Matemáticas/Ecuaciones/Ecuación Pitagórica

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«Ecuaciones»

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Se llama ecuación pitagórica a la ecuación $x^{2}+y^{2}=z^{2}\,$ con $x,y,z\in \mathbb {Z}$. Cualquier terna (x, y, z) solución de la ecuación anterior se conoce como terna pitagórica. Además si (x, y, z) es una terna pitagórica solución de la ecuación pitagórica también lo serán:

1. La terna alternando x e y: (y, x, z).
2. Una terna múltiplo (ky, kx, kz).
3. Una terna con algún signo cambiado (-x, y, z), (x, -y, z) o (y, x, -z)
4. Cualquier otra terna obtenida mediante una combinación de los procedimientos anteriores.

Se dice que una terna es primitiva, si el máximo común divisor de x, y, z es la unidad, es decir, mcd(x,y,z) = 1. En toda terna primitiva al menos uno de los números x o y es par y z es impar. Puede verse que en esas condiciones todas las ternas primitivas que son soluciones de la ecuación pitagórica son de la forma:

${\begin{cases}x=u^{2}-v^{2}\qquad y=2uv\qquad z=u^{2}+v^{2}\\u,v\in \mathbb {N} \;\land \;u\neq v\ ({\mbox{mod}}\ 2)\;\land \;{\mbox{mcd}}(u,v)=1\end{cases}}$

Aporte de Platón

A Platón se le debe un aporte sobre el caso cuando él formula como los lados de un triángulo rectángulo, en números enteros

$2n,n^{2}-1,n^{2}+1$

, sin duda alguna no tuvo influencia en el desarrollo matemático general.

Ternas pitagóricas

Cuando los números enteros positivos u, v, w representan las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, la terna (u, v, w) se dice que es una terna pitagórica. Por ejemplo (3,4,5), (7,24,25) y (9, 40, 41) son ternas pitagóricas.

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