos, lo que aumentó el interés de los químicos por buscar algún tipo de clasificación.

Triadas de Döbereiner

Uno de los primeros intentos para agrupar los elementos de propiedades análogas se debe a J. W. Döbereiner quien en 1817 puso de manifiesto el notable parecido que existía entre las propiedades de ciertos grupos de tres elementos, con una variación gradual del primero al último. Posteriormente (1827) señaló la existencia de otros grupos de tres elementos en los que se daba la misma relación (cloro, bromo y yodo; azufre, selenio y teluro; litio, sodio y potasio).

Triadas de Döbereiner

Litio		LiCl LiOH		Calcio		CaCl2 CaSO4		Azufre		H2S SO2
Sodio		NaCl NaOH		Estroncio		SrCl2 SrSO4		Selenio		H2Se SeO2
Potasio		KCl KOH		Bario		BaCl2 BaSO4		Teluro		H2Te TeO2

A estos grupos de tres elementos se les denominó triadas y hacia 1850 ya se habían encontrado unas 20, lo que indicaba una cierta regularidad entre los elementos químicos.

Döbereiner intentó relacionar las propiedades químicas de estos elementos (y de sus compuestos) con los pesos atómicos, observando una gran analogía entre ellos, y una variación gradual del primero al último.

Vis tellurique de Chancourtois

En 1864, Chancourtois construyó una hélice de papel, en la que se estaban ordenados por pesos atómicos los elementos conocidos, arrollada sobre un cilindro vertical. Se encontraba que los puntos correspondientes estaban separados unas 16 unidades. Los elementos similares estaban prácticamente sobre la misma generatriz, lo que indicaba una cierta periodicidad, pero su diagrama pareció muy complicado y recibió poca atención.

Ley de las octavas de Newlands

En 1864, el químico inglés Newlands comunicó a la Real Sociedad Inglesa de Química su observación de que al ordenar los elementos en orden creciente de sus pesos atómicos (prescindiendo del hidrógeno), el octavo elemento a partir de cualquier otro tenía unas propiedades muy similares al primero. En esta época, los llamados gases nobles no habían sido aún descubiertos.

Ley de las octavas de Newlans

1	2	3	4	5	6	7
Li 6,9 Na 23,0 K 39,0	Be 9,0 Mg 24,3 Ca 40,0	B 10,8 Al 27,0	C 12,0 Si 28,1	N 14,0 P 31,0	O 16,0 S 32,1	F 19,0 Cl 35,5

Esta ley mostraba una cierta ordenación de los elementos en familias (grupos), con propiedades muy parecidas entre sí y en Periodos, formados por ocho elementos cuyas propiedades iban variando progresivamente.

El nombre de octavas se basa en la intención de Newlands de relacionar estas propiedades con la que existe en la escala de las notas musicales, por lo que dio a su descubrimiento el nombre de ley de las octavas.

Como a partir del calcio dejaba de cumplirse esta regla, esta ordenación no fue apreciada por la comunidad científica que lo menospreció y ridiculizó, hasta que 23 años más tarde fue reconocido por la Royal Society, que concedió a Newlands su más alta condecoración, la medalla Davy.

La Tabla Periódica de Mendeleyev de los elementos, fue propuesta por Dimitri Mendeleyev y Meyer quienes, trabajando por separado, prepararon una ordenación de todos los elementos conocidos, basándose en las variación sistemática con la masa atómica de las propiedades químicas (Mendeleyev) y físicas (Meyer). A diferencia de lo que había supuesto Newlands, en la Tabla Periódica de Mendeleyev los periodos (filas horizontales) no tenían siempre la misma longitud, pero a lo largo de los mismos había una variación gradual de las propiedades, de tal forma que los elementos de un mismo grupo o familia (columnas verticales) se correspondían en los diferentes periodos. Esta tabla fue publicada en 1869, sobre la base de que las propiedades de los elementos son función periódica de sus pesos atómicos.

Tabla Periódica

Tabla periódica de los elementos

Grupo

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

Periodo

1

1 H

2 He

2

3 Li

4 Be

5 B

6 C

7 N

8 O

9 F

10 Ne

3

11 Na

12 Mg

13 Al

14 Si

15 P

16 S

17 Cl

18 Ar

4

19 K

20 Ca

21 Sc

22 Ti

23 V

24 Cr

25 Mn

26 Fe

27 Co

28 Ni

29 Cu

30 Zn

31 Ga

32 Ge

33 As

34 Se

35 Br

36 Kr

5

37 Rb

38 Sr

39 Y

40 Zr

41 Nb

42 Mo

43 Tc

44 Ru

45 Rh

46 Pd

47 Ag

48 Cd

49 In

50 Sn

51 Sb

52 Te

53 I

54 Xe

6

55 Cs

56 Ba

*

71 Lu

72 Hf

73 Ta

74 W

75 Re

76 Os

77 Ir

78 Pt

79 Au

80 Hg

81 Tl

82 Pb

83 Bi

84 Po

85 At

86 Rn

7

87 Fr

88 Ra

**

103 Lr

104 Rf

105 Db

106 Sg

107 Bh

108 Hs

109 Mt

110 Ds

111 Rg

112 Uub

113 Uut

114 Uuq

115 Uup

116 Uuh

117 El| Uus

118 Uuo

Lantánidos

*

57 La

58 Ce

59 Pr

60 Nd

61 Pm

62 Sm

63 Eu

64 Gd

65 Tb

66 Dy

67 Ho

68 Er

69 Tm

70 Yb

Actínidos

**

89 Ac

90 Th

91 Pa

92 U

93 Np

94 Pu

95 Am

96 Cm

97 Bk

98 Cf

99 Es

100 Fm

101 Md

102 No

Alcalinos	Alcalinotérreos	Lantánidos	Actínidos	Metales de transición
Metales del bloque p	Metaloides	No metales	Halógenos	Gases nobles

Lista de elementos y sus propiedades

símbolo	nombre	número   atómico	Masa atómica	Densidad a 20°C	Punto de fusión °C	Punto de ebullición °C	Descubrimiento	Descubridor
Ac	Actinio	89	227,0278 g/mol	10,07 g/cm³	1047 °C	3197 °C	1899	Debierne
Ag	Plata	47	107,8682 g/mol	10,49 g/cm³	961,9 °C	2212 °C	prehistórico	desconocido
Al	Aluminio	13	26,981539 g/mol	2,70 g/cm³	660,5 °C	2467 °C	1825	Oersted
Am	Americio	95	243,0614 g/mol	13,67 g/cm³	994 °C	2607 °C	1944	Seaborg
Ar	Argón	18	39,948 g/mol	1,66 g/l	-189,4 °C	-185,9 °C	1894	Ramsay y Rayleigh
As	Arsénico	33	74,92159 g/mol	5,72 g/cm³	613 °C	613 (sublimiert) °C	ca. 1250	Albertus Magnus
At	Astato	85	209,9871 g/mol		302 °C	337 °C	1940	Corson y MacKenzie
Au	Oro	79	196,96654 g/mol	19,32 g/cm³	1064,4 °C	2940 °C	prehistórico	desconocido
B	Boro	5	10,811 g/mol	2,46 g/cm³	2300 °C	2550 °C	1808	Davy y Gay-Lussac
Ba	Bario	56	137,327 g/mol	3,65 g/cm³	725 °C	1640 °C	1808	Davy
Be	Berilio	4	9,012182 g/mol	1,85 g/cm³	1278 °C	2970 °C	1797	Vauquelin
Bh	Bohrio	107	262,1229 g/mol				1976	Oganessian
Bi	Bismuto	83	208,98037 g/mol	9,80 g/cm³	271,4 °C	1560 °C	1540	Agricola
Bk	Berkelio	97	247,0703 g/mol	13,25 g/cm³	986 °C		1949	Seaborg
Br	Bromo	35	79,904 g/mol	3,14 g/cm³	-7,3 °C	58,8 °C	1826	Balard
C	Carbono	6	12,011 g/mol	3,51 g/cm³	3550 °C	4827 °C	prehistórico	desconocido
Ca	Calcio	20	40,078 g/mol	1,54 g/cm³	839 °C	1487 °C	1808	Davy
Cd	Cadmio	48	112,411 g/mol	8,64 g/cm³	321 °C	765 °C	1817	Stromeyer y Hermann
Ce	Cerio	58	140,115 g/mol	6,77 g/cm³	798 °C	3257 °C	1803	von Hisinger y Berzelius
Cf	Californio	98	251,0796 g/mol	15,1 g/cm³	900 °C		1950	Seaborg
Cl	Cloro	17	35,4527 g/mol	2,95 g/l	-34,6 °C	-101 °C	1774	Scheele
Cm	Curio	96	247,0703 g/mol	13,51 g/cm³	1340 °C		1944	Seaborg
Co	Cobalto	27	58,9332 g/mol	8,89 g/cm³	1495 °C	2870 °C	1735	Brandt
Cr	Cromo	24	51,9961 g/mol	7,14 g/cm³	1857 °C	2482 °C	1797	Vauquelin
Cs	Cesio	55	132,90543 g/mol	1,90 g/cm³	28,4 °C	690 °C	1860	Kirchhoff y Bunsen
Cu	Cobre	29	63,546 g/mol	8,92 g/cm³	1083,5 °C	2595 °C	prehistórico	desconocido
Db	Dubnio	105	262,1138 g/mol				1967/70	Flerow oder Ghiorso
Ds	Darmstadtio	110	269 g/mol				1994	Society for Heavy Ion Research
Dy	Disprosio	66	162,5 g/mol	8,56 g/cm³	1409 °C	2335 °C	1886	Lecoq de Boisbaudran
Er	Erbio	68	167,26 g/mol	9,05 g/cm³	1522 °C	2510 °C	1842	Mosander
Es	Einsteinio	99	252,0829 g/mol		860 °C		1952	Seaborg
Eu	Europio	63	151,965 g/mol	5,25 g/cm³	822 °C	1597 °C	1901	Demaçay
F	Flúor	9	18,9984032 g/mol	1,58 g/l	-219,6 °C	-188,1 °C	1886	Moissan
Fe	Hierro	26	55,847 g/mol	7,87 g/cm³	1535 °C	2750 °C	prehistórico	desconocido
Fm	Fermio	100	257,0951 g/mol				1952	Seaborg
Fr	Francio	87	223,0197 g/mol		27 °C	677 °C	1939	Perey
Ga	Galio	31	69,723 g/mol	5,91 g/cm³	29,8 °C	2403 °C	1875	Lecoq de Boiskaudran
Gd	Gadolinio	64	157,25 g/mol	7,89 g/cm³	1311 °C	3233 °C	1880	de Marignac
Ge	Germanio	32	72,61 g/mol	5,32 g/cm³	937,4 °C	2830 °C	1886	Winkler
H	Hidrógeno	1	1,00794 g/mol	0,084 g/l	-259,1 °C	-252,9 °C	1766	Cavendish
He	Helio	2	4,002602 g/mol	0,17 g/l	-272,2 °C	-268,9 °C	1895	Ramsay y Cleve
Hf	Hafnio	72	178,49 g/mol	13,31 g/cm³	2150 °C	5400 °C	1923	Coster y vón Hevesy
Hg	Mercurio	80	200,59 g/mol	13,55 g/cm³	-38,9 °C	356,6 °C	prehistórico	desconocido
Ho	Holmio	67	164,93032 g/mol	8,78 g/cm³	1470 °C	2720 °C	1878	Soret
Hs	Hassio	108	265 g/mol				1984	Society for Heavy Ion Research
I	Yodo	53	126,90447 g/mol	4,94 g/cm³	113,5 °C	184,4 °C	1811	Courtois
In	Indio	49	114,82 g/mol	7,31 g/cm³	156,2 °C	2080 °C	1863	Reich y Richter
Ir	Iridio	77	192,22 g/mol	22,65 g/cm³	2410 °C	4130 °C	1803	Tenant y andere
K	Potasio	19	39,0983 g/mol	0,86 g/cm³	63,7 °C	774 °C	1807	Davy
Kr	Kriptón	36	83,8 g/mol	3,48 g/l	-156,6 °C	-152,3 °C	1898	Ramsay y Travers
La	Lantano	57	138,9055 g/mol	6,16 g/cm³	920 °C	3454 °C	1839	Mosander
Li	Litio	3	6,941 g/mol	0,53 g/cm³	180,5 °C	1317 °C	1817	Arfvedson
Lr	Lawrencio	103	260,1053 g/mol				1961	Ghiorso
Lu	Lutecio	71	174,967 g/mol	9,84 g/cm³	1656 °C	3315 °C	1907	Urbain
Md	Mendelevio	101	258,0986 g/mol				1955	Seaborg
Mg	Magnesio	12	24,305 g/mol	1,74 g/cm³	648,8 °C	1107 °C	1755	Black
Mn	Manganeso	25	54,93805 g/mol	7,44 g/cm³	1244 °C	2097 °C	1774	Gahn
Mo	Molibdeno	42	95,94 g/mol	10,28 g/cm³	2617 °C	5560 °C	1778	Scheele
Mt	Meitnerio	109	266 g/mol				1982	Society for Heavy Ion Research
N	Nitrógeno	7	14,00674 g/mol	1,17 g/l	-209,9 °C	-195,8 °C	1772	Rutherford
Na	Sodio	11	22,989768 g/mol	0,97 g/cm³	97,8 °C	892 °C	1807	Davy
Nb	Niobio	41	92,90638 g/mol	8,58 g/cm³	2468 °C	4927 °C	1801	Hatchet
Nd	Neodimio	60	144,24 g/mol	7,00 g/cm³	1010 °C	3127 °C	1895	von Welsbach
Ne	Neón	10	20,1797 g/mol	0,84 g/l	-248,7 °C	-246,1 °C	1898	Ramsay y Travers
Ni	Niquel	28	58,69 g/mol	8,91 g/cm³	1453 °C	2732 °C	1751	Cronstedt
No	Nobelio	102	259,1009 g/mol				1958	Seaborg
Np	Neptunio	93	237,0482 g/mol	20,48 g/cm³	640 °C	3902 °C	1940	McMillan y Abelson
O	Oxígeno	8	15,9994 g/mol	1,33 g/l	-218,4 °C	-182,9 °C	1774	Priestley y Scheele
Os	Osmio	76	190,2 g/mol	22,61 g/cm³	3045 °C	5027 °C	1803	Tenant
P	Fósforo	15	30,973762 g/mol	1,82 g/cm³	44 (P4) °C	280 (P4) °C	1669	Brandt
Pa	Protactinio	91	231,0359 g/mol	15,37 g/cm³	1554 °C	4030 °C	1917	Soddy, Cranston y Hahn
Pb	Plomo	82	207,2 g/mol	11,34 g/cm³	327,5 °C	1740 °C	prehistórico	desconocido
Pd	Paladio	46	106,42 g/mol	12,02 g/cm³	1552 °C	3140 °C	1803	Wollaston
Pm	Prometio	61	146,9151 g/mol	7,22 g/cm³	1080 °C	2730 °C	1945	Marinsky y Glendenin
Po	Polonio	84	208,9824 g/mol	9,20 g/cm³	254 °C	962 °C	1898	Marie y Pierre Curie
Pr	Praseodimio	59	140,90765 g/mol	6,48 g/cm³	931 °C	3212 °C	1895	von Welsbach
Pt	Platino	78	195,08 g/mol	21,45 g/cm³	1772 °C	3827 °C	1557	Scaliger
Pu	Plutonio	94	244,0642 g/mol	19,74 g/cm³	641 °C	3327 °C	1940	Seaborg
Ra	Radio	88	226,0254 g/mol	5,50 g/cm³	700 °C	1140 °C	1898	Marie y Pierre Curie
Rb	Rubidio	37	85,4678 g/mol	1,53 g/cm³	39 °C	688 °C	1861	Bunsen y Kirchhoff
Re	Renio	75	186,207 g/mol	21,03 g/cm³	3180 °C	5627 °C	1925	Noddack, Tacke y Berg
Rf	Rutherfordio	104	261,1087 g/mol				1964/69	Flerow oder Ghiorso
Rg	Roentgenio	111	272 g/mol				1994	Society for Heavy Ion Research
Rh	Rodio	45	102,9055 g/mol	12,41 g/cm³	1966 °C	3727 °C	1803	Wollaston
Rn	Radón	86	222,0176 g/mol	9,23 g/l	-71 °C	-61,8 °C	1900	Dorn
Ru	Rutenio	44	101,07 g/mol	12,45 g/cm³	2310 °C	3900 °C	1844	Claus
S	Azufre	16	32,066 g/mol	2,06 g/cm³	113 °C	444,7 °C	prehistórico	desconocido
Sb	Antimonio	51	121,75 g/mol	6,69 g/cm³	630,7 °C	1750 °C	prehistórico	desconocido
Sc	Escandio	21	44,95591 g/mol	2,99 g/cm³	1539 °C	2832 °C	1879	Nilson
Se	Selenio	34	78,96 g/mol	4,82 g/cm³	217 °C	685 °C	1817	Berzelius
Sg	Seaborgio	106	263,1182 g/mol				1974	Oganessian
Si	Silicio	14	28,0855 g/mol	2,33 g/cm³	1410 °C	2355 °C	1824	Berzelius
Sm	Samario	62	150,36 g/mol	7,54 g/cm³	1072 °C	1778 °C	1879	Lecoq de Boisbaudran
Sn	Estaño	50	118,71 g/mol	7,29 g/cm³	232 °C	2270 °C	prehistórico	desconocido
Sr	Estroncio	38	87,62 g/mol	2,63 g/cm³	769 °C	1384 °C	1790	Crawford
Ta	Tantalio	73	180,9479 g/mol	16,68 g/cm³	2996 °C	5425 °C	1802	Ekeberg
Tb	Terbio	65	158,92534 g/mol	8,25 g/cm³	1360 °C	3041 °C	1843	Mosander
Tc	Tecnecio	43	98,9063 g/mol	11,49 g/cm³	2172 °C	5030 °C	1937	Perrier y Segrè
Te	Telurio	52	127,6 g/mol	6,25 g/cm³	449,6 °C	990 °C	1782	von Reichenstein
Th	Torio	90	232,0381 g/mol	11,72 g/cm³	1750 °C	4787 °C	1829	Berzelius
Ti	Titanio	22	47,88 g/mol	4,51 g/cm³	1660 °C	3260 °C	1791	Gregor y Klaproth
Tl	Talio	81	204,3833 g/mol	11,85 g/cm³	303,6 °C	1457 °C	1861	Crookes
Tm	Tulio	69	168,93421 g/mol	9,32 g/cm³	1545 °C	1727 °C	1879	Cleve
U	Uranio	92	238,0289 g/mol	18,97 g/cm³	1132,4 °C	3818 °C	1789	Klaproth
Uub	Ununbio	112	277 g/mol				1996	Society for Heavy Ion Research
Uuh	Ununhexio	116
Uuo	Ununoctio	118
Uup	Ununpentio	115
Uug	Ununquadio	114
Uus	Ununseptio	117
Uut	Ununtrio	113
V	Vanadio	23	50,9415 g/mol	6,09 g/cm³	1890 °C	3380 °C	1801	del Rio
W	Wolframio	74	183,85 g/mol	19,26 g/cm³	3407 °C	5927 °C	1783	Hermanos Elhuyar
Xe	Xenón	54	131,29 g/mol	4,49 g/l	-111,9 °C	-107 °C	1898	Ramsay y Travers
Y	Itrio	39	88,90585 g/mol	4,47 g/cm³	1523 °C	3337 °C	1794	Gadolin
Yb	Iterbio	70	173,04 g/mol	6,97 g/cm³	824 °C	1193 °C	1878	de Marignac
Zn	Zinc	30	65,39 g/mol	7,14 g/cm³	419,6 °C	907 °C	prehistórico	desconocido
Zr	Circonio	40	91,224 g/mol	6,51 g/cm³	1852 °C	4377 °C	1789	Klaproth

Apéndice 3: El Sistema Internacional de Unidades (SI)

Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI (en francés, Système International d'Unités) es el sistema de unidades más extensamente usado. Junto con el antiguo sistema métrico decimal, que es su antecedente y que ha mejorado, el SI también es conocido como sistema métrico, especialmente en las naciones en las que aún no se ha implantado para su uso cotidiano. Fue creado en 1960 por la Conferencia General de Pesas y Medidas, que inicialmente definió seis unidades físicas básicas o fundamentales. En 1971, fue añadida la séptima unidad básica, el mol.

Una de las principales características y que constituye a su vez la gran ventaja del SI es que sus unidades están basadas en fenómenos físicos fundamentales. La única excepción la constituye la unidad de la magnitud masa, el kilogramo, que está definida como “la masa del prototipo internacional del kilogramo” o aquel cilindro de platinio e iridio almacenado en una caja fuerte de la Oficina Internacional de Pesos y Medidas.

Las unidades del SI son la referencia internacional de las indicaciones de los instrumentos de medida y a las que están referidas a través de una cadena ininterrumpida de calibraciones o comparaciones. Esto permite alcanzar la equivalencia de las medidas realizadas por instrumentos similares, utilizados y calibrados en lugares apartados y por ende asegurar, sin la necesidad de ensayos y mediciones duplicadas, el cumplimiento de las características de los objetos que circulan en el comercio internacional y su intercambiabilidad.

El Sistema Internacional de Unidades (SI) define siete unidades básicas o unidades físicas fundamentales, las cuales son descritas por una definición operacional.

Unidades Fundamentales

Todas las demás unidades para expresar magnitudes físicas se pueden derivar de estas unidades básicas y se conocen como unidades derivadas del SI. La derivación se lleva a cabo por medio del análisis dimensional. Se usan prefijos para abreviar números muy grandes o muy pequeños.

Magnitud física que se toma como fundamental	Unidad básica o fundamental	Símbolo
Longitud (l)	metro	m
Masa (m)	kilogramo	kg
Tiempo (t)	segundo	s
Intensidad de corriente eléctrica (I)	amperio	A
Temperatura (T)	kelvin	K
Cantidad de sustancia (n)	mol	mol
Intensidad luminosa (I)	candela	cd

Magnitudes

Longitud

Metro patrón en platino iridiado

Unidad: metro (m)

Un metro se define como la distancia que viaja la luz en el vacío en 1/299.792.458 segundos. Esta norma fue adoptada en 1983 cuando la velocidad de la luz en el vacío fue definida exactamente como 299.792.458 m/s.

Masa

Unidad: kilogramo (kg)

Un kilogramo se define como la masa del Kilogramo Patrón, cilindro compuesto de una aleación de platino-iridio que se guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sevres, cerca de París. Actualmente es la única que se define por un objeto patrón.

Tiempo

Unidad: segundo (s)

Un segundo es el tiempo requerido por 9.192.631.770 ciclos de una transición hiperfina en el cesio 133. Esta definición fue adoptada en 1967.

Intensidad de corriente eléctrica

Unidad: ampere (A)

El ampere es la intensidad de una corriente eléctrica constante que, mantenida en dos conductores paralelos de longitud infinita, de sección circular despreciable y ubicados a una distancia de 1 metro en el vacío, produce una fuerza entre ellos igual a 2×10^-7 newtons por metro.

Temperatura

Unidad: kelvin (K)

Cantidad de sustancia

Unidad: mol (mol)

Un mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kg de carbono 12.

Cuando se usa el mol, las entidades elementales deben ser especificadas y pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones, otras partículas o grupos específicos de tales partículas.

Intensidad luminosa

Unidad: candela (cd)

Una candela es la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite radiación monocromática con frecuencia de 540 × 10¹² Hz de forma que la intensidad de radiación emitida, en la dirección indicada, es de 1/683 W por estereorradián.

Unidades Derivadas

Con esta denominación se hace referencia a las unidades utilizadas para expresar magnitudes físicas que son resultado de combinar magnitudes físicas tomadas como fundamentales.

En cualquier caso, siempre es posible establecer una relación entre las unidades derivadas y las básicas o fundamentales mediante las correspondientes ecuaciones dimensionales.

El concepto no debe confundirse con los múltiplos y sub-múltiplos, los que son utilizados tanto en las unidades fundamentales como en las unidades derivadas, sino que debe relacionarse siempre a las magnitudes que se expresan. Si estas son longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente eléctrica, temperatura, cantidad de sustancia o intensidad luminosa, se trata de una magnitud fundamental, y todas las demás son derivadas.

Unidades derivadas que tienen nombre propio

Magnitud física	Nombre de la unidad	Símbolo de la unidad	Expresada en unidades derivadas	Expresada en unidades básicas
Frecuencia	hertz	Hz		s-1
Fuerza	newton	N		m·kg·s-2
Presión	pascal	Pa	N·m-2	m-1·kg·s-2
Energía, trabajo, calor	joule	J	N·m	m2·kg·s-2
Potencia	watt	W	J·s-1	m2·kg·s-3
Carga eléctrica	coulomb	C		A·s
Potencial eléctrico, fuerza electromotriz	volt	V	J·C-1	m2·kg·s-3·A-1
Resistencia eléctrica	ohm	Ω	V·A-1	m2·kg·s-3·A-2
Conductancia eléctrica	siemens	S	A·V-1	m-2·kg-1·s3·A2
Capacitancia eléctrica	faraday	F	C·V-1	m-2·kg-1·s4·A2
Densidad de flujo magnético, inductividad magnética	tesla	T	V·s·m-2	kg·s-2·A-1
Flujo magnético	weber	Wb	V·s	m2·kg·s-2·A-1
Inductancia	henrio	H	V·A-1·s	m2·kg·s-2·A-2
Ángulo plano	radián	rad		m·m-1
Ángulo sólido	estereorradián	sr		m2·m-2
Flujo luminoso	lumen	lm	cd·sr
Iluminancia	lux	lx	cd·sr·m-2
Actividad radiactiva	becquerel	Bq		s-1
Dosis de radiación absorbida	gray	Gy	J·kg-1	m2·s-2
Dosis equivalente	sievert	Sv	J·kg-1	m2·s-2
Actividad catalítica	katal	kat		mol·s-1

Unidades derivadas que carecen de nombre propio

Algunas otras unidades que no tienen un nombre especial pero son de uso común:

Magnitud física	Expresada en unidades derivadas	Expresada en unidades básicas
Área		m2
Volumen		m3
Velocidad, rapidez		m·s-1
Velocidad angular	rad·s-1	s-1
Aceleración		m·s-2
Momento de fuerza	N·m	m2·kg·s-2
Número de ondas		m-1
Densidad		kg·m-3
Volumen específico		m3·kg-1
Concentración		mol·m-3
Volumen molar		m3·mol-1
Capacidad de calor, entropía	J·K-1	m2·kg·s-2·K-1
Capacidad molar de calor, entropía molar	J·K-1·mol-1	m2·kg·s-2·K-1·mol-1
Capacidad de calor específico, entropía específica	J·K-1·kg-1	m2·s-2·K-1
Energía molar	J·mol-1	m2·kg·s-2·mol-1
Energía específica	J·kg-1	m2·s-2
Densidad de energía	J·m-3	m-1·kg·s-2
Tensión superficial	N·m-1=J·m-2	kg·s-2
Densidad de flujo de calor	W·m-2	kg·s-3
Conductividad térmica	W·m-1·K-1	m·kg·s-3·K-1
Viscosidad cinemática, coeficiente de difusión		m2·s-1
Viscosidad dinámica	N·s·m-2 = Pa·s	m-1·kg·s-1
Densidad de carga eléctrica	C·m-3	m-3·s·A
Densidad de corriente eléctrica		A·m-2
Conductividad eléctrica	S·m-1	m-3·kg-1·s3·A2
Conductividad molar	S·m2·mol-1	kg-1·mol-1·s3·A2
Permisividad	F·m-1	m-3·kg-1·s4·A2
Permeabilidad	H·m-1	m·kg·s-2·A-2
Intensidad de campo eléctrico	V·m-1	m·kg·s-3·A-1
Intensidad de campo magnético		A·m-1
Luminancia		cd·m-2
Exposición (rayos X y rayos gamma)	C·kg-1	kg-1·s·A
Tasa de dosis absorbida	Gy·s-1	m2·s-3

Prefijos del SI

Los prefijos se anteponen a las unidades para que la cantidad sea mas cómoda de acuerdo a la situación. Así el prefijo kilo, por ejemplo, multiplica por mil, por lo tanto un kilometro son 1.000 metros, y un kilowatt son 1.000 watt. El prefijo mili divide entre mil; por lo tanto, un milimetro es la milésima parte de un metro (se necesitan 1.000 milímetros para completar un metro), y un mililitro es la milésima parte de un litro. Otra de las ventajas del SI es el empleo de un mismo prefijo para cualquier unidad, lo que facilita el aprendizaje y el empleo de dicho sistema.

yotta	Y	1024 (un cuatrillón)
zetta	Z	1021 (mil trillones)
exa	E	1018 (un trillón)
peta	P	1015 (mil billones)
tera	T	1012 (un billón)
giga	G	109 (mil millones)
mega	M	106 (un millón)
miria	ma	104 (diez mil)
kilo	k	103 (mil)
hecto	h	102 (cien)
deca	da	101 (diez)
deci	d	10-1 (un décimo)
centi	c	10-2 (un centésimo)
mili	m	10-3 (un milésimo)
micro	μ	10-6 (un millonésimo)
nano	n	10-9 (un milmillonésimo)
pico	p	10-12 (un billonésimo)
femto	f	10-15 (un milbillonésimo)
atto	a	10-18 (un trillonésimo)
zepto	z	10-21 (un miltrillonésimo)
yocto	y	10-24 (un cuatrillonésimo)

Hay que tener en cuenta antes los prefijos que las potencias; así, "km²" se lee kilómetro cuadrado, no kilo–metro cuadrado. Por ejemplo, 3 km² son 3.000.000 m², no 3.000 m² (ni tampoco 9.000.000 m²). Es decir, lo prefijos del SI en lugar de miles se convierten en multiplicadores de millón en el caso de las potencias de 2, de mil millones en el caso de las potencias de 3 y así sucesivamente. Por lo tanto es probable que se requiera emplear números grandes, aunque se empleen todos los prefijos.

Son mejores los prefijos cuya potencia es múltiplo de tres. Por ello es preferible emplear "100 m" que "1 hm". Hay, sin embargo, algunas excepciones importantes: el centímetro, la hectárea (hecto-área), el centilitro, el decímetro cúbico (equivalente a un litro), el hectopascal y el decibelio (la décima parte de un bel).

Los prefijos myria- y myrio-, que han quedado obsoletos, se abandonaron antes de que el SI entrara en vigor en 1960, probablemente por no seguir el mismo modelo que el resto de prefijos, por no existir símbolos adecuados para representarlos (para entonces ya se empleaban los símbolos M, m y µ) y por ser, en general, poco empleados.

Los micromicrofaradios (picofaradios), los hectokilómetros (100 kilómetros), las milimicras o micromilímetros (ambos nanómetros) y otros prefijos dobles del estilo se abandonaron al adoptarse el SI.

El kilogramo es la única unidad básica del SI que lleva prefijo. Denota la masa de un objeto real. El gramo es la milésima parte (1/1000) de la masa de dicho objeto.

Aunque en principio pueden emplearse, las combinaciones de prefijos y cantidades se emplean poco, incluso en los ámbitos de la ciencia y de la ingeniería:

• Masa: hectogramo, gramo, miligramo, microgramo y otras unidades más pequeñas se emplean a menudo. El megagramo y otras mayores, en cambio, no se suelen emplear habitualmente; en su lugar se emplea la tonelada o la notación científica. En ocasiones el megagramo se emplea para diferenciar la tonelada métrica de la no métrica.
• Volumen en litros: litro, decilitro, centilitro, mililitro, mikrolitro y otras unidades más pequeñas se emplean a menudo. Los volúmenes mayores en ocasiones se dan en hectolitros; en otras en metros cúbicos o en kilómetros cúbicos; también en hectómetros cúbicos.
• Longitud: kilómetro, metro, decímetro, centímetro, milímetro y a menudo unidades más pequeñas. Unidades mayores como el megametro, el gigametro u otras, pocas veces. La unidad astronómica, el año-luz y el parsec se emplean, en cambio, a menudo; en el reglamento del SI, la unidad astronómica figura como una unidad aceptable pero oficialmente fuera del sistema.
• Tiempo: segundo, milisegundo, microsegundo y otras unidades más pequeñas son habituales. El kilosegundo y el megasegundo también se emplean en ocasiones, aunque son más habituales determinadas formas de notación científica o las horas, los minutos y otras unidades del estilo que denotan tiempos tan largos o más que dichas unidades.

Aunque anteriormente en Reino Unido, Irlanda, Australia y Nueva Zelanda se empleaba la escala larga para nombrar los números, actualmente y cada vez más emplean la escala corta. Hay que tener en cuenta que por encima del millón y por debajo de la millonésima, nombres iguales poseen significados distintos en ambos sistemas corto y largo, con lo que números del orden del billón o del trillón, por ejemplo, pueden resultar confusos a nivel internacional. El empleo de los prefijos del SI puede ser el camino para la superación de este problema.

Normas ortográficas para los símbolos

Los símbolos de las unidades no deben tratarse como abreviaturas, por lo que se deben escribir siempre tal cual están definidos (p. ej., m para metro y A para ampere o amperio). Deben usarse preferentemente los símbolos y no los nombres (p. ej., kHz y no kilohertz o kilohertzio) y ni unos ni otros deben pluralizarse (p. ej., de resultar imprescindible, se dirá kilohertz, pero no kilohertzs). Pueden utilizarse las denominaciones castellanizadas de uso habitual, siempre que estén reconocidos por la Real Academia Española, (ejemplos: amperio, culombio, faradio, voltio, vatio, etc.), pero es preferible evitarlos en pro de la precisión científica y de la uniformidad internacional.

Los símbolos no cambian cuando se trata de varias unidades, es decir, no debe añadirse una "s". Tampoco debe situarse un punto (".") a continuación de un símbolo, salvo cuando el símbolo se encuentra al final de una frase. Por lo tanto, es incorrecto escribir, por ejemplo, el símbolo de kilogramos como "Kg" (con mayúscula), "kgs" (pluralizado) o "kg." (con el punto). La única manera correcta de escribirlo es "kg". Esto se debe a que se quiere evitar que haya malas interpretaciones; por ejemplo: "Kg", podría entenderse como kelvin·gramo, ya que "K" es el símbolo de la unidad de temperatura kelvin. Por otra parte, ésta última se escribe sin el símbolo de grados "°", pues su nombre correcto no es grado Kelvin (°K), sino sólo kelvin (K).

El símbolo de segundos es s (en minúscula y sin punto posterior) y no seg. ni segs. Los amperios no deben abreviarse Amps., ya que su símbolo es A (mayúscula y sin punto). El metro se simboliza con m (no mt, ni mts.).

Legislación sobre el uso del SI

El SI puede ser usado legalmente en cualquier país del mundo, incluso en aquellos que no lo han implantado. En otros muchos países su uso es obligatorio. En los países que utilizan todavía otros sistemas de unidades de medidas, como los Estados Unidos y el Reino Unido, se acostumbran a indicar las unidades del SI junto a las propias, a efectos de conversión de unidades.

El SI fue adoptado por la undécima Conferencia General de Pesos y Medidas (CGPM o Conférence Générale des Poids et Mesures) en 1960.

En Argentina, el SI fue adoptado a través de la ley Nº 19.511, creada el 2 de marzo de 1972, conocida como Sistema Métrico Legal Argentino (SI.ME.LA.).

En España, en el Art. 149 (Título VIII) de la Constitución de 1978 se atribuye al Estado la competencia exclusiva de legislar sobre pesos y medidas. La ley que desarrolla esta materia es la Ley 3/1985, del 18 de marzo, de Metrología.

Apéndice 4:Biografías

Carl Friedrich Gauss

Distribución normal

Johann Carl Friedrich Gauss (Gauß), matemático, astrónomo y físico alemán considerado el más grande matemático de toda la historia por sus amplias contribuciones en muchos campos de esta ciencia, nació en Brunswick, Baja Sajonia el 30 de abril de 1777.

Es célebre la siguiente anécdota: tenía Gauss 10 años cuando un día en la escuela el profesor manda sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad ... pero transcurridos pocos segundos Gauss levanta la mano y dice tener la solución: los cien primeros números naturales suman 5.050. Y efectivamente es así. ¿Cómo lo hizo Gauss? Pues mentalmente se dio cuenta de que la suma de dos términos equidistantes era constante:

1 , 2 , 3 , 4 . . . . . . . . . 97 , 98 , 99 , 100

1+100 = 2+99 = 3+98 = 4+97 = ..... = 101

Con los 100 números se pueden formar 50 pares, de forma que la solución final viene dada por el producto

101· 50 = 5050

Gauss había deducido la fórmula que da la suma de n términos de una progresión aritmética de la que se conocen el primero y el último término:

$S_{n}={\frac {(a_{1}+a_{n})n}{2}}$

dónde a₁ es el primer término, a_n el último, y n es el número de términos de la progresión.

Fue el primero en probar rigurosamente el Teorema Fundamental del Álgebra (disertación para su tesis doctoral en 1799), aunque una prueba casi completa de dicho teorema fue hecha por Jean Le Rond d'Alembert anteriormente.

En 1801 publicó el libro Disquisitiones Aritmeticae, con seis secciones dedicadas a la Teoría de números, dándole a esta rama de las matemáticas una estructura sistematizada. En la última sección del libro expone su tesis doctoral. Ese mismo año predijo la órbita del Ceres aproximando raíces cuadradas.

En 1809 fue nombrado director del Observatorio de Göttingen. En 1809 publica Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium describiendo cómo calcular la órbita de un planeta y cómo refinarla posteriormente. Profundiza sobre ecuaciones diferenciales y secciones cónicas.

Quizás Gauss haya sido la primera persona en intuir la independencia del postulado de las paralelas de Euclides y de esta manera anticipar una geometría no euclidiana. Pero esto sólo se afirma, sacando conclusiones de cartas enviadas a sus amigos, Farkas Bolyai y a su hijo János Bolyai a quien Gauss calificó como un genio de primer orden.

En 1823 publica Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae, dedicado a la estadística, concretamente a la distribución normal cuya curva característica, denominada Campana de Gauss, es muy usada en disciplinas no matemáticas donde los datos son susceptibles de estar afectados por errores sistemáticos y casuales como por ejemplo la psicología diferencial.

Hay que aclarar que Gauss no fue el primero en hacer referencia a la distribución normal.

Mostró un gran interés en geometría diferencial y su trabajo Disquisitiones generales circa superficies curva publicado en 1828 fue el más reconocido en este campo. En dicha obra expone el famoso Teorema Egregium. De esta obra se deriva el término Curvatura Gaussiana.

En 1831 se asocia al físico Wilhelm Weber durante seis fructíferos años en los que realizan investigaciones sobre las Leyes de Kirchhoff, publicaciones sobre magnetismo y construyen un telégrafo eléctrico primitivo.

Aunque a Gauss le desagradaba dar clases, algunos de sus alumnos resultaron destacados matemáticos como Richard Dedekind y Bernhard Riemann. Otros matemáticos contemporáneos fueron Carl Gustav Jakob Jacobi, Dirichlet y Sophie Germain.

Gauss murió en Göttingen el 23 de febrero de 1855.