Ábaco Oriental/Métodos Tradicionales/Multiplicación Tradicional

Introducción

Como ya se ha indicado en este libro, el ábaco no conserva memoria de lo que hemos hecho sobre él, a diferencia del cálculo escrito, por lo que la revisión de los cálculos para comprobar su corrección se ha hecho tradicionalmente a través de estos dos recursos:

Repetir las operaciones y comprobar que nos conducen a los mismos resultados
Deshacer el trabajo aplicando las operaciones inversas hasta encontrar los operandos de partida

o bien una combinación de ambos. Nos centramos aquí en la última opción.

La suma y la resta son operaciones inversas; por ejemplo: $422+313=735$ y si ahora restamos $735-313=422$ obtenemos el operando de partida. Sobre el ábaco:

Comprobando la suma con la resta
Ábaco	Comentario
ABC
422
+3	Sumar 313 a ABC
+1
+3
735	Resultado de 422+313
-3	Verificación restando 313 de ABC
-1
-3
422	Sumando original en su posición de partida

y, como podemos ver, no solo obtenemos el valor inicial sino que también lo obtenemos en su posición original. Por ello decimos que suma y resta son operaciones inversas no sólo en sentido matemático sino también abacístico.

A su vez, la multiplicación y la división también son operaciones inversas en sentido matemático; es decir, si $a/b=q,r$ donde $q$ es el cociente de dividir $a$ por $b$ y $r$ es el resto, podemos invertir la operación en la forma: $a=q\times b+r$ por ejemplo: $4727/72=65.47$ donde $65$ es el cociente y $47$ el resto, y podemos invertir la operación en la forma $4727=65\times 72+47$ . En el ábaco, utilizando los métodos modernos de división y multiplicación:

4727÷72 usando el método moderno
Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI	4727÷72
72 4727	Dividendo:F-I, divisor:AB
72 64727	6 como cociente provisional
-42	restar 6✕7=42 de FG
-12	restar 6✕2=12 de GH
72 6 407
72 65407	5 como cociente provisional
-35	restar 5✕7=35 de GH
-10	restar 5✕2=10 de HI
72 65 47	Fin: cociente=65, resto=47
72 65 47	Comprobando por multiplicación
+35	sumar 5✕7=35 a GH
+10	sumar 5✕2=10 a HI
72 65407
72 6 407	borrar F
+42	sumar 6✕7=42 a FG
+12	sumar 6✕2=12 a GH
72 64727	borrar E
72 4727	¡Hecho!

y comprobamos también que la multiplicación y división en el ábaco realizadas de acuerdo al Método Moderno son también operaciones inversas en el sentido abacístico al devolvernos el operando original $4727$ a su posición de partida.

Nótese la posición relativa de los operandos y los resultados utilizando el método moderno:

Posición relativa de operandos y resultados (método moderno)
Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI	4727÷72
72 4727	Divisor y dividendo
72 65 47	Divisor: AB, cociente: EF, resto: HI

Ahora intentemos lo mismo con el método tradicional de división (TD) y el arreglo de división tradicional (TDA).

4727÷72, División tradicional y disposición tradicional (TDA)
Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI	4727÷72
72 4727	Dividendo:F-I, divisor:AB
72 5227	Regla: 4/7>5+5 (¡desbordamiento!)
-10	Restar 5✕2=10 de GH
72 5127
+1	Revisar al alza F
-72	Restar 72 de GH
72 6407
72 6557	Regla: 4/7>5+5
-10	Restar 5✕2=10 de HI
72 6547	Fin: cociente=65, resto=47

ahora la posición relativa de los operandos y los resultados es diferente:

Posición relativa de operandos y resultados (método tradicional)
Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI	4727÷72
72 4727	Divisor y dividendo
72 6547	Divisor: AB, cociente: FG, resto: HI

Si queremos revertir la operación por multiplicación no podemos usar la multiplicación moderna, necesitamos suprimir una columna durante la multiplicación. Una forma de proceder podría ser esta:

Memorizar el dígito del multiplicando a usar
Borrarlo
Sumar los productos parciales

de este modo:

Invirtiendo la división tradicional con TDA
Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
72 6547	Reversion por multiplicación
72 6 47	Borrar G y recordar 5
+35	Sumar 5✕7=35 a GH
+10	Sumar 5✕2=10 a HI
72 6407
72 407	Borrar F y recordar 6
+42	Sumar 6✕7=42 a FG
+12	Sumar 6✕2=12 a GH
72 4727	¡Hecho!

y también hemos revertido la operación y devuelto el ábaco a su estado original. De esta forma se procede exactamente igual que con la multiplicación moderna, previamente liberando y reutilizando el espacio que ocupa el dígito en uso del multiplicando. Sin embargo, memorizar y mantener algo en la memoria mientras se trabaja con el ábaco abre una puerta a cometer errores y es deseable minimizar esta posibilidad tratando de mantener el dígito en la memoria durante el menor tiempo posible. Esto se logra alterando el orden en el que sumamos los productos parciales:

Introduciendo la multiplicación tradicional
Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
72 6547	Reversión por multiplicación
+10	Sumar 5✕2=10 a HI
+35	Borrar G y sumar 5✕7=35 a GH
72 6407
+12	Sumar 6✕2=12 a GH
+42	Borrar F y sumar 6✕7=42 a FG
72 4727	¡Hecho!

Como podemos ver, hemos retrasado el borrado del dígito en uso hasta el último momento posible. Esta es la base del método tradicional de multiplicación.

Método de multiplicación tradicional

El método tradicional de multiplicación se introdujo por primera vez utilizando varillas de cálculo.^[1] y la mejor manera de presentarlo al abacista moderno es considerar que un multiplicador de varios dígitos consta de una cabeza (el primer dígito de la izquierda) y un cuerpo (el resto de los dígitos); por ejemplo: 4567✕23, considerando 4567 como el multiplicador, su cabeza es 4 y el cuerpo 567. Entonces, para cada dígito del multiplicando (de derecha a izquierda):

proceder como en la multiplicación moderna con el producto del dígito del multiplicando por el cuerpo del multiplicador
después borrar el dígito del multiplicando en uso y sumar su producto por la cabeza del multiplicador a la columna que se acaba de liberar y la adyacente a su derecha

4567✕23 Método tradicional
Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKL	Multiplicando:FG, Multiplicador: A-D
4567 23	Cabeza: A (4), Cuerpo: BCD (567)
+15	Sumar 3✕5=15 a IJ
+18	Sumar 3✕6=18 a JK
+21	Sumar 3✕7=21 a KL
+12	Borrar H y sumar 3✕4=12 a HI
4567 213701
+10	Sumar 2✕5=10 a HI
+12	Sumar 2✕6=12 a IJ
+14	Sumar 2✕7=14 a JK
+08	Borrar G y sumar 3✕4=12 a GH
4567 10F041	¡Hecho!

donde el resultado 10F041 se obtiene si usa la 5ª cuenta inferior, 105041 de otro modo.

Pero las cosas no siempre son tan sencillas como en el ejemplo anterior; si tanto el multiplicando como el multiplicador contienen dígitos altos (7, 8, 9), es posible que tengamos problemas de desbordamiento y debamos solucionarlos, como en el caso 999✕999 = 998001:

999✕999 Multiplicación tradicional
Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK	Multiplicando:A-C, Multiplicador: I-K
999 999	Cabeza: I (9), Cuerpo: JK (99)
+81	Sumar 9✕9=81 a DE
+81	Sumar 9✕9=81 a EF
+81	Borrar C y sumar 9✕9=81 a CD
998991 999
+81	Sumar 9✕9=81 a CD
+81	Sumar 9✕9=81 a DE
+81	Borrar B y sumar 9✕9=81 a BC
988901 999	(¡desbordamiento!)
+81	Sumar 9✕9=81 a BC
+81	Sumar 9✕9=81 a CD
+81	Borrar A y sumar 9✕9=81 a AB
888001 999	(¡desbordamiento doble!)
998001 999	Resultado normalizado, ¡Hecho!

Lo más conveniente, como en el caso de la división, es disponer de cuentas superiores adicionales, es decir, de un ábaco tipo 5+2 o 5+3 si se es suficientemente afortunado. Con el 5+2 alcanzaríamos el resultado:

**Resultado de 999✕999 antes de la normalización**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J

8	18	18	0	0	1	0	0	9	9	9

que será preciso normalizar o estandarizar para su lectura a:

**Resultado de 999✕999 después de la normalización**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J

9	9	8	0	0	1	0	0	9	9	9

Para los ábacos 4+1 y 5+1, puede ser mejor usar la alternativa descrita en la sección anterior, borrando el dígito de trabajo del multiplicando al principio (o cuando sea necesario) para tener espacio para albergar los resultados parciales; por ejemplo:

999✕999 Multiplicación tradicional para el 4+1 o 5+1
Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJK	Multiplicando:A-C, Multiplicador: I-K
999 999
+81	Borrar C, recordar 9 y sumar 9✕9=81 a CD
+81	Sumar 9✕9=81 a DE
+81	Sumar 9✕9=81 a EF
998991 999
+81	Borrar B, recordar 9 y sumar 9✕9=81 a BC
+81	Sumar 9✕9=81 a CD
+81	Sumar 9✕9=81 a DE
998901 999
+81	Borrar A, recordar 9 y sumar 9✕9=81 a AB
+81	Sumar 9✕9=81 a BC
+81	Sumar 9✕9=81 a CD
998001 999	¡Hecho!

Ejercicios propuestos

Mientras que la división tradicional supone un enfoque radicalmente diferente de la operación por comparación a la división moderna, la multiplicación tradicional sólo supone una adaptación de las las habilidades adquiridas con la multiplicación moderna a una nueva disposición de la operación sobre el ábaco.

No es necesario, por tanto, ofrecer una larga serie de ejercicios para esta forma de multiplicar; pero sí es necesario que el lector practique el uso de las cuentas adicionales si dispone de un ábaco 5+2 ya que la multiplicación puede presentar algo más de complicación que la división en este aspecto. Aparte del caso visto arriba de 999×999=998001, el lector debería practicar su versión corta 99×99=9801 y la larga 9999×9999=99980001; así como los dos ejercicios tradicionales derivados 898×989=888122 usando uno u otro número como multiplicando. En general, debería proponerse ejercicios que contengan dígitos altos (7, 8, 9).

Multiplicación tradicional y la columna unidad

Puesto que en la multiplicación tradicional hemos suprimido una columna por comparación a la multiplicación moderna, la regla para encontrar la columna unidad queda en la forma:

La columna de las unidades del producto se encuentra $n$ columnas a la derecha de la columna de las unidades del multiplicando; donde $n$ es el número de dígitos del multiplicador a la izquierda de su punto decimal (¡que podría ser negativo!).

Compárese con la dada en el capítulo sobre la Multiplicación Moderna.

Colofón: ¿Cuántos métodos de multiplicación hay?

Tomemos un ejemplo: $345\times 6789=2342205$ . Hacemos esta multiplicación sumando los 12 productos parciales que resultan de la expansión:

$345\times 6789=(300+40+5)\times (6000+700+80+9)=300\times 6000+300\times 700+\cdots +5\times 9$

Es decir, todos los productos enumerados en esta tabla:

Productos parciales de 345✕6789
✕	$6000$	$700$	$80$	$9$
$300$	$1800000$	$210000$	$24000$	$2700$
$40$	$240000$	$28000$	$3200$	$360$
$5$	$30000$	$3500$	$400$	$45$

o bien:

Productos parciales de 345✕6789
✕	$6\cdot 10^{3}$	$7\cdot 10^{2}$	$8\cdot 10^{1}$	$9\cdot 10^{0}$
$3\cdot 10^{2}$	$18\cdot 10^{5}$	$21\cdot 10^{4}$	$24\cdot 10^{3}$	$27\cdot 10^{2}$
$4\cdot 10^{1}$	$24\cdot 10^{4}$	$28\cdot 10^{3}$	$32\cdot 10^{2}$	$36\cdot 10^{1}$
$5\cdot 10^{0}$	$30\cdot 10^{3}$	$35\cdot 10^{2}$	$40\cdot 10^{1}$	$45\cdot 10^{0}$

donde los productos parciales están expresados como productos que obtenemos usando la tabla de multiplicar de un dígito y determinadas potencias de 10 que nos indican en qué posición decimal (columna) debemos sumar dichos productos.

Pero estos 12 productos se pueden sumar en cualquiera de los ${\textstyle 12!}$ (12 factorial) ${\textstyle =1\times 2\times 3\times \cdots \times 12=479\ ,001\,600}$ formas de ordenarlos, por lo que podríamos decir que hay, al menos, casi 500 millones de formas de calcular el producto de los dos números dados.

Pero está claro que, de esta inmensa cantidad de formas de sumar secuencialmente productos parciales, solo unas pocas pueden ser generadas y seguidas de manera eficiente y segura por el cerebro humano. Pero estas pocas siguen siendo muchas ... sobre todo si pensamos que también podemos elegir si introducir o no multiplicando y multiplicador en el ábaco y por dónde empezar a sumar los productos parciales con respecto a dichos operandos. En la sección de Métodos Avanzados veremos algunas formas adicionales de multiplicación.

Otras lecturas

Kojima, Takashi (1963). «III Other multiplication methods». Advanced Abacus: Theory and Practice. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. ISBN 978-0-8048-0003-7.

Totton Heffelfinger (2004). «Traditional Multiplication techniques for Chinese Suan Pan - The Extra Bead and the Suspended Bead». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 1, 2021.

Totton Heffelfinger (2013). «Suan Pan and the Unit Rod - Multiplication». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 1, 2021.

Referencias

↑ Volkov, Alexei (2018). «Visual Representations of Arithmetical Operations Performed with Counting Instruments in Chinese Mathematical Treatises». En Furinghetti, Fulvia; Karp, Alexander. Researching the History of Mathematics Education - An International Overview. Springer Publishing. ISBN 978-3-319-68293-8. https://www.springer.com/gp/book/9783319682938.

Ábaco Oriental

▶[+6] Índice, Introducción, Página de edición, Enlaces, Texto completo

La humanidad ha utilizado ábacos, de un tipo u otro, desde los albores de la civilización para satisfacer sus necesidades de cálculo y contabilidad. La versión moderna del ábaco oriental, originario de China, todavía se utiliza hoy en día en todo el mundo para ayudar a los niños a mejorar su comprensión y habilidades numéricas. La Aritmética con Cuentas (珠算; léase zhūsuàn en chino, shuzan en japonés), o arte del uso del ábaco oriental, ha sido inscrito en 2013 en la Lista Representativa del Patrimonio Cultural Inmaterial de la Humanidad de la UNESCO.▶

{{Ábaco Oriental}}/◇

[1] Volkov, Alexei (2018). «Visual Representations of Arithmetical Operations Performed with Counting Instruments in Chinese Mathematical Treatises». En Furinghetti, Fulvia; Karp, Alexander. Researching the History of Mathematics Education - An International Overview. Springer Publishing. ISBN 978-3-319-68293-8. https://www.springer.com/gp/book/9783319682938.

[1]