Ábaco Oriental/Técnicas Avanzadas/Método RADIX para Logaritmos y Antilogaritmos Decimales

Introducción

La resolución manual de ciertos problemas requiere el uso de logaritmos; por ejemplo, problemas de raíces o potencias complicadas, o de valor del dinero en el tiempo (TVM), etc. Con el ábaco, al igual que en el cálculo escrito, hay dos posibles enfoques para el uso de logaritmos:

• Importar los logaritmos desde una tabla o calculadora externa.
• Obtener los logaritmos directamente.

La primera opción es la práctica, la que ha sido utilizado durante siglos en el cálculo logarítmico, pero tiene el inconveniente de hacer que el trabajo con el ábaco resulte poco menos que trivial y poco atractivo para el abacista del siglo XXI.  Por otro lado, el más purista podría quejarse del uso de recursos externos a su ábaco.

La segunda opción, interesante en sí misma, representa una cantidad extraordinaria de trabajo; razón por la cual muchas personas en el pasado pasaron décadas de su vida construyendo tablas de logaritmos para simplificar el trabajo de otros. Solamente en las raras ocasiones en las que se requería mayor precisión de la que podían proporcionar las tablas de logaritmos disponibles, se procedía a la obtención directa de logaritmos de mayor precisión.

Afortunadamente, existe una tercera vía intermedia entre las dos anteriores: el método Radix, que permite obtener logaritmos y antilogaritmos de cualquier número utilizando una tabla de datos externos reducida y con una cantidad razonable de trabajo. Además, este método puede resultar atractivo para el abacista ya que pasará la mayor parte del tiempo practicando dos métodos especiales, a saber: multiplicación y división por números ligeramente mayores que uno, introducidos en los capítulos: Métodos Especiales de Multiplicación y Métodos Especiales de División. Justamente este método Radix era el mejor recurso para los casos indicados de necesitar mayor precisión que la ofrecida por las tablas disponibles.

A continuación, nos centraremos en la obtención de logaritmos y antilogaritmos decimales de 5 dígitos por este método. Se necesitará una pequeña tabla de datos que puede ser copiada o impresa en una tarjeta y guardada junto a su ábaco. No se desanime si la explicación es larga, el método tarda más en explicarse que en llevarse a la práctica; por ejemplo, obtener una raíz séptima sólo toma unos minutos (al menos en los días buenos). Empecemos.

Antes de empezar

Cualquier número real positivo $x$ se puede escribir (notación científica) en la forma: $x=x'\cdot 10^{k}$, donde $1\leq x'<10$ y $k$ es un número entero, por lo tanto su logaritmo se puede escribir: $\log _{10}x=k+\log _{10}x'$. Por ejemplo, para los números $7447$ y $0.007447$ tenemos:

$x$	$x'\cdot 10^{k}$	$\log _{10}x$
$7447$	$7.447\cdot 10^{3}$	$3+\log _{10}7.447$
$0.007447$	$7.447\cdot 10^{-3}$	$-3+\log _{10}7.447$

Por lo tanto, al igual que se hacía en las antiguas tablas de logaritmos, nos ocuparemos sólo de los números comprendidos entre $1$ y $10$.

El Método Radix

Fundamento

El método radix se basa en el conocimiento de un conjunto de números especiales o rádices para los que son conocidos sus logaritmos. El origen del término es la palabra latina para raíz: radix (plural: radices), ya que el primer conjunto de números especiales usados ​​por H. Briggs, padre de los logaritmos decimales, fue el de las raíces cuadradas sucesivas del número $10$ para las cuales los logaritmos decimales son triviales $\log _{10}{\sqrt[{n}]{10}}=1/n$:

La Tabla Radix original

Radix	r	$\log _{10}r$
${\sqrt[{1}]{10}}$	10	1
${\sqrt[{2}]{10}}$	3.16227766	0.5
${\sqrt[{4}]{10}}$	1.77827941	0.25
${\sqrt[{8}]{10}}$	1.333521432	0.125
${\sqrt[{16}]{10}}$	1.154781985	0.0625
etc.	...	...

El uso de esta tabla era el siguiente: supongamos que se pueda factorizar nuestro número $x'$ en la forma

$$x'=f_{1}\cdot f_{2}\cdot \cdots f_{n}$$

donde $f_{1},f_{2},\cdots f_{n}$ son algunos de los rádices de la tabla anterior, entonces:

$$\log _{10}x'=\log _{10}f_{1}+\log _{10}f_{2}+\cdots +\log _{10}f_{n}$$

y como los logaritmos de los rádices figuran en la tabla anterior el problema estaría resuelto. Pero esto no va a ser el caso general, lo que podemos esperar es poder escribir $x'$

como

$$x'=f_{1}\cdot f_{2}\cdot \cdots f_{n}\cdot R$$

donde $R$ es un factor residual, un último factor no incluido en la tabla y para el cual se desconoce su logaritmo. Pero si $R$ es un número muy cercano a $1$, entonces habremos aproximado $x'$ como un producto de nuestros números especiales

$$x'\approx f_{1}\cdot f_{2}\cdot \cdots f_{n}$$

y si $R$ es lo suficientemente cercano a la unidad, su logaritmo será lo suficientemente cercano a cero para poder ser despreciado con una precisión dada, teniéndose finalmente:

$$\log _{10}x'\approx \log _{10}f_{1}+\log _{10}f_{2}+\cdots +\log _{10}f_{n}$$

Este tipo de aproximación es posible porque la secuencia de rádices se acercan continuamente a la unidad mientras que sus respectivos logaritmos se acercan a cero. En un ejemplo que seguirá, veremos cómo es posible obtener la factorización de arriba con un sencillo proceso que puede ser seguido con cualquier número; pero antes de seguir, es preciso decir que la tabla Radix anterior, si bien tiene valor histórico ya que permitió a Briggs obtener los primeros logaritmos decimales, no es la más adecuada para el cálculo manual. Se atribuye a William Oughtred, inventor de la regla de cálculo, la introducción de otros rádices más convenientes que, limitados a cinco cifras, son los siguientes:

Nuevos rádices

1	1.1	1.01	1.001	1.0001	1.00001
2	1.2	1.02	1.002	1.0002	1.00002
3	1.3	1.03	1.003	1.0003	1.00003
4	1.4	1.04	1.004	1.0004	1.00004
5	1.5	1.05	1.005	1.0005	1.00005
6	1.6	1.06	1.006	1.0006	1.00006
7	1.7	1.07	1.007	1.0007	1.00007
8	1.8	1.08	1.008	1.0008	1.00008
9	1.9	1.09	1.009	1.0009	1.00009

que requirieron el laborioso cálculo de sus logaritmos decimales (limitados aquí a cinco cifras):

Tabla RADIX de cinco dígitos

		0	1	2	3	4
1	0.00000	0.04139	0.00432	0.00043	0.00004	0.00000
2	0.30103	0.07918	0.00860	0.00087	0.00009	0.00001
3	0.47712	0.11394	0.01284	0.00130	0.00013	0.00001
4	0.60206	0.14613	0.01703	0.00173	0.00017	0.00002
5	0.69897	0.17609	0.02119	0.00217	0.00022	0.00002
6	0.77815	0.20412	0.02531	0.00260	0.00026	0.00003
7	0.84510	0.23045	0.02938	0.00303	0.00030	0.00003
8	0.90309	0.25527	0.03342	0.00346	0.00035	0.00003
9	0.95424	0.27875	0.03743	0.00389	0.00039	0.00004

que, después de multiplicar por 100 000, se pueden expresar en una forma más compacta como:

Tabla RADIX (condensada)

		0	1	2	3	4
1	0	4139	432	43	4	0
2	30103	7918	860	87	9	1
3	47712	11394	1284	130	13	1
4	60206	14613	1703	173	17	2
5	69897	17609	2119	217	22	2
6	77815	20412	2531	260	26	3
7	84510	23045	2938	303	30	3
8	90309	25527	3342	346	35	3
9	95424	27875	3743	389	39	4

tabla que podríamos imprimir o copiar en una tarjeta para usarla junto con nuestro ábaco (La fila superior en las dos últimas tablas expresa el número de ceros tras el punto decimal en los rádices mientras que la primera columna contiene el dígito que las caracteriza). Aquí, de nuevo, la secuencia de rádices o números especiales, leídos por columnas de abajo hacia arriba y de izquierda a derecha, se aproxima continuamente a $1$ mientras que la secuencia de sus respectivos logaritmos se acerca a $0$.

Tomemos $x'=7.447$ como ejemplo, este número se puede escribir:  

$$7.447=7\cdot 1.06\cdot 1.003\cdot 1.0006\cdot 1.00003\cdot 1.000006881$$

como puede verificarse con cualquier calculadora. El logaritmo decimal del último factor es

$$\log _{10}1,000006881\cdots \approx 0.000002988\cdots <5\cdot 10^{-6}$$

de modo que, si cinco cifras son suficiente precisión para nosotros, podremos despreciar dicho factor teniéndose:

$$\log _{10}7.447\approx \log _{10}7+\log _{10}1.06+\log _{10}1.003+\log _{10}1.0006+\log _{10}1.00003$$

Si tomamos de la tabla Radix los logaritmos de cada uno de estos factores y los sumamos:

$r$	$\log _{10}$
7	84510
1.06	2531
1.003	130
1.0006	26
1.00003	1
Suma:	87198

tendremos:

$$\log _{10}7.447\approx 0.87198$$

que podemos comparar a $\log _{10}7.447=0.8719813538433693567562170315301823\cdots$ y comprobar que hemos conseguido cinco cifras de precisión.

A continuación veremos cómo obtener la factorización de cualquier número.

Método

Obtención de logaritmos

La factorización anterior del número cuyo logaritmo buscamos se obtiene por división repetida. Por ejemplo, dado $x'=7.447$, como primer paso lo dividiremos por sí mismo truncado a un dígito, es decir, por $7$

$$7.447/7=1.063857143\cdots$$

o

$$7.477\approx 7\cdot 1.063857143$$

Ahora, como segundo paso,se debe dividir el cociente anterior $1.063857143$ por sí mismo truncado a dos dígitos, pero como este número es 1,0 no hay nada que hacer y pasamos a la tercera etapa dividiendo por el cociente truncado a tres dígitos, es decir, por $1.06$

$$1.063857143/1.06=1.003638814\cdots$$

es decir:

$$7.447\approx 7\cdot 1,06\cdot 1.003638814$$

para el cuarto paso continuamos con la división del cociente anterior $1.003638814$ por sí mismo, ahora truncado a cuatro dígitos

$$1.003638814/1.003=1.000636903\cdots$$

es decir

$$7,447\approx 7\cdot 1,06\cdot 1,003\cdot 1,000636903$$

en el quinto paso, dividimos $1,000636903$ por sí mismo truncado a cinco dígitos:

$$1.000636903/1.0006=1.000036881\cdots$$

$$7.447\approx 7\cdot 1.06\cdot 1.003\cdot 1.0006\cdot 1.000036881$$

y finalmente, un último y sexto paso

$$1.000036881/1.00003=1.000006881\cdots$$

$$7.447\approx 7\cdot 1.06\cdot 1.003\cdot 1.0006\cdot 1.00003\cdot 1.000006881$$

y terminamos aquí. Ahora solo tenemos que recolectar los logaritmos de los factores de la tabla Radix y sumarlos para obtener el logaritmo requerido.

$$\log _{10}7.447\approx 0.87198$$

Nota:

La larga secuencia de divisiones necesaria para factorizar un número se ve notablemente agilizada y facilitada en el ábaco por el método del divisor ligeramente mayor que la unidad.

Uso de los logaritmos

Usualmente, nos interesamos en el logaritmo de un número para hacer algo práctico con él; aquí, para seguir con el ejemplo, vamos a usarlo para encontrar la raíz séptima de $7447=7.447\cdot 10^{3}$.

$$\log _{10}7447=3+\log _{10}7.447=3+0.87198=3.87198$$

$$\log _{10}({\sqrt[{7}]{7447}})=(\log _{10}7447)/7=3.87198/7=0.55314$$

quedando ahora el problema de encontrar el correspondiente antilogaritmo para conocer la raíz buscada.

Obtención de antilogaritmos

Continuando con el ejemplo, necesitamos obtener ahora el antilogaritmo del último número. Para ello, tenemos que descomponer el número $0.55314$ como la suma de los logaritmos de algunos de los factores o números especiales de la tabla Radix. Primero vemos que el mayor logaritmo que podemos restar sin obtener un resultado negativo es $0.47712$ (que corresponde al factor $3$), con lo cual obtenemos $0.07602$ como diferencia. De esta última cantidad, a su vez, podemos restar $0.04139$ (correspondiente al factor $1.1$) quedando $0.03463$, y así sucesivamente, como se ilustra en la siguiente tabla:

Log	Restar	Factor
0.55314	0.47712	3
0.07602	0.04139	1.1
0.03463	0.03342	1.08
0.00121	0.00087	1.002
0.00034	0.00030	1.0007
0.00004	0.00004	1.00009

Lo que nos permite escribir:

$$\log _{10}\left({\sqrt[{7}]{7447}}\right)\approx \log _{10}3+\log _{10}1.1+\log _{10}1.08+\log _{10}1.002+\log _{10}1.0007+\log _{10}1.00009$$

o, lo que es lo mismo,

$${\sqrt[{7}]{7447}}\approx 3\cdot 1.1\cdot 1.08\cdot 1.002\cdot 1.0007\cdot 1.00009$$

que, una vez hechas las multiplicaciones, nos conduce al valor:

$${\sqrt[{7}]{7447}}\approx 3.573949416$$

que podemos comparar con el valor de la raíz séptima ${\sqrt[{7}]{7447}}=3.5738818\cdots$, resultando ser correcto en 4 o 5 dígitos.

El método Radix sobre con el ábaco

Obtención de logaritmos

Para realizar el procedimiento anterior sobre el ábaco, cada uno podrá utilizar diferentes métodos de división, disposición de operaciones, tipo de ábaco, etc. dependiendo de sus gustos personales. La forma de organizar las operaciones que se presenta a continuación es muy compacta pero no necesariamente tiene por qué ser la mejor para todos. Como se verá, un ábaco de 15 columnas es suficiente para hacer estos cálculos y quizás también uno de sólo 13. La primera división será normal y puede hacerse por el método moderno o el tradicional, las restantes deberán hacerse utilizando el método del divisor ligeramente mayor que la unidad por su simplicidad y rapidez.

Logaritmo de 7.447 método Radix, 1ª división: tradicional

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
7447	Anote 7 en A
7    1063857143	División normal por 7, anote 6 en C
706  1003638814	División especial por 1.06, anote 3 en D
7063 1000636903	División especial por 1.0006, anote 6 en E
706361000036881	Siguiente divisor es 1.00003...
70636	... simplemente borre el resto F-0
706363	y anote 3 en F como último dígito

El proceso es idéntico empezando con la división moderna, sólo que habría empezar una columna más a la derecha.

Logaritmo de 7.447 método Radix, 1ª división: moderna

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
7447	Anote 7 en A
7    1063857143	División normal por 7, anote 6 en C
706  1003638814	División especial por 1.06, anote 3 en D
7063 1000636903	División especial por 1.0006, anote 6 en E
706361000036881	Siguiente divisor es 1.00003...
70636	... simplemente borre el resto F-0
706363	y anote 3 en F

En el lado izquierdo del ábaco, de A a F se han formado las cifras $706363$, que podemos leer como el número decimal $7.06363$, pero por supuesto no es un número en absoluto, es solo una escritura condensada o mnemotécnica conveniente para la expresión:

$$7\cdot 1.06\cdot 1.003\cdot 1.0006\cdot 1.00003$$

Nota:

Si llamamos $A=7.447$ entonces $A^{f}=7.06363$ (la ${}^{f}$ significa factorizado) se ha obtenido de $A$ mediante el proceso anterior de factorización, pero $A$ a su vez puede obtenerse (aproximadamente) de $A^{f}$ en la forma que veremos al tratar del antilogaritmo, por lo que existe cierta correspondencia entre los dos términos que podemos representar como:

$$A\leftrightarrow A^{f}$$

En el Apéndice A, encontrará una tabla de pares de tales números $A-A^{f}$que le ayudarán a practicar este proceso de factorización y su inversión.

Continuamos reuniendo los logaritmos de los factores de la tabla Radix y los sumamos en las columnas JKLMNO

Recolectando logaritmos de los factores

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
706363
+84510	Logaritmo de 7
+2531	Logaritmo de 1.06
+130	Logaritmo de 1.003
+26	Logaritmo de 1.0006
+1	Logaritmo de 1.00003
706363    87198	Logaritmo de 7.447
+        +	Columnas unidad

Ahora podemos borrar 87198 de A-F. Finalmente, tenemos que:

$$\log _{10}7.447\approx 0.87198$$

Nota:

En ocasiones resultará que la segunda división, la primera especial, no será fácil o realizable usando el método especial debido a que el divisor no es suficientemente cercano a uno; por ejemplo, para el número $2.6$, si dividimos por $2$ nos resulta $1.3$. En lugar de hacer una segunda división normal, puede intentar este camino:

• Haga la primera división del número por sí mismo truncado a una cifra más uno y multiplique el resultado por $10$, en el ejemplo $10\cdot (2.6/3)=8.66666666$. Este resultado ya es tratable al ser $8.66666666/8=1.0833\cdots$
• Obtenga el logaritmo del nuevo número $\log _{10}8.66666666=0.93785$
• Obtenga el logaritmo del número original como $\log _{10}2.6=\log _{10}3+\log _{10}8.66666666-1=0.41497$

Uso de los logaritmos

Si ahora seguimos con el ejemplo de cálculo de la raíz séptima de 7447, dado que

$$\log _{10}7447=3+log_{10}7.447$$

Añadimos 3 al resultado anterior y lo dividimos por 7

Caption text

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
87198	Logaritmo de 7.447
+3	Logaritmo de 1000
387198	Logaritmo de 7447
.	Columna unidad
7        387198	Ponga el divisor 7 en algún lugar si lo desea
/7	Divida J-O por 7 para obtener:
7        55314	Logaritmo de la raíz séptima de 7447
.       .	Columna unidad

entonces tenemos

$$\log _{10}\left({\sqrt[{7}]{7447}}\right)=(\log _{10}7447)/7=3.87198/7=0.55314$$

en JKLMN.

Obtención de antilogaritmos

Para obtener el antilogaritmo de la cantidad anterior, seguimos el proceso inverso al de calcular logaritmos. En cada etapa restamos el mayor logaritmo presente en la tabla Radix que sea menor que el valor que queda en el ábaco e ingresamos un mnemónico del factor correspondiente.

Buscando factores

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
7        55314	logaritmo de la raíz séptima de 7447
55314	Borrar A
.	Unit rod
-47712	Restar logaritmo de 3
3         7602	Anotar 3 en A
-4139	Restar logaritmo de 1.1
31        3463	Anotar 1 en B
-3342	Restar logaritmo de 1.08
318        121	Anotar 8 en C
-87	Restar logaritmo de 1.002
3182        34	Anotar 2 en D
-30	Restar logaritmo de 1.0007
31827        4	Anotar 7 en E
-4	Restar logaritmo de 1.00009
318279	Anotar 9 en F

De modo que hemos recogido $318279$ (o $3.18279$) en A-F como abreviatura o recordatorio de:

$$3\cdot 1.1\cdot 1.08\cdot 1.002\cdot 1.0007\cdot 1.00009$$

Es decir, del último cálculo que nos resta por hacer:

Caption text

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
318279 3	Copiar A a H
+      +	Varillas unidad
318279 33	Tras multiplicación especial por 1.1
318279 3564	Tras multiplicación especial por 1.08
318279 3571128	Tras multiplicación especial por 1.002
318279 35736278	Tras multiplicación especial por 1.0007
318279 35739494	Tras multiplicación especial por 1.00009
318279 35739	Redondeo a 5 cifras. Fin.
+	Varilla unidad del resultado

Finalmente, tenemos

$${\sqrt[{7}]{7447}}=3.5739$$

Comparar con

$${\sqrt[{7}]{7447}}=3,5738818\cdots$$

Otras lecturas

• Flower, Robert (1771). The Radix. A New Way of Making Logarithms... in five problems. Londres: J. Beecroft. https://books.google.es/books/about/The_Radix_A_New_Way_of_Making_Logarithms.html?id=mYpaAAAAcAAJ&redir_esc=y. 
• Lupton, Sydney (Jul 1913). «Notes on the Radix Method of Calculating Logarithms» (en Ingles). The Mathematical Gazette 7 (106):  p. 147-150. doi:10.2307/3605088. https://www.jstor.org/stable/3605088. 
• Roegel, Denis (2011). «A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica logarithmica (1624).». LOCOMAT project. Archivado desde el original, el 29 de Julio de 2021.
• Laporte, Jacques (2014). «The Radix Method». Jacques Laporte's Home on the Web. Archivado desde el original, el 2 de Octubre de 2016.

Apéndice A

Pares $A\leftrightarrow A^{f}$

$A$	$A^{f}$	$A$	$A^{f}$	$A$	$A^{f}$	$A$	$A^{f}$	$A$	$A^{f}$
4.17189	4.04285	2.29060	2.14113	1.04659	1.04633	1.36943	1.35324	7.86385	7.12125
4.67685	4.16275	5.16372	5.03266	5.79831	5.15403	7.04412	7.00630	2.43038	2.21263
9.60365	9.06666	3.40265	3.13107	1.06830	1.06781	1.59324	1.56203	5.05585	5.01115
4.09355	4.02331	2.80847	2.40302	7.03101	7.00442	4.06989	4.01739	1.84582	1.82534
8.90113	8.11147	2.88304	2.42946	2.83821	2.41361	1.84988	1.82755	2.93607	2.44826
4.74550	4.17795	1.09832	1.09763	2.38007	2.18171	6.19995	6.03322	6.57473	6.09531
3.61705	3.20473	2.27024	2.13187	2.23942	2.11783	9.83595	9.09264	1.05463	1.05441
1.34184	1.33212	9.93629	9.10366	8.03035	8.00379	2.35336	2.16915	1.28182	1.26771
9.06939	9.00770	2.05286	2.02630	2.26568	2.12965	6.84595	6.13705	1.77715	1.74517
3.45179	3.14576	3.27494	3.09151	1.24866	1.24053	3.85600	3.27103	1.28472	1.27056
5.39677	5.07873	9.18344	9.02037	5.79272	5.15306	4. 36.599	4.09137	4.49722	4.12205
7.02972	7.00424	1.22332	1.21933	2.51469	2.24748	4.34138	4.08494	3.88231	3.27786
1.42789	1.41981	3.15237	3.05075	4.91375	4.22362	1.18935	1.18113	1.19216	1.18350
1.67375	1.64585	8.29751	8.03697	8.52988	8.06587	4.09687	4.02413	3.31497	3.10453
2.90368	2.43681	6.30653	6.05103	1.35283	1.34061	1.56770	1.54493	6.08271	6.01374
6.49005	6.08155	7.43773	7.06238	3.29883	3.09881	1.69325	1.65788	8.62439	8.07751
2.96800	2.46000	9.19384	9.02151	2.63768	2.31444	6.17543	6.02905	1.16747	1.16126
2.69545	2.33651	4.41406	4.10319	1.99068	1.94742	3.23954	3.07920	3.45985	3.14811
2.10857	2.05407	1.41602	1.41142	4.41893	4.10430	2.83271	2.41166	1.47162	1.45110
5.71552	5.13891	2.89104	2.43243	4.23742	4.05890	1.09177	1.09162	4.51555	4.12613
1.25023	1.24178	1.63053	1.61898	2.35108	2.16818	4.46367	4.11442	2.41599	2.20665
2.69042	2.33463	1.02298	1.02291	9.20120	9.02231	6.17930	6.02968	7.00842	7.00120
7.81141	7.11442	5.76492	5.14784	1.03009	1.03008	3.46349	3.14917	7.26571	7.03772
2.41321	2. 20.550	6.15088	6.02504	1.37315	1.35596	1.70173	1.70101	3.04836	3.01606
1.35950	1.34554	2.52705	2.25279	1.29474	1.27836	2.73273	2.35100	3.51611	3.16517
7.65032	7.09266	6.22593	6.03742	1.14929	1.14462	6.13905	6.02311	4.27147	4.06741
5.88506	5.17001	6.80772	6.13142	1.00799	1.00798	2.10955	2.05454	1.54209	1.52789
1.84159	1.82304	5.85712	5.16464	1.58256	1.55479	8.76653	8.09533	1.13953	1.13575
3.25911	3.08589	3.47696	3.15344	8.82462	8.10279	6.91399	6.14728	4.52649	4.12857
1.86741	1.83723	1.19165	1.18307	3.50688	3.16253	3.02441	3.00813	3.13302	3.04417
3.64380	3.21214	1.74269	1.72501	8.24788	8.03095	3.21964	3.07300	2.99542	2.46923
1.27878	1.26532	6.95433	6.15351	3.42022	3.13624	3.20609	3.06820	2.12522	2.06246
9.42543	9.04698	2.82294	2.40819	7.08805	7.01255	9.05484	9.00609	1.57501	1.55001
1.31738	1.31333	7.90844	7.12692	5.96431	5.18409	5.56086	5.11105	8.63572	8.07883
3.72464	3.23448	1.96017	1.93162	1.27999	1.26627	1.18029	1.17279	2.64196	2.31607
3.20983	3.06937	1.05217	1.05206	2.15875	2.07875	2. 07.870	2.03907	5.32279	5.06429
2.10760	2.05361	1.12346	1.12129	9.79080	9.08728	1.09649	1.09595	1.20539	1.20449
8.65334	8.08154	4.87294	4.21514	4.66657	4.16055	1.28452	1.27040	4.73984	4.17675
1.06697	1.06657	7.81288	7.11461	2.03967	2.01973	2.12189	2.06088	2.36093	2.17294
1.15697	1.15170	4.72064	4.17268	6.62132	6.10322	6.14115	6.02345	2.04996	2.02488
1.96287	1.93299	5.92080	5.17608	8.68776	8.08552	2.35985	2.17248	3.57533	3.18317
3.41811	3.13561	1.25009	1.24167	4.48268	4.11869	4.27201	4.06754	6.20615	6.03423
1.25262	1.24369	1.55821	1.53854	1.40506	1.40361	2.20712	2.10323	8.73994	8.09228
5.34800	5.06905	4.01149	4.00287	2.58202	2.27545	3.17669	3.05847	3.22276	3.07397
5.05718	5.01142	1.32853	1.32191	1.99776	1.95138	6.55713	6.09261	1.49243	1.46568

Apéndice B

La siguiente tabla, incluida a título de curiosidad, es una recreación con la computadora de la tabla Radix que figura en la última página de las Tablas de logaritmos de 7 cifras de Ludwig Schrön, publicada por Librería General De Victoriano Suárez en 1953. Esta tabla permitía obtener logaritmos y antilogaritmos de números con hasta 11 dígitos por el método explicado en este capítulo.

Tabla Radix para 10 dígitos

	1	0.00000	00000	00000	000			1	0.00000	04342	94264	756
	2	0.30102	99956	63981	194			2	0.00000	08685	88095	218
	3	0.47712	12547	19662	436			3	0.00000	13028	81491	388
	4	0.60205	99913	27962	389			4	0.00000	17371	74453	266
-	5	0.69897	00043	36018	803		5	5	0.00000	21714	66980	853
	6	0.77815	12503	83643	630			6	0.00000	26057	59074	149
	7	0.84509	80400	14256	829			7	0.00000	30400	50733	157
	8	0.90308	99869	91943	584			8	0.00000	34743	41957	876
	9	0.95424	25094	39324	872			9	0.00000	39086	32748	307
	1	0.04139	26851	58225	040			1	0.00000	00434	29446	018
	2	0.07918	12460	47624	827			2	0.00000	00868	58887	694
	3	0.11394	33523	06836	769			3	0.00000	01302	88325	027
	4	0.14612	80356	78238	025			4	0.00000	01737	17758	017
0	5	0.17609	12590	55681	241		6	5	0.00000	02171	47186	664
	6	0.20411	99826	55924	780			6	0.00000	02605	76610	968
	7	0.23044	89213	78273	928			7	0.00000	03040	06030	930
	8	0.25527	25051	03306	069			8	0.00000	03474	35446	548
	9	0.27875	36009	52828	960			9	0.00000	03908	64857	823
	1	0.00432	13737	82642	573			1	0.00000	00043	42944	797
	2	0.00860	01717	61917	561			2	0.00000	00086	85889	551
	3	0.01283	72247	05172	204			3	0.00000	00130	28834	261
	4	0.01703	33392	98780	354			4	0.00000	00173	71778	928
1	5	0.02118	92990	69938	072		7	5	0.00000	00217	14723	552
	6	0.02530	58652	64770	240			6	0.00000	00260	57668	132
	7	0.02938	37776	85209	640			7	0.00000	00304	00612	669
	8	0.03342	37554	86949	701			8	0.00000	00347	43557	162
	9	0.03742	64979	40623	634			9	0.00000	00390	86501	612
	1	0.00043	40774	79318	640			1	0.00000	00004	34294	481
	2	0.00086	77215	31226	912			2.	0.00000	00008	68588	962
	3	0.00130	09330	20418	118			3	0.00000	00013	02883	443
	4	0.00173	37128	09000	529			4	0.00000	00017	37177	924
2	5	0.00216	60617	56507	675		8	5	0.00000	00021	71472	403
	6	0.00259	79807	19908	591			6.	0.00000	00026	05766	883
	7	0.00302	94705	53618	007			7	0.00000	00030	40061	362
	8	0.00346	05321	09506	485			8	0.00000	00034	74355	841
	9	0.00389	11662	36910	521			9	0.00000	00039	08650	319
	1	0.00004	34272	76862	669			1	0.00000	00000	43429	447
	2	0.00008	68502	11648	956			2	0.00000	00000	86858	895
	3	0.00013	02688	05227	060			3	0.00000	00001	30288	344
	4	0.00017	36830	58464	918			4	0.00000	00001	73717	792
3	5	0.00021	70929	72230	207		9	5	0.00000	00002	17147	240
	6	0.00026	04985	47390	346			6	0.00000	00002	60576	688
	7	0.00030	38997	84812	491			7	0.00000	00003	04006	136
	8	0.00034	72966	85363	540			8	0.00000	00003	47435	585
	9	0.00039	06892	49910	131			9	0.00000	00003	90865	033
	1	0.00000	43429	23104	453
	2	0.00000	86858	02780	326
	3	0.00001	30286	39028	488
	4	0.00001	73714	31849	808
4	5	0.00002	17141	81245	155
	6	0.00002	60568	87215	395
	7	0.00003	03995	49761	398
	8	0.00003	47421	68884	033
	9	0.00003	90847	44584	167

---

Ábaco Oriental▶[+6] Índice, Introducción, Página de edición, Enlaces, Texto completo

La humanidad ha utilizado ábacos, de un tipo u otro, desde los albores de la civilización para satisfacer sus necesidades de cálculo y contabilidad. La versión moderna del ábaco oriental, originario de China, todavía se utiliza hoy en día en todo el mundo para ayudar a los niños a mejorar su comprensión y habilidades numéricas. La Aritmética con Cuentas (珠算; léase zhūsuàn en chino, shuzan en japonés), o arte del uso del ábaco oriental, ha sido inscrito en 2013 en la Lista Representativa del Patrimonio Cultural Inmaterial de la Humanidad de la UNESCO.▶

• Bibliografía
• Bibliografía/Artículos en la Web
• Bibliografía/Libros Chinos Antiguos
• Bibliografía/Libros Japoneses Antiguos
• Bibliografía/Libros Modernos
• Bibliografía/Publicaciones en Revistas o Capítulos de Libros
• Bibliografía/Tesis doctorales
• Bibliografía/Texto completo
• Conceptos Básicos
• Conceptos Básicos/Primer Plano del Ábaco Oriental
• Conceptos Básicos/Texto completo
• Conceptos Básicos/Ábacos en General
• Desarrollo
• Enlaces
• Info
• Introducción
• Métodos Tradicionales
• Métodos Tradicionales/Aprendiendo la Tabla de División
• Métodos Tradicionales/Cómo Tratar con el Desbordamiento
• Métodos Tradicionales/Division Moderna y Tradicional; Parientes Próximos
• Métodos Tradicionales/División por Potencias de 2
• Métodos Tradicionales/Ejemplos de División Tradicional
• Métodos Tradicionales/Guía a la División Tradicional
• Métodos Tradicionales/Introducción a los Métodos Tradicionales
• Métodos Tradicionales/Multiplicación Tradicional
• Métodos Tradicionales/Particularidades Tradicionales de la Adición y la Sustracción
• Métodos Tradicionales/Raíces
• Métodos Tradicionales/Raíces Cuadradas
• Métodos Tradicionales/Raíces Cúbicas
• Métodos Tradicionales/Sinopsis de la División Tradicional
• Métodos Tradicionales/Tablas de División Específicas
• Métodos Tradicionales/Texto completo
• Métodos Tradicionales/Uso de la 5ª Cuenta Inferior
• Métodos Tradicionales/Variantes del Ejercicio 123456789
• Métodos del Ábaco Moderno
• Métodos del Ábaco Moderno/Adición y Sustracción
• Métodos del Ábaco Moderno/División Moderna
• Métodos del Ábaco Moderno/Multiplicación Moderna
• Métodos del Ábaco Moderno/Texto completo
• Página de edición
• Texto completo
• Técnicas Avanzadas
• Técnicas Avanzadas/Fases Lunares y Mareas Oceánicas
• Técnicas Avanzadas/Método RADIX para Logaritmos y Antilogaritmos Decimales
• Técnicas Avanzadas/Método de Newton para Raíces Cuadradas, Cúbicas y Quintas
• Técnicas Avanzadas/Métodos Especiales de División
• Técnicas Avanzadas/Métodos Especiales de Multiplicación
• Técnicas Avanzadas/Números Negativos
• Técnicas Avanzadas/Operaciones Abreviadas
• Técnicas Avanzadas/Texto completo
• Índice

{{Ábaco Oriental}}/◇