Ábaco Oriental/Métodos Tradicionales/Variantes del Ejercicio 123456789


	1	2	3	4	5	6	7	8	9

Introducción

Como hemos visto en el capítulo anterior, el "ejercicio 123456789", que consiste en sumar ese número nueve veces a un ábaco a cero hasta llegar al número 1111111101 y luego restarlo nueve veces hasta que el ábaco se despeje nuevamente, se viene utilizando desde la antigüedad para ilustrar y practicar la suma y la resta. Es un ejercicio conveniente porque:

es lo suficientemente largo como para que no sea un ejercicio trivial
si no volvemos al valor inicial (cero) es señal de que nos hemos equivocado por el camino
no necesitamos ni libro ni hoja de ejercicios
utiliza muchos de los casos elementales de suma y resta de un dígito a otro dígito

pero también tiene un par de inconvenientes:

no usa todos los pares de dígitos (por ejemplo, un 3 nunca se suma a un 5)
después de repetirlo varias veces, se comienza a memorizar mecánicamente el ejercicio, de modo que ya no estamos practicando sumas y restas

Para evitar estos dos problemas podemos modificar el ejercicio de varias formas.

Usando un fondo

Ya se ha mencionado en el capítulo anterior. En lugar de usar un ábaco puesto a cero, llenamos 9 columnas del mismo con un dígito (111111111, 222222222, etc.) y procedemos a sumar y luego restar nueve veces el número 123456789. Con esto multiplicamos por 10 el número de ejercicios a nuestra disposición y podremos estar seguros de que ahora recorremos todos los casos posibles de suma y resta dígito por dígito a la vez que la memorización mecánica se hace más difícil.

La siguiente tabla contiene los valores intermedios del ejercicio como referencia. Estos valores se recorren de arriba hacia abajo durante la fase de adición y de abajo hacia arriba en la de sustracción.

Ejercicio 123456789 sobre un fondo
Resultados intermedios
+1..9	0	1	2	3	4	+1..9
0	000000000	111111111	222222222	333333333	444444444	0
1	123456789	234567900	345679011	456790122	567901233	1
2	246913578	358024689	469135800	580246911	691358022	2
3	370370367	481481478	592592589	703703700	814814811	3
4	493827156	604938267	716049378	827160489	938271600	4
5	617283945	728395056	839506167	950617278	1061728389	5
6	740740734	851851845	962962956	1074074067	1185185178	6
7	864197523	975308634	1086419745	1197530856	1308641967	7
8	987654312	1098765423	1209876534	1320987645	1432098756	8
9	1111111101	1222222212	1333333323	1444444434	1555555545	9

Ejercicio 123456789 sobre un fondo
Resultados intermedios (continuación)
+1..9	5	6	7	8	9	+1..9
0	555555555	666666666	777777777	888888888	999999999	0
1	679012344	790123455	901234566	1012345677	1123456788	1
2	802469133	913580244	1024691355	1135802466	1246913577	2
3	925925922	1037037033	1148148144	1259259255	1370370366	3
4	1049382711	1160493822	1271604933	1382716044	1493827155	4
5	1172839500	1283950611	1395061722	1506172833	1617283944	5
6	1296296289	1407407400	1518518511	1629629622	1740740733	6
7	1419753078	1530864189	1641975300	1753086411	1864197522	7
8	1543209867	1654320978	1765432089	1876543200	1987654311	8
9	1666666656	1777777767	1888888878	1999999989	2111111100	9

Ejercicio 987654321

En lugar de usar el número 123456789, podemos pensar en usar cualquier otra permutación de estos dígitos que podamos recordar fácilmente; por ejemplo, 987654321, la única que consideraremos aquí. Esto nos ofrece otros 10 ejercicios independientes para la práctica de suma y resta. La siguiente tabla nos muestra los valores intermedios de esta nueva serie de ejercicios utilizando un fondo.

En total, ya tenemos 20 ejercicios diferentes.

Ejercicio 987654321 sobre un fondo
Resultados intermedios
+9..1	0	1	2	3	4	+9..1
0	000000000	111111111	222222222	333333333	444444444	0
1	987654321	1098765432	1209876543	1320987654	1432098765	1
2	1975308642	2086419753	2197530864	2308641975	2419753086	2
3	2962962963	3074074074	3185185185	3296296296	3407407407	3
4	3950617284	4061728395	4172839506	4283950617	4395061728	4
5	4938271605	5049382716	5160493827	5271604938	5382716049	5
6	5925925926	6037037037	6148148148	6259259259	6370370370	6
7	6913580247	7024691358	7135802469	7246913580	7358024691	7
8	7901234568	8012345679	8123456790	8234567901	8345679012	8
9	8888888889	9000000000	9111111111	9222222222	9333333333	9

Ejercicio 987654321 sobre un fondo
Resultados intermedios (continuación)
+9..1	5	6	7	8	9	+9..1
0	555555555	666666666	777777777	888888888	999999999	0
1	1543209876	1654320987	1765432098	1876543209	1987654320	1
2	2530864197	2641975308	2753086419	2864197530	2975308641	2
3	3518518518	3629629629	3740740740	3851851851	3962962962	3
4	4506172839	4617283950	4728395061	4839506172	4950617283	4
5	5493827160	5604938271	5716049382	5827160493	5938271604	5
6	6481481481	6592592592	6703703703	6814814814	6925925925	6
7	7469135802	7580246913	7691358024	7802469135	7913580246	7
8	8456790123	8567901234	8679012345	8790123456	8901234567	8
9	9444444444	9555555555	9666666666	9777777777	9888888888	9

Empezando con la sustracción

Si empezamos restando los números 123456879 o 987654321 y completamos el ejercicio con su suma dispondremos de otros 20 ejercicios independientes, pero tarde o temprano nos aparecerán resultados intermedios negativos. Existe una forma de representar números negativos en el ábaco, frecuentemente referida como "el otro lado" del ábaco, que estudiaremos en la sección sobre técnicas avanzadas, pero de momento es preferible mantenerse dentro de los números positivos. Para lograrlo, necesitaremos introducir un uno dos columnas a la izquierda de donde vayamos a empezar el ejercicio; por ejemplo, usando un fondo de treses:

**Write caption here!**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L	M

0	0	1	0	3	3	3	3	3	3	3	3	3

con un 1 en la columna C. Es decir, usamos el número 10 000 000 000 o $10^{10}$ como punto de partida al que sumaremos el fondo que corresponda. De este modo tendremos de dónde tomar prestado durante la sustracción y trabajaremos con números positivos durante todo el ejercicio.

Las tablas siguientes contienen los resultados intermedios para los ejercicios 123456798 y 987654321. Nótese que las tablas no contienen a la columna C; de hecho, no es necesario introducir físicamente un 1 allí, simplemente podemos tomar prestado de dicha columna cuando lo necesitemos (sí, de la nada) y tarde o temprano, a lo largo del ejercicio, llevaremos un acarreo a dicha columna devolviendo lo que tomamos prestado aunque tampoco lo hagamos constar en el ábaco. Si procedemos así, sin poner físicamente el 1 en la columna C, nos estaremos aproximando al uso del "otro lado del ábaco" para los números negativos. Vuelva por aquí cuando haya leído el capítulo correspondiente.

Ejercicio 123456789 comenzando con sustracción
Resultados intermedios
-1..9	0	1	2	3	4	-1..9
0	000000000	111111111	222222222	333333333	444444444	0
1	9876543211	9987654322	98765433	209876544	320987655	1
2	9753086422	9864197533	9975308644	86419755	197530866	2
3	9629629633	9740740744	9851851855	9962962966	74074077	3
4	9506172844	9617283955	9728395066	9839506177	9950617288	4
5	9382716055	9493827166	9604938277	9716049388	9827160499	5
6	9259259266	9370370377	9481481488	9592592599	9703703710	6
7	9135802477	9246913588	9358024699	9469135810	9580246921	7
8	9012345688	9123456799	9234567910	9345679021	9456790132	8
9	8888888899	9000000010	9111111121	9222222232	9333333343	9

Ejercicio 123456789 comenzando con sustracción
Resultados intermedios (continuación)
-1..9	5	6	7	8	9	-1..9
0	555555555	666666666	777777777	888888888	999999999	0
1	432098766	543209877	654320988	765432099	876543210	1
2	308641977	419753088	530864199	641975310	753086421	2
3	185185188	296296299	407407410	518518521	629629632	3
4	61728399	172839510	283950621	395061732	506172843	4
5	9938271610	49382721	160493832	271604943	382716054	5
6	9814814821	9925925932	37037043	148148154	259259265	6
7	9691358032	9802469143	9913580254	24691365	135802476	7
8	9567901243	9679012354	9790123465	9901234576	12345687	8
9	9444444454	9555555565	9666666676	9777777787	9888888898	9

Ejercicio 987654321 comenzando con sustracción
Resultados intermedios
-9..1	0	1	2	3	4	-9..1
0	000000000	111111111	222222222	333333333	444444444	0
1	9012345679	9123456790	9234567901	9345679012	9456790123	1
2	8024691358	8135802469	8246913580	8358024691	8469135802	2
3	7037037037	7148148148	7259259259	7370370370	7481481481	3
4	6049382716	6160493827	6271604938	6382716049	6493827160	4
5	5061728395	5172839506	5283950617	5395061728	5506172839	5
6	4074074074	4185185185	4296296296	4407407407	4518518518	6
7	3086419753	3197530864	3308641975	3419753086	3530864197	7
8	2098765432	2209876543	2320987654	2432098765	2543209876	8
9	1111111111	1222222222	1333333333	1444444444	1555555555	9

Ejercicio 987654321 comenzando con sustracción
Resultados intermedios (continuación)
-9..1	5	6	7	8	9	-9..1
0	555555555	666666666	777777777	888888888	999999999	0
1	9567901234	9679012345	9790123456	9901234567	12345678	1
2	8580246913	8691358024	8802469135	8913580246	9024691357	2
3	7592592592	7703703703	7814814814	7925925925	8037037036	3
4	6604938271	6716049382	6827160493	6938271604	7049382715	4
5	5617283950	5728395061	5839506172	5950617283	6061728394	5
6	4629629629	4740740740	4851851851	4962962962	5074074073	6
7	3641975308	3753086419	3864197530	3975308641	4086419752	7
8	2654320987	2765432098	2876543209	2987654320	3098765431	8
9	1666666666	1777777777	1888888888	1999999999	2111111110	9

Usando la quinta cuenta inferior

Esta es la propuesta más interesante en el contexto de los métodos tradicionales. Los cuarenta ejercicios anteriores se pueden realizar utilizando la quinta cuenta inferior como se explica en detalle en el capítulo anterior; esto le permitirá dominar esta técnica tradicional. Consulte el capítulo anterior sobre la 5ª cuenta para los resultados intermedios del ejercicio 123456789.

¡Con esto, sumamos un total de 80 ejercicios!

Usando dirección de operación alterna

Y finalmente, ¿por qué no? Aunque solamente sea por el placer de superar una dificultad diferente, podemos combinar los ejercicios anteriores con una dirección de operación alterna, de izquierda a derecha y de derecha a izquierda, como se explica en el capítulo introductorio de Particularidades Tradicionales de la Adición y la Sustracción.

Ejemplo de operación alternada
Abacus	Comment
ABCDEFGHIJ
	Ábaco puesto a cero
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
+8
+9
123456789	Primer paso completado
+9
+8
+7
+6
+5
+4
+3
+2
+1
246913578	Segundo paso completado
etc.

Con esto, podría dar un paso más en su comprensión de la mecánica de las cuentas.

Conclusión

Con los 160 ejercicios aquí presentados, ya no tiene excusa, puede practicar sumas y restas durante horas en cualquier momento, sin hojas de ejercicios, quizás mientras está cómodamente sentado en su sofá, con su ábaco apoyado en las rodillas y mientras ve la televisión...

¡Esta es una puerta a la maestría!

Ábaco Oriental

▶[+6] Índice, Introducción, Página de edición, Enlaces, Texto completo

La humanidad ha utilizado ábacos, de un tipo u otro, desde los albores de la civilización para satisfacer sus necesidades de cálculo y contabilidad. La versión moderna del ábaco oriental, originario de China, todavía se utiliza hoy en día en todo el mundo para ayudar a los niños a mejorar su comprensión y habilidades numéricas. La Aritmética con Cuentas (珠算; léase zhūsuàn en chino, shuzan en japonés), o arte del uso del ábaco oriental, ha sido inscrito en 2013 en la Lista Representativa del Patrimonio Cultural Inmaterial de la Humanidad de la UNESCO.▶

{{Ábaco Oriental}}/◇