Ábaco Oriental/Métodos Tradicionales/Raíces Cuadradas

Teoría

Sea $x$ el número del que queremos obtener la raíz cuadrada ${\textstyle y={\sqrt {x}}}$; Consideremos su expansión decimal, por ejemplo: ${\textstyle x=456.7890123}$ y separemos sus dígitos en grupos de dos alrededor del punto decimal de la siguiente manera

$$x=456.7890123=4\cdot 56.78\cdot 90\cdot 12\cdot 30\cdot 00\cdot 00\cdots$$

o, en otras palabras, definamos la secuencia de números enteros $\alpha _{i}$:

$$\alpha _{1}=4,\alpha _{2}=56,\alpha _{3}=78,\alpha _{4}=90,\alpha _{5}=12,\alpha _{6}=30,\alpha _{7}=00,\cdots$$

y construyamos la secuencia ${\textstyle x_{i}}$ recursivamente desde ${\textstyle x_{0}=0}$

$$x_{i}=100x_{i-1}+\alpha _{i}$$

y sea $y_{i}$ la parte entera de la raíz cuadrada de $x_{i}$

$$y_{i}=\lfloor {\sqrt {x}}_{i}\rfloor$$

es decir, $y_{i}$ es el entero más grande cuyo cuadrado no es mayor que $x_{i}$. Finalmente, llamemos restos a las diferencias.

$$r_{i}=x_{i}-y_{i}^{2}\geq 0$$

Para nuestro ejemplo tenemos:

$i$	$\alpha _{i}$	$x_{i}$	$y_{i}$	$r_{i}$
0		0	0	0
1	4	4	2	0
2	56	456	21	15
3	78	45678	213	309
4	90	4567890	2137	1121
5	12	456789012	21372	26628
etc.

Vemos que, por construcción, $x_{i}$ crece como $10^{2i}$ (dos dígitos más en cada paso), de hecho, la secuencia $x_{i}\cdot 10^{4-2i}$; es decir: (0, 400, 456, 456.78, 456.7890, etc.) tiende a $x$ ${\textstyle \left(x_{i}\cdot 10^{4-2i}\rightarrow x\right)}$ o ${\textstyle x=\left(\lim _{i\to \infty }x_{i}\cdot 10^{4-2i}\right)}$. Por comparación, $y_{i}$, como la parte entera de la raíz cuadrada de $x_{i}$, crece sólo como $10^{i}$ (un dígito más en cada paso). Como $y_{i}$ es el entero más grande cuyo cuadrado no es mayor que $x_{i}$ tenemos $r_{i}=x_{i}-y_{i}^{2}\geq 0$ como arriba pero

$$x_{i}-(y_{i}+1)^{2}=x_{i}-y_{i}^{2}-2y_{i}-1<0$$

por definición de $y_{i}$, o

$$r_{i}=x_{i}-y_{i}^{2}<2y_{1}+1$$

Multiplicando por $10^{4-2i}$ tenemos:

$$x_{i}\cdot 10^{4-2i}-(y_{i}\cdot 10^{2-i})^{2}<(2y_{i}+1)\cdot 10^{4-2i}$$

pero como $y_{i}$ crece sólo como $10^{i}$, el segundo término tiende a cero como $10^{-i}$. Con lo cual

$$x_{i}\cdot 10^{4-2i}-(y_{i}\cdot 10^{2-i})^{2}\rightarrow 0$$

y $x_{i}\cdot 10^{4-2i}\rightarrow x$ con lo que tenemos:

$$y_{i}\cdot 10^{2-i}\rightarrow y={\sqrt {x}}$$

Para otros números, los factores anteriores son: $10^{2k-2i}$ y $10^{ki}$, donde $k$ es el número de grupos de dos dígitos a la izquierda del punto decimal, negativo si el punto decimal precede grupos nulos antes de encontrar el primer grupo no nulo (por ejemplo, $k=-1$ para $x=0.00456$, $k=-2$ para $x=0.00000456$, etc.).

Ésta es la base de los métodos manuales tradicionales de obtener raíces cuadradas; sea con papel y lápiz o con ábaco.

Procedimiento

Comenzamos con $i=0$, $x_{0}=0$, $y_{0}=0$, $r_{0}=0$.

Primer dígito

Tabla de cuadrados

$b$	$b^{2}$
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49
8	64
9	81

Para $i=1$ y $x_{1}=\alpha _{1}$, es trivial encontrar $y_{1}$ tal que su cuadrado no exceda $x_{1}$ mediante el uso de la tabla de cuadrados de la derecha que ya tenemos memorizada, dado que es solo un subconjunto de la tabla de multiplicar. En el caso del ejemplo, encontramos $y_{1}=2$.

Dígitos siguientes

Para $i>1$, tenemos $x_{i}=100x_{i-1}+\alpha _{i}$, como definimos arriba, y tratamos de construir $y_{i}$ en la forma:

$$y_{i}=10y_{i-1}+b$$

donde $b$ es un entero de un dígito de 0 a 9. Para obtenerlo, tenemos que elegir el mayor entero de 0 a 9 tal que:

$$x_{i}-y_{i}^{2}=x_{i}-(10y_{i-1}+b)^{2}\leq 0$$

o

$$x_{i}-(a+b)^{2}\leq 0$$

si escribimos: $a=10y_{i-1}$. Desarrollando el binomio anterior tendremos:

$$x_{i}-a^{2}-2ab-b^{2}=100x_{i-1}+\alpha _{i}-(10y_{i-1})^{2}-2ab-b^{2}\leq 0$$

o lo que es lo mismo

$$100r_{i-1}+\alpha _{i}\geq 2ab+b^{2}=(2a+b)b=(20y_{i-1}+b)b$$

El lado izquierdo de la expresión anterior puede verse simplemente como el resto anterior con el siguiente grupo de dos dígitos agregado a su derecha, y el paréntesis del último término como el doble de la raíz anterior con el dígito b agregado a su derecha. En nuestro ejemplo, para $i=2$ tenemos 56 a la izquierda y la expresión anterior es

$$56\geq (40+b)b$$

lo cual sólo es cierto para $b=0$ o $b=1$ por lo tanto, 1 es la siguiente cifra de nuestra raíz, pero ¿Cómo podemos proceder en el caso general sin tener que explorar sistemáticamente todas las posibilidades ($b=0,1,\cdots ,9$)?

Aquí Knott distingue dos enfoques diferentes:

• Preparar el divisor
• Preparar el dividendo

que exploramos a continuación.

Preparar el divisor

Esto se corresponde con la expresión anterior:

$$100r_{i-1}+\alpha _{i}\geq (20y_{i-1}+b)b$$

y es la estrategia que se suele utilizar con papel y lápiz y también se puede implementar, por supuesto, sobre el ábaco. En la expresión anterior, si vemos la parte izquierda como dividendo y la expresión entre paréntesis de la derecha como divisor, $b$ es el primer dígito de la división:

$$b=(100r_{i-1}+\alpha _{i})/(20y_{i-1}+b)$$

pero como aún no conocemos $b$, aproximamos la división usando sólo la parte principal del divisor

$$b=(100r_{i-1}+\alpha _{i})/(20y_{i-1})$$

lo cual nos da una pista de cuál podría ser el valor de $b$, pero necesitamos:

1. Verificar que el valor así obtenido sea correcto o, en su caso, corregirlo al alza o a la baja según sea necesario.
2. Obtener el nuevo resto para preparar el cálculo del siguiente dígito de la raíz.

Ambos pasos requieren restar $(20y_{i-1}+b)b$; es decir, $20y_{i-1}b$ y $b^{2}$, de $100r_{i-1}+\alpha _{i}$; comprobando que el resultado no es negativo y es menor que $2y_{i}+1$ (de lo contrario, tendríamos que revisar $b$ al alza o a la baja). Tras sustraer estas dos cantidades en las condiciones indicadas, lo que nos queda es el nuevo resto $r_{i}$. Cabe señalar que, a medida que avanzamos en los cálculos ($i$ aumentando) $b$ es una contribución cada vez más pequeña al divisor $(20y_{i-1}+b)$; por lo que el proceso indicado arriba se parecerá cada vez más a una mera división.

Este es el método propuesto por Takashi Kojima en su segundo libro: Advanced Abacus - Theory and Practice, y que puede ver descrito en Square roots as solved by Kojima en la web de Totton heffelfinger, Obras a las que remito al lector para explicaciones y ejemplos prácticos. Veamos aquí cómo se podría iniciar el cálculo en nuestro ejemplo: $x=456.7890123$

Ábaco neperiano dispuesto para ayudar con el tercer dígito de la raíz del ejemplo

Preparando el divisor; primeros tres dígitos de ${\sqrt {456.7890123}}$;

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
4567890123	El radicando empieza en CD (primer grupo)
2	Primer dígito de la raíz en B
-4	Restar el cuadrado de B del primer grupo
2  567890123	Resto nulo
4  567890123	Doblar B. Agregar el siguiente grupo (56) al resto
41 567890123	5/4≈1, probar 1 como siguiente dígito de la raíz
-4	Continuar la división por 41, restar 1✕41 de EF
-1
41 157890123	15 nuevo resto
42 157890123	Doblar el segundo dígito de la raíz
42 157890123	Unir el siguiente grupo (78) al resto
423157890123	157/42≈3, probar 3 como siguiente dígito de la raíz
-12	Continuar la división por 423, restar 3✕423 de E-H
-06
-09
423 30990123	309 nuevo resto
426 30990123	Doblar el tercer dígito de la raíz
426 30990123	Añadir el siguiente grupo (90) al resto
etc.

Como puede verse, el doble de la raíz va apareciendo a la izquierda del ábaco en sustitución del radicando/resto y los grupos de dos dígitos sin usar. Esto es contrario a lo que ocurre con el resto de operaciones elementales sobre el ábaco, donde el resultado buscado —no su doble— reemplaza al operando (o a uno de ellos). Esto puede haber sido una razón para que el método tradicionalmente preferido para obtener raíces cuadradas haya sido el de preparar el dividendo, donde veremos que la raíz aparece directamente sobre el ábaco y no su doble; pero en realidad existe otro motivo, de índole práctica, mucho más poderoso y que comentaremos más abajo, en la Conclusión de este capítulo.

Cabe mencionar aquí que el ábaco neperiano contaba con una tablilla especial rotulada N² para ayudar en el cálculo escrito de raíces cuadradas. En la figura de la derecha podemos ver el ábaco configurado para obtener la tercera cifra de la raíz del ejemplo, donde las varillas 4 y 2 representan el doble de la raíz obtenida previamente. Podemos ver que para N = 3, la cantidad a sustraer del resto es 1269 que "cabe" en el resto 1578; pero que para N = 4, la cantidad 1696 no cabría, lo cual indica que la siguiente cifra de la raíz es efectivamente un 3.

Preparar el dividendo

Tabla de semi cuadrados

$b$	$b^{2}/2$
1	0.5
2	2
3	4.5
4	8
5	12.5
6	18
7	24.5
8	32
9	40.5

Partimos de nuevo de la expresión:

$$100r_{i-1}+\alpha _{i}\geq (20y_{i-1}+b)b=20y_{i-1}b+b^{2}$$

dividiéndola por 2

$$(100r_{i-1}+\alpha _{i})/2\geq 10y_{i-1}b+b^{2}/2$$

Esta expresión modificada nos permitirá obtener directamente en el ábaco la raíz cuadrada (no su doble) siguiendo prácticamente el mismo procedimiento anterior, sin más que mantener en nuestro instrumento los restos y grupos de dos dígitos sin usar divididos por 2. Como se puede ver en la expresión anterior, despreciando el término ${\textstyle b^{2}/2}$ obtenemos una estimación de $b$ simplemente dividiendo el semi resto extendido: $(100r_{i-1}+\alpha _{i})/2$ por la raíz anterior $y_{i-1}$ (de hecho, $10y_{i-1}$); tras lo cual, necesitamos nuevamente:

1. Verificar que el valor así obtenido sea correcto o, en su caso, corregirlo al alza o a la baja según sea necesario.
2. Obtener el siguiente semi resto para preparar el cálculo del siguiente dígito de la raíz.

Esto se hace restando $10y_{i-1}b$ así como ${\textstyle b^{2}/2}$ del semi resto, para lo cual es conveniente memorizar la tabla de semi cuadrados de la derecha, comprobando que no obtenemos resultados negativos y que no podríamos revisar $b$ al alza.

Afortunadamente, dado que 2 es un divisor de nuestra base (10), las fracciones decimales de la tabla de semi cuadrados tienen una expresión finita; lo que no sucederá cuando intentemos extender este procedimiento a raíces cúbicas y tengamos que tratar con tercios de cubos. Según Knott, esto hace que las raíces cúbicas sean un problema que no se adapta bien al tratamiento con ábaco.

Ejemplos

Aquí se presentan tres ejemplos; para ver ejemplos adicionales consulte el apartado Otras lecturas y especialmente el de Recursos externos a continuación.

Raíz cuadrada de 961

En este ejemplo tenemos dos grupos de dos cifras: 09 y 61. El primer grupo nos informa que el primer dígito de la raíz es 3.

Hay dos formas de comenzar en el ábaco con las raíces cuadradas:

• Alineando los grupos a la izquierda desde la columna B y usando la división tradicional para obtener el semi-resto.

	A	B	C	D	E
						...
		0	9	6	1

Esta es la forma que aparece en libros antiguos y también la utilizada en el Tutor de raíz cuadrada de Murakami con Kijoho (véase Recursos externos más abajo).

Usando división tradicional para obtener el semi resto

Ábaco	Comentario
ABCDE
0961	Alinear el radicando con B
30961	Poner el primer dígito de la raíz en A
-9	restar el cuadrado del primer dígito de la raíz (9)
30061
30305	Dividir el resto B-E por 2 (división tradicional)

• Alinear los grupos a la izquierda del ábaco desde la columna A y usar la división in situ para obtener el semi resto.

	A	B	C	D	E
						...
	0	9	6	1

Esta forma es algo más rápida

Usando división in situ

Ábaco	Comentario
ABCDE
0961	Alinear el radicando con A
-9	Restar el cuadrado del primer dígito de la raíz (9)
0061
0305	División in situ por 2 del resto
30305	Anotar el primer dígito de la raíz en A

A partir de aquí coincide el estado del ábaco y podemos continuar:

Continuación

Ábaco	Comentario
ABCDE
30305
+1	Dividir el semi resto B-E por 3. (revisar B al alza)
-3
31005
-05	restar b^2/2 =0.5 de D
31000	Semi resto nulo, ¡Hecho! La raíz es 31
31	La raíz es 31

Raíz cuadrada de 998001

${\sqrt {998001}}=999$

Ábaco	Comentario
ABCDEFG
998001	Radicando en A-F
-81	Restar 9^2=81 de primer grupo en AB
188001
940005	Dividir el resto por 2 in situ in situ
9940005	Entrar el primer dígito de la raíz (9) en A
9930005	B: Regla: 9/9>9+9
-405	Restar 9^2/2=40.5 de D
9989505
9987505	C: Regla: 8/9>8+8
-72	Restar CxB=72 de DE
998T305	Revisar C al alza
+1
-99
9990405
-405	Restar 9^2/2=40.5 from F
9990000	El resto es 0. ¡Hecho!
999	Raíz: 999

Raíz de 456.7890123

Nuestro ejemplo anterior ...

Primeros 4 dígitos de ${\sqrt {456.7890123}}=21.3726229\cdots$

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKL
04567890123	Radicando con los pares de dígitos alineados en AB, CD, etc.
-4	Restar 2^2 del primer grupo
567890123
2839450615	Dividir por 2 el resto y los demás pares de dígitos
2 2839450615	Escribir la primera cifra de la raíz en A
+1	Dividir BCD por A (revisar al alza B)
-2
-05	Restar B^2/2=0.5 de D
21 789450615
+3	Dividir CDEF por AB (revisar al alza C tres veces)
-6
-3
-45	Restar C^2/2=4.5 de F
213154950615
213554950615	Dividir DEFGH por ABC. D: Rule 1/2>5+0
-5	Restar DxB=5 de EF
-15	Restar DxC=15 de FG
213548450615
+2	revisar al alza D dos veces
-426
213705850615
-245	Restar 7^2/2=24.5 de H
21370560F615	Raíz hasta ahora: 21.37
etc.	etc.

La raíz 2137… ( de hecho, 21.37…) va apareciendo a la izquierda. En este punto, si divide E-L (semi resto y demás dígitos) por A-D (la raíz hasta ahora) obteniendo 4 cifras del cociente (tantas como actualmente tiene la raíz) tendrá los dígitos: 2623; es decir, aproximadamente las siguientes cuatro cifras de la raíz (21.372623). Vea el capítulo: Operaciones abreviadas para detalles

Usando el método moderno

Por supuesto es posible obtener las raíces cuadradas siguiendo la estrategia de preparar el dividendo haciendo uso de la división moderna (MD) y de la disposición moderna de la división (MDA); sólo hay que dejar una columna adicional a la izquierda del radicando para ello. Por ejemplo:

	A	B	C	D	E	F	G	H	I
	0	9	9	8	0	0	1	0	0

Raíz cuadrada de 998001; división moderna con MDA

Ábaco	Comentario
ABCDEFGH
998001	Radicando alineado en B-G
-81	Restar 9^2 del primer grupo en BC
188001
9188001	Inscribir primer dígito de la raíz en A
9 940005	Dividir in situ B-G por 2
99940005	Probar 9 como segunda cifra de la raíz (inscribir en B)
-81	Restar B×A=9×9=81 de CD
99130005
-405	Restar B^2/2=9^2/2=40.5 de DE
99 89505
99989505	Probar 9 como tercera cifra de la raíz
-81	Restar C×A=9×9=81 de DE
-81	Restar C×B=9×9=81 de EF
999  405
-405	Restar C^2/2=9^2/2=40.5 de FG
999	(semi)resto nulo. ¡Hecho! la raíz es 999

También podemos usar la división normal por 2 en lugar de in situ; observe el nuevo alineamiento del radicando:

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
	0	0	0	9	9	8	0	0	1	0

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHI
998001	Radicando alineado en D-I
-81	Restar 9^2 del primer grupo en DE
188001
9  188001	Inscribir primer dígito de la raíz en A
9 940005	Dividir normalmente D-I por 2
99940005	Probar 9 como segunda cifra de la raíz (inscribir en B)
...	etc.

Conclusión

El método explicado como: Preparar el dividendo se conoce como 半九九法 ( Hankukuhou en japonés, Bàn jiǔjiǔ fǎ en chino) lo que podemos traducir libremente aquí como Método del semi resto y es, con mucho, el más conveniente, al menos por dos razones:

1. La raíz, y no su doble, reemplaza al operando (radicando) como en el resto de operaciones básicas con el ábaco.
2. (La más importante) Dado que dividir por números que comienzan con 1 es incómodo, pensemos en lo siguiente:

El primer grupo de dos dígitos tendrá un valor entre 1 y 99 y determinará la primera cifra de la raíz cuadrada. Para valores del primer par entre 25 y 99 (75% de los casos), el primer dígito de la raíz estará comprendido entre 5 y 9 y su doble empezará por uno. Por lo tanto, si usamos el método preparar el divisor, estaremos dividiendo por números que comienzan con 1 en el 75% de los casos. Por el contrario, si utilizamos el método preparando el dividendo, sólo en el caso de que el primer grupo sea 1, 2 o 3 (3% de los casos) tendremos que dividir por números que empiecen por uno.

Por lo que no hay duda de que el método del “medio resto” o de “preparación del dividendo” nos será más confortable en la mayoría de casos.

Otras lecturas

• Siqueira, Edvaldo. «Kato Fukutaro's Square Roots». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 1, 2021.

• Treadwell, Steve (2015). «Improvements to the Kato Method for Finding Square Roots». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 1, 2021.
• Square root (半九九法); the traditional way using traditional division in jccAbacus

Recursos externos

• Tutor de raíz cuadrada con Kijoho (división tradicional) de M. Murakami, una aplicación de JavaScript que puede ejecutar directamente en su navegador o descargar a su computadora desde su repositorio en GitHub. Sólo hay que ingresar el radicando en el pequeño cuadro de entrada de la izquierda y presionar repetidamente el botón "Next" en la pantalla para asistir al desarrollo del proceso paso a paso. Con esto se pueden generar tantos ejemplos o ejercicios como se desee.

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Ábaco Oriental▶[+6] Índice, Introducción, Página de edición, Enlaces, Texto completo

La humanidad ha utilizado ábacos, de un tipo u otro, desde los albores de la civilización para satisfacer sus necesidades de cálculo y contabilidad. La versión moderna del ábaco oriental, originario de China, todavía se utiliza hoy en día en todo el mundo para ayudar a los niños a mejorar su comprensión y habilidades numéricas. La Aritmética con Cuentas (珠算; léase zhūsuàn en chino, shuzan en japonés), o arte del uso del ábaco oriental, ha sido inscrito en 2013 en la Lista Representativa del Patrimonio Cultural Inmaterial de la Humanidad de la UNESCO.▶

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